精品解析：广东湛江市2025-2026学年高三上学期普通高考测试(一)数学试卷

湛江市2026年普通高考测试（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性求解得出，然后根据并集的运算求解即可得出答案. 【详解】解可得，所以， 所以. 故选：D． 2. 设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数对应的点的特征可得，由复数的除法运算可求得结果. 【详解】，在复平面内的点关于实轴对称，； . 故选：B. 3. 设为单位向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 4. 若是函数的两个相邻的零点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由两个相邻零点得，由求得. 【详解】由题意得，故，因为，所以， 故选：A． 5. 某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（ ） A. 120 B. 96 C. 48 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先取出同一主题的两个案例有种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有种方法， 最后再从这2个主题分别包含的2个案例中各取一个案例有种， 由分步计数原理，可得取法种数为. 故选：C． 6. 在数列中，，令，则数列的前15项的和为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式判断是等差数列，进而求出，将裂项，相消求和. 【详解】因为，所以，即， 故为首项是，公差为的等差数列，所以，． ， 所以数列的前项的和， 故， 故选：B． 7. 如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 8. 已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形得到．考虑时，不满足要求，所以，不等式等价于，设函数，直线，直线l经过点，可得，，求出答案. 【详解】原不等式等价于． 若，则曲线必然有一部分位于直线的上方， 与原不等式恒成立相矛盾，所以（也可令进行排除）． 所以上述不等式等价于， 设函数，直线． 经过分析可知，单调递增且上凸，直线l经过点， 要想恒成立， 需满足在函数上方或在上且与相切于此点， 可得，由此即可得， 显然等号成立时，在上， 即直线l与相切于点， 又的斜率为，，故， 解得，此时，所以的最大值为. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列选项正确的有（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 中位数变小 D. 分位数变大 【答案】BD 【解析】 【分析】分别计算去掉前后的数据的极差，平均数，中位数及分位数并比较可得. 【详解】由题意，去掉后，极差为，极差变小，故A错误； 平均数，所以平均数变大，故B正确； 原数据和新数据的中位数分别为，且，故中位数变大，故C错误； 原数据的分位数：，取第5个数，新数据的分位数：， 取第4、5个数的平均，因为，所以，故分位数变大，故D正确. 和新数据 故选：BD． 10. 已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和周期性，结合导数的性质及赋值法，对选项进行分析判断． 【详解】为奇函数，为偶函数， ，， 令，则，解得， 是偶函数，，选项A正确； ，且， ，故的周期， ，但的值不确定，故选项B不一定正确； 是偶函数，，，即， 为奇函数，故，故选项C正确； 令，则， ，为奇函数，满足题设条件； ，，故D不一定正确； 故选：AC． 11. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 存在点P，使得为等腰直角三角形 C. 当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义和性质，结合已知条件求出的关系，进而利用双曲线离心率公式、等腰直角三角形的性质、判别式等逐一分析判断选项． 【详解】渐近线互相垂直， ，解得，即，两条直线的斜率分别为1和， 双曲线C的离心率为，选项A正确； 点P是双曲线C右支上任意一点，， 若为等腰直角三角形，假设直角顶点为，则，与矛盾； 直角顶点为，故且有，， ，解得，故或， ，，， 无法构成等腰直角三角形，故B错误； 联立直线与双曲线，整理得， 当 时，， ， 直线与双曲线有2个交点，故C正确； 根据双曲线的定义可知， ， 的最小值为， ， 的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正切函数计算求解即可. 【详解】因为正切函数的最小正周期是， 所以， 解得， 所以． 故答案为： 13. 已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，点作直线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，数形结合得点P到直线的距离之和为，当且仅当三点共线时等号成立，计算即可求解. 【详解】抛物线，即，焦点坐标，准线方程， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离， 过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则， 过点作直线的垂线，垂足为， 故点到直线的距离之和为， 当且仅当三点共线时等号成立， 即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即. 故答案为：. 14. 某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意列出关于和表达式，再解方程即可. 【详解】设表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率， 设表示先解答B类最终通过解答B类问题结束游戏的概率， 通过题意可得，， 计算可得， 则可得甲先通过解答A类问题再通过解答B类问题结束游戏的概率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，是的中点，． （1）当时，求的值； （2）求的面积S． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，进而在中结合余弦定理求得，再根据正弦定理求解即可； （2）设，在和中利用余弦定理得，进而得，再根据即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，设，则， 因为， 所以，在中，由余弦定理得， 即，故， 所以． 在中，由正弦定理得，即，解得． 所以. 【小问2详解】 解：如图，设， 在和中，由余弦定理得， 即，，得， 所以，所以 所以． 16. 某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． （1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； （2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 【答案】（1） （2）概率，最大值 【解析】 【分析】(1) 育苗成功的种子数量为服从二项分布，按照二项分布性质即可得； (2) 为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5．接着计算其概率，令，设函数，分析函数单调性即可得. 【小问1详解】 记育苗成功为事件A，移栽成活为事件B． 由题意得， 因为， 所以． 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为， 根据题意可得，由此可得． 【小问2详解】 解法一：一粒种子种植成功概率为，“”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值． 解法二：为了保证，则6粒种子中育苗成功的数量需大于或等于5． 设育苗成功的数量等于5为事件C，育苗成功的数量等于6为事件D， 则可得， 则有， 从而可得． 令，设函数， ． 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为， 综上，的概率，其最大值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面，且．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，设的中点为M，连接． 在中，点G为中点，M为中点， ，且． 根据条件可得，且， 且， 四边形为平行四边形， ． 又平面平面平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）证明线面平行转化为线线平行，设的中点为M，证明；（2）证明， 根据平行线分线段成比例可得；（3）二面角用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平面，平面，平面平面， ． 又， ， ． 又， ． 【小问3详解】 解：如图，以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 可得． 设平面的法向量为，则 即令，可得． 易得平面的一个法向量为， 故平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为，过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点． （1）求椭圆的方程； （2）证明：三点共线； （3）试问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）依题意可设直线的方程为， 代入的方程消去x得存在两个不相等的实数根． 设，则 故直线的方程为，令，可得． 又， ． ，故三点共线． （3）是， 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的基本性质：离心率，以及椭圆上点到焦点的最小距离为，联立这两个条件即可解出，从而得到椭圆方程。 （2）通过设过点的直线方程，联立椭圆得到韦达定理关系；再求出直线与的交点的坐标，最后通过证明向量与共线，即可证得 共线。 （3）先求出 的坐标，得到以为直径的圆的方程；再将韦达定理代入圆的方程，整理后分析方程恒成立的条件，从而确定是否存在定点。 【小问1详解】 设点P是上任意一点，是其左、右焦点，则有． 又，即， 结合以上两式可得， 当且仅当三点共线时取等号， 点P到其中一个焦点的距离的最小值为，故． 又， 解得，故， ∴椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 是． 由（2）易得，直线的方程为，令可得． 设为以为直径的圆上一点，则有， 即， 由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上 令， 得， ， ∴以为直径的圆恒过两定点． 19. 已知，设与的图象位于第一象限的交点为． （1）求的最大值； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1）1； （2）设，则. 又因为，所以在上单调递减．且，所以. 设，则，设，则， 在上单调递增，故，在上单调递增，故， ，即，所以，即. 所以，且在上单调递减，所以. 综上所述，故． （3）由（2）知，所以，故． 在处的切线方程为，即． 令， 则， 由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得在上单调递增， ，即，． 由，得， 解得，故不等式成立． 【解析】 【分析】（1）直接用导数求函数的最大值可得； （2）先构造函数且，再用导数判断函数的单调性，再分别判断及，其中要通过放缩可得，进而证明结论； （3）先求函数在处的切线方程，再构造函数，并用导数判断函数的单调性，并结合即可证明不等式. 【小问1详解】 由，函数的定义域为R，，所以，. 在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值也是最大值. 故的最大值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市2026年普通高考测试（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数在复平面内的点关于实轴对称，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设为单位向量，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 若是函数的两个相邻的零点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为（ ） A. 120 B. 96 C. 48 D. 24 6. 在数列中，，令，则数列的前15项的和为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式（，且）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列选项正确的有（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 中位数变小 D. 分位数变大 10. 已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 存在点P，使得为等腰直角三角形 C. 当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 14. 某智力问答游戏的规则如下：游戏共有两类问题（每类问题的数量无限多，且不重复）．参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答．如此循环，直到解答正确为止．已知甲解答两类问题的正确率分别是，且解答每道问题是相互独立的．若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游戏的概率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，是的中点，． （1）当时，求的值； （2）求的面积S． 16. 某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响． （1）若一粒种子种植成功的概率为，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为，求； （2）播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求的概率P，并求P的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，且．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为，过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点． （1）求椭圆的方程； （2）证明：三点共线； （3）试问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知，设与的图象位于第一象限的交点为． （1）求的最大值； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $