精品解析：山西省大同市新荣区部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度九年级上学期期末试题九年级数学 （注意事项：满分120分，答题时间120分钟．答案写在答题卡上．） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选B． 3. 电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（ ） A. 位似变换 B. 平移变换 C. 对称变换 D. 旋转变换 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 4. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 5. 若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以判断出的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点在第二象限，在第四象限， ∴． 故选：B． 6. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A. ①与③ B. ②与③ C. ①与④ D. ③与④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关键．先利用勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解． 【详解】解：图形①的三边为：； 图形②的三边为：； 图形③的三边为：； 图形④的三边为：； ∵， ∴①与③相似， 故选：A． 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A、，开口向下，原说法错误； B、对称轴是直线，原说法错误； C、顶点坐标为，说法正确； D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误； 故选：C． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上一点，交AC于点E，交CD的延长线于点G，若2AF=3FD.则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝k，AD＝AF+FD＝，再利用相似三角形性质即可解决问题． 【详解】解：由2AF＝3DF，可以假设DF＝k，则AF＝k，AD＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DGF， ∵∠AFE＝∠GFD， ∴△ABF∽△DFG，且∠AFE＝∠GBC， ∴△BCG为等腰三角形，即BC＝CG＝AD＝， ∵△GFD为等腰三角形，即FD＝GD， ∴CD＝CG﹣DG＝， AB∥CD， ， ∴△ABE∽△CGE， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题． 9. 如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用．连接，可得，进一步求得，再根据是的中点即可求出． 【详解】解：连接， 是直径， ， ， ， 是的中点， ． 故选：D． 10. 如图，等边三角形的边长为6，点，，分别为边，，的中点，分别以，，为圆心，，，为半径作弧，得到如图所示的图形．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出，再求出，证明，则，，再运用割补法列式计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵等边三角形的边长为6，点，，分别为边，，的中点， ∴， ∴， 则， ∵等边三角形的边长为6，点，，分别为边，，的中点， ∴，，， ∴， 即， ∴，， 即， ∵以，，为圆心，，，为半径作弧， ∴， 则． ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点为的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 13. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 14. 如图，点是反比例函数图象上的一点，直线分别与轴、轴交于点和，轴于点，若与的相似比为，的面积为，则值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、反比例函数的系数的几何意义，根据相似比求出是解题的关键．连接，根据相似比得到，求出，根据反比例函数的系数的几何意义解答即可． 【详解】解：连接， ∵轴，， ∴， ∴ 与的相似比为， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，过作交延长线于点，然后证明，又点是的中点，则，从而证明，由勾股定理求出，然后根据角平分线的性质和面积公式可以求出，最后再证明，根据性质的，最后代入求解即可． 【详解】解：如图，过作于点，过作交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴，, ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形斜边上的性中线等于斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用配方法法求解即可； （）先移项，再提公因式，利用因式分解法求解即可； 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：配方得， 两边同时开平方得或， 解得，； 【小问2详解】 解：方程变形得， 因式分解得． ∴或． 解得，． 17. 随着科技的发展，我们迎来了大数据云计算时代，支付方式的转型不仅让大家生活更便捷，而且也改变着人们的消费观念．为了更好地满足顾客的支付需求，我市某商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整； （2）若某假期该商场有3000人进行购物支付；估计有______人会选择“刷脸或现金”这种支付方式； （3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”“刷卡”“支付宝”“微信”（分别用A、B、C、D表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树状图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率． 【答案】（1）240人，见解析； （2）500 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，画树状图法求概率． （1）根据选择“微信”支付的人数和所占百分比，求出总人数，再求出选择“银行卡”支付的人数，补全条形统计图即可； （2）用商场总人数乘以选择“刷脸或现金”支付的占比，即可求出人数； （3）根据题意画树状图，进而得出概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次调查参与的人数为人， 选择“银行卡”支付的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 故答案为：500； 【小问3详解】 解：画树状图如下： ， 由树状图可知，共有种等可能得情况，其中两人用同一种付款方式的情况有种， 两人在购物时，用同一种付款方式的概率为． 18. 如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F， （1）求证：． （2）连接，小明进行了深入探究，他发现，得到老师和同学们的认同，他利用（1）中的结论，具体推理过程如下： ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 请你仿照小明的方法证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，结合可得结论； （2）连接，先证明，可得，变形得到，再根据即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 20. 2025年，平遥古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年平遥县全年接待游客量为1000万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到1440万人次． （1）求2023年到2025年这两年平遥县游客量的年平均增长率． （2）平遥某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20个，每个盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价多少元? 【答案】（1） （2）10元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； （1）设这两年平遥县游客量的年平均增长率为，根据2025年接待游客量将达到1440万人次，再建立方程求解即可； （2）设每个纪念品应降价元，则销售量为件，由题意得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：设这两年平遥县游客量的年平均增长率为， 则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴这两年平遥县游客量的年平均增长率； 【小问2详解】 设每个纪念品应降价元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，每个纪念品盈利30元，符合题意； 当时，每个纪念品盈利20元，不符合题意； ∴每个纪念品应降价10元． 21. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分， ， ． ， ． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分， ， …… 任务： （1）如图5，在中，是的平分线．若，则_______． （2）请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． （3）如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）补全证明： ． ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由阅读材料中的三角形内角平分线性质定理得到，结合勾股定理求出，设，，由列方程求解即可得到答案； （2）类比三角形内角平分线性质定理的证明，采用“面积法”即可得到答案； （3）由三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理及已知线段长得到，进而求出、，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 由三角形内角平分线性质定理可得，， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 设，， 则，解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示： 在中，由三角形内角平分线性质定理可得，； 在中，由三角形外角平分线性质定理可得，； ， ， ， ， 设， 则由可得，， 解得， ， ， 若是的平分线，是的外角的平分线， ， 是线段的中点， ． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理、三角形面积公式、一元一次方程、勾股定理、角平分线性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，读懂题意，理解三角形内角平分线性质定理、三角形外角平分线性质定理是解决问题的关键． 22. 综合与实践 问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点离地面，点离地面． （1）在图3中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的，处安装吊顶，若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）； （3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点到点，从点到点各拉一条彩带，并在，两处悬挂彩灯，，（，在彩带上，，）．试计算小红需要购买彩灯的总长度（结果精确到））． 【答案】（1）（2）吊顶所需材料的面积约为（3）小红需要购买彩灯的总长度约为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用∶用到的知识点为∶待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系．理解题意选择恰当的方法是正确解答此题的关键． （1）根据题意画出平面直角坐标系，找到点的坐标为，点的坐标为．设抛物线的函数表达式为．代入坐标即可求解； （2）根据题意求得点的坐标为，点的坐标为．进而可求．即可求出吊顶所需材料的面积； （3）过点作，交的延长线于点．由题意，得，．证明∽．得，求得．进而可求答案． 【详解】解：（1）建立如图1所示的平面直角坐标系． ∵窑洞顶部最高点离地面，点离地面， ∴． ∴点，的纵坐标为． ∵， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点为抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为． ∵在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）∵离地面， ∴． ∴点，的纵坐标为． ∵点，在抛物线上， ∴将代入，得． 解得，． ∴点的坐标为，点的坐标为． ∴． ∴吊顶所需材料的面积为． 答：吊顶所需材料的面积约为． （3）如图2，过点作，交的延长线于点． 由题意，得，． ∵，， ∴． ∴∽． ∴，则． ∴． ∴ 答：小红需要购买彩灯的总长度约为． 23. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1） ，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上学期期末试题九年级数学 （注意事项：满分120分，答题时间120分钟．答案写在答题卡上．） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（ ） A. 位似变换 B. 平移变换 C. 对称变换 D. 旋转变换 4. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A. ①与③ B. ②与③ C. ①与④ D. ③与④ 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上一点，交AC于点E，交CD的延长线于点G，若2AF=3FD.则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为6，点，，分别为边，，的中点，分别以，，为圆心，，，为半径作弧，得到如图所示的图形．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为________． 13. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 14. 如图，点是反比例函数图象上的一点，直线分别与轴、轴交于点和，轴于点，若与的相似比为，的面积为，则值为_____． 15. 如图，在中，，平分，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．若，，则的长为______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 随着科技的发展，我们迎来了大数据云计算时代，支付方式的转型不仅让大家生活更便捷，而且也改变着人们的消费观念．为了更好地满足顾客的支付需求，我市某商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整； （2）若某假期该商场有3000人进行购物支付；估计有______人会选择“刷脸或现金”这种支付方式； （3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”“刷卡”“支付宝”“微信”（分别用A、B、C、D表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树状图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率． 18. 如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F， （1）求证：． （2）连接，小明进行了深入探究，他发现，得到老师和同学们的认同，他利用（1）中的结论，具体推理过程如下： ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 请你仿照小明的方法证明． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，请直接写出四边形的面积． 20. 2025年，平遥古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年平遥县全年接待游客量为1000万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到1440万人次． （1）求2023年到2025年这两年平遥县游客量的年平均增长率． （2）平遥某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20个，每个盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价多少元? 21. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分， ， ． ， ． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分， ， …… 任务： （1）如图5，在中，是的平分线．若，则_______． （2）请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． （3）如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 22. 综合与实践 问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图2是某装修公司承揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点离地面，点离地面． （1）在图3中画出以点为原点，平行于的直线为轴、竖直方向为轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的，处安装吊顶，若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）； （3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点到点，从点到点各拉一条彩带，并在，两处悬挂彩灯，，（，在彩带上，，）．试计算小红需要购买彩灯的总长度（结果精确到））． 23. 综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． （1）【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． （2）【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． （3）【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $