精品解析：湖南衡阳市2025-2026学年上学期期末质量检测试题八年级数学

衡阳县2025年下学期期末质量检测试题 八年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，26小题，满分120分，时量120分钟． 2．试卷分试题卷和答题卡两部分，考生务必在答题卡指定位置填写个人信息，并在答题卡上做答，答案写在试题卷上无效． 3．选择题答案务必使用2B铅笔填涂． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 三个内角分别相等的两个三角形全等 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 面积相等的两个三角形全等 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明：若，则a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ） A. a，b，c没有一个为0 B. a，b，c只有一个为0 C. a，b，c至多一个为0 D. a，b，c三个都为0 8. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（ ） A. 20 B. 15 C. 25 D. 27 10. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如，即，均为“和谐数”．在不超过的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的算术平方根是______． 12. 因式分解：________． 13. 已知，，则________． 14. 一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个． 15. 已知二次三项式是完全平方式，则______． 16. 若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 _____________． 17. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为___________． 18. 如图，已知 AF AB ， FAB 60 ， AE AC ， EAC 60 ， CF 和 BE 交于 O 点，则下列结论：① CF BE ；② AMO ANO ；③ OA 平分FOE ；④ COB 120，其中正确的有__________. 三、解答题（共8小题19，20题各6分，20，21，题各8分，22，23题各9分，25，26题10分共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： 数据整理： （1）此次调查的学生人数为________人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为________； （2）请补全条形统计图； （3）合理预测：若该校共有1200名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数． 23. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 24. 如图1是一个长为b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出之间的等量关系是______________． （2）根据（1）中的结论，若，求的值． （3）变式应用：若，求的值． 25. 如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 26. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的周长． （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县2025年下学期期末质量检测试题 八年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，26小题，满分120分，时量120分钟． 2．试卷分试题卷和答题卡两部分，考生务必在答题卡指定位置填写个人信息，并在答题卡上做答，答案写在试题卷上无效． 3．选择题答案务必使用2B铅笔填涂． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 三个内角分别相等的两个三角形全等 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 面积相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角，全等三角形的判定，直角三角形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、三个内角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，不符合题意； C、直角三角形的两个锐角互余是真命题，符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，不符合题意； 故选C． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 4. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先展开，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：A 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的定义，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 6. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 【详解】A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． 7. 用反证法证明：若，则a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ） A. a，b，c没有一个为0 B. a，b，c只有一个为0 C. a，b，c至多一个为0 D. a，b，c三个都为0 【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，利用：“至少有一个”的否定：“一个也没有”即可得出正确选项． 【详解】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”，即“a，b，c没有一个为0”． 故选：A． 【点睛】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定． 8. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有共5种，主要培养学生的辨析能力．根据“”对A进行判断；根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明． 【详解】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意； 由，利用可证明，所以B选项不符合题意； 由，利用可证明，所以C选项不符合题意； 由，符合，不能证明，所以D选项符合题意． 故选D． 9. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（ ） A. 20 B. 15 C. 25 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得：， 则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 10. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如，即，均为“和谐数”．在不超过的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，由，解得，可得在不超过的正整数中，“和谐数”共有个，依此列式计算即可求解，弄清题中“和谐数”的定义是解题的关键． 【详解】解：设相邻的两个奇数为，， 则，解得：， ∴时，，， 则在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为： ， 故选：． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 13. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方，根据同底数幂的除法和幂的乘方得到，然后利用整体代入的方法进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个． 【答案】15 【解析】 【分析】由共摸了100次球，发现有25次摸到红球知摸到红球的概率为0.25，设盒子中白球有个，可得，解之即可． 【详解】解：设盒子中白球大约有个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以估计盒子中白球大约有15个， 故答案为：15． 【点睛】本题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，解题的关键是用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 15. 已知二次三项式是完全平方式，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式， ∴ ∴ 故答案为：或． 16. 若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 _____________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据绝对值和平方都是非负数，得到m－2＝0以及n－4＝0，求出m，n的值．再分别讨论以m为腰以及以n为腰的情况，根据三角形三边关系判断等腰三角形△ABC腰的长，进而得到周长． 【详解】由题可知，│m－2│≥0，． 又∵， ∴m－2＝0，n－4＝0， 解得m＝2，n＝4． 因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论： ①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4， 因为2＋2＝4，所以此时不满足三角形三边关系； ②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4， 此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：＝4＋4＋2＝10． 故答案是10． 【点睛】本题主要考查三角形的基本概念，平方与绝对值的非负性，牢记平方及绝对值的性质求出m，n的值是解题的关键． 17. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为___________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图．由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：26． 18. 如图，已知 AF AB ， FAB 60 ， AE AC ， EAC 60 ， CF 和 BE 交于 O 点，则下列结论：① CF BE ；② AMO ANO ；③ OA 平分FOE ；④ COB 120，其中正确的有__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】如图先证明△ABE≌△AFC，得到BE=CF，S△ABE=S△AFC，得到AP=AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，再利用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60°，由此可以解决问题． 【详解】∵△ABF和△ACE是等边三角形， ∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°， ∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， 即∠FAC=∠BAE， 在△ABE与△AFC中， ， ∴△ABE≌△AFC（SAS）， ∴BE=FC，故①正确，∠AEB=∠ACF， ∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO ∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB， ∴∠BOC=180°-∠CON=120°，故④正确， 连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图， ∵△ABE≌△AFC， ∴S△ABE=S△AFC， ∴•CF•AP=•BE•AQ，而CF=BE， ∴AP=AQ， ∴OA平分∠FOE，所以③正确， ∵∠AMO=∠MOB+∠ABE=60°+∠ABE，∠ANO=∠CON+∠ACF=60°+∠ACF， 显然∠ABE与∠ACF不一定相等， ∴∠AMO与∠ANO不一定相等，故②错误， 综上所述正确的有：①③④． 故答案为①③④ 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键，属于中考常考题型． 三、解答题（共8小题19，20题各6分，20，21，题各8分，22，23题各9分，25，26题10分共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，求一个数的算术平方根，化简绝对值，乘方运算，正确掌握相关性质是解题的关键．先求一个数的算术平方根，进行乘方运算，化简零次幂以及绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．先利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入求值即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 21. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定， （1）根据线段的和差证出，由即可得出； （2）由全等三角形的性质得到，，根据平行线的判定与性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， ， ． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： 数据整理： （1）此次调查的学生人数为________人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为________； （2）请补全条形统计图； （3）合理预测：若该校共有1200名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数． 【答案】（1）200， （2） （3）336人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体， （1）根据喜爱哪吒的有72人，占36%，可求出此次调查的学生人数；根据喜爱“太乙真人”有30人除以此次调查的学生数乘以360度可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数； （2）用此次调查的学生总人数减去其他人数可得喜爱“殷夫人”的人数； （3）根据此次调查的学生中最爱“敖丙”的有56人除以此次调查的学生人数乘以1200即可． 【小问1详解】 解：此次调查的学生人数为：（人）， 扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为：， 故答案为：200，． 【小问2详解】 解：喜欢殷夫人的人数为：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为336人． 23. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 24. 如图1是一个长为b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出之间的等量关系是______________． （2）根据（1）中的结论，若，求的值． （3）变式应用：若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了数形结合与完全平方公式的变形应用能力，关键能将公式变形应用． （1）由观察图形可得，； （2）由（1）题结论可得，将代入，可求得的值，最后就可求出结果； （3）设，分别求出和，根据完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得图1中长方形面积为，图2中阴影部分面积是，整体面积是， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）题结论可得， ∴， 当时， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， ， 则，， 因为， 所以 所以 ． 25. 如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图①，∵，， ， 在与中， ， ． （2） 证明：如图①，， ∴，， ∴， ∴，即平分； （3）4 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据三角形的判定定理即可证得． （2）通过三角形全等求得，，进而根据等边对等角求得，从而求得即可证得； （3）过点A作，垂足为点M，由题意易得，然后可得M为的中点，则有，进而根据割补法可求解面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点A作，垂足为点M． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又由（1）知， ∴． 26. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的周长． （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】（1） （2）当为、、、时，为等腰三角形 （3）当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分 【解析】 【分析】（1）根据速度为每秒，求出出发2秒后的长，然后就知的长，利用勾股定理求得的长，最后即可求得周长． （2）因为与，由勾股定理得 因为为，所以必须使，或，所以必须使或等于3，有两种情况，为等腰三角形． （3）分类讨论：当点在上，在上，则，，；当点在上，在上，则，，． 【小问1详解】 解：如图1， 由，，， ，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，则， ， ， 的周长为：． 【小问2详解】 解：①如图2，若在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； ②若在边上时，有三种情况： 如图3，若使，此时，运动的路程为， 所以用的时间为，为等腰三角形； 如图4，若，过作斜边的高，根据面积法求得高为， 作于点， 在中，， 所以， 所以运动的路程为， 则用的时间为，为等腰三角形； ⅲ如图5，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为 则所用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当为、、、时，为等腰三角形 【小问3详解】 解：如图6，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 如图7，当点在上，在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当为2或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，勾股定理以及一元一次方程的应用等知识，此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $