第一单元 圆柱和圆锥（举一反三讲义）知识梳理+十六大考点讲练+真题演练+难度分层练 共57题-2025-2026学年北师大版数学六年级下册重难点讲义

该小学数学讲义以“圆柱和圆锥”为核心，通过导图指引构建知识体系，知识梳理部分将圆柱的认识、表面积、体积及圆锥特征等十二个知识点分层呈现，用思维导图和要点解析明确重难点及内在联系，形成系统知识脉络。 讲义亮点在于“考点讲练+分层训练”设计，精选近两年名校易错题、压轴题，如圆柱切拼表面积变化、排水法求不规则体积等题型，培养空间观念与推理意识。真题演练和难度分层训练满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第一单元 圆柱和圆锥 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 高频考点一：点、线、面、体之间的联系 【典例精讲】如图，转动长方形ABCD得到圆柱I和Ⅱ。 (1)圆柱I是以( )边所在直线为轴旋转而成的，高是( )厘米； (2)圆柱Ⅱ的底面积是( )平方厘米。 【变式训练】（23-24六年级下·山西晋城·期末）一个直角三角形，两条直角边的长分别为6厘米和8厘米，如果以较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，那么可以得到一个( )，得到的图形的底面积是( )平方厘米。 高频考点二：圆柱的认识及特征 【典例精讲】如图所示长方形、半圆形、梯形、三角形快速旋转一周，能形成什么图形？请你连一连。 【变式训练】一个圆柱体的水桶，它的表面是由 个长方形和一个 形组成的。 高频考点三：圆锥的认识及特征 【典例精讲】（24-25六年级下·福建泉州·期中）淘气有一个近似圆锥形的玩具（如图），如果用一个长方体盒子包装玩具，这个盒子的容积至少是( )。 【变式训练】一个圆锥的底面直径和高都是4dm，如果沿底面直径和高切成两半，表面积增加了16dm2。( )（判断对错） 高频考点四：圆柱的展开图 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中） (1)圆柱的底面周长＝长方形的( )；圆柱的高＝长方形的( )。 (2)如果圆柱的侧面展开后是一个正方形。这个圆柱的底面半径与高的比是( )。 【变式训练】（24-25六年级下·辽宁沈阳·期中）一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是（    ）。 A．1∶π B．π∶1 C．2∶π D．π∶2 高频考点五：圆柱的侧面积 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽淮北·期末）某银行大厅里有8根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高是3.5米。要给这些柱子涂上油漆，如果每平方米用油漆0.3千克，那么一共需要油漆多少千克？（结果保留一位小数） 【变式训练】（23-24六年级下·安徽淮南·期末）一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚长10米，横截面是一个直径为4米的半圆形。覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？ 高频考点六：圆柱的表面积 【典例精讲】（2024·陕西咸阳·小升初真题）一根高是20分米的圆柱形木块截下5分米后，表面积比原来减少了157平方分米，原来这根圆柱形木块的表面积是（    ）平方分米。 A．314 B．942 C．1256 D．785 【变式训练】（24-25六年级下·陕西延安·期中）一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，如图，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是（    ）。 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大； ②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等； ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等。 A．①② B．② C．①③ D．②③ 高频考点七：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】计算下面图形的表面积。（单位：dm） 【变式训练】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）数学实践课上，六（1）班的同学做实验的容器从上面和正面看，得到如图所示的两个图形。求同学们做实验的这个容器的表面积。（单位：厘米） 高频考点八：圆柱的体积 【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56厘米，表面积比原来增加40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。（π取3.14） 【变式训练】（2025·吉林长春·小升初真题）有关牙膏的数学问题： （1）小颖去买牙膏，同一品牌两种规格牙膏的售价情况如下：120克的，每支4.5元，160克的，每支5.6元，她买哪种规格的牙膏比较合算呢？请帮忙算一算。 （2）牙膏出口处直径为5毫米，小颖每次刷牙挤出1厘米长的牙膏，这样，一支牙膏可用36次，该品牌牙膏推出的新包装是将出口直径改为6毫米，小颖还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 高频考点九：圆柱的容积 【典例精讲】（24-25六年级下·福建南平·期末）如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，这条装饰带的长度至少是( )厘米（接头处不计）。这个茶杯的容积大约是( )毫升（玻璃杯厚度不计）。 【变式训练】（24-25六年级下·陕西西安·期中）一张长方形铁皮，剪下图中涂色部分正好可以做成一个茶桶（接头处以及铁皮厚度忽略不计），这个茶桶的容积是( )升。 高频考点十：立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）妙妙在解决“已知圆柱的底面直径为8cm，高为7cm，求这个圆柱的体积”这一问题时，没有直接用体积公式进行计算，而是根据圆柱体积公式的推导过程，想出了另外一种方法，分步计算圆柱的体积。你能看懂她的想法吗？请你补上妙妙的最后一步（第三步）算式，计算圆柱的体积。 第一步：3.14×8÷2＝12.56（cm） 第二步：8÷2＝4（cm） 第三步： 。 请你借助如图说妙妙这么做的理由： 长方体的长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，所以，圆柱的体积等于( )。 【变式训练】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个底面半径5厘米的圆柱平均分成若干份，拼成近似长方体，表面积增加了100平方厘米，圆柱的高是( )，体积是( )。 高频考点十一：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2025·陕西汉中·小升初模拟）等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( )，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 【变式训练】（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱比圆锥的体积多72立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 高频考点十二：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽淮北·期中）一根长80cm的圆柱形木料，截成3根长短不同的圆柱形木料，表面积增加了60cm2，这根圆柱形木料原来的体积是( )cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3。 【变式训练】（24-25六年级下·陕西西安·期中）计算下面组合图形的体积。 高频考点十三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西延安·期末）从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为1分米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形铁块，然后完全投入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了0.1分米。这个圆锥形铁块的高是多少分米？（损耗忽略不计） 【变式训练】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）一个高是20厘米的圆柱形水桶，底面半径与高的比是2∶5，水深12厘米。现将一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形水桶中，这时水面升高了多少厘米？ 高频考点十四：立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）棱长是6dm的正方体削成一个最大的圆锥，圆锥体积是( )。 【变式训练】（24-25六年级上·吉林长春·期末）一位木匠想要从一个棱长为6分米的正方体木块中削出一个最大的圆锥。他想知道这个圆锥的体积是多少立方分米。（    ） A．56.52 B．113.04 C．169.56 D．28.26 高频考点十五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 【变式训练】（24-25六年级下·广东惠州·期中）计算图形的体积。 高频考点十六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025六年级下·全国·专题练习）一个底面周长是25.12厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高为10厘米、底面半径为3厘米的圆锥浸没在水中（水没有溢出），当取出圆锥后，容器中的水面下降了多少厘米？ 【变式训练】（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 【演练1】（2024·辽宁沈阳·小升初真题）某野营部队训练时，搭建了一个近似圆锥形的帐篷，它的底面半径是3米，高是4米，帐篷里面的空间是多少立方米？（帐篷的厚度忽略不计） 【演练2】（2024·陕西西安·小升初真题）蔬菜基地要搭建一批蔬菜大棚，大棚的前后面用砖砌成大小相同的半圆，顶部用塑料膜覆盖如图所示，建造20个这样的蔬菜大棚大约需要多少平方米的塑料膜？ 【演练23（2024·陕西咸阳·小升初真题）制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配。 （1）你选择的材料是（    ）号和（    ）号。 （2）用你选择的材料制作水桶，容积是多少升？（接口处忽略不计） 【演练4】（2025·江西吉安·小升初真题）在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 【演练5】（2024·甘肃定西·小升初真题）张大伯将一堆底面半径是3米，高是2米的圆锥形小麦装入一个圆柱形粮囤里，正好装满，粮囤的底面积是6平方米。粮囤的高是多少米？ 基础夯实 能力提升 1．（22-23六年级下·山西吕梁·期中）用下面的长方形纸围成一个圆柱，下面（    ）不能做底面。 A．直径4cm的圆 B．直径5cm的圆 C．直径6cm的圆 2．（20-21六年级下·陕西咸阳·期中）一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积的比是2∶9。如果圆锥的高是3厘米，那么圆柱的高是（    ）厘米。 A．54 B．13.5 C．9 D．4.5 3．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）将一个圆柱沿着高劈成两半，截面是一个正方形，表面积增加了，则这个圆柱体的底面半径是（    ）cm。 A．1 B．2 C．4 D．8 4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）尊老爱幼自古以来都是我们中华民族的传统美德。为了弘扬这一美德，阳光小学开展了“我为家人做件事”活动，活动中佳佳自己动手给奶奶做了一个圆柱形护颈枕。护颈枕的底面半径为8cm，长50cm。佳佳做的护颈枕的体积是( )cm3。 5．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）科技小组的同学要展示制作地球仪的过程，佳佳把一根圆柱形木材削成一个最大的圆锥做支架，削去的木材体积是圆锥体积的( )。 6．（24-25六年级下·福建泉州·期中）计算下面圆柱的表面积。 7．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）我校“小小厨艺班”兴趣小组要求每个学生做一个薯片筒。底面直径为10厘米，长为20厘米，制作50个这样的薯片筒，至少需要多大面积的纸板？ 8．（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）劳动课上，笑笑从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。这个笔筒的表面积是多少平方厘米？ 9．（2025·辽宁沈阳·小升初真题）“木桶效应”是指一只木桶能盛多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意制作了一只木桶（如图）。已知这只木桶内部的底面直径是4分米，木桶侧面上的木板长短不一，长度有3分米、5分米和7分米三种。 （1）这个木桶内部的底面积是多少平方分米？ （2）这个木桶在地面平放时最多能装多少立方分米的水？ 10．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）中国推出的一款新型子弹引起了大众的注意，这款子弹外壳使用的材料是高分子轻质材料，也就是传说中的“塑料子弹”。这种子弹形似一个圆柱加一个圆锥（如图）。这款子弹壳外壳的体积是多少立方厘米？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25六年级下·广东深圳·期中）某工厂生产了一种饮料桶，尺寸如图所示（单位：厘米）。下面有三种饮料桶侧面的商标纸，你认为哪种纸与饮料桶侧面积最接近？（    ） A． B． C． D．以上都可以 2．（24-25六年级下·广东深圳·期中）如图，将一个圆柱的底面分成若干等份后沿高切开，拼成一个近似的长方体，量得这个长方体的长是15.7cm，高是10cm，这个长方体的宽大约是（    ）cm。 A．10 B．5 C．6.28 D．3.14 3．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 4．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）把一个底面直径是20cm的圆锥形铁块放入一个底面半径是2dm，高是7dm的圆柱形容器里，铁块完全浸没水中，水面上升了5cm且水未溢出。这个圆锥铁块的体积是 ，高是 cm。 5．（24-25六年级下·陕西西安·期末）计算图（1）的面积和图（2）的表面积。（单位：m） 6．（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个从里面量底面直径是10厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是9厘米，底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，当铅锤从水中取出后，这时水面下降了多少厘米？ 7．（24-25六年级下·陕西西安·期中）某小区要装饰宣传柱（如图），计划给宣传柱贴上印有社会主义核心价值观的广告纸（正方体的上、下面和圆柱的上、下底面均不贴），贴广告纸的面积是多少平方米？ 8．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，那是以防烫手而特意贴上的。 （1）这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是多少厘米？（接头处不计） （2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？（玻璃杯厚度不计） 9．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）选择以下哪些材料（左边），与（右边）长方形纸可以制作成圆柱形的笔桶。 （1）可以选择（    ）号当作底面，制作圆柱形笔筒。 （2）算一算，这个圆柱形笔筒的体积是多少立方厘米？ 10．小军是个“科学迷”，在一次课外探究实验中，小军在底面积为的空圆柱形容器内水平放置由两个实心圆柱组成的“几何体”（如图①）。他向容器内匀速注水，注满为止。在注水过程中，小军发现水面高度h与注水时间t之间的关系如图②所示。请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）圆柱形容器的高为______，匀速注水的水流速度为______（直接写出答案）； （2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为，请帮助小军求出“几何体”上方圆柱的高和底面积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 圆柱和圆锥 【解析版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点二：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点三：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点四：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点五：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点六：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点七：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点八：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点九：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点十一：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点十二：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 高频考点一：点、线、面、体之间的联系 【典例精讲】如图，转动长方形ABCD得到圆柱I和Ⅱ。 (1)圆柱I是以( )边所在直线为轴旋转而成的，高是( )厘米； (2)圆柱Ⅱ的底面积是( )平方厘米。 【答案】(1) BC/AD 2 (2)12.56 【思路引导】（1）根据面动成体，圆柱I是以长方形的宽为轴旋转而成的。高就是长方形的宽。 （2）圆柱Ⅱ是以长方形的长为轴旋转的，底面是以长方形的宽为半径的圆。即底面积＝。 【完整解答】（1）圆柱I是以BC（AD）边所在直线为轴旋转而成的，高是2厘米。 （2）3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 则圆柱Ⅱ的底面积是12.56平方厘米。 【变式训练】（23-24六年级下·山西晋城·期末）一个直角三角形，两条直角边的长分别为6厘米和8厘米，如果以较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，那么可以得到一个( )，得到的图形的底面积是( )平方厘米。 【答案】 圆锥 113.04 【思路引导】根据圆锥的特征可知，以较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，那么可以得到一个圆锥，直角三角形的长直角边是圆锥的高，短直角边是圆锥的底面半径，根据圆的面积公式，代入数据可得解。 【完整解答】 （平方厘米） 可以得到一个圆锥，得到的图形的底面积是113.04平方厘米。 高频考点二：圆柱的认识及特征 【典例精讲】如图所示长方形、半圆形、梯形、三角形快速旋转一周，能形成什么图形？请你连一连。 【答案】见详解 【思路引导】本题是一个平面图形围绕一条轴旋转一周，根据圆柱、圆锥以及圆台、球的侧面展开图的特点即可解答。 【完整解答】第一个长方形旋转一周，得到的是圆柱； 第二个半圆形旋转一周，得到的是球体； 第三个梯形旋转一周，得到的是圆台； 第四个三角形旋转一周，得到的是圆锥； 【考点再现】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力。 【变式训练】一个圆柱体的水桶，它的表面是由 个长方形和一个 形组成的。 【答案】 一 圆 【思路引导】根据生活实际可知，水桶是圆柱体的形状，水桶无盖，所以一个圆柱体的水桶，表面由一个长方形和一个圆组成，据此解答。 【完整解答】一个圆柱体的水桶，它的表面是由一个长方形和一个圆形组成的。 故答案为：一；圆。 【考点再现】本题考查了圆柱体的特征在实际生活中的灵活运用，注意有盖的时候是面积相等的2个圆。 高频考点三：圆锥的认识及特征 【典例精讲】（24-25六年级下·福建泉州·期中）淘气有一个近似圆锥形的玩具（如图），如果用一个长方体盒子包装玩具，这个盒子的容积至少是( )。 【答案】360 【思路引导】要包装这个近似圆锥形玩具，长方体盒子的长和宽应至少等于圆锥的底面直径，高应至少等于圆锥的高。由图可知，圆锥底面直径是6cm，所以长方体盒子的长和宽都是6cm；圆锥的高是10cm，所以长方体盒子的高是10cm。最后根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”计算出该盒子的容积。据此解答。 【完整解答】6×6×10 ＝36×10 ＝360（cm3） 这个盒子的容积至少是360cm3。 【变式训练】一个圆锥的底面直径和高都是4dm，如果沿底面直径和高切成两半，表面积增加了16dm2。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】沿着底面直径纵切成两半，增加了两个三角形，三角形的底和高都是4dm，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出一个三角形的面积，再乘2，即可求出增加的面积，再进行比较，即可解答。 【完整解答】4×4÷2×2 ＝16÷2×2 ＝8×2 ＝16（dm2） 一个圆锥的底面直径和高都是4dm，如果沿底面直径和高切成两半，表面积增加了16dm2。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【考点再现】解答此题的关键是明确圆锥沿底面直径和高切成两半，增加的是两个完全一样的三角形，并且三角形的底是圆锥的直径，高是圆锥的高。 高频考点四：圆柱的展开图 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中） (1)圆柱的底面周长＝长方形的( )；圆柱的高＝长方形的( )。 (2)如果圆柱的侧面展开后是一个正方形。这个圆柱的底面半径与高的比是( )。 【答案】(1) 长 宽 (2)1∶2π 【思路引导】（1）看图可知，这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，圆柱的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽。 （2）当底面周长和高相等时，圆柱的侧面展开后是一个正方形。底面周长＝2πr，即高＝2πr。据此求出底面半径和高的比。 【完整解答】（1）圆柱的底面周长＝长方形的长；圆柱的高＝长方形的宽。 （2）r∶2πr ＝（r÷r）∶（2πr÷r） ＝1∶2π 所以如果圆柱的侧面展开后是一个正方形。这个圆柱的底面半径与高的比是1∶2π。 【变式训练】（24-25六年级下·辽宁沈阳·期中）一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是（    ）。 A．1∶π B．π∶1 C．2∶π D．π∶2 【答案】A 【思路引导】当圆柱的侧面展开图是正方形时，正方形的边长分别对应圆柱的底面周长和高，这就意味着圆柱的底面周长和高相等。 根据圆的周长公式C＝πd（其中C表示周长，d表示直径），可以推出底面直径和高的关系，进而求出它们的比。据此解答。 【完整解答】设圆柱的底面直径为d，高为h； 因为圆柱侧面展开图是正方形，所以πd＝h。 d∶h ＝d∶πd ＝（d÷d）∶（πd÷d） ＝1∶π 这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π。 故答案为：A 高频考点五：圆柱的侧面积 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽淮北·期末）某银行大厅里有8根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高是3.5米。要给这些柱子涂上油漆，如果每平方米用油漆0.3千克，那么一共需要油漆多少千克？（结果保留一位小数） 【答案】21.1千克 【思路引导】一根圆柱形柱子需要涂油漆的面积就是侧面积，因柱子上下底面与地面、天花板接触，无需涂漆，已知柱子底面半径为4分米，因为1米＝10分米，4分米为4÷10＝0.4米，高为3.5米。圆柱侧面积公式为：S＝2πrh（π取3.14，r为半径，h为高），即一根柱子的侧面积为：2×3.14×0.4×3.5＝8.792平方米，8根柱子的总涂漆面积积为：8.792×8＝70.336平方米，每平方米用油漆0.3千克，用0.3乘70.336后，再根据“四舍五入”的方法把结果保留一位小数即可。 【完整解答】1米＝10分米 4÷10＝0.4（米） 2×3.14×0.4×3.5＝8.792（平方米） 8.792×8＝70.336（平方米） 0.3×70.336≈21.1（千克） 答：一共需要油漆21.1千克。 【变式训练】（23-24六年级下·安徽淮南·期末）一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚长10米，横截面是一个直径为4米的半圆形。覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜多少平方米？ 【答案】75.36平方米 【思路引导】如图所示，覆盖大棚的塑料薄膜的面积相当于圆柱的一个底面积加上圆柱侧面积的一半，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱的底面积公式：S＝πr2，分别求出圆柱的一个底面积和圆柱的侧面积，再求出面积的一半，进而求出总和。 【完整解答】3.14×（4÷2）2＋3.14×4×10÷2 ＝3.14×22＋3.14×4×10÷2 ＝3.14×4＋3.14×4×10÷2 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方米） 答：覆盖这个大棚至少需要塑料薄膜75.36平方米。 高频考点六：圆柱的表面积 【典例精讲】（2024·陕西咸阳·小升初真题）一根高是20分米的圆柱形木块截下5分米后，表面积比原来减少了157平方分米，原来这根圆柱形木块的表面积是（    ）平方分米。 A．314 B．942 C．1256 D．785 【答案】D 【思路引导】减少的表面积，就是截下部分的圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch＝2πrh，C＝S侧÷h，r＝C÷π÷2，代入数据求出底面半径；再将数据代入圆柱的表面积公式：S表＝S侧＋2S底，S底＝πr2计算即可。 【完整解答】157÷5＝31.4（分米） 31.4÷3.14÷2＝5（分米） 2×3.14×52＋2×3.14×5×20 ＝2×3.14×25＋2×3.14×5×20 ＝157＋628 ＝785（平方分米） 原来这根圆柱形木块的表面积是785平方分米。 故答案为：D。 【变式训练】（24-25六年级下·陕西延安·期中）一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，如图，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是（    ）。 ①圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大； ②圆柱甲的侧面积与圆柱乙的侧面积相等； ③圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积相等。 A．①② B．② C．①③ D．②③ 【答案】B 【思路引导】圆柱甲是以长方形的长所在的直线为轴，旋转一周形成圆柱，那么圆柱的高等于长方形的长，圆柱的底面半径等于长方形的宽；圆柱乙是以长方形的宽所在的直线为轴，旋转一周形成圆柱，那么圆柱的高等于长方形的宽，圆柱的底面半径等于长方形的长； 根据圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，代入数据计算，分别求出两种圆柱的底面积、侧面积和表面积，再比较大小，得出结论。 【完整解答】①甲的底面积：3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（平方厘米） 乙的底面积：3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方厘米） 12.56＜50.24 圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积小，原题说法错误； ②甲的侧面积：2×3.14×4×2 ＝6.28×4×2 ＝25.12×2 ＝50.24（平方厘米） 乙的侧面积：2×3.14×2×4 ＝6.28×2×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方厘米） 50.24＝50.24 圆柱甲的侧面积和圆柱乙的侧面积相等，原题说法正确； ③甲的表面积： 50.24＋12.56×2 ＝50.24＋25.12 ＝75.36（平方厘米） 乙的表面积：50.24＋50.24×2 ＝50.24＋100.48 ＝150.72（平方厘米） 5.36＜150.2 圆柱甲的表面积与圆柱乙的表面积不相等，原题说法错误； 故答案为：B 高频考点七：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】计算下面图形的表面积。（单位：dm） 【答案】662.8dm2 【思路引导】图形的表面积＝棱长是10dm的正方体的表面积＋底面直径是4dm，高是5dm的圆柱的侧面积；根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6，圆柱的侧面积公式：底面周长×高，代入数据，即可解答。 【完整解答】10×10×6＋3.14×4×5 ＝100×6＋12.56×5 ＝600＋62.8 ＝662.8（dm2） 表面积是662.8dm2。 【变式训练】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）数学实践课上，六（1）班的同学做实验的容器从上面和正面看，得到如图所示的两个图形。求同学们做实验的这个容器的表面积。（单位：厘米） 【答案】120.48平方厘米 【思路引导】观察图形可以看出，这个容器的表面积为一个圆柱体的表面积加上长方体的侧面积，圆柱体的表面积＝，长方体的底面是边长为1厘米的正方形，长方体的侧面积＝边长×高×4，据此解答。 【完整解答】圆柱体的表面积： （平方厘米） 长方体的侧面积：（平方厘米） 容器的表面积：（平方厘米） 答：这个容器的表面积是120.48平方厘米。 高频考点八：圆柱的体积 【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56厘米，表面积比原来增加40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。（π取3.14） 【答案】251.2 【思路引导】将一个圆柱切开后拼成一个近似长方体，高不变，体积不变，长方体的长等于圆柱的底面周长的一半（πr），用这个长方体的长12.56除以3.14即可求得圆柱的底面半径；拼成的长方体表面积比圆柱多了长方体的左右两个面，这两个长方形的面的长和圆柱的高相等，宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加40平方厘米，先用40÷2求出一个面的面积，再除以半径，即可求出高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可求出圆柱的体积。 【完整解答】12.56÷3.14＝4（厘米） 40÷2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 12.56×4×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 则原来圆柱体的体积是251.2立方厘米。 【变式训练】（2025·吉林长春·小升初真题）有关牙膏的数学问题： （1）小颖去买牙膏，同一品牌两种规格牙膏的售价情况如下：120克的，每支4.5元，160克的，每支5.6元，她买哪种规格的牙膏比较合算呢？请帮忙算一算。 （2）牙膏出口处直径为5毫米，小颖每次刷牙挤出1厘米长的牙膏，这样，一支牙膏可用36次，该品牌牙膏推出的新包装是将出口直径改为6毫米，小颖还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 【答案】（1）买160克的每支5.6元规格的牙膏比较合算 （2）25次 【思路引导】（1）用两种规格牙膏的售价分别除以克数，求出两种规格的牙膏每克各是多少钱，然后把两种规格每克牙膏的价格进行比较，即可解答； （2）首先根据1厘米＝10毫米，把厘米转换成毫米，再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据，求出原来每次使用牙膏的体积，再用原来每次使用牙膏的体积乘上使用次数，求出牙膏原包装的体积，然后再用牙膏原包装的体积除以新包装的每次用的体积，就是新包装的牙膏能用的次数。 【完整解答】（1）4.5÷120＝0.0375（元） 5.6÷160＝0.035（元） 0.035＜0.0375 答：她买160克的每支5.6元规格的牙膏比较合算。 （2）1厘米＝10毫米 3.14×（5÷2）2×10×36 ＝3.14×2.52×10×36 ＝3.14×6.25×10×36 ＝19.625×10×36 ＝196.25×36 ＝7065（立方毫米） 3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方毫米） 7065÷282.6＝25（次） 答：这一支牙膏只能用25次。 高频考点九：圆柱的容积 【典例精讲】（24-25六年级下·福建南平·期末）如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，这条装饰带的长度至少是( )厘米（接头处不计）。这个茶杯的容积大约是( )毫升（玻璃杯厚度不计）。 【答案】 25.12 904.32 【思路引导】装饰带的长度就是茶杯中部圆的周长。已知茶杯中部圆的直径为8厘米，根据圆的周长公式C＝πd（d为直径，π取3.14），把数据代入计算即可。 茶杯是一个圆柱，容积公式为V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14）。由图可知，茶杯的直径为8厘米，则半径为8÷2＝4厘米，高为18厘米，把数据代入公式计算即可。 【完整解答】3.14×8＝25.12（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×42×18 ＝3.14×16×18 ＝50.24×18 ＝904.32（立方厘米） 904.32立方厘米＝904.32毫升 这条装饰带的长度至少是25.12厘米。这个茶杯的容积大约是904.32毫升。 【变式训练】（24-25六年级下·陕西西安·期中）一张长方形铁皮，剪下图中涂色部分正好可以做成一个茶桶（接头处以及铁皮厚度忽略不计），这个茶桶的容积是( )升。 【答案】0.785/ 【思路引导】从图中可知，长方形铁皮的长51.4厘米是由2个圆的直径d和圆柱的底面周长πd组成，据此列出方程，求出圆的直径d； 再根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，求出这个茶桶的容积，并根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位。 【完整解答】解：设圆的直径是d厘米。 2d＋3.14d＝51.4 5.14d＝51.4 5.14d÷5.14＝51.4÷5.14 d＝10 茶桶的容积： 3.14×（10÷2）2×10 ＝3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 785立方厘米＝0.785升 这个茶桶的容积是（0.785）升。 高频考点十：立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）妙妙在解决“已知圆柱的底面直径为8cm，高为7cm，求这个圆柱的体积”这一问题时，没有直接用体积公式进行计算，而是根据圆柱体积公式的推导过程，想出了另外一种方法，分步计算圆柱的体积。你能看懂她的想法吗？请你补上妙妙的最后一步（第三步）算式，计算圆柱的体积。 第一步：3.14×8÷2＝12.56（cm） 第二步：8÷2＝4（cm） 第三步： 。 请你借助如图说妙妙这么做的理由： 长方体的长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，所以，圆柱的体积等于( )。 【答案】 12.56×4×7＝351.68（cm3） 底面周长的一半 底面半径 高 长方体的体积 【思路引导】妙妙的计算步骤，第一步：3.14×8÷2＝12.56（cm），这一步计算的是圆柱底面圆周长的一半，因为圆的周长公式为C＝πd（d为直径），所以周长的一半为πd÷2。第二步：8÷2＝4（cm），这是求出圆柱的底面半径r，因为半径r＝d÷2。第三步：根据圆柱体积公式的推导，把圆柱切拼成近似的长方体后，长方体的体积等于长×宽×高，而长方体的长是圆柱底面圆周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高。所以第三步应该用长×宽×高来计算体积，即12.56×4×7＝351.68（cm3）。 长方体的长相当于圆柱的底面圆周长的一半。宽相当于圆柱的底面半径。长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积＝长×宽×高，所以圆柱的体积等于长方体的体积。 【完整解答】第三步应该用长×宽×高来计算体积。 第三步：12.56×4×7＝351.68（cm3） 长方体的长相当于圆柱的底面圆周长的一半，宽相当于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，所以，圆柱的体积等于长方体的体积。 【变式训练】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个底面半径5厘米的圆柱平均分成若干份，拼成近似长方体，表面积增加了100平方厘米，圆柱的高是( )，体积是( )。 【答案】 10厘米 785立方厘米 【思路引导】 由图可知，把圆柱拼成近似的长方体后，长方体的长相当于圆柱底面周长的一半，长方体的宽相当于圆柱的底面半径，长方体的高相当于圆柱的高，长方体的表面积比圆柱的表面积多了2个由宽和高所组成面的面积，根据增加的面积求出宽和高所组成长方形的面积，再利用“长＝长方形的面积÷宽”求出长方形的长，即圆柱的高，最后利用“”求出圆柱的体积，据此解答。 【完整解答】100÷2÷5 ＝50÷5 ＝10（厘米） 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝78.5×10 ＝785（立方厘米） 所以，圆柱的高是10厘米，体积是785立方厘米。 高频考点十一：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2025·陕西汉中·小升初模拟）等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( )，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 36 【思路引导】等底等高的圆柱和圆锥，假设圆锥的体积是1，则圆柱的体积是3，求出圆锥体积比圆柱体积少多少，再除以圆柱的体积即可；根据等底等高的圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，体积之和就是圆锥的4倍，用48÷4，即可求出圆锥的体积。圆锥体积乘3即可求出圆柱体积。 【完整解答】（3－1）÷3 ＝2÷3 ＝ 48÷（3＋1）×3 ＝48÷4×3 ＝12×3 ＝36（立方分米） 所以等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是36立方分米。 【变式训练】（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱比圆锥的体积多72立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 108 36 【思路引导】根据等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，圆柱体积是圆锥的3倍。把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积为3份，圆柱比圆锥的体积多（3－1）份，由题可知圆柱比圆锥的体积多72立方厘米，用除法计算，可求出一份是多少立方厘米，即圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3，即可求出圆柱的体积，据此解答。 【完整解答】72÷（3－1） ＝72÷2 ＝36（立方厘米） 36×3＝108（立方厘米） 即圆柱的体积是108立方厘米，圆锥的体积是36立方厘米。 高频考点十二：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽淮北·期中）一根长80cm的圆柱形木料，截成3根长短不同的圆柱形木料，表面积增加了60cm2，这根圆柱形木料原来的体积是( )cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 1200 400 【思路引导】根据题意，把一根圆柱形木料截成3根长短不同的圆柱形木料，需截2次，表面积会增加圆柱的4个底面积；用增加的表面积除以4，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出原来圆柱形木料的体积； 如果把这根木料削成最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，那么圆锥的体积等于圆柱体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘，求出圆锥的体积。 【完整解答】圆柱的底面积： 60÷4＝15（cm2） 原来圆柱的体积： 15×80＝1200（cm3） 圆锥的体积： 1200×＝400（cm3） 这根圆柱形木料原来的体积是（1200）cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，圆锥的体积是（400）cm3。 【变式训练】（24-25六年级下·陕西西安·期中）计算下面组合图形的体积。 【答案】157.68m3 【思路引导】由图可知，该组合图形是由长方体和圆锥组成，分别计算长方体和圆锥的体积，再将二者体积相加得到组合图形的体积。 长方体体积公式为：V＝a×b×h（其中a为长，b为宽，h为高）。已知长方体的长12m，宽5m，高2m，代入公式计算可得出长方体体积。 圆锥体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为底面半径，h为圆锥的高）。已知圆锥底面半径为2m，圆锥的高为9m，代入公式计算可得出圆锥体积。 然后把长方体体积与圆锥体积相加即可得出组合图形的体积。 【完整解答】12×5×2＝120（m3） ×3.14×22×9 ＝×3.14×4×9 ＝37.68（m3） 120＋37.68＝157.68（m3） 组合图形的体积是157.68m3。 高频考点十三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西延安·期末）从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为1分米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形铁块，然后完全投入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了0.1分米。这个圆锥形铁块的高是多少分米？（损耗忽略不计） 【答案】3分米 【思路引导】从题意可知：圆柱体积＝圆锥体积＝上升水的体积。上升水的体积＝长方体容器底面积×上升高度，代入数据计算，圆锥的体积（上升水的体积）。又知圆柱底面积＝圆锥底面积，即圆锥底面半径也为1分米，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据求出圆面积，因为圆锥的体积＝底面积×高÷3，所以圆锥的高＝体积×3÷底面积，代入数据计算，即可求出这个圆锥形铁块的高。 【完整解答】体积：31.4×0.1＝3.14（立方分米） 底面积：12×3.14 ＝1×3.14 ＝3.14（平方分米） 高：3.14×3÷3.14＝3（分米） 答：这个圆锥形铁块的高是3分米。 【变式训练】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）一个高是20厘米的圆柱形水桶，底面半径与高的比是2∶5，水深12厘米。现将一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形水桶中，这时水面升高了多少厘米？ 【答案】1.875厘米 【思路引导】将比的前后项看成份数，高÷对应份数＝一份数，一份数×底面半径的对应份数＝底面半径，据此求出水桶的底面半径，水面上升的体积就是圆锥体积，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出铁块体积，铁块体积÷水桶底面积＝水面上升的高度，据此列式解答。 【完整解答】20÷5×2＝8（厘米） 3.14×62×10÷3÷（3.14×82） ＝3.14×36×10÷3÷（3.14×64） ＝376.8÷200.96 ＝1.875（厘米） 答：这时水面升高了1.875厘米。 高频考点十四：立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）棱长是6dm的正方体削成一个最大的圆锥，圆锥体积是( )。 【答案】56.52dm3/56.52立方分米 【思路引导】把一个正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】 （dm3） 棱长是6dm的正方体削成一个最大的圆锥，圆锥体积是56.52dm3。 【变式训练】（24-25六年级上·吉林长春·期末）一位木匠想要从一个棱长为6分米的正方体木块中削出一个最大的圆锥。他想知道这个圆锥的体积是多少立方分米。（    ） A．56.52 B．113.04 C．169.56 D．28.26 【答案】A 【思路引导】从一个棱长为6分米的正方体木块中能削出的最大圆锥，其底面圆是正方体底面正方形中的最大圆，即圆的直径等于6分米；圆锥的高等于正方形的边长6分米。根据V＝πr2h计算解答。 【完整解答】×[3.14×（6÷2）2]×6 ＝×（3.14×32）×6 ＝×（3.14×9）×6 ＝×28.26×6 ＝56.52（立方分米） 所以这个圆锥的体积是56.52立方分米。 故答案为：A 高频考点十五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 【答案】474.32dm3 【思路引导】已知正方体的棱长是8dm，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体的体积；已知挖掉圆锥形木块的底面直径是6dm，高是4dm，用底面直径长度除以2计算出底面半径长度，然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥形木块的体积；最后用正方体的体积减去圆锥形木块的体积即可。 【完整解答】8×8×8 ＝64×8 ＝512（dm3） 6÷2＝3（dm） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝3.14×3×4 ＝9.42×4 ＝37.68（dm3） 512－37.68＝474.32（dm3） 所以剩下木块的体积是474.32dm3。 【变式训练】（24-25六年级下·广东惠州·期中）计算图形的体积。 【答案】21.98 【思路引导】组合体的体积＝底面直径是2高是6的圆柱的体积＋底面直径是2高是3的圆锥的体积，将数据代入圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：计算即可。 【完整解答】3.14×（2÷2）2×6＋×3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×6＋×3.14×12×3 ＝3.14×1×6＋×3.14×1×3 ＝18.84＋3.14 ＝21.98 体积为21.98。 高频考点十六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025六年级下·全国·专题练习）一个底面周长是25.12厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高为10厘米、底面半径为3厘米的圆锥浸没在水中（水没有溢出），当取出圆锥后，容器中的水面下降了多少厘米？ 【答案】1.875厘米 【思路引导】先根据圆柱的底面周长求出底面半径，再利用“”求出圆柱形容器的底面积，然后根据“”求出圆锥的体积，下降的水面高度＝圆锥的体积÷圆柱形容器的底面积，据此解答。 【完整解答】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14×42＝50.24（平方厘米） 3.14×32×10× ＝（3.14×10）×（32×） ＝31.4×3 ＝94.2（立方厘米） 94.2÷50.24＝1.875（厘米） 答：容器中的水面下降了1.875厘米。 【变式训练】（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 【答案】2747.5立方厘米/2747.5cm3 【思路引导】当钢材露出水面15厘米时，露出部分钢材的体积与水桶中水面下降3厘米的水的体积相等。利用圆柱体积公式V＝Sh，用钢材底面积（3.14×52）乘露出长度（15厘米），得到露出钢材体积；再结合水面下降高度（3厘米），用“露出钢材体积÷水面下降高度”可求出水桶的底面积。当钢材完全浸没时，钢材的体积与水桶中水面上升7厘米的水的体积相等。用前面求出的水桶底面积乘水面上升高度（7厘米），就能算出钢材的体积。 【完整解答】计算露出钢材的体积（即水面下降3厘米的水的体积）： 钢材底面积为3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 露出钢材的长度为15厘米，根据圆柱体积公式V＝Sh，露出钢材的体积为78.5×15＝1177.5（立方厘米） 计算水桶的底面积：1177.5÷3＝392.5（平方厘米） 计算钢材的体积（即水面上升7厘米的水的体积）： 根据圆柱体积公式V＝Sh，392.5×7＝2747.5（立方厘米） 水面又会下降3厘米这段钢材的体积是2747.5立方厘米。 【考点再现】利用 “水面升降体积＝钢材对应体积”，结合圆柱体积公式求解，关键是找体积对应关系。 【演练1】（2024·辽宁沈阳·小升初真题）某野营部队训练时，搭建了一个近似圆锥形的帐篷，它的底面半径是3米，高是4米，帐篷里面的空间是多少立方米？（帐篷的厚度忽略不计） 【答案】37.68立方米 【思路引导】要求这个帐篷里面的空间是多少，也就是求这个圆锥形帐篷的体积，根据圆锥的体积＝πr2h，代入相应数值计算，所得结果即为这个帐篷里面的空间是多少立方米。 【完整解答】×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝3.14×3×4 ＝3.14×12 ＝37.68（立方米） 答：这个帐篷里面的空间是37.68立方米。 【演练2】（2024·陕西西安·小升初真题）蔬菜基地要搭建一批蔬菜大棚，大棚的前后面用砖砌成大小相同的半圆，顶部用塑料膜覆盖如图所示，建造20个这样的蔬菜大棚大约需要多少平方米的塑料膜？ 【答案】7536平方米 【思路引导】由图可知，大棚顶部塑料膜的形状可看作是圆柱侧面积的一半，已知圆柱的底面直径为8米，圆柱的长度（即高）为30米，圆柱的侧面积公式为“S＝πdh”，那么半个圆柱侧面积（即一个大棚顶部塑料膜面积）就用整个圆柱的侧面积除以2；最后计算20个大棚需要的塑料膜面积，用一个大棚的面积乘20即可。 【完整解答】8×3.14×30÷2×20 ＝25.12×30÷2×20 ＝753.6÷2×20 ＝376.8×20 ＝7536（平方米） 答：建造20个这样的蔬菜大棚大约需要7536平方米的塑料膜。 【演练23（2024·陕西咸阳·小升初真题）制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配。 （1）你选择的材料是（    ）号和（    ）号。 （2）用你选择的材料制作水桶，容积是多少升？（接口处忽略不计） 【答案】（1）②；③ （2）78.5升 【思路引导】（1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，这个长方形的宽等于圆柱的高；根据圆的周长公式C＝2πr或C＝πd，求出③④⑤的底面周长，然后与①②两个长方形的长进行比较即可。 （2）根据选择的材料制作水桶，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及进率“1立方分米＝1升”，求出水桶的容积。 【完整解答】（1）3.14×5＝15.7（分米） 2×3.14×3＝18.84（分米） 3.14×3＝9.42（分米） 所以可以选择①号和⑤，也可以选择②号和③号。 我选择的材料是（②）号和（③）号。（答案不唯一） （2）3.14×（5÷2）2×4 ＝3.14×2.52×4 ＝3.14×6.25×4 ＝78.5（立方分米） 78.5立方分米＝78.5升 答：用我选择的材料制作水桶，容积是78.5升。 【演练4】（2025·江西吉安·小升初真题）在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 【答案】4710立方厘米 【思路引导】“走马灯”是一个圆柱体，根据圆柱的体积为V＝πr2h，代入数据解答即可。 【完整解答】3.14×102×15 ＝314×15 ＝4710（立方厘米） 答：这个“走马灯”的体积是4710立方厘米。 【演练5】（2024·甘肃定西·小升初真题）张大伯将一堆底面半径是3米，高是2米的圆锥形小麦装入一个圆柱形粮囤里，正好装满，粮囤的底面积是6平方米。粮囤的高是多少米？ 【答案】3.14米 【思路引导】根据圆锥的体积，代入数据得出小麦的体积，将小麦装入一个圆柱形粮囤里，正好装满，则圆柱形粮囤的容积等于小麦的体积，根据“”得出圆柱形粮囤的高。 【完整解答】×3.14×32×2÷6 ＝×3.14×9×2÷6 ＝×9×3.14×2÷6 ＝3×3.14×2÷6 ＝9.42×2÷6 ＝18.84÷6 ＝3.14（米） 答：粮囤的高是3.14米。 基础夯实 能力提升 1．（22-23六年级下·山西吕梁·期中）用下面的长方形纸围成一个圆柱，下面（    ）不能做底面。 A．直径4cm的圆 B．直径5cm的圆 C．直径6cm的圆 【答案】A 【思路引导】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出下面各圆的周长与圆柱侧面展开图的长进行比较，哪一个圆的周长不等于圆柱侧面展开图的长和宽，就选择哪个圆。 【完整解答】3.14×4＝12.56（cm）； 3.14×5＝15.7（cm）15.7cm＝长方形的宽15.7cm； 3.14×6＝18.84（cm）18.84cm＝长方形的长18.84cm； 因此直径是4cm的圆，周长为12.56cm不能做底面。 故答案为：A 【考点再现】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，以及圆的周长公式的灵活运用，关键算式熟记公式。 2．（20-21六年级下·陕西咸阳·期中）一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积的比是2∶9。如果圆锥的高是3厘米，那么圆柱的高是（    ）厘米。 A．54 B．13.5 C．9 D．4.5 【答案】D 【思路引导】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1∶3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是2∶9；由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是2∶3，根据圆锥高于与圆柱高的比例关系进行解答即可得到答案。 【完整解答】解：设圆柱和圆锥的底面积为S，圆锥高为h，圆柱的高为H。 圆锥的体积∶圆柱的体积 Sh∶SH＝2∶9 2SH＝3Sh（S一定） h∶H＝2∶3 所以圆锥与圆柱高的比是2∶3。 圆柱的高：2∶3＝3∶H 2H＝9 2H÷2＝9÷2 H＝4.5 圆柱的高是4.5厘米。 故答案为：D 【考点再现】此题主要根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的这一关系，由已知圆锥和圆柱体积的比是2∶9，推导出这个圆锥与圆柱高的比是2∶3；由此解答即可。 3．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）将一个圆柱沿着高劈成两半，截面是一个正方形，表面积增加了，则这个圆柱体的底面半径是（    ）cm。 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【思路引导】根据题意，将一个圆柱沿着高劈开成两半，截面是正方形，那么圆柱的底面直径和高相等，都等于正方形的边长；已知表面积增加了32cm2，表面积增加的是2个正方形的面积，用增加的表面积除以2，求出一个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，得出正方形的边长，也就确定了圆柱的底面直径和高，用底面直径除以2即底面半径；据此解答。 【完整解答】32÷2＝16（cm2） 因为4×4＝16，所以正方形的边长是4cm； 圆柱的底面直径和高也是4cm； 4÷2＝2（cm） 将一个圆柱沿着高劈成两半，截面是一个正方形，表面积增加了，则这个圆柱体的底面半径是2cm。 故答案为：B 【考点再现】此题主要考查圆柱的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是先求出圆柱的底面直径。 4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）尊老爱幼自古以来都是我们中华民族的传统美德。为了弘扬这一美德，阳光小学开展了“我为家人做件事”活动，活动中佳佳自己动手给奶奶做了一个圆柱形护颈枕。护颈枕的底面半径为8cm，长50cm。佳佳做的护颈枕的体积是( )cm3。 【答案】10048 【思路引导】已知护颈枕是一个底面半径为8cm、长50cm的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出护颈枕的体积。 【完整解答】3.14×82×50 ＝3.14×64×50 ＝200.96×50 ＝10048（cm3） 佳佳做的护颈枕的体积是10048cm3。 5．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）科技小组的同学要展示制作地球仪的过程，佳佳把一根圆柱形木材削成一个最大的圆锥做支架，削去的木材体积是圆锥体积的( )。 【答案】2倍 【思路引导】圆柱形木材削成一个最大的圆锥，圆柱与圆锥等底等高，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍，圆柱体积－圆锥体积＝削去部分的体积，据此分析。 【完整解答】3－1＝2 削去的木材体积是圆锥体积的2倍。 6．（24-25六年级下·福建泉州·期中）计算下面圆柱的表面积。 【答案】62.8cm2 【思路引导】根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。 【完整解答】3.14×（2÷2）2×2＋3.14×2×9 ＝3.14×12×2＋3.14×2×9 ＝3.14×1×2＋6.28×9 ＝3.14×2＋56.52 ＝6.28＋56.52 ＝62.8（cm2） 圆柱的表面积是62.8cm2。 7．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）我校“小小厨艺班”兴趣小组要求每个学生做一个薯片筒。底面直径为10厘米，长为20厘米，制作50个这样的薯片筒，至少需要多大面积的纸板？ 【答案】39250平方厘米 【思路引导】根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，求出做一个薯片筒需要纸板的面积，再乘50，即可解答。 【完整解答】[3.14×（10÷2）2×2＋3.14×10×20]×50 ＝[3.14×52×2＋31.4×20]×50 ＝[3.14×25×2＋628]×50 ＝[78.5×2＋628]×50 ＝[157＋628]×50 ＝785×50 ＝39250（平方厘米） 答：至少需要39250平方厘米的纸板。 8．（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）劳动课上，笑笑从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。这个笔筒的表面积是多少平方厘米？ 【答案】455.3平方厘米 【思路引导】从图中可知，长方形卡纸的长31.4厘米等于圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd，可知d＝C÷π，由此求出圆柱形笔筒的底面直径； 长方形的宽22厘米等于圆柱的高与底面直径之和，用宽减去圆柱的底面直径，求出圆柱的高； 根据无盖圆柱的表面积＝圆柱的一个底面积＋圆柱的侧面积，其中圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的侧面积＝长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出这个笔筒的表面积。 【完整解答】圆柱的底面直径：31.4÷3.14＝10（厘米） 圆柱的底面半径：10÷2＝5（厘米） 圆柱的高：22－10＝12（厘米） 圆柱的表面积： 3.14×5²＋31.4×12 ＝3.14×25＋31.4×12 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（平方厘米） 答：这个笔筒的表面积是455.3平方厘米。 9．（2025·辽宁沈阳·小升初真题）“木桶效应”是指一只木桶能盛多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意制作了一只木桶（如图）。已知这只木桶内部的底面直径是4分米，木桶侧面上的木板长短不一，长度有3分米、5分米和7分米三种。 （1）这个木桶内部的底面积是多少平方分米？ （2）这个木桶在地面平放时最多能装多少立方分米的水？ 【答案】（1）12.56平方分米 （2）37.68立方分米 【思路引导】（1）已知这只木桶内部的底面直径是4分米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出木桶内部的底面积。 （2）木桶侧面上的木板长度有3分米、5分米和7分米三种，因为木桶能盛水的体积取决于最短的那块木板，所以这个木桶最多能装水的高度是3分米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，求出这个木桶在地面平放时最多能装水的体积。 【完整解答】（1）3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 答：这个木桶内部的底面积是12.56平方分米。 （2）12.56×3＝37.68（立方分米） 答：这个木桶在地面平放时最多能装37.68立方分米的水。 10．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）中国推出的一款新型子弹引起了大众的注意，这款子弹外壳使用的材料是高分子轻质材料，也就是传说中的“塑料子弹”。这种子弹形似一个圆柱加一个圆锥（如图）。这款子弹壳外壳的体积是多少立方厘米？ 【答案】49.455立方厘米 【思路引导】子弹壳外壳的体积等于底面直径3厘米，高是6厘米的圆柱的体积，加上底面直径是3厘米，高是3厘米的圆锥的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出子弹外壳的体积。 【完整解答】3.14×（3÷2）2×6＋3.14×（3÷2）2×3× ＝3.14×1.52×6＋3.14×1.52×3× ＝3.14×2.25×6＋3.14×2.25×3× ＝7.065×6＋7.065×3× ＝42.39＋21.195× ＝42.39＋7.065 ＝49.455（立方厘米） 答：这款子弹壳外壳的体积是49.455立方厘米。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25六年级下·广东深圳·期中）某工厂生产了一种饮料桶，尺寸如图所示（单位：厘米）。下面有三种饮料桶侧面的商标纸，你认为哪种纸与饮料桶侧面积最接近？（    ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】C 【思路引导】圆柱侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；将已知数据代入圆的周长公式：C＝πd求出底面周长（也就是长方形的长），再结合选项选择即可。 【完整解答】3.14×8＝25.12（厘米） 饮料桶侧面沿高展开是一个长25.12厘米，宽12厘米的长方形，观察各选项可知：与饮料桶侧面展开最接近，也就是与饮料桶侧面积最接近。 故答案为：C 2．（24-25六年级下·广东深圳·期中）如图，将一个圆柱的底面分成若干等份后沿高切开，拼成一个近似的长方体，量得这个长方体的长是15.7cm，高是10cm，这个长方体的宽大约是（    ）cm。 A．10 B．5 C．6.28 D．3.14 【答案】B 【思路引导】看图可知，这个长方体的宽是原来圆柱的半径，长是圆柱底面周长的一半，高和圆柱的高相等。圆周长＝2πr，那么将底面周长的一半（即πr）除以圆周率，即可求出半径，即近似长方体的宽。 【完整解答】15.7÷3.14＝5（cm） 所以，圆柱的底面半径是5cm，这个长方体的宽大约是5cm。 故答案为：B 3．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 3 6 56.52 【思路引导】以正方体的棱长为底面直径和高的圆锥是正方体内最大的圆锥，则圆锥的底面直径是6厘米，高是6厘米，最后利用“”求出这个圆锥的体积，据此解答。 【完整解答】6÷2＝3（厘米） ＝ ＝ ＝56.52（立方厘米） 分析可知，这个圆锥的底面半径是3厘米，高是6厘米，体积是56.52立方厘米。 4．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）把一个底面直径是20cm的圆锥形铁块放入一个底面半径是2dm，高是7dm的圆柱形容器里，铁块完全浸没水中，水面上升了5cm且水未溢出。这个圆锥铁块的体积是 ，高是 cm。 【答案】 6280 60 【思路引导】圆锥形铁块放入圆柱形容器里完全浸没水中水未溢出且水面上升了5cm，说明圆柱形容器水面上升的体积就是圆锥铁块的体积，水面上升的体积又是求底面半径是2dm，高为5cm的圆柱的体积，根据这一等量关系可以先求出圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式求出圆锥的高。 【完整解答】 设圆锥的高为。 即 所以这个圆锥铁块的体积是6280，高是60cm。 5．（24-25六年级下·陕西西安·期末）计算图（1）的面积和图（2）的表面积。（单位：m） 【答案】（1）150m2；（2）1012m2 【思路引导】（1）观察图形可知，组合图形的面积＝平行四边形的面积＋三角形的面积，根据平行四边形的面积公式S＝ah，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，正方体与圆柱有重合的部分，把圆柱的下底面向上平移，补给正方体的下面；这样正方体的表面积是6个面的面积之和，而圆柱的表面积只需计算侧面积；所以组合体的表面积＝正方体的表面积＋圆柱的侧面积；根据正方体的表面积公式S＝6a2，圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算即可。 【完整解答】（1）15×6＋15×8÷2 ＝90＋60 ＝150（m2） 组合图形的面积是150m2。 （2）8×8×6＋3.14×8×25 ＝384＋628 ＝1012（m2） 组合体的表面积是1012m2。 6．（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个从里面量底面直径是10厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是9厘米，底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，当铅锤从水中取出后，这时水面下降了多少厘米？ 【答案】1.92厘米 【思路引导】根据题意，先根据圆锥体积公式V＝πr2h算出铅锤体积，因为铅锤体积等于下降的水的体积，再用该体积÷圆柱形容器底面积，得到水面下降高度，据此解答。 【完整解答】计算圆锥体积：圆锥体积公式V＝πr2h，其中r＝4厘米，h＝9厘米 则V圆锥＝×（3.14×42×9） ＝×（3.14×16×9） ＝×（50.24×9） ＝×452.16 ＝150.72（立方厘米） 计算圆柱形容器底面积： 圆柱底面直径10厘米，半径r＝5厘米， 底面积S＝πr2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米）。 计算水面下降高度：下降的水的体积等于圆锥体积， 根据h＝V÷S，则水面下降高度h＝150.72÷78.5＝1.92（厘米）。 答：这时水面下降了1.92厘米。 7．（24-25六年级下·陕西西安·期中）某小区要装饰宣传柱（如图），计划给宣传柱贴上印有社会主义核心价值观的广告纸（正方体的上、下面和圆柱的上、下底面均不贴），贴广告纸的面积是多少平方米？ 【答案】175.36平方米 【思路引导】正方体的上、下面不贴广告纸，所以正方体需要贴广告纸的是4个侧面，根据“棱长×棱长×4”代入数据计算求解； 圆柱的上、下面不贴广告纸，所以圆柱需要贴广告纸的是侧面积。根据圆柱侧面积公式为S＝πdh，代入数据计算求解； 将正方体部分和圆柱部分贴广告纸的面积相加，即是贴广告纸的总面积。 【完整解答】5×5×4＝100（平方米） 3.14×4×6＝75.36（平方米） 100＋75.36＝175.36（平方米） 答：贴广告纸的面积是175.36平方米。 8．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，那是以防烫手而特意贴上的。 （1）这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是多少厘米？（接头处不计） （2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？（玻璃杯厚度不计） 【答案】（1）18.84厘米 （2）423.9毫升 【思路引导】（1）求装饰带的长度，就是求圆柱形茶杯的底面周长，根据圆的周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 （2）根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，即可求出茶杯的容积，注意单位名数的换算。 【完整解答】（1）3.14×6＝18.84（厘米） 答：它的长至少是18.84厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝28.26×15 ＝423.9（立方厘米） 423.9立方厘米＝423.9毫升 答：这个茶杯的容积大约是423.9毫升。 9．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）选择以下哪些材料（左边），与（右边）长方形纸可以制作成圆柱形的笔桶。 （1）可以选择（    ）号当作底面，制作圆柱形笔筒。 （2）算一算，这个圆柱形笔筒的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）③ （2）75.36 【思路引导】（1）根据圆柱侧面展开图的特点，长方形的长等于圆柱的底面圆的周长、宽等于圆柱的高。根据圆的周长公式：分别计算①②③号圆的周长与长方形的长、宽比较，若相等可以选择。 （2）计算圆柱形笔筒的体积，需要先求出圆柱形笔筒底面圆的面积，再根据圆柱的体积公式：，代入数据计算求解即可。 【完整解答】（1）①圆的周长 3.14×2＝6.28（厘米） ②圆的周长 3.14×3＝9.42（厘米） ③圆的周长 3.14×4＝12.56（厘米） 因为12.56等于长方形的长，所以可以选择③号制作底面。 （2）4÷2＝2（厘米） 3.14×2×2＝12.56（平方厘米） 12.56×6＝75.36（立方厘米） 答：这个圆柱形笔筒的体积是75.36立方厘米。 10．小军是个“科学迷”，在一次课外探究实验中，小军在底面积为的空圆柱形容器内水平放置由两个实心圆柱组成的“几何体”（如图①）。他向容器内匀速注水，注满为止。在注水过程中，小军发现水面高度h与注水时间t之间的关系如图②所示。请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）圆柱形容器的高为______，匀速注水的水流速度为______（直接写出答案）； （2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为，请帮助小军求出“几何体”上方圆柱的高和底面积。 【答案】（1）14；5。（2）5cm，24cm²。 【思路引导】（1）根据水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系，可得圆柱形容器的高为14cm；然后用圆柱形容器的底面积乘两个实心圆柱组成的“几何体”的顶部到容器的顶部的距离，再除以水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用的时间，求出匀速注水的水流速度为多少即可。 （2）首先根据圆柱的体积公式，求出“几何体”下方圆柱的高为多少，再用“几何体”的高减去“几何体”下方圆柱的高，求出“几何体”上方圆柱的高是多少；然后设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm²，则5×（30－S）＝5×（24－18），据此求出S的值是多少即可。 圆柱体积＝底面积×高，注水的水流速度＝注水体积÷注水时间。 【完整解答】（1）水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系，可得圆柱形的容器的高为14cm。 水流速度：30×（14－11）÷（42－24） ＝30×3÷18 ＝5（cm³/s） 即圆柱形容器的高为14cm，匀速注水的水流速度为5 cm³/s。 （2）“几何体”上方圆柱的高为： 11－（5×18）÷（30－15） ＝11－90÷15 ＝11－6 ＝5（cm） 解：设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm²。 则5×（30－S）＝5×（24－18） 150－5S＝30 150－5S＋5S＝30＋5S 30＋5S＝150 5S＝150－30 5S＝120 S＝120÷5 S＝24 答：“几何体”上方圆柱的高为5cm，底面积24cm²。 【考点再现】本题考查了图象的应用，把分段图象中自变量与对应的值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $