第一章 三角形的证明（章节复习）课件-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

该初中数学课件聚焦“三角形的证明”单元，系统梳理三角形内角和、等腰三角形、勾股定理等核心知识，通过思维导图构建概念、性质、判定的逻辑脉络，串联内角和定理与外角性质、等腰与等边三角形关系等，形成完整知识网络。 其亮点在于“知识点梳理-题型讲练-分层训练”三阶复习模式，如结合平行线的内角和问题典例与变式训练，培养几何直观与推理意识，分层设计基础夯实与培优拔高题，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第一章 三角形的证明 北师大版数学八年级下册章节复习培优精讲练 目录 /CONTENTS 导图指引 01 知识点梳理 02 重点难点考点讲练 03 真题实战演练 04 难度分层训练 05 /CONTENTS0102目录知识荟萃题型讲练 导图指引 PART 01 导图指引 知识点梳理 PART 02 定义 三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 知识拓展 三角形内角和的倒角模型：由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点梳理01：三角形内角和定理 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 定义 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 性质 知识点梳理02：三角形的外角 三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 等腰三角形概念 在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 等腰三角形的性质 知识点梳理03：等腰三角形的概念与性质 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点梳理04：等腰三角形的判定 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 等边三角形的性质 知识点梳理05：等边三角形的概念与性质 判定方法 三个角相等的三角形是等边三角形. 01 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 02 知识点梳理06：等边三角形的判定 知识点梳理07：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 . 【易错点拨】 （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ， ， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为 的线段 将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中 方法一 将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中 ，所以 . 方法二 如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 方法三 知识点梳理08：勾股定理证明 ，所以 . ，所以 . ” 如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 01 02 定义 知识点梳理09：勾股定理逆定理 ” 首先确定最大边（如 ）. 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形. 02 判定 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件： ①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点梳理10：勾股数 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 【易错点拨】 用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点梳理11：直角三角形的判定（直角边、斜边） 知识点梳理12：命题   内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点梳理13：线段垂直平分线 作已知角的平分线 （已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） Part 01 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 角的平分线的性质： Part 02 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 知识点梳理14：角的平分线的性质 几何表示： ∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 重点难点考点讲练 PART 03 （24-25八年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型1：与平行线有关的三角形内角和问题 典例精讲 解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． （23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 题型1：与平行线有关的三角形内角和问题 变式训练 解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． （25-26八年级下·全国·期末）推理能力 如图①所示，在中，是高，是的平分线， ． (1)求的度数． (2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由． 题型2：与角平分线有关的三角形内角和问题 典例精讲 （1）解：∵，且， ， 又是的平分线， ． ， ∴， ， ． 题型2：与角平分线有关的三角形内角和问题 典例精讲 （2）解：．理由如下： ． 平分， ． ， ， 题型2：与角平分线有关的三角形内角和问题 典例精讲 （23-24八年级下·广东深圳·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 ． 题型3：三角形折叠中的角度问题 典例精讲 解：将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型3：三角形折叠中的角度问题 典例精讲 故答案为：． （24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，在，中，，，，点C，D，E在同一条直线上，连接，，以下四个结论：①；②的长度即是点B到的距离；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4：等腰三角形的性质和判定 典例精讲 解：①∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴．故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； ∴的长度即是点B到的距离；故②正确； 题型4：等腰三角形的性质和判定 典例精讲 ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴． ∵，，， ∴，． ∵， ∴．故④正确． 故选：D． 题型4：等腰三角形的性质和判定 典例精讲 （2024八年级下·江西上饶·竞赛）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验，如图，把的三个角截去就得到一个凸六边形，已知这个六边形的六个角都是，其连续四边的长依次是10，665，15，653，则这个六边形的周长是 ． 题型5：等边三角形的判定和性质 典例精讲 解：∵六边形的六个角都是， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 同理可得：和都是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵六边形连续四边的长依次是10，665，15，653， ∴不妨设， ∴， ∴， ∴， ∴这个六边形的周长是， 故答案为：2023． 题型5：等边三角形的判定和性质 典例精讲 （24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型6：含30度角的直角三角形 典例精讲 （1）解：设， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； 题型6：含30度角的直角三角形 典例精讲 （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点F是线段的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 则， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：． （2024八年级下·天津·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求∠B的度数． 题型7：线段垂直平分线的性质 典例精讲 （1）解：连接，   ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； 题型7：线段垂直平分线的性质 典例精讲 （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． （24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 题型8：线段垂直平分线的判定 典例精讲 证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 题型8：线段垂直平分线的判定 变式训练 （1）解：，平分， ， ， ， ； 题型8：线段垂直平分线的判定 变式训练 （2）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 平分， ，平分线段， 直线是线段的垂直平分线． （23-24八年级下·河南南阳·月考）如图，某公司要在公路m，n之间的S区域修建一所物流中心P．按照设计要求，物流中心P到区域S内的两个社区A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等．那么物流中心P应建在什么位置才符合设计要求？请用尺规作图画出它的位置并注明点P的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 题型9：角平分线性质的实际应用 典例精讲 解：如图，点P即为所求． （23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）中，，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 题型9：角平分线性质的实际应用 变式训练 （1）， 理由：延长交延长线于N点， ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 题型9：角平分线性质的实际应用 变式训练 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， 理由：过M作交延长线于N点，交于Q点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 题型9：角平分线性质的实际应用 变式训练 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 真题实战演练 PART 04 中考真题 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，为上一点，连接．在下方取一点 ，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 中考真题 解：由作图可知是线段的垂线，且为的中点， ， ∵的周长为14， 即， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：B． 中考真题 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 中考真题 解：是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即 ； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即 ； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即 ； ……， 由此可知，的横坐标为， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 难点分层训练 PART 05 基础夯实 分层训练 1．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 分层训练 解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 基础夯实 分层训练 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵在中，，， ∴； ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 基础夯实 分层训练 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，已知在等腰中，，分别以，为边向外作三角形，使得．有下列2个条件：①；②． (1)请从上述条件中选择一个条件，使得，你选择的条件为______（请填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 基础夯实 分层训练 （1）解：选择①，理由如下： 在和中， ． 选择②，理由如下： 在和中， ． （2）解：， ． ． 由（1）知， ． 培优拔高 分层训练 1．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将沿所在直线翻折，点落在边上的点，若，那么等于 （    ） A． B． C． D． 培优拔高 分层训练 解：∵将沿所在直线翻折，点B落在边上的点E处． ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故选：B． 培优拔高 分层训练 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 培优拔高 分层训练 解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 培优拔高 分层训练 3．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 培优拔高 分层训练 （1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为 ． 谢谢大家 $