7.3 万有引力理论的成就（高效培优讲义）物理人教版必修第二册

7.3 万有引力理论的成就 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 计算天体的质量 1 题型2 天体密度的计算 5 题型3 发现未知天体与预言哈雷彗星回归 12 【能力培优练】 14 【链接高考】 26 【重难题型讲解】 题型1 计算天体的质量 1、天体质量的计算 （1）重力加速度法：若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得，解得天体的质量，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。这是黄金代换公式的一个常见应用。 （2）环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 ★特别提醒 计算中心天体的质量需要知道： （1）行星或卫星运行的轨道半径，以及运行的任一参数（如线速度或角速度或向心加速度等）。 （2）如果是忽略天体自转、或在天体表面附近、或提示万有引力近似等于重力，则可以应用黄金代换计算中心天体质量，此时需要知道天体的半径，以及天体表面的重力加速度。 2、万有引力与重力的关系（黄金代换）：对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即，化简得到：GM=gR2，其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，GM=gR2这个式子的应用非常广泛，被称为黄金代换公式。 ★特别提醒 （1）黄金代换式不止适用于地球，也试用于其他一切天体，其中g表示天体表面的重力加速度、R表示天体半径、M表示天体质量。 （2）应用黄金代换时要注意抓住如“忽略天体自转”、“万有引力近似等于重力”、“天体表面附近”等关键字。 【探究归纳】利用天体运动中万有引力提供向心力或星球表面万有引力近似等于重力的关系，代入对应公式可求解中心天体的质量。 【典例1-1】2025年11月25日清晨，长征二号F遥二十二运载火箭托举着神舟二十二号飞船直冲天际，恰好穿越初升的太阳圆面，一幅“一箭穿日”的壮美画卷被镜头定格，如图所示。若飞船与空间站对接后，在半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，运行速率为v，引力常量为G，则地球的质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据万有引力提供向心力有 解得 故选C。 【典例1-2】（多选）近年来，随着太空探索的加速发展，我国取得了很多举世瞩目的成就。如图所示，若登陆到某星球表面后，航天员在一倾角为的斜坡上，将一物体以初速度从斜坡顶端水平抛出，经时间落回到斜坡上。不计一切阻力，忽略该星球的自转，星球视为球体，半径为，引力常量为，则（　　） A．该星球表面的重力加速度为 B．该星球表面的重力加速度为 C．该星球的质量为 D．该星球的质量为 【答案】BD 【详解】AB．物体做平抛运动，由平抛运动的规律，在水平方向可得 在竖直方向可得 在斜坡上落点处，由几何关系有 联立解得 故A错误，B正确； CD．根据 解得 故C错误，D正确。 故选BD。 【典例1-2】在月球上的宇航员，如果他已知引力常量G和月球半径R，且手头有一个已知质量为m的砝码。 (1)他需要哪些实验器材测量出哪些物理量 (2)他怎样才能测出月球的质量，试推导并写出月球质量M的表达式 【详解】（1）方案一：用测力计测出砝码重力F。 方案二：将钩码从空中适当位置静止释放，用刻度尺、秒表测出其下落高度h和下落时间t。 （2）方案一：月球表面重力加速度 由万有引力定律可得： 故 【点睛】方案二：将砝码从空中适当位置静止释放，由自由落体运动得 由万有引力提供向心力得 解得 跟踪训练12025年12月16日，我国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射立体测绘卫星资源三号04星。若卫星入轨后做匀速圆周运动，轨道半径为r，卫星在时间t内转过的圈数为n，引力常量为G，不考虑地球的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，卫星在时间t内转过的圈数为n，则卫星的周期 卫星入轨后做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，则有 联立解得 故选B。 跟踪训练2（多选）2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜（EHT）”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知（　　） A．该黑洞的质量 B．该黑洞的质量 C．该黑洞的半径 D．该黑洞的半径 【答案】BC 【详解】AB．星体绕黑洞做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 可得该黑洞的质量为，故A错误，B正确； CD．根据题意可知 则该黑洞的半径为，故C正确，D错误。 故选BC。 跟踪训练3如图所示，我国发射的火星探测器“天问一号”在登陆火星前，探测器在距火星表面高度为h的轨道上绕火星做匀速圆周运动，周期为T。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探测器的引力作用，求： (1)探测器绕火星做匀速圆周运动的线速度大小； (2)火星的质量。 【详解】（1）探测器绕火星做匀速圆周运动的线速度大小 其中 解得 （2）探测器绕火星做匀速圆周运动所需向心力由万有引力提供，则 解得 将代入得 题型2 天体密度的计算 1、天体密度计算的核心公式为：若天体的半径为R，则，。所有计算方法的本质都是利用万有引力提供圆周运动向心力推导M，再结合天体半径R计算密度，主要分近地环绕法、卫星环绕法、中心天体表面重力法三类，是高中物理万有引力定律的核心应用，以下分方法详解（附公式推导、适用场景、典型例题）。 2、近地环绕法 （1）适用场景：卫星/飞行器贴近天体表面做匀速圆周运动（轨道半径r≈天体半径R，可忽略天体半径与轨道半径的差值）。 （2）公式推导 万有引力提供向心力： 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式，约去R3得：。 （3）关键结论：近地环绕时，天体密度仅与近地卫星的环绕周期T有关，与天体半径、卫星质量均无关，是最常用的简化公式。 3、卫星环绕法（通用法，r=R时使用） （1）适用场景：卫星/行星在天体外任意轨道做匀速圆周运动（轨道半径r>天体半径R，不可近似相等），已知轨道半径r、环绕周期T（或线速度v、角速度ω、向心加速度a）。 （2）公式推导（以周期T为例，其他物理量可换算） 万有引力提供向心力 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式得：。 （3）关键注意：必须区分轨道半径r（卫星到天体球心的距离）和天体自身半径R，不可混淆，这是易错点。 3、中心天体表面重力法（已知表面重力加速度g） （1）适用场景：已知天体表面的重力加速度g和天体自身半径R（无需卫星数据，直接利用天体表面的万有引力近似等于重力）。 （2）公式推导 天体表面的物体，万有引力近似等于重力： 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式得：。 （3）拓展：天体表面附近的重力与圆周运动结合：若已知天体表面重力加速度g，同时知道近地卫星周期T，可通过换算，最终回到近地环绕法公式，本质一致。 4、三类方法对比表（清晰区分适用场景） 方法 核心公式 已知条件 适用场景 关键易错点 近地环绕法 近地卫星环绕周期T、G 卫星贴近天体表面运动 不可用于r≫R的远轨道 卫星环绕法 ​ 轨道半径r、环绕周期T、天体半径R、G 卫星在任意轨道运动 区分r（轨道）和R（天体） 表面重力法 天体表面g、天体半径R、G 已知天体表面重力加速度 g是表面的，非轨道处的 ★特别提醒 （1）引力常量G为已知常量：G=6.67×10−11N·m2/kg2，题目中若无特殊说明，直接代入即可； （2）天体的近似性：所有天体均近似为均匀球体，因此体积用球体公式，若题目明确非球体，需按已知体积计算； （3）公转与自转的区别：计算密度时只考虑公转的圆周运动，天体自身的自转对万有引力的影响可忽略（高中阶段不考虑）； （4）双星系统的密度：双星系统需分别求两个天体的质量（利用双星的角速度相等、万有引力为向心力、轨道半径之和为间距），再分别计算密度，是进阶考点，核心仍为。 【探究归纳】天体密度计算核心是由万有引力定律求中心天体质量再结合球体体积公式，近地环绕法直接由近地周期求密度，卫星环绕法结合轨道半径与天体半径计算，表面重力法利用天体表面重力加速度和天体半径推导，本质均为的变式应用。 【典例2-1】若一均匀球形星体的自转周期为T，离星球表面最近卫星的周期为，引力常量为G，某物体在该星球表面赤道处称重为，在两极处称重为，则该星球的平均密度为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设星球质量为，半径为，物体质量为。在赤道处，物体受万有引力和离心力影响，称重 其中 在两极处，无离心力，称重 则 解得 密度 由 得 联立解得 故选D。 【典例2-2】（多选）如图所示，固定在地面上的斜面，斜面的高度为，底边的长度为，在斜面的顶点沿水平方向以抛出一个小球，经时间时落回该斜面，已知地球半径，引力常量为。设地球的质量为，地球的平均密度为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．令小球的位移为，则有 解得，故A错误，B正确； C．在地球表面有 结合上述解得，故C错误； D．地球的密度 结合上述解得，故D正确。 故选BD。 【典例2-3】如图所示，若北斗卫星导航系统中的一颗卫星a位于赤道上空的轨道Ⅰ上，其对地张角为60°，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星b的轨道。已知地球的半径为R，卫星a的周期为T，引力常量为G，求： (1)卫星b的周期； (2)地球的平均密度。 【详解】（1）设地球半径为，卫星的轨道半径为，对地张角为，则半张角为。由几何关系可知， 解得 卫星和卫星均绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律 为常量，对卫星有 对近地卫星，轨道半径 有 故 代入数据得 解得 （2）对卫星，由万有引力提供向心力，有 解得地球质量 地球体积 平均密度 代入 得 则 跟踪训练1假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g，在赤道的大小为；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在两极，物体仅受万有引力，有 在赤道上，有 地球质量为 解得地球的密度为 故选B。 跟踪训练2（多选）人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】探测器绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得火星的质量为 又 解得火星的平均密度为 故选AB。 跟踪训练3宇航员到了某星球表面后做了如下实验：如图所示，用长为L的细线悬挂一质量为m的小球在水平面内做匀速圆周运动，当细线与竖直方向夹角为时小球做匀速圆周运动的周期为T。已知星球的半径为R，万有引力常量为G，忽略星球自转，求： (1)该星球表面重力加速度的大小； (2)该星球的密度 【详解】（1）对小球进行受力分析，小球受到重力和细线的拉力。小球做匀速圆周运动的向心力由重力和拉力的合力提供，则有 解得该星球表面重力加速度的大小 （2）在星球表面，物体的重力等于万有引力，即 因为密度 联立解得 题型3 发现未知天体与预言哈雷彗星回归 1、发现未知天体：到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。 2、海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。 3、冥王星的发现：海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。 4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。 ★特别提醒 要了解利用万有引力定律可以计算和推测未知天体，预言彗星的回归，并记住相应的物理学家。 【探究归纳】通过万有引力定律计算天体运动的异常，成功预言哈雷彗星回归并发现海王星等未知天体，印证了万有引力定律的正确性。 【典例3-1】万有引力理论对于实践有着巨大的指导作用。科学家们利用“计算、预测和观察”的方法寻找新的天体。下面被称为“笔尖下发现的行星”的是（ ） A．天王星 B．海王星 C．冥王星 D．谷神星 【答案】B 【详解】A．天王星的轨道异常现象促使科学家推测存在另一颗行星，但天王星本身并非通过计算预测发现，故A错误； B．海王星的存在由勒维耶和亚当斯通过数学计算预测，后经观测证实，因此被称为“笔尖下发现的行星”，故B正确； C．冥王星于1930年由汤博通过系统观测发现，并非基于理论预测，故C错误； D．谷神星是1801年由皮亚齐观测发现的小行星，与计算预测无关，故D错误。 故选B。 【典例3-2】（多选）太阳系目前已知的八大行星按距太阳由近及远依次为：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，如图所示，关于天体运动，下列说法正确的是（　　） A．日心说是开普勒提出的，观点是行星绕太阳做椭圆运动 B．在太阳系中有八大行星围绕太阳运行，其中绕太阳运行的周期最短的是水星 C．地面物体所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从不同的规律 D．利用万有引力理论预言了哈雷彗星的按时回归 【答案】BD 【详解】A．哥白尼提出“日心说”，开普勒提出行星绕太阳做椭圆运动，故A错误； B．根据开普勒第三定律可知，太阳系中所有行星的轨道半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值都相等，按照距太阳的距离排列，由近及远依次为：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，所以它们绕太阳运行的周期最短的是水星，故正确； C．无论是天体还是地面物体都遵循一样的规律，即万有引力定律，故C错误； D．万有引力定律的发现预言了哈雷彗星回归，预言了未知星体海王星，故 D正确。 故选BD。 跟踪训练1下列关于物理学发展历史的说法正确的是（　　） A．“笔尖下发现的行星一海王星”的发现者是伽利略 B．开普勒分析卡文迪什的观测数据，提出了关于行星运动的三大定律 C．卡文迪什利用扭秤实验比较准确地测算出了引力常量的值 D．哥白尼大胆反驳地心说，提出了日心说，并发现行星沿椭圆轨道运行的规律 【答案】C 【详解】A．海王星由勒维耶和亚当斯通过计算预测发现，不是伽利略，故A错误； B．开普勒分析的是第谷的观测数据，而非卡文迪什，故B错误； C．卡文迪什通过扭秤实验首次精确测定了引力常量，故C正确； D．哥白尼提出日心说，但行星椭圆轨道规律由开普勒提出，故D错误。 故选C。 跟踪训练2（多选）下列说法正确的是（　　） A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位 D．天王星的运动轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星 【答案】CD 【详解】B．由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的，选项B错误； ACD．海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，选项A错误，选项CD正确。 故选CD。 【能力培优练】 1．2025年1月7日，长征三号乙火箭成功将“太空加油站”——实践25号卫星送入太空（如图），解决了一个困扰航天工程师多年的问题：卫星燃料补给问题。若卫星质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则卫星所在轨道处的重力加速度大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】卫星所在轨道处有 解得 故选B。 2．2025年3月17日，我国在酒泉卫星发射中心用谷神星一号运载火箭成功发射云遥一号55~60星，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。若卫星沿圆轨道运行，轨道半径为，卫星在时间内通过的运动轨迹对应的圆心角为，引力常量为，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球的质量为，卫星的质量为， 根据万有引力提供向心力有 卫星的角速度 联立解得 故选A。 3．一颗卫星通过火箭于某日7时37分成功发射入轨，该卫星运行在600千米的轨道高度上。下列说法正确的是（　　） A．7时37分指时间间隔 B．在组装火箭与卫星时卫星可看作质点 C．该卫星绕地球一圈平均速度为0 D．卫星在太空中不受重力 【答案】C 【详解】A．7时37分为时刻，不是时间间隔，故A错误； B．在组装火箭与卫星时需考虑卫星的结构，所以不能将卫星视为质点，故B错误； C．平均速度等于总位移与运动时间的比值，卫星绕地球一圈的位移为0，所以平均速度也为0，故C正确； D．卫星在太空中仍受到重力的作用，地球对卫星的引力提供其做圆周运动的向心力，故D错误。 故选C。 4．假设航天员在探索某颗质量为地球质量的4倍、半径也为地球半径的4倍的星球。航天员从离该星球表面高度为1.25m处以大小为的速度水平抛出一小球，取地球表面重力加速度大小，不考虑地球和该星球的自转，则该小球从抛出到落至星球表面过程中的水平位移大小为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【答案】A 【详解】设质量为的物体在该星球表面上，不考虑该星球的自转，故万有引力等于重力，则有 解得星球表面重力加速度 已知该星球质量，半径 ，则有 代入得 该小球在竖直方向做自由落体运动，则有 解得 该小球在水平做匀速直线运动，可得水平位移为 故选A。 5．“北斗”是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，某同步卫星的对地张角为2θ，运行轨道如图中圆形虚线所示。已知地球半径为R、自转周期为T、地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。由此可知地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设卫星的轨道半径为r，由题意可知 解得 对卫星绕地球做圆周运动 可得地球的质量 故选C。 6．某次科学实验中，用火箭将一个质量m=1kg的物体和一颗卫星一起送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动，加速度大小为a=2m/s2，而称量物体的台秤显示物体的重力为4.5N。已知地球表面重力加速度g取10m/s2，地球半径R=6.4×106m，不计地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．此处的重力加速度为5m/s2 B．此处的重力加速度为10m/s2 C．此时火箭离地面的高度h=3.2×106m D．此时火箭离地面的高度h=6.4×106m 【答案】D 【详解】对物体受力分析可知，物体受到支持力和万有引力作用，支持力即台秤显示的数值，由牛顿第二定律有 又有 地球表面上物体受到的重力等于万有引力有 其中 解得，，故D正确，ABC错误。 故选D。 7．下列说法正确的是（　　） A．哥白尼提出日心说，指出行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆 B．开普勒认为行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积均相等 C．伽利略用实验直接证实了自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动 D．牛顿提出了万有引力定律，并通过计算测出了地球的质量 【答案】B 【详解】A．哥白尼提出日心说，但行星轨道为椭圆是开普勒的发现，故A错误； B．开普勒第二定律指出，同一行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故B正确； C．伽利略通过斜面实验间接推导自由落体规律，而非直接实验证实，故C错误； D．牛顿提出万有引力定律，但地球质量是卡文迪许通过实验测得引力常数后计算的，故D错误。 故选B。 8．2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．对于环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得，故AB错误； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得，故C正确，D错误。 故选C。 9．如图所示，在遥远的银河中有一颗行星，卫星绕其做匀速圆周运动，卫星绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．行星的密度为 D．行星表面的重力加速度为 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，绕同一中心天体运行的行星（卫星），其轨道半长轴的三次方与周期的平方之比是一常数，即 由于卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，因此二者的周期相等，故A错误； B．卫星Q从H点运动到K点的过程中，卫星Q要克服万有引力做功，动能减小，速度减小，因此卫星Q从H点到K点的平均速度大于从K点到“远地点”的平均速度，故卫星从点运到点所需的时间小于，故B错误； C．万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 结合密度公式， 联立解得行星的密度为，故C错误； D．在星球表面，万有引力大小等于重力的大小，则有 结合上述结论可知 联立解得，行星表面的重力加速度为，故D正确。 故选D。 10．我国一直努力进行火星生命迹象的探索。如图所示，某火星探测器先在椭圆轨道Ⅰ上绕火星运动，周期为2T，后从A点进入圆轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动，周期为T。当探测器即将着陆前悬停在距离火星表面附近h的高度时，以v0的初速度水平弹出一个小球，测得小球弹出点到落地点之间的直线距离为2h。已知火星的半径为R，引力常量为G，下列判断正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度大小为 B．火星的质量为 C．椭圆轨道Ⅰ的半长轴为圆轨道Ⅱ半径的2倍 D．探测器从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在A处点火加速 【答案】B 【详解】AB．设火星表面的重力加速度为，根据平抛运动的规律，有 水平方向 联立可得 根据火星表面物体受到的万有引力等于重力，有 可得，选项A错误，B正确； C．根据开普勒第三定律 可得半长轴，选项C错误； D．从高轨道向低轨道变轨，需要点火减速，选项D错误。 故选B。 11．（多选）“夸父逐日”的故事最早出自《山海经·海外北经》。若夸父“逐日”的足迹遍及全球，且总在地面上，则下列说法正确的是（　　） A．夸父所受的重力竖直向下 B．夸父所受的重力垂直地面向下 C．夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力大 D．夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力小 【答案】AD 【详解】AB．重力的方向始终是竖直向下的，故A正确，B错误； CD．重力加速度的大小与纬度有关，纬度越大，重力加速度越大，即北极的重力加速度大于赤道的重力加速度，根据可知，夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力小，故C错误，D正确。 故选AD。 12．（多选）已知地球质量约为火星质量的9倍，地球半径约为火星半径的2倍，若某天你到火星上旅行，跟在地球上相比较，忽略星球自转的影响，下列判断正确的有（    ） A．体重会变大 B．体重会变小 C．以相同速度竖直跳起会跳得更高 D．以相同速度竖直跳起会跳得更低 【答案】BC 【详解】AB．在星球表面，有，则 则，则体重会变小，故A错误，B正确； CD．竖直跳起的最大高度，由，则，故C正确，D错误。 故选BC。 13．（多选）工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，P为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为g，若在地下存在一半径为R的球形的矿坑，则P点的重力加速度变为，矿物的平均密度为，矿坑的中心O离P点的距离为L，定义为“重力加速度反常值”，已知当时，测得“重力加速度反常值”为，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若L变为2倍，则 D．若R变为2倍，则 【答案】BC 【详解】设地球质量为M，半径为，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为g，根据万有引力等于重力得 若在地下存在一半径为R的球形的矿坑，则P点的重力加速度变为，矿物的平均密度为，则有 联立解得 则重力加速度反常值 已知当时，测得“重力加速度反常值”为。 A．若，则，故A错误； B．若，则，故B正确； C．若L变为2倍，则，故C正确； D．若R变为2倍，则，故D错误。 故选BC。 14．（多选）宇宙中行星M 和行星N 可能适宜人类居住，M半径是 N 半径的 ，若分别在行星 M 和行星N 上让小球做自由落体运动，并绘出小球自由落体运动的下落高度h随时间t²的函数图像如图所示，忽略空气阻力，忽略行星自转。下列判断正确的是（　　） A．行星 M 和行星N 表面的重力加速度之比为1：1 B．行星 M 和行星N 表面的重力加速度之比为2：1 C．行星 M 和行星N 的密度之比为4：1 D．行星M 和行星N 的密度之比为1：4 【答案】BC 【详解】AB．根据自由落体运动 可知图像的斜率表示该行星表面重力加速度的一半，有 可得行星 M 和行星N 的重力加速度之比为，故A错误，B正确； CD．由， 可得 可得行星 M 和行星N 的密度之比为，故C正确，D错误。 故选BC。 15．（多选）随着科学技术的发展，星际旅行终将成为现实。若宇航员在某球形行星上将一小球从斜坡上的A点以初速度水平抛出，小球落到B点，测得A、B连线长度为L、与水平方向的夹角，如图所示。他们还观测到环绕该星球表面运行的卫星运行周期为T。万有引力常量为G，忽略星球自转，下列说法正确的是（　　） A．该星球表面的重力加速度大小为 B．该星球的半径为 C．该星球的平均密度为 D．该星球的质量为 【答案】ACD 【详解】A．小球抛出后做平抛运动，可得， 解得，故A正确。 B．对环绕星球表面运行的卫星 解得，故B错误。 C．对环绕星球表面运行的卫星，， 解得，故C正确。 D．该星球的质量，故D正确。 故选ACD。 16．(1)假设地球为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，在赤道处的大小为g，地球半径为R，则地球自转的周期T为 。 (2)两行星A和B是两个均匀球体，行星A的卫星a沿圆轨道运行的周期为，行星B的卫星b沿圆轨道运行的周期为，若两卫星均为各自中心星体的近地卫星，且，行星A和行星B的半径之比为，两行星的质量之比 ，则行星A和行星B的密度之比 ，行星表面的重力加速度之比 。 【答案】(1) (2) 2:1 16:1 8:1 【详解】（1）物体在两极处有 物体在赤道处有 联立可得 （2）[1]根据万有引力提供向心力有 所以 所以 [2]行星的密度为 行星A和行星B的密度之比 [3]根据万有引力等于重力，有 解得行星表面重力加速度为 故行星表面的重力加速度之比为 17．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，已知它在距月球表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T，引力常量为G，月球半径为R。 (1)求月球的质量； (2)求月球的密度； (3)求月球表面的重力加速度。 【详解】（1）根据万有引力提供向心力得 解得月球的质量 （2）月球的体积 则月球的密度 （3）根据万有引力等于重力得 解得 18．近年来我国在航天领域取得了举世瞩目的成就，已经开始实施小行星探测，并计划在未来10到15年，对小行星进行采样。若一探测器在某小行星表面一倾角为θ的斜坡上，将一物体以初速度v0从斜坡顶端水平弹出，经时间t落回到斜坡上，如图所示。不计一切阻力，忽略小行星的自转，小行星视为球体，半径为R，引力常量为G。求： (1)该小行星表面的重力加速度g0； (2)该小行星的平均密度ρ。 【详解】（1）物体做平抛运动，由平抛运动的规律，在水平方向可得 在竖直方向可得 在斜坡上落点处，由几何关系有 联立解得 （2）在小行星的表面由牛顿第二定律则有 球体体积 球体密度 联立解得 19．2024年3月20日上午8时31分，鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，按计划开展与嫦娥四号和嫦娥六号的对通测试。已知月球质量为地球质量的，月球半径为地球半径的，地球表面的重力加速度大小。忽略月球自转影响。 (1)求月球表面的重力加速度大小（结果保留两位有效数字）； (2)在地面上最多能举起质量为的物体的人，在月球表面最多能举起质量为多少的物体？ 【详解】（1）地球上 月球上 所以 代入数据得 （2）人在地面上举起物体，对物体的支持力为F，有 人在月球表面上举起物体，对物体的支持力也为F，有 则有 代入数据，得450kg 【链接高考】 1．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 【答案】A 【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有 解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为为。 故选A。 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G取6.67 × 10－11N⋅m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（   ） A．质量 B．体积 C．逃逸速度 D．自转周期 【答案】A 【详解】轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得 A．题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，故A正确； B．若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径r，故BC错误； D．根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D错误。 故选A。 3．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 4．（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得 故C正确，D错误。 故选BC。 5．（2021·福建·高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有    ① 代入题给数据得    ② 设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有    ③ 联立②③式并代入题给数据得    ④ （2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有 ⑤ ⑥ 式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为，由力的平衡条件有 ⑦ 联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得    ⑧ 在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 万有引力理论的成就 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 计算天体的质量 1 题型2 天体密度的计算 4 题型3 发现未知天体与预言哈雷彗星回归 8 【能力培优练】 10 【链接高考】 15 【重难题型讲解】 题型1 计算天体的质量 1、天体质量的计算 （1）重力加速度法：若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得，解得天体的质量，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。这是黄金代换公式的一个常见应用。 （2）环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 ★特别提醒 计算中心天体的质量需要知道： （1）行星或卫星运行的轨道半径，以及运行的任一参数（如线速度或角速度或向心加速度等）。 （2）如果是忽略天体自转、或在天体表面附近、或提示万有引力近似等于重力，则可以应用黄金代换计算中心天体质量，此时需要知道天体的半径，以及天体表面的重力加速度。 2、万有引力与重力的关系（黄金代换）：对地球上的物体而言，受到的万有引力要比地球自转引起的物体做圆周运动所需的向心力大的多，所以通常可以忽略地球自转带来的影响，近似认为万有引力完全等于重力。即，化简得到：GM=gR2，其中g是地球表面的重力加速度，R表示地球半径，M表示地球的质量，GM=gR2这个式子的应用非常广泛，被称为黄金代换公式。 ★特别提醒 （1）黄金代换式不止适用于地球，也试用于其他一切天体，其中g表示天体表面的重力加速度、R表示天体半径、M表示天体质量。 （2）应用黄金代换时要注意抓住如“忽略天体自转”、“万有引力近似等于重力”、“天体表面附近”等关键字。 【探究归纳】利用天体运动中万有引力提供向心力或星球表面万有引力近似等于重力的关系，代入对应公式可求解中心天体的质量。 【典例1-1】2025年11月25日清晨，长征二号F遥二十二运载火箭托举着神舟二十二号飞船直冲天际，恰好穿越初升的太阳圆面，一幅“一箭穿日”的壮美画卷被镜头定格，如图所示。若飞船与空间站对接后，在半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，运行速率为v，引力常量为G，则地球的质量为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选）近年来，随着太空探索的加速发展，我国取得了很多举世瞩目的成就。如图所示，若登陆到某星球表面后，航天员在一倾角为的斜坡上，将一物体以初速度从斜坡顶端水平抛出，经时间落回到斜坡上。不计一切阻力，忽略该星球的自转，星球视为球体，半径为，引力常量为，则（　　） A．该星球表面的重力加速度为 B．该星球表面的重力加速度为 C．该星球的质量为 D．该星球的质量为 【典例1-2】在月球上的宇航员，如果他已知引力常量G和月球半径R，且手头有一个已知质量为m的砝码。 (1)他需要哪些实验器材测量出哪些物理量 (2)他怎样才能测出月球的质量，试推导并写出月球质量M的表达式 跟踪训练12025年12月16日，我国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射立体测绘卫星资源三号04星。若卫星入轨后做匀速圆周运动，轨道半径为r，卫星在时间t内转过的圈数为n，引力常量为G，不考虑地球的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2（多选）2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜（EHT）”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知（　　） A．该黑洞的质量 B．该黑洞的质量 C．该黑洞的半径 D．该黑洞的半径 跟踪训练3如图所示，我国发射的火星探测器“天问一号”在登陆火星前，探测器在距火星表面高度为h的轨道上绕火星做匀速圆周运动，周期为T。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探测器的引力作用，求： (1)探测器绕火星做匀速圆周运动的线速度大小； (2)火星的质量。 题型2 天体密度的计算 1、天体密度计算的核心公式为：若天体的半径为R，则，。所有计算方法的本质都是利用万有引力提供圆周运动向心力推导M，再结合天体半径R计算密度，主要分近地环绕法、卫星环绕法、中心天体表面重力法三类，是高中物理万有引力定律的核心应用，以下分方法详解（附公式推导、适用场景、典型例题）。 2、近地环绕法 （1）适用场景：卫星/飞行器贴近天体表面做匀速圆周运动（轨道半径r≈天体半径R，可忽略天体半径与轨道半径的差值）。 （2）公式推导 万有引力提供向心力： 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式，约去R3得：。 （3）关键结论：近地环绕时，天体密度仅与近地卫星的环绕周期T有关，与天体半径、卫星质量均无关，是最常用的简化公式。 3、卫星环绕法（通用法，r=R时使用） （1）适用场景：卫星/行星在天体外任意轨道做匀速圆周运动（轨道半径r>天体半径R，不可近似相等），已知轨道半径r、环绕周期T（或线速度v、角速度ω、向心加速度a）。 （2）公式推导（以周期T为例，其他物理量可换算） 万有引力提供向心力 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式得：。 （3）关键注意：必须区分轨道半径r（卫星到天体球心的距离）和天体自身半径R，不可混淆，这是易错点。 3、中心天体表面重力法（已知表面重力加速度g） （1）适用场景：已知天体表面的重力加速度g和天体自身半径R（无需卫星数据，直接利用天体表面的万有引力近似等于重力）。 （2）公式推导 天体表面的物体，万有引力近似等于重力： 约去卫星质量m，解出中心天体质量： 并代入密度公式得：。 （3）拓展：天体表面附近的重力与圆周运动结合：若已知天体表面重力加速度g，同时知道近地卫星周期T，可通过换算，最终回到近地环绕法公式，本质一致。 4、三类方法对比表（清晰区分适用场景） 方法 核心公式 已知条件 适用场景 关键易错点 近地环绕法 近地卫星环绕周期T、G 卫星贴近天体表面运动 不可用于r≫R的远轨道 卫星环绕法 ​ 轨道半径r、环绕周期T、天体半径R、G 卫星在任意轨道运动 区分r（轨道）和R（天体） 表面重力法 天体表面g、天体半径R、G 已知天体表面重力加速度 g是表面的，非轨道处的 ★特别提醒 （1）引力常量G为已知常量：G=6.67×10−11N·m2/kg2，题目中若无特殊说明，直接代入即可； （2）天体的近似性：所有天体均近似为均匀球体，因此体积用球体公式，若题目明确非球体，需按已知体积计算； （3）公转与自转的区别：计算密度时只考虑公转的圆周运动，天体自身的自转对万有引力的影响可忽略（高中阶段不考虑）； （4）双星系统的密度：双星系统需分别求两个天体的质量（利用双星的角速度相等、万有引力为向心力、轨道半径之和为间距），再分别计算密度，是进阶考点，核心仍为。 【探究归纳】天体密度计算核心是由万有引力定律求中心天体质量再结合球体体积公式，近地环绕法直接由近地周期求密度，卫星环绕法结合轨道半径与天体半径计算，表面重力法利用天体表面重力加速度和天体半径推导，本质均为的变式应用。 【典例2-1】若一均匀球形星体的自转周期为T，离星球表面最近卫星的周期为，引力常量为G，某物体在该星球表面赤道处称重为，在两极处称重为，则该星球的平均密度为（　） A． B． C． D． 【典例2-2】（多选）如图所示，固定在地面上的斜面，斜面的高度为，底边的长度为，在斜面的顶点沿水平方向以抛出一个小球，经时间时落回该斜面，已知地球半径，引力常量为。设地球的质量为，地球的平均密度为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【典例2-3】如图所示，若北斗卫星导航系统中的一颗卫星a位于赤道上空的轨道Ⅰ上，其对地张角为60°，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星b的轨道。已知地球的半径为R，卫星a的周期为T，引力常量为G，求： (1)卫星b的周期； (2)地球的平均密度。 跟踪训练1假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g，在赤道的大小为；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2（多选）人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练3宇航员到了某星球表面后做了如下实验：如图所示，用长为L的细线悬挂一质量为m的小球在水平面内做匀速圆周运动，当细线与竖直方向夹角为时小球做匀速圆周运动的周期为T。已知星球的半径为R，万有引力常量为G，忽略星球自转，求： (1)该星球表面重力加速度的大小； (2)该星球的密度 题型3 发现未知天体与预言哈雷彗星回归 1、发现未知天体：到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。 2、海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。 3、冥王星的发现：海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。 4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。 ★特别提醒 要了解利用万有引力定律可以计算和推测未知天体，预言彗星的回归，并记住相应的物理学家。 【探究归纳】通过万有引力定律计算天体运动的异常，成功预言哈雷彗星回归并发现海王星等未知天体，印证了万有引力定律的正确性。 【典例3-1】万有引力理论对于实践有着巨大的指导作用。科学家们利用“计算、预测和观察”的方法寻找新的天体。下面被称为“笔尖下发现的行星”的是（ ） A．天王星 B．海王星 C．冥王星 D．谷神星 【典例3-2】（多选）太阳系目前已知的八大行星按距太阳由近及远依次为：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，如图所示，关于天体运动，下列说法正确的是（　　） A．日心说是开普勒提出的，观点是行星绕太阳做椭圆运动 B．在太阳系中有八大行星围绕太阳运行，其中绕太阳运行的周期最短的是水星 C．地面物体所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从不同的规律 D．利用万有引力理论预言了哈雷彗星的按时回归 跟踪训练1下列关于物理学发展历史的说法正确的是（　　） A．“笔尖下发现的行星一海王星”的发现者是伽利略 B．开普勒分析卡文迪什的观测数据，提出了关于行星运动的三大定律 C．卡文迪什利用扭秤实验比较准确地测算出了引力常量的值 D．哥白尼大胆反驳地心说，提出了日心说，并发现行星沿椭圆轨道运行的规律 跟踪训练2（多选）下列说法正确的是（　　） A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位 D．天王星的运动轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星 【能力培优练】 1．2025年1月7日，长征三号乙火箭成功将“太空加油站”——实践25号卫星送入太空（如图），解决了一个困扰航天工程师多年的问题：卫星燃料补给问题。若卫星质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则卫星所在轨道处的重力加速度大小为（　　） A．0 B． C． D． 2．2025年3月17日，我国在酒泉卫星发射中心用谷神星一号运载火箭成功发射云遥一号55~60星，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。若卫星沿圆轨道运行，轨道半径为，卫星在时间内通过的运动轨迹对应的圆心角为，引力常量为，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 3．一颗卫星通过火箭于某日7时37分成功发射入轨，该卫星运行在600千米的轨道高度上。下列说法正确的是（　　） A．7时37分指时间间隔 B．在组装火箭与卫星时卫星可看作质点 C．该卫星绕地球一圈平均速度为0 D．卫星在太空中不受重力 4．假设航天员在探索某颗质量为地球质量的4倍、半径也为地球半径的4倍的星球。航天员从离该星球表面高度为1.25m处以大小为的速度水平抛出一小球，取地球表面重力加速度大小，不考虑地球和该星球的自转，则该小球从抛出到落至星球表面过程中的水平位移大小为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 5．“北斗”是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，某同步卫星的对地张角为2θ，运行轨道如图中圆形虚线所示。已知地球半径为R、自转周期为T、地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。由此可知地球的质量为（　　） A． B． C． D． 6．某次科学实验中，用火箭将一个质量m=1kg的物体和一颗卫星一起送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动，加速度大小为a=2m/s2，而称量物体的台秤显示物体的重力为4.5N。已知地球表面重力加速度g取10m/s2，地球半径R=6.4×106m，不计地球自转的影响，则下列说法正确的是（　　） A．此处的重力加速度为5m/s2 B．此处的重力加速度为10m/s2 C．此时火箭离地面的高度h=3.2×106m D．此时火箭离地面的高度h=6.4×106m 7．下列说法正确的是（　　） A．哥白尼提出日心说，指出行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆 B．开普勒认为行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积均相等 C．伽利略用实验直接证实了自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动 D．牛顿提出了万有引力定律，并通过计算测出了地球的质量 8．2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，在遥远的银河中有一颗行星，卫星绕其做匀速圆周运动，卫星绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．行星的密度为 D．行星表面的重力加速度为 10．我国一直努力进行火星生命迹象的探索。如图所示，某火星探测器先在椭圆轨道Ⅰ上绕火星运动，周期为2T，后从A点进入圆轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动，周期为T。当探测器即将着陆前悬停在距离火星表面附近h的高度时，以v0的初速度水平弹出一个小球，测得小球弹出点到落地点之间的直线距离为2h。已知火星的半径为R，引力常量为G，下列判断正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度大小为 B．火星的质量为 C．椭圆轨道Ⅰ的半长轴为圆轨道Ⅱ半径的2倍 D．探测器从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在A处点火加速 11．（多选）“夸父逐日”的故事最早出自《山海经·海外北经》。若夸父“逐日”的足迹遍及全球，且总在地面上，则下列说法正确的是（　　） A．夸父所受的重力竖直向下 B．夸父所受的重力垂直地面向下 C．夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力大 D．夸父在赤道时所受的重力比其在北极时所受的重力小 12．（多选）已知地球质量约为火星质量的9倍，地球半径约为火星半径的2倍，若某天你到火星上旅行，跟在地球上相比较，忽略星球自转的影响，下列判断正确的有（    ） A．体重会变大 B．体重会变小 C．以相同速度竖直跳起会跳得更高 D．以相同速度竖直跳起会跳得更低 13．（多选）工程上常利用“重力加速度反常”来探测矿物，原理简化为如图所示，P为某地区地面附近的一点，若地下无矿物时，地下岩石的平均密度为，其正常加速度为g，若在地下存在一半径为R的球形的矿坑，则P点的重力加速度变为，矿物的平均密度为，矿坑的中心O离P点的距离为L，定义为“重力加速度反常值”，已知当时，测得“重力加速度反常值”为，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若L变为2倍，则 D．若R变为2倍，则 14．（多选）宇宙中行星M 和行星N 可能适宜人类居住，M半径是 N 半径的 ，若分别在行星 M 和行星N 上让小球做自由落体运动，并绘出小球自由落体运动的下落高度h随时间t²的函数图像如图所示，忽略空气阻力，忽略行星自转。下列判断正确的是（　　） A．行星 M 和行星N 表面的重力加速度之比为1：1 B．行星 M 和行星N 表面的重力加速度之比为2：1 C．行星 M 和行星N 的密度之比为4：1 D．行星M 和行星N 的密度之比为1：4 15．（多选）随着科学技术的发展，星际旅行终将成为现实。若宇航员在某球形行星上将一小球从斜坡上的A点以初速度水平抛出，小球落到B点，测得A、B连线长度为L、与水平方向的夹角，如图所示。他们还观测到环绕该星球表面运行的卫星运行周期为T。万有引力常量为G，忽略星球自转，下列说法正确的是（　　） A．该星球表面的重力加速度大小为 B．该星球的半径为 C．该星球的平均密度为 D．该星球的质量为 16．(1)假设地球为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，在赤道处的大小为g，地球半径为R，则地球自转的周期T为 。 (2)两行星A和B是两个均匀球体，行星A的卫星a沿圆轨道运行的周期为，行星B的卫星b沿圆轨道运行的周期为，若两卫星均为各自中心星体的近地卫星，且，行星A和行星B的半径之比为，两行星的质量之比 ，则行星A和行星B的密度之比 ，行星表面的重力加速度之比 。 17．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，已知它在距月球表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T，引力常量为G，月球半径为R。 (1)求月球的质量； (2)求月球的密度； (3)求月球表面的重力加速度。 18．近年来我国在航天领域取得了举世瞩目的成就，已经开始实施小行星探测，并计划在未来10到15年，对小行星进行采样。若一探测器在某小行星表面一倾角为θ的斜坡上，将一物体以初速度v0从斜坡顶端水平弹出，经时间t落回到斜坡上，如图所示。不计一切阻力，忽略小行星的自转，小行星视为球体，半径为R，引力常量为G。求： (1)该小行星表面的重力加速度g0； (2)该小行星的平均密度ρ。 19．2024年3月20日上午8时31分，鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，按计划开展与嫦娥四号和嫦娥六号的对通测试。已知月球质量为地球质量的，月球半径为地球半径的，地球表面的重力加速度大小。忽略月球自转影响。 (1)求月球表面的重力加速度大小（结果保留两位有效数字）； (2)在地面上最多能举起质量为的物体的人，在月球表面最多能举起质量为多少的物体？ 【链接高考】 1．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 2．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G取6.67 × 10－11N⋅m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（   ） A．质量 B．体积 C．逃逸速度 D．自转周期 3．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 5．（2021·福建·高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 / 学科网（北京）股份有限公司 $