问题解决（二）（教学设计）-2025-2026学年四年级下册数学沪教版

问题解决（二） 教学设计 教学目标 （1）数学的眼光：通过观察实际问题中的数量关系，理解 “增加几倍” 与 “增加到几倍” 的本质差异，能借助线段图等工具辨析两种数量关系的区别。 （2）数学的思维：能根据问题情境选择不同解题策略（如从条件出发分析、画线段图辅助），通过逻辑推理分析数量关系，发展思维的灵活性，提升解决实际问题的能力。 教学重难点 （1）正确理解 “增加几倍” 与 “增加到几倍” 的数学本质，区分 “增加 1 倍”（原数的 2 倍）与 “增加到 2 倍”（原数的 2 倍）的差异，能结合具体条件（如 “增加 1 倍多 6 千米”）准确转化为数量关系（原数的 2 倍多 6 千米）。 （2）在真实情境（如上海轨道交通发展、练习本数量等问题）中，运用线段图等可视化工具分析数量关系，能从条件出发选择 “直接列式” 或 “画图辅助” 等不同解题策略，培养解决问题时的思维灵活性与严谨性。 教学难点 （1）学生对 “增加几倍” 与 “增加到几倍” 的数量关系理解存在差异，易混淆 “增加 1 倍多（少）” 与 “增加到 2 倍多（少）” 的数学表达，导致算式构建错误。例如，学生可能将 “增加 1 倍少 2 本” 错误等同于 “原数 ×2+2”，无法准确对应 “原数 ×2-2” 的正确逻辑。 （2）学生在解决含 “多”“少” 条件的实际问题时，难以根据情境灵活转换解题思路，尤其在 “增加” 与 “增加到” 的表述转换中（如将 “增加 1 倍多 6 千米” 等价为 “增加到 2 倍多 6 千米”），缺乏运用线段图等工具辅助分析的意识与方法。 教学方法 讨论法、线段图辅助法、练习法、问题驱动法、转换条件法 教学过程 一、复习引入 （1）回顾旧知，激活思维。 师： 同学们，我们上节课学习了 “倍数关系”的实际问题，现在请大家回忆一下，“增加 1 倍”和“增加到 2 倍” 在数学上有什么区别呢？（教师引导学生结合生活实例思考，如 “如果一个苹果有 2 个，增加 1 倍是多少？”） 生： 增加 1 倍就是在原有数量上再加上和原来一样多的数量，比如 2 个苹果增加 1 倍，就是 2+2=4 个；而 “增加到 2 倍” 就是直接把原来的数量乘以 2，2×2=4 个，所以它们结果一样！ 师： 非常棒！看来大家对 “1 倍” 和 “2 倍” 的关系理解得很透彻。其实这种关系在我们城市发展中也有很多应用，比如上海轨道交通运营里程的变化就需要用到 “增加几倍” 的知识。（教师出示上海轨道交通线路图动态截图，展示 2005 年与 2007 年的里程数据对比） （2）明确课题，激发兴趣。 师： 2005 年底，上海轨道交通运营里程是 112 千米，到 2007 年底将有新的变化。这节课我们就来研究 “增加几倍” 与 “增加到几倍” 在实际问题中的应用，看看如何用数学方法解决这类生活中的增长问题。 二、探究新知 （一）理解 “增加 1 倍多 6 千米” 的含义 （1）出示例题： 2005 年底，上海轨道交通运营里程达到 112 千米，到 2007 年底将增加 1 倍多 6 千米。到 2007 年底，上海轨道交通运营里程将达到多少千米？ （2）提取信息，梳理问题。 师： 请同学们默读题目，找出关键信息和问题。（学生独立思考后回答） 生： 已知条件是 2005 年的里程 112 千米，2007 年的变化是 “增加 1 倍多 6 千米”；问题是求 2007 年的总里程。 师： 这里的 “增加 1 倍多 6 千米” 是重点，我们需要先理解它的具体含义。大家可以先在草稿本上尝试用不同的方法表示这句话的意思，比如画线段图、用算式表示等。 （3）小组合作，画线段图分析。 师： 现在请大家以小组为单位，用线段图表示 “增加 1 倍多 6 千米”，并讨论：“增加 1 倍” 和 “多 6 千米” 分别对应线段图的哪个部分？（教师巡视指导，重点观察：①学生是否将 “增加 1 倍” 理解为 “原数的 2 倍”；②“多 6 千米” 是加在 “原数” 后还是 “增加 1 倍” 后；③线段图是否清晰标注了 “原数”“增加的部分”“总长度”） （预设学生困惑：部分小组可能将 “多 6 千米” 画在 “原数” 和 “增加 1 倍” 之间，教师可提示：“如果原数是 112，‘增加 1 倍’是再画一个 112，‘多 6 千米’是在这两个 112 之后还是之前呢？”） （4）反馈交流，明确逻辑。 师： 哪个小组愿意分享你们的线段图？（生 1 展示线段图：“先画一条线段表示 112 千米（2005 年），‘增加 1 倍’就是画第二条同样长的线段（因为 1 倍 = 原数），所以增加后的长度是 112×2，‘多 6 千米’就是在这两个 112 之后再画一小段 6 千米，总长度就是 112×2+6。”） 师： 为什么 “增加 1 倍” 是原数的 2 倍呢？（生 2 补充：“‘增加 1 倍’等于‘原数 + 原数 ×1’，也就是原数 ×(1+1)= 原数 ×2，所以‘增加 1 倍’=‘增加到 2 倍’。”） 师： 如果原数是 5，增加 1 倍多 3 千米，应该怎么画线段图？（生 3 快速画图：“先画 5，增加 1 倍就是再画 5，然后多 3 千米，总长度 5×2+3。”） （5）列式计算，验证结果。 师： 现在能列出算式了吗？（生齐答：112×2+6）计算一下结果是多少？（112×2=224，224+6=230） 师： 我们可以用另一种方法验证：如果把 “增加 1 倍多 6 千米” 看作 “增加到 2 倍多 6 千米”，计算结果是否相同？（112×2+6=230，结果一致，说明两种表述等价） （二）转换条件，深化理解 （1）条件转换，引发思考。 师： 刚才我们解决了 “增加 1 倍多 6 千米” 的问题，现在尝试把条件换一种说法，比如 “增加到 2 倍多 6 千米”，结果会怎样？请同学们在小组内讨论：这两种说法是否描述了同一个问题？ （预设学生反应：部分学生可能觉得 “增加到 2 倍” 和 “增加 1 倍” 是不同的，教师引导：“我们可以用具体数字验证，假设原数是 10，‘增加 1 倍多 6’是 10×2+6=26，‘增加到 2 倍多 6’是 10×2+6=26，结果相同！”） （2）总结解题关键。 师： 通过刚才的验证，我们发现 “增加 n 倍” 和 “增加到 n+1 倍” 是完全等价的，对吗？（生：对！） 师： 解决这类问题时，我们要注意两个关键点：①“增加 n 倍”=“增加到 n+1 倍”= 原数 ×(n+1)；②“多几”“少几” 的部分要在最后加上或减去。这两个步骤缺一不可哦！ 三、巩固练习 （一）口答辨析，强化理解 （1）基础练习： 练习本有 6 本，增加 1 倍少 2 本是多少本？ 增加到 2 倍少 2 本是多少本？ 师： 请用线段图快速表示 “增加 1 倍少 2 本”，再计算结果。（学生画图后回答） 生 1：“增加 1 倍少 2 本”= 原数 ×2-2=6×2-2=10 本。 师： 那 “增加到 2 倍少 2 本” 呢？（学生独立计算） 生 2：“增加到 2 倍” 就是原数 ×2，再减 2，结果也是 6×2-2=10 本。 师： 看来只要 “增加 n 倍” 和 “增加到 n+1 倍” 的表述中，“多几”“少几” 的部分相同，结果就一致！ （2）纠正笔误，确保正确。 师： 刚才有同学在草稿本上写了 “6×2-2=14”，这是哪里出错了？（生齐答：“应该是 12-2=10！”） 师： 计算时一定要先算乘法再算加减，避免运算顺序错误。 （二）选择算式，实战应用 （1）第一题： 2001 年上海个人拥有轿车数量约是 6 万辆，到 2005 年底增加了 4 倍多 2 万辆。到 2005 年底，上海个人拥有轿车数量约是多少万辆？ 选项：A)6×4+2 B)6×4-2 C)6×5+2 D)6×5-2 师： “增加了 4 倍多 2 万辆” 是什么意思？“增加了 4 倍” 对应哪个倍数关系？（引导学生回忆：“增加了 4 倍”= 原数 ×(4+1)= 原数 ×5） 生：算式应该是 6×5+2=32 万辆，选 C。 师： 如果题目改为 “增加到 4 倍多 2 万辆”，结果会变吗？（生：不会，因为 “增加到 4 倍” 就是原数 ×4，这里 “增加了 4 倍” 和 “增加到 4 倍” 不同，要注意区分关键词 “增加了” 还是 “增加到”！） （2）第二题： 2000 年上海入境旅游人次是 70 万，到 2004 年底增加到 7 倍少 10 万。到 2004 年底，上海入境旅游人次达到多少万？ 选项：A)70×7+10 B)70×7-10 C)70×8+10 D)70×8-10 师： “增加到 7 倍少 10 万” 如何理解？（生：“增加到 7 倍” 是原数 ×7，“少 10 万” 就是减去 10 万，所以算式是 70×7-10=480 万，选 B。） 师： 对比第一题的 “增加了 4 倍” 和第二题的 “增加到 7 倍”，我们发现 “增加了 n 倍” 和 “增加到 n 倍” 的本质区别在于倍数关系是原数 ×(n+1) 还是原数 ×n，这一点一定要注意！ （三）编题实践，拓展思维 （1）小组合作编题： 给出条件：2001 年上海人均公共绿地面积是 4 平方米，2005 年底是 10 万平方米。（注：此处数据应为 “4 平方米”，避免混淆单位，假设修正后为 “4 平方米”） 师： 请小组合作，用这组数据编一道关于 “增加几倍” 或 “增加到几倍” 的应用题，并画出线段图表示，再列出算式。 （2）成果展示与点评： 生 1：“2005 年底比 2001 年增加 1 倍多 2 平方米，求 2005 年面积。”（线段图：原数 4 米，增加 1 倍画 4 米，多 2 米，算式 4×2+2=10 平方米） 师： 你是怎么想到 “多 2 米” 的？（生 1：因为 2005 年是 10 平方米，4×2=8，8+2=10，所以 “多 2 米”） 生 2：“2005 年底比 2001 年增加到 3 倍少 2 平方米，求 2005 年面积。”（线段图：原数 4 米，增加到 3 倍画 3 个 4 米，少 2 米，算式 4×3-2=10 平方米） 师： 编得非常棒！通过编题，我们进一步理解了 “增加 n 倍”=“增加到 n+1 倍” 的等价关系，同时也学会了用线段图清晰表示 “多几”“少几” 的部分。 四、课堂总结 师： 回顾这节课，我们经历了哪些关键步骤？（引导学生梳理） 生： ①复习明确了 “增加 n 倍” 与 “增加到 n+1 倍” 的关系；②通过线段图分析解决了 “增加 1 倍多 6 千米” 的问题；③通过不同说法的验证和编题实践巩固了知识点。 师： 解决 “增加几倍” 的问题时，关键要注意两点：①看清 “增加了 n 倍” 还是 “增加到 n 倍”，区分倍数关系；②明确 “多几”“少几” 的部分，在计算中最后加减。希望同学们今后遇到这类问题，能像今天一样，先分析再画图，用数学工具帮助自己理清思路！ 学科网（北京）股份有限公司 $