精品解析：乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一上学期1月期末测试数学试题

新疆兵团二中高中部2028届2025-2026学年第一学期期末测试 数学试卷 命题、校对：兵团二中2028届数学组 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列命题错误的是（ ） A. 若与都是单位向量，则. B. “”是“”的必要不充分条件. C. 若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D. 若，则. 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A B. C. D. 4. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 5. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（ ）． A. B. C. D. 6. 若角终边直线上，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 2026°是第三象限角 B. 若，是关于x的方程的两个根，则 C. 若，，，则a，b，c的大小关系为 D. 已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 该图象向右平移个单位可得图象 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是 11. 已知对，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 可以为一次函数 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _______． 13. 在中，，，，D为BC中点，则_______． 14. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求 ①； ②； （2）若满足，求实数m的取值范围； 16. 为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. （1）求的值； （2）给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； （3）设该工厂生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 17. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. （1）求的值； （2）化简，并求其值 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （3）函数，若且，求的最大值． 19. 已知函数和函数 （1）求方程的根的个数（只给出答案即可）； （2）当时，求函数的最大值； （3）是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆兵团二中高中部2028届2025-2026学年第一学期期末测试 数学试卷 命题、校对：兵团二中2028届数学组 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列命题错误的是（ ） A. 若与都是单位向量，则. B. “”是“”的必要不充分条件. C. 若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D. 若，则. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的性质判断B，举反例判断A，C，D即可. 【详解】对于A，令，满足， 而，，不满足，故A错误， 对于B，令，由指数函数性质得在上单调递增，可得，则，故B正确， 对于C，令，满足， 而，，不满足，故C错误， 对于D，令，满足， 而，，不满足，故D错误. 故选：B 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式求出，再利用二倍角公式求解． 【详解】，， ，故B正确． 故选：B． 4. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量共线定理解方程组即可得. 【详解】依题意可得存在实数满足， 即，又，不共线， 可得，解得. 故选：D 5. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解. 【详解】由以及扇形的面积公式可得: , 故选：D 6. 若角终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角函数定义求出，再对进行化简计算求解． 【详解】角终边在直线上， ， ， ， ，故A正确． 故选：A． 7. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：A. 8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线、与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由可得， 即，解得或， 当时，即当时，， 当时，，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，故实数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 2026°是第三象限角 B. 若，是关于x的方程的两个根，则 C. 若，，，则a，b，c的大小关系为 D. 已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据，即可求解. 对于B，由根与系数的关系得到两根之和，两根之积，结合正切和角公式进行求解， 对于C，分别利用对数函数，指数函数和三角函数的性质判断的范围，由此比较的大小即可判断， 对于D，根据给定的曲线，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答. 【详解】对于A，由题意知，， 则与终边相同的角为，所以2026°是第三象限角，A正确， 对于B，由韦达定理得， 故，B错误， 对于C，函数为增函数，所以， 函数增函数，所以， 函数在上单调递增，所以， 所以，C正确， 对于D，曲线且中，由，得， 因此该曲线过定点，即，于是，又， 因此， 当且仅当，结合，可得时取等号， 所以当时，取最小值，最小值为. 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 该图象向右平移个单位可得的图象 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质结合图象确定周期判断A，结合题意先求出解析式，再利用代入检验法求解对称中心判断C，利用平移法则判断B，先求出，进而结合题意建立不等式，求解参数范围判断D即可. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 且图象的最高点坐标为，与它相邻的零点为， 设函数的最小正周期为，则有，故A正确； 对于C，因为，所以由，， 又由，函数在上单调递减， ， 因为，所以时，，因此， 因为， 故函数的图象不关于点中心对称，即C错误； 对于B，该图象向右平移个单位可得， 化简得，故B正确， 对于D，由题意得， 令，当，， 因为函数在有且仅有5个零点， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD 11. 已知对，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 可以为一次函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法令可得A正确，假设为一次函数成立，得出矛盾可判断B错误，令，可得，再由变量代换可得C正确，结合已有分析可知函数的周期为6，求出即可得D正确. 【详解】对于A，令可得，即； 又，可得，即A正确； 对于B，假设为一次函数成立，可设为， 由可得； 整理可得，即， 显然一次函数不会恒成立，因此假设不成立，即B错误； 对于C，令，可得，即； 用替换可得，所以， 也即，因此C正确； 对于D，由选项C中分析可知，即可得， 所以函数是以6为周期的周期函数， 因此 ； 令可得，由可得； 又，所以； 因此，所以，即D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式进行运算即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为：5 13. 在中，，，，D为BC中点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基底向量表示向量，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 故答案：. 14. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得出函数的对称性和周期性，利用周期性计算的值. 【详解】因为为奇函数，所以①， 因为为偶函数，所以②， 由②得③，结合①③得， 则，所以函数的周期为， 由，可知， 因此可将所求的和式两两配对：， 因为周期为，所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求 ①； ②； （2）若满足，求实数m的取值范围； 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个集合交集，并集，补集定义计算即可； （2）由题意得，再根据集合B是否为空集分类讨论即可. 【小问1详解】 ①由题意知，因此， 又，所以； ②因为或，所以. 【小问2详解】 由可得， 当时，，解得； 当时，则有，解得， 综上所述，； 故实数m的取值范围是. 16. 为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. （1）求的值； （2）给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； （3）设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据函数先增后减，可得模型符合，再利用待定系数法求解析式即可； （3）分和两种情况讨论，结合函数的单调性及基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，， 即，解得； 【小问2详解】 由表可知，函数先增后减， 则只有模型符合， 由表可知，， 则，解得， 所以； 【小问3详解】 ， 函数的对称轴为， 故函数在上单调递增， 又函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则当时，， 当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即当时，， 综上所述，当时取得最大值. 17. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形. （1）求的值； （2）化简，并求其值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，数形结合，由三角函数的定义求出答案； （2）利用诱导公式化简得到，凑角法，结合，得到答案. 【小问1详解】 ， 由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为， 且圆为单位圆，由三角函数定义得． 【小问2详解】 ． 其中， 由（1）知：， 所以． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （3）函数，若且，求的最大值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角及和角的正弦公式将条件化简为，即可求出其周期及单调区间； （2）通过换元法，分析函数在指定区间上的单调性，结合函数图象，找出使得方程有两个不同实数解的取值范围； （3）先求出的表达式及值域，分析出方程成立的条件，并求出相应的值，从而得到满足条件的的值，即可求出的最大值. 【小问1详解】 因 ， 所以，所以的最小正周期为； 令， 解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，. 设，则. 因为在上单调递增，从递增到1，； 在上单调递减，从1递减到，. 所以要使方程在区间上有两个不同的实数解， 须满足，即， 所以实数a的取值范围为； 【小问3详解】 因为， 所以. 因为，所以当且仅当时方程成立. 令，即，所以， 解得，即 因为，所以当时， 可得，. 所以当时， 取得最大值. 所以的最大值为. 19. 已知函数和函数 （1）求方程的根的个数（只给出答案即可）； （2）当时，求函数的最大值； （3）是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在同一坐标系内作出函数和的图象，求出两个图象的交点个数即可； （2）代入化简，将给定函数转化为求在上的最大值，结合二次函数的性质，分类讨论求出最大值； （3）根据二次函数的单调性，将问题转化为是方程的两根，即可求解. 【小问1详解】 由题画出函数和函数， 两函数图象有且只有一个交点， 所以方程的根的个数为. 【小问2详解】 因为， ， 所以 因为，所以， 令，， 可设， 当时，函数在上单调递增， 所以， 当时， ， 当时，， 当时，函数在上单调递减， 则， 综上. 【小问3详解】 由题可知，函数， 假设存在非负实数，使得函数的定义域为，值域为， 而函数在上单调递增， 则， 即， 因此是方程的两个不等的非负实数根， 解得， 所以当时， 给定函数的定义域为，值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $