精品解析：广东省深圳市龙华区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

龙华区中小学2025—2026学年第一学期期末学业质量监测试卷 九年级数学 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 一元二次方程的两个实数根分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（ ） A. 一直变短 B. 短一长一短 C. 一直变长 D. 长一短一长 3. 为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 80 150 300 500 800 1200 有效催化频数 74 131 271 453 727 1093 有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（ ） A. 0.87 B. 0.90 C. 0.91 D. 0.93 4. 劳动课上，同学们动手制作一个如图所示的置物架，他们已在点B，C，D，E，G处打孔．经测量，，，，若要使得安装的层板互相平行，即，则孔F应打在离孔D多远处？（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个零件的三视图，已知大正方形的边长均为4，小正方形的边长均为1，则该零件的体积为（ ） A. 15 B. 27 C. 48 D. 63 6. 在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：）是充电功率P（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（ ） A. 以内 B. C. D. 以上 7. 经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法： ①将两根小木棍，垂直摆放； ②将水平木棍的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合，树冠E与点A重合； ③测量此时树与人之间的水平距离． 若测得两根小木棍与的长度比为，的长度为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为____． 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可以为____． 11. 如图，，交于点C，，若，则____． 12. 如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为____． 13. 如图，在边长为2的菱形中，E是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，得到．若点F恰好在边上，且，则的长为____． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程：（配方法）． 15. 第十五届全运会排球项目女子18岁以下组第二阶段比赛在龙华文体中心举行，小明和小亮相约一起去比赛现场为广东队加油．比赛现场的观赛区分为A、B、C三个区域，预约后系统将随机分配观赛区域． （1）小明预约后分配在A区域的概率为____； （2）求小明和小亮预约后分配在同一区域的概率． 16. 每逢传统佳节，某糕饼店都会制作特色“客家糯米糍”礼盒．如图，店主用一根红色丝带在长方体礼盒盒面绑成十字形，寓意“鸿运交织”．已知盒高，丝带总长度为（打结处丝带长忽略不计）． （1）当长为时，宽为____； （2）若礼盒的底面面积是，则这款糯米糍礼盒的长和宽各是多少？ 17. 如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上． （1）在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形． 18. 综合与实践 素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B的左侧． 图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离． 根据以上素材解决如下问题： （1）当，时，求y（单位：）关于x（单位：）的函数解析式； （2）当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重．提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作．如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则____（填序号）是提起秤纽B时得到的图象； （3）甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重． 当时，哪个小组得到的y值误差更大？ 甲组的误差计算如下： 记为秤纽A与秤盘之间的水平距离，为秤砣磨损后的质量，与为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得： ，，所以甲组的误差为； 请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论． 19. 【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形． 【实验原理】如图1，在射线，，上分别取点D，E，F，使，，，连接D，E，F，则与位似，相似比为k． 【实验初探】 （1）如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋的一端Q处，另一端O固定在图形外．拉动铅笔，使标记好的中点P沿图形的边缘运动．当点P沿周长为的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为_____． 【实验制作】 （2）如图3，在正方形网格中，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出的内接正方形，使得点H在上，点M，N在上，点G在上．小明取一个格点正方形，D在上，E，F在上，以点B为位似中心，连接并延长交于点G，点G即为所求作正方形的一个顶点． ①请以点C为位似中心，求作出正方形的另一个顶点H； ②若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形的边长． 20. 【定义】从三角形的一个顶点出发作它的角平分线，在该角平分线的延长线上任取一点与三角形的其余两个顶点相连，得到一个四边形．在这个四边形中，若该角平分线所对的一个内角等于原三角形的一个内角，且这两个角位于该角平分线的两侧，则称这个四边形为自相似四边形，这个顶点叫相似顶点． 例：如图1，为的角平分线，点C是延长线上一点，连接，，若，则四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形． 【性质】已知：如图1，四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形．求证：； 【判定】如图2，在中，点D，C分别在边，上，与相交于点P，若，．求证：四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形； 【应用】在以点A为相似顶点的自相似四边形中，，，与相交于点P．当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙华区中小学2025—2026学年第一学期期末学业质量监测试卷 九年级数学 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 一元二次方程的两个实数根分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 或， 解得或， ∴两个实数根为，． 故选：A． 2. 如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（ ） A. 一直变短 B. 短一长一短 C. 一直变长 D. 长一短一长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了投影，根据题意可得投在木板上的影子长度的变化情况是从长变短再变长． 【详解】解：根据题意可得，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是长一短一长， 故选：D． 3. 为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 80 150 300 500 800 1200 有效催化频数 74 131 271 453 727 1093 有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（ ） A. 0.87 B. 0.90 C. 0.91 D. 0.93 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当实验次数较大时，频率稳定在概率附近，因此选取实验次数最大的频率进行估计． 【详解】解：∵ 实验总次数为1200时，有效催化频率为0.911，且随实验次数增加，频率逐渐稳定在0.91附近， ∴ 估计该新型催化剂的有效催化概率约为0.91． 故选：C． 4. 劳动课上，同学们动手制作一个如图所示的置物架，他们已在点B，C，D，E，G处打孔．经测量，，，，若要使得安装的层板互相平行，即，则孔F应打在离孔D多远处？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据得，求出的长，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即孔F应打在离孔D处． 故选：C． 5. 如图是一个零件的三视图，已知大正方形的边长均为4，小正方形的边长均为1，则该零件的体积为（ ） A. 15 B. 27 C. 48 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】考查由三视图判断几何体及几何体体积的计算，根据该零件的三视图可知这个几何体是一个大正方体的一个角去掉一个小正方体，据此计算几何体的体积即可． 【详解】解：根据该零件的三视图可知这个几何体是一个大正方体的一个角去掉一个小正方体， 则该零件的体积为． 故选：D． 6. 在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：）是充电功率P（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（ ） A. 以内 B. C. D. 以上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为，根据图象可知反比例函数过点，即可求出解析式，再根据每次充满电需要，可求充电时的充电功率范围． 【详解】解：设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为， 代入得，， ∴， ∴， ∵该新能源电动车每次充满电需要， ∴当时，；当时，； ∴充电时的充电功率范围是， 故选：B． 7. 经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每件降价x元，那么降价后每件盈利元，每天可卖出件，根据每天销售利润达到6250元，即可列出方程． 【详解】解：设每件小商品降价x元，则降价后每件盈利元，每天可卖出件， 根据题意得． 故选：A． 8. 活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法： ①将两根小木棍，垂直摆放； ②将水平木棍的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合，树冠E与点A重合； ③测量此时树与人之间的水平距离． 若测得两根小木棍与的长度比为，的长度为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形原理测高，根据木棍长度比和水平距离，直接计算树高即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，则的值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，设，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴． 故答案为：． 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可以为____． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，即可得关于a的不等式，解不等式再取符合条件的值即可． 【详解】解：方程 可化为， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴， ∴的值可以为任何正数，例如 1． 故答案为： 1（答案不唯一）． 11. 如图，，交于点C，，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于边长比的平方是解题的关键，证明，则． 【详解】解：∵，交于点C， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线的性质，先根据矩形的性质得，点O是的中点，，，再由勾股定理求出，然后由点O是的中点得出是的中位线，所以． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，点O是的中点，，，， ∴， ∵，， ∴是中点， ∵， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 13. 如图，在边长为2的菱形中，E是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，得到．若点F恰好在边上，且，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，先证明，结合旋转得到，，， 设，则，，由，得，解得， 设，则，在延长线上取一点，使，如图，证明，得到，代入解方程即可． 【详解】解：∵边长为2的菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵将沿所在直线折叠，得到， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴由，得， 解得， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在延长线上取一点，使，如图， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程：（配方法）． 【答案】，． 【解析】 【分析】先移项得到x2+2x=3，再把方程两边加上1得到x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，然后利用直接开平方法求解． 【详解】∵x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程． 15. 第十五届全运会排球项目女子18岁以下组第二阶段比赛在龙华文体中心举行，小明和小亮相约一起去比赛现场为广东队加油．比赛现场的观赛区分为A、B、C三个区域，预约后系统将随机分配观赛区域． （1）小明预约后分配在A区域的概率为____； （2）求小明和小亮预约后分配在同一区域的概率． 【答案】（1） （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中小明预约后分配在A区域的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表或画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮预约后分配在同一区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中预约后分配在A区域的结果有1种， ∴小明预约后分配在A区域的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：解法一：（列表法）由题意可列表格如下： 小亮 小明 A B C A B C 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而小明与小亮在同一区域的结果有3种：，，， 所以P（在同一区域）； 解法二：（树状图法）由题意可画树状图如下： 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而小明与小亮在同一区域的结果有3种：，，， 所以P（在同一区域）． 16. 每逢传统佳节，某糕饼店都会制作特色“客家糯米糍”礼盒．如图，店主用一根红色丝带在长方体礼盒盒面绑成十字形，寓意“鸿运交织”．已知盒高，丝带总长度为（打结处丝带长忽略不计）． （1）当长为时，宽为____； （2）若礼盒的底面面积是，则这款糯米糍礼盒的长和宽各是多少？ 【答案】（1）1.5 （2）这款糯米糍礼盒的长和宽各是， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用． （1）根据丝带总长度为，可列式计算出礼盒的宽； （2）设礼盒的长为，则宽为，即，根据礼盒的底面面积是，列出方程求解，取合适的值即可． 【小问1详解】 解： ， 即当长为时，宽为， 故答案为：1.5； 【小问2详解】 解：设礼盒的长为，则宽为，即， 依题意得， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：这款糯米糍礼盒的长和宽各是，． 17. 如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上． （1）在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，尺规作图—复杂作图，菱形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，以点D为圆心，的长为半径作圆弧交于点C，连接点A，B，C，D即可； （2）先证明四边形为平行四边形，四边形为菱形，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； 作，则， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． 由（1）可知四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． ∴， ∴． ∴四边形为矩形． 18. 综合与实践 素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B的左侧． 图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离． 根据以上素材解决如下问题： （1）当，时，求y（单位：）关于x（单位：）的函数解析式； （2）当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重．提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作．如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则____（填序号）是提起秤纽B时得到的图象； （3）甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重． 当时，哪个小组得到的y值误差更大？ 甲组的误差计算如下： 记为秤纽A与秤盘之间的水平距离，为秤砣磨损后的质量，与为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得： ，，所以甲组的误差为； 请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论． 【答案】（1） （2）① （3）乙组的误差为；乙组的误差更大，见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）根据反比例函数的性质即可解答； （3）根据题意可得乙组的误差为，再根据反比例函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，代入，得， 所以y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据（1）可得 根据题意可得提起秤纽B时，变大，则变大， 则①是提起秤纽B时得到的图象， 故答案为：①； 【小问3详解】 解：记为秤纽B与秤盘之间的水平距离，与为磨损前后平衡时秤纽B与秤砣的水平距离. 依题意可得：，， 所以乙组的误差为； ∵，由反比例函数在第一象限的增减性， 可得， ∴. ∵， ∴， ∴， 即乙组的误差更大． 19. 【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形． 【实验原理】如图1，在射线，，上分别取点D，E，F，使，，，连接D，E，F，则与位似，相似比为k． 【实验初探】 （1）如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋的一端Q处，另一端O固定在图形外．拉动铅笔，使标记好的中点P沿图形的边缘运动．当点P沿周长为的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为_____． 【实验制作】 （2）如图3，在正方形网格中，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出的内接正方形，使得点H在上，点M，N在上，点G在上．小明取一个格点正方形，D在上，E，F在上，以点B为位似中心，连接并延长交于点G，点G即为所求作正方形的一个顶点． ①请以点C为位似中心，求作出正方形的另一个顶点H； ②若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形的边长． 【答案】（1）16（2）①见解析② 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的判定和性质． （1）根据位似图形的性质即可解答； （2）①结合题干中的作法，画出另一个顶点H即可； ②过点A作于点，交于点J，根据相似三角形的性质，得到，列方程即可解答． 【详解】（1）解：点是的中点， 两个图形的相似比为， 笔尖Q点经过的路径长为， 故答案为：； （2）解：如图，取一个格点正方形，以点C为位似中心，连接并延长交于点H，点H即为所求作正方形的一个顶点， （3）解：如图，过点A作于点，交于点J， ∴， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴. 设边长为x，则，， ∴， 解得， 即正方形的边长为． 20. 【定义】从三角形的一个顶点出发作它的角平分线，在该角平分线的延长线上任取一点与三角形的其余两个顶点相连，得到一个四边形．在这个四边形中，若该角平分线所对的一个内角等于原三角形的一个内角，且这两个角位于该角平分线的两侧，则称这个四边形为自相似四边形，这个顶点叫相似顶点． 例：如图1，为的角平分线，点C是延长线上一点，连接，，若，则四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形． 【性质】已知：如图1，四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形．求证：； 【判定】如图2，在中，点D，C分别在边，上，与相交于点P，若，．求证：四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形； 【应用】在以点A为相似顶点的自相似四边形中，，，与相交于点P．当是等腰三角形时，求的长． 【答案】【性质】见解析【判定】见解析【应用】的长为或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； 性质：由自相似四边形，得到平分，，得到，即； 判定：证明，得到，，再由，得到，即四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形； 应用：先证明始终成立，再根据是等腰三角形分三种情况求解即可． 【详解】解：性质：∵四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形， ∴AC平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 判定：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，. ∵， ∴， 即， ∴四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形； 应用：由题意，∵四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴始终成立， 当是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，，而， ∴矛盾，此情形不成立； ②当时，如图20-1， 此时， ∴， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图20-2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过C作， ∵， ∴， 过B作， ∵， ∴， 在中，设，则， ∴， 在中，， 即， 解得， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $