精品解析：四川省泸州市龙马潭区泸化中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋期期末质量监测质量评估 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，选择题用2B铅笔将答案填涂在答题卡对应题目标号的位置 上，其余各题用0.5毫术黑色墨迹签宇笔将答案写在答题卡上，在本试卷和草稿 纸上答题无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该精度用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 3. 现有长度分别为和的两根木棒，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形支架，则应在下列四根木棒中选取长度为（ ）的木棒 A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（ ）的交点处 A. 三条角平分线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条边的垂直平分线 6. 分式可变形为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10cm，则AB＝（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 不能确定 8. 已知式子的结果中不含项，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 9. 一个三角形的一个内角是，其余两个内角度数的比是．这个三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不确定 10. 已知，那么的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 11. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 12. 正整数n小于50，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 13. 分解因式：_________________ 14. 点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2﹣b），则ab=_____． 15. 已知，则代数式的值为 _____． 16. 若分式的值为零，则______． 17. 如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，则的最小值是_______________ 三、解答题：本大题共2个小题，每小题8分，共16分 18. 计算： 19. 已知：如图，，，E，F是垂足，．求证：． 四、解答题：本大题共3个小题，每小题10分，共30分 20. 先化简，再求值：，其中 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在x轴上找一点P，使最小（在坐标轴上表示出来），P点的坐标为 ． 22. 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证： （2）若，，求的长． 五、解答题：本大题共3个小题，每小题12分，共36分 23. 先阅读下面的内容，再解决问题． 材料一：若，求和的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 材料二：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为， ∴或， ∴原方程的解为或， 请根据上述材料解决下列问题： （1）若，求和的值． （2）已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． （3）若，，则______，______，______． 24. 某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书.其中科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书本数相等. （1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了，科普书的单价与去年相同，为了普及科普知识，书店举办了每买三本科普书就赠一本文学书的优惠活动，这所中学今年计划在优惠活动期间，再购进文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过1880元，这所中学今年最多能购进多少本文学书？ 25. 如图，在中，，，．点从点出发沿的路径向终点运动，点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，设点的运动时间为．在某时刻，分别过点和作于点，于点． （1）如图1，当，且点在上，点在上时， ①用含的式子分别表示和：________，________． ②当时，与全等吗？请说明理由． （2）当时，与有没有可能全等？若有可能，直接写出符合条件的值；若不可能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期末质量监测质量评估 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，选择题用2B铅笔将答案填涂在答题卡对应题目标号的位置 上，其余各题用0.5毫术黑色墨迹签宇笔将答案写在答题卡上，在本试卷和草稿 纸上答题无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 2. 我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该精度用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小数，形式为，其中，n是原数小数点后第一个非零数字所在的位数． 【详解】解：， 故选：D． 3. 现有长度分别为和的两根木棒，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形支架，则应在下列四根木棒中选取长度为（ ）的木棒 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，第三边长度必须大于已知两边之差且小于已知两边之和，由此确定x的取值范围，再判断选项． 【详解】解：设第三根木棒长为， ∵已知两边长分别为和， ∴由三角形三边关系，得，即， 只有满足， 故选C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方和积的乘方．根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：A、， 错误． B、， 正确． C、， 错误． D、，错误． 故选B． 5. 在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（ ）的交点处 A. 三条角平分线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条边的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解． 【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处 故选：B． 6. 分式可变形为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析： 故选D. 点睛：根据分式的分子、分母、分式改变其中任何两项的符号，分式的值不变，可得答案． 7. 如图，∠ABC＝90°，∠C＝15°，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，D为垂足，CE＝10cm，则AB＝（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据使三角形外角的性质及直角三角形的性质解答． 【详解】解：是线段的垂直平分线，∠C＝15°，CE＝10cm， cm， ， ， ∵∠ABC＝90°， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，直角三角形中30度对应的边等于斜边的一半，三角形外角的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 8. 已知式子的结果中不含项，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 【详解】解：， ∵结果中不含项， ∴，解得， 故选B． 9. 一个三角形的一个内角是，其余两个内角度数的比是．这个三角形是（ ）三角形． A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，根据已知角度和比例求出其余两个角的度数，再判断三角形类型． 【详解】解：因为三角形内角和为，已知一个角为， 所以其余两个角之和为． 因为其余两个角的度数比为， 所以另外两个角的度数分别为，， 所以这个三角形是直角三角形， 故选：B． 10. 已知，那么的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的运算，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 11. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 先解含有的分式方程，再根据已知条件列出关于的不等式，解不等式，从而求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的分式方程的解是非负数， ， ∴， ， ， 解得：， 的取值范围是：且， 故选：C． 12. 正整数n小于50，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式即可求出满足条件的的值． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ， ，，都是整数，即是2，3，6的公倍数，且， 的值为6，12，18，24，30，36，42，48共有8个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查取整函数，解题的关键是要正确理解取整函数的定义，以及式子的应用，这个式子在取整函数中经常用到． 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 13. 分解因式：_________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2﹣b），则ab=_____． 【答案】 ． 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（-4，2-b）， ∴2+a=4，2-b=3， 解得a=2，b=-1， 所以，ab=2-1= ， 故答案为 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 15. 已知，则代数式的值为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】由已知可得，然后将所求代数式利用完全平方公式变形为，再将已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ． ∵， ∴． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了代数式的求值、完全平方公式，熟练运用完全平方公式与“整体代入”的思想是解答此题的关键． 16. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 17. 如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，则的最小值是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，，，交于点，得到是等边三角形，利用等边三角形三线合一，得到，进而得到，找到当，，三点共线时，最小，连接并延长交于，利用等边三角形的三条高线相等，以及，求出的长度，即为的最小值．本题考查等边三角形的判定和性质，以及轴对称的性质．熟练掌握等边三角形的性质，利用轴对称解决线段的和最小问题，是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，，，交于点， ，， 是等边三角形， 平分， ，， ， ， 当，，三点共线时，最小， 是等边三角形，是的中点， ， 连接并延长交于， 等边三角形三条高交于一点，且三条高相等， ，， ，， ， ， ， 最小值为． 故答案为： 三、解答题：本大题共2个小题，每小题8分，共16分 18. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，然后再计算加减法即可． 【详解】解： ． 19. 已知：如图，，，E，F是垂足，．求证：． 【答案】 证明： ∴在和中 即 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．证明得，进而可证． 【详解】略 四、解答题：本大题共3个小题，每小题10分，共30分 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、最简二次根式，熟练掌握分式的运算法则，二次根式的化简是解题的关键．根据分式的运算法则化简分式，再代入的值求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在x轴上找一点P，使最小（在坐标轴上表示出来），P点的坐标为 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交x轴于点P，连接， 由轴对称的性质可得，则， 故当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故即为所求． 22. 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， 又， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证出，由角平分线的性质可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ， ， ， ． 五、解答题：本大题共3个小题，每小题12分，共36分 23. 先阅读下面的内容，再解决问题． 材料一：若，求和的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 材料二：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为， ∴或， ∴原方程的解为或， 请根据上述材料解决下列问题： （1）若，求和的值． （2）已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． （3）若，，则______，______，______． 【答案】（1）； （2）解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、、为的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3），， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解得应用，等腰三角形的定义，利用完全平方公式与提公因式法因式分解，熟练运用因式分解是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解得到，得到，，进而求解即可； （2）利用分组分解法因式分解得到，得到，进而求解即可； （3）利用完全平方公式把变形为，将变形为，再代入计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 把代入可得：，解得， ∴， 故答案为：；；． 24. 某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书.其中科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书本数相等. （1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？ （2）若今年文学书的单价比去年提高了，科普书的单价与去年相同，为了普及科普知识，书店举办了每买三本科普书就赠一本文学书的优惠活动，这所中学今年计划在优惠活动期间，再购进文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过1880元，这所中学今年最多能购进多少本文学书？ 【答案】(1)去年购买的文学书单价为8元，科普书单价为12元;(2)110 【解析】 【分析】（1）设去年购买文学书的单价为x元/本，则购买科普书的单价为（x+4）元/本，根据数量=总价÷单价结合用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书本数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论； （2）由今年文学书的单价比去年提高了25%可求出今年文学书的单价，设今年购进y本文学书，则购进科普书（200-y）本，根据总价=单价×数量，再结合购买文学书和科普书的总费用不超过1880元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论． 【详解】解：（1）设去年购买文学书的单价为x元/本，则购买科普书的单价为（x+4）元/本， 根据题意得： 解得：x=8， 经检验：x=8是原分式方程的解， ∴x+4=12． 答：去年购买的文学书单价为8元/本，科普书单价为12元/本． （2）今年文学书的单价为8×（1+25%）=10（元/本）． 设今年购进y本文学书，则购进科普书（200-y）本， 根据题意得：， 解得：y≤110， ∴y的最大值为110． 答：今年最多能购进110本文学书． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 25. 如图，在中，，，．点从点出发沿的路径向终点运动，点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，设点的运动时间为．在某时刻，分别过点和作于点，于点． （1）如图1，当，且点在上，点在上时， ①用含的式子分别表示和：________，________． ②当时，与全等吗？请说明理由． （2）当时，与有没有可能全等？若有可能，直接写出符合条件的值；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）① ②当时，与全等，理由如下： 当时，，， ∴， ∵， ∴， 又∵于E，于F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）有可能，的值为1或3.5或12 【解析】 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论． （1）①由题意得：：，，即可得出答案；②由证明即可； （2）分三种情况：①当点P在上，点Q在上时，则，，得；②当点P与点Q重合，与全等，然后计算出t的值即可；③当点Q到点A时停止，点P运动到上时，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①由题意得：，， 则，， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 当时，与有可能全等，分三种情况： ①当点P在上，点Q在上时，，如图1所示： 则， ∴， 解得：； ②如图2所示： ∵点P与点Q重合， ∴与全等， ∴， ∴． 解得：． ③当点P在上，点Q到点A时，，如图3所示： 则， ∴， ∴， 即满足条件的t值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $