精品解析：重庆市綦江区教育科学研究所2025-2026学年八年级上学期期末教学质量监测数学试题

2025一2026学年度第一学期期末教学质量监测试卷 八年级数学 考生注意： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 如图，在人字梯的中间有一“拉杆”，这样做的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：A． 3. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，注意科学记数法中数的取值范围是解题的关键． 根据科学记数法写出正确的答案即可． 【详解】解：∵， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算法则，熟练掌握合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方等是解题的关键． 通过幂的运算法则计算验证每个选项的正确性即可． 【详解】对于选项A：∵ ，∴ 不符合题意； 对于选项B：∵ ，∴不符合题意； 对于选项C：∵ ，∴ 不符合题意； 对于选项D：∵ ，∴ 符合题意； 故选：D． 5. 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图已知，，则直接判断的根据是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，，结合，根据判断，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：C． 7. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A. 5张 B. 6张 C. 7张 D. 8张 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 8. 小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“■”为 ， 故选A 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 9. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 10. 按顺序排列的若干个数：，，，…，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与前一个数的差的倒数，即：，，…．下列说法： ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，掌握分式的混合运算，完全平方公式的应用，找出规律是解题的关键． 根据题意，运用题目中的计算方法由，可算出判定①；同理由，可得，由此判定②；运用题目中的计算方法得到，，，每3个一组循环，，，由此可得代数式，可判定③． 【详解】解：①当时， ∴，，，， ∴每3个一组循环， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴，，，， ∴每3个一组循环， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③根据题意，，，， ∴每3个一组循环， ∵， ∴， ∴ ， 故③正确； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，通过观察多项式的各项，找出公因式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】分类讨论另一边可能的情况，再利用三角形的三边关系检验能否构成三角形，最后算出周长即可． 【详解】若等腰三角形的另一边长为3，此时三边分别为3，3，6，因为，不能构成三角形； 若等腰三角形的另一边长为6，此时三边分别为3，6，6，因为，能构成三角形，三角形周长为：； 故答案为：15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题关键是牢记三角形任意两边之和大于第三边． 13. 若，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则，将等式左边化为，右边81写为，通过比较指数求解． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 14. 如图所示，，，，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为_____ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∵，是等腰三角形， 分三种情况讨论： ①时，， ∴，此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ∴； ③时，， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数7431, ∵74-43=31, ∴7431是“好运数”；四位数9642, ∵96-64≠42,．∴9642不是“好运数”．若一个“好运数”为，则这个数为_______；若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则这个“好运数”的最小值是_______． 【答案】 ①. 8532 ②. 5413 【解析】 【分析】本题考查新定义下的有理数运算，解题的关键是分类讨论思想的应用，根据“好运数”的概念列方程求x，y的值，根据“好运数”的概念先求得，然后根据题意列出两个三位数之和，结合能被9整除的数的特征，分析满足条件的最小值． 【详解】解：（1）∵是“好运数”， ∴即， 由题意知x，y是互不相同且均不为0，范围均为1到9， ∴，， ∴这个数为8532； （2）由得即， ， ∴能被9整除，即是9的倍数， ∵a，b，c，d互不相等且均不为0，且a，b，c，d的范围均为1到9， ∴时取最小值， ∴当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，则，，故满足条件的数是5413； 当，时，，没有符合的c，d值； 当，时，，则，，故满足条件的数是7248； 当，时，，则，，故满足条件的数是8165； ∴满足条件的数的最小值是5413． 故答案为8532；5413． 三、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂，并化简绝对值，再算加减即可； （2）先通分计算括号里的减法，再算除法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，已知中，点在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点；在上取一点，使，连接．（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：∵平分， ∴ ① 在与中，， ∴ ③ （SAS） ∴ ④ ， ∵，， 且 ⑤ ， ∴， ∴ ⑥ ∴ 【答案】（1）画图见详解 （2） ①，②，③，④，⑤，⑥ 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图、全等三角形的判定，根据题意正确的进行尺规作图是解题的关键． （1）根据题意首先构造角平分线，其次再画等线段即可； （2）根据题目给的证明过程进行补全填空即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求， 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：①，②，③，④，⑤，⑥． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出． （2）请画出关于x轴对称的，并写出各顶点坐标． （3）已知P为y轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换、坐标与轴对称，三角形面积等，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点的坐标，直接在平面直角坐标系中描点作图即可； （2）根据轴对称的性质作出关于x轴对称的对应点，再依次连接，然后根据图形写出各顶点坐标即可； （3）设点P的坐标为，则，，根据面积公式可得，解得m的值即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求： 由图可知：； 小问3详解】 解：∵P为y轴上一点， ∴设点P的坐标为， ∵， ∴，， ∴，即， ∴或， ∴或， ∴或． 21. 龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到苏轼带你云游杭州，大熊猫萌兰上春晚教学五禽戏…与的技术融合让人耳目一新，悠悠同学深受智能技术触动，发明了一个简易智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加4后输出． （1）第一次悠悠输入的式子为，则关联盒输出的式子为 ；若关联盒第二次输出的式子为，则悠悠输入的是 （）； （2）在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作；把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作． ①请用含a的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）； ②悠悠发现和，都可以化为一个完全平方式，请解释说明． 【答案】（1）； （2）①；；②详见解析 【解析】 【分析】本题考查整式计算，多项式乘多项式，合并同类项，完全平方公式因式分解，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意利用整式计算即可； （2）①根据长方形的面积公式列式计算即可； ②分别将和代入和，并化为完全平方的形式即可． 【小问1详解】 解：由题意得：第一次悠悠输入为，则关联盒输出为：， 关联盒第二次输出为，则悠悠输入的是：， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①根据题意得：； ， ②； ， ∴和都是完全平方式． 22. 《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【答案】（1）哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元 （2）有3种购买方案；购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，准确找出等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元，根据购买的数量相等列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个，总费用为W元，先列不等式求出，且m为正整数，再列出W关于m的函数解析式，根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设哪吒造型钥匙扣单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元； 【小问2详解】 解：设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个， 根据题意可得不等式组：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴， ∵m为正整数， ∴m可以为35，36，37． 则有3种购买方案： 方案一：购买哪吒造型钥匙扣35个，敖丙造型钥匙扣个； 方案二：购买哪吒造型钥匙扣36个，敖丙造型钥匙扣个； 方案三：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣个． 设总费用为W元，则 ， ∵， ∴W随m的增大而减小， 所以当时，W最小， 答：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少． 23. 如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）直接写出图2中空白部分的面积 ； （2）观察图2，探究：，，三个式子之间存在怎样的关系？ （3）根据（2）中数量关系解决下列问题 ①若，，求的值； ②若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握正方形和矩形的面积公式是解决问题的关键． （1）由拼图可知：图2中空白部分是正方形，且边长为，由此可得出图2中空白部分的面积； （2）根据图2中大正方形的面积为，空白部分正方形的面积为，“图2中大正方形的面积空白部分正方形的面积图1中矩形的面积”即可得出答案； （3）①由（2）可知，将，代入得，然后根据平方根的意义即可得出的值； ②由（2）可知，将代入得，然后根据平方根意义即可得出的值． 【小问1详解】 解：由拼图可知：图2中空白部分是正方形，且边长为：， ∴图2中空白部分的面积为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵图2中大正方形的边长为：， ∴图2中大正方形的面积为：， 又∵图2中空白部分是正方形，且边长为：， ∴图2中空白部分正方形的面积为：， 由拼图可知：图2中大正方形的面积空白部分正方形的面积图1中矩形的面积， ∴， ∴，，三个式子之间存在的关系是：； 【小问3详解】 解：①由（2）可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，已知于D，于E，，． （1）求证：； （2）若，，求长度． （3）取的中点F，连接，，猜想，的关系，并给予证明． 【答案】（1）详见解析 （2）3 （3），，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据已知得，，即可推出，再根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，，再根据求解即可； （3）延长交于G，证明，得，，由（1）得，则，，即，再根据等腰三角形的性质得． 【小问1详解】 证明：∵于D，于E，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：结论，，理由如下： 如图，延长交于G， ∵点F是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 25. 如图，． （1）如图1，若；求的度数； （2）如图2，连接，F为上一点，连接，满足，求证：； （3）如图3，点点分别在和上，若，为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，当周长最小时，求出的面积．（注：有三个角是直角的四边形是长方形） 【答案】（1） （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由得到，由得到，再根据求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到再证明，得到； （3）延长交的延长线于点G，延长至使连接先求出，得到，再由旋转得到且，接着证明，得到，即Q的运动轨迹在过且与夹角为的直线上，由为定值，若周长最小，即最小，故过A作的对称点，连接与的交点即为所求点Q；据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：延长至M，使，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点G，延长至使连接 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵旋转至， ∴且， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴Q的运动轨迹在过且与夹角为的直线上， ∵， ∴， ∵为定值，若周长最小，即最小，故过A作的对称点，连接与的交点即为所求点Q； 作，则四边形为长方形， 则， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 则． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，正确的构造辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025一2026学年度第一学期期末教学质量监测试卷 八年级数学 考生注意： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 如图，在人字梯的中间有一“拉杆”，这样做的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两点之间，线段最短 3. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（　　） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图已知，，则直接判断的根据是（　　） A. B. C. D. 7. 有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A. 5张 B. 6张 C. 7张 D. 8张 8. 小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 10. 按顺序排列的若干个数：，，，…，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与前一个数的差的倒数，即：，，…．下列说法： ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 分解因式：_____． 12. 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为______． 13. 若，则_____． 14. 如图所示，，，，，，则________． 15. 如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为_____ ． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数7431, ∵74-43=31, ∴7431是“好运数”；四位数9642, ∵96-64≠42,．∴9642不是“好运数”．若一个“好运数”为，则这个数为_______；若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则这个“好运数”的最小值是_______． 三、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） ； （2）． 18. （1）计算：； （2）化简：． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，已知中，点在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点；在上取一点，使，连接．（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：∵平分， ∴ ① 与中，， ∴ ③ （SAS） ∴ ④ ， ∵，， 且 ⑤ ， ∴， ∴ ⑥ ∴ 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）平面直角坐标系中画出． （2）请画出关于x轴对称的，并写出各顶点坐标． （3）已知P为y轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 21. 龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到苏轼带你云游杭州，大熊猫萌兰上春晚教学五禽戏…与的技术融合让人耳目一新，悠悠同学深受智能技术触动，发明了一个简易智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加4后输出． （1）第一次悠悠输入的式子为，则关联盒输出的式子为 ；若关联盒第二次输出的式子为，则悠悠输入的是 （）； （2）在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作；把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作． ①请用含a的代数式分别表示和（结果化成多项式的形式）； ②悠悠发现和，都可以化为一个完全平方式，请解释说明． 22. 《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． （1）求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ （2）某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 23. 如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）直接写出图2中空白部分的面积 ； （2）观察图2，探究：，，三个式子之间存在怎样的关系？ （3）根据（2）中数量关系解决下列问题 ①若，，求的值； ②若，求的值． 24. 如图，已知于D，于E，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． （3）取的中点F，连接，，猜想，的关系，并给予证明． 25 如图，． （1）如图1，若；求的度数； （2）如图2，连接，F为上一点，连接，满足，求证：； （3）如图3，点点分别在和上，若，为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，当周长最小时，求出的面积．（注：有三个角是直角的四边形是长方形） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $