重难点专题03 整式的除法（6大考点专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

重难点专题 整式的除法 重难点一、单项式除以单项式 核心法则：将系数与同底数幂分别相除。步骤：1. 系数相除，化为有理数运算。2. 同底数幂相除，底数不变，指数相减（公式：a^m ÷ a^n = a^(m-n), a≠0）。3. 对于只出现在被除式中的字母及其指数，直接作为商的一部分保留。关键：确保运算准确，尤其是符号和指数运算。 1．在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 2．某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1) (2) (3) (4) 5．去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克． 重难点二、多项式除以单项式 核心是转化为多个单项式除法之和。运用法则：(a+b+c) ÷ m = a÷m + b÷m + c÷m。步骤：1. 用多项式的每一项分别除以单项式。2. 对每一项应用“单项式除以单项式”的法则进行计算。3. 将所得的各个商相加，即为最终结果。注意每一项的符号，并合并化简。 6．如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 7．如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 8．观察下列各式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答下列各题： (1)直接写出结果：_____________________． (2)若n是正整数，且，则______________________． (3)根据你发现的规律，计算的值． 9．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 重难点三、整式混合运算的应用 此类问题将整式运算置于实际情境中。关键：1. 准确理解题意，用字母表示未知量。2. 根据题目描述的数量关系（和、差、积、商、倍分等），列出正确的整式混合算式。3. 严格按照运算顺序（先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内）进行化简。4. 有时需要结合公式（如平方差、完全平方）简化计算。 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 11．如图，某市一小区为了居民有更好的生活环境，丰富居民的业余生活，决定重新修建一块长为米，宽米的长方形地块，计划在中间留下一个“口”型的图形，其余部分（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示阴影部分的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 12．发现问题：边长有倍数关系的几个长方体，可以拼成新的大长方体，并且有多种拼法，表面积也随之改变．提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 分析问题：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 解决问题： （1）图________的大长方体表面积最小； 延伸问题： （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、，若将这4个纸盒搭成一个大长方体，共有________种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为________； （3）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是a、b、c，且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，探究共有几种不同的方式，并求出搭成的大长方体的表面积最小值．（用含a、b、c的代数式表示）． 13．在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： (1)任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： (2)任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． (3)任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 重难点四、科学记数法参与的混合运算 核心技巧：将科学记数法 a×10^n 视为一个整体（系数a与幂10^n的积）参与运算。常分两步：1. 算系数：按常规整式运算规则计算系数部分。2. 算10的幂：利用幂的运算法则 10^m × 10^n = 10^(m+n), 10^m ÷ 10^n = 10^(m-n) 进行计算。最后，将两部分结果相乘，并通常要求结果用科学记数法表示。 14．计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 15．细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 16．某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 17．某市计划修建一个长为米，宽为米的矩形市民休闲广场． (1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 重难点五、整式的混合运算 总原则：严格遵循运算顺序，并灵活运用公式简化。步骤：1. 有括号先算括号内（去括号注意符号）。2. 再进行乘方运算。3. 然后进行乘除运算（按顺序从左到右）。4. 最后进行加减运算（合并同类项）。关键：在乘除、乘方步骤中，积极识别并应用平方差、完全平方等乘法公式，能极大简化计算过程，减少出错。 18．对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 19．多边形数是一类有趣的图形数，它们表示可以在平面上用点排成某种正多边形形状的整数．对于一个正边形，其第个多边形数，记作 多边形类型 名称 数值 三角形数 1，3，6，10，15，… 正方形数 1，4，9，16，25，… 五边形数 1，5，12，22，35，… 以下给出多边形数的生成过程．对于一个边形数，当时，，即第一个边形数一定是1．第个边形数由第个边形数生成：首先，基于第个边形的两条相邻的边，每条边新增一个格点，使得这两条边各有个格点；然后，再补齐其他的边，使得最外层的每条边有个格点；最后，计算总格点数． 三角形数生成过程 四边形数生成过程    五边形数生成过程    以五边形数为例，当，最外层的每条边有2个格点，；当时，将时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，保证这两条边中每条边有3个格点；然后，再补上其他三条边，保证每条边有3个格点；最后，整个图形有12个格点（实心格点数和空心格点数之和），即．为了能够更好的理解的计算方法，我们在上表中也给了的三角形数和的四边形数的图形生成和计算过程． (1)请直接写出第6个五边形数的值：__________． (2)小明通过总结规律发现： 第个三边形数可以通过以下公式计算：； 第个四边形数可以通过以下公式计算：； 请你通过观察小明总结的规律，总结第个五边形数的计算公式： __________．（提示：总结完公式后，代入到原题例子中验证一下是否正确．） 猜想，对于第个边形数，其计算公式为：__________． (3)若的余式为，其中，，为常数，请直接写出，，的值：__________；__________；__________． 20．如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和． (1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）； (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值； (3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由 21．提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决： 如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是． 【初中生解法】利用设未知数解决： 如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是． 完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法） 任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________． 22．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式； (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 23．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    重难点六、整式的化简求值 核心思想：先化简，后代入。步骤：1. 对给定的复杂整式进行化简（包括去括号、合并同类项、利用公式计算等），得到最简形式。2. 将已知的字母取值代入化简后的式子。3. 进行数值计算得出结果。关键提醒：如果题目给出的字母值是负数或分数，代入时务必加上括号，避免符号错误。有时需整体代入，或先对已知条件变形再代入。 24．计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中，． 25．计算： (1)； (2)先化简，再求值：．其中，． 26．先化简，再求值：，其中， 27．已知满足：．化简，并求值． 试卷第4页，共31页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 整式的除法 重难点一、单项式除以单项式 核心法则：将系数与同底数幂分别相除。步骤：1. 系数相除，化为有理数运算。2. 同底数幂相除，底数不变，指数相减（公式：a^m ÷ a^n = a^(m-n), a≠0）。3. 对于只出现在被除式中的字母及其指数，直接作为商的一部分保留。关键：确保运算准确，尤其是符号和指数运算。 1．在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减与除法的应用，正确列出代数式是解题关键．设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为，根据题意可得12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为，再根据开摩托车的遇到乘轻骑的是17时可得，根据摩托车在18时追上了骑自行车的可得，则可得，然后根据自行车与轻骑相遇时间为，代入化简计算即可得． 【详解】解：设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为， ∵坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时， ∴12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为， ∵开摩托车的遇到乘轻骑的是17时， ∴， ∴， ∵摩托车在18时追上了骑自行车的， ∴， ∴， ∴自行车与轻骑相遇时间为 ， 小时小时分， 12时经过3小时分的时间为， 即骑自行车的遇见乘轻骑的， 故选：A． 2．某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ 【答案】1038 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，掌握知识点是解题的关键． 根据给定的等式，第一个等式表示表达式的值为2076，第二个等式表示表达式的值为2，需要求第三个表达式的值．通过简化第三个表达式和利用前两个等式的值，计算得到结果． 【详解】解：简化第三个表达式： ， 由已知，，则 ． 故答案为：1038． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式的乘除运算，负整数指数幂， （1）根据积的乘方和幂的乘方将原式化简，再计算单项式的除法； （2）根据积的乘方和幂的乘方将原式化简，再计算单项式的乘除运算； 掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1； (3) (4) 【分析】（1）根据解答即可； （2）构造平方差公式，解答即可． （3）构造平方差公式，解答即可． （4）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，同底数幂乘法，单项式除以单项式解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，绝对值，熟练掌握公式地解题的关键． 5．去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克． 【答案】 【分析】运用科学记数法的运算法则解答即可． 【详解】一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克 故答案为． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方法． 重难点二、多项式除以单项式 核心是转化为多个单项式除法之和。运用法则：(a+b+c) ÷ m = a÷m + b÷m + c÷m。步骤：1. 用多项式的每一项分别除以单项式。2. 对每一项应用“单项式除以单项式”的法则进行计算。3. 将所得的各个商相加，即为最终结果。注意每一项的符号，并合并化简。 6．如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 7．如图是一个整式运算程序： (1)输入整式，，此时整式是_______； (2)已知运算程序中含． ①若输入整式，则输出的结果为_______； ②若输入整式，，输出的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式和多项式除以单项式，整式的运算的无关型问题，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）理由同底数幂的乘法法则求解即可； （2）①根据完全平方公式和多项式除以单项式法则求解即可； ②根据题意列出算式化简，然后根据输出的结果中不含的一次项得到，然后求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）①∵ ∴ ∴； ②∵，， ∴ ∵输出的结果中不含的一次项， ∴ ∴． 8．观察下列各式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答下列各题： (1)直接写出结果：_____________________． (2)若n是正整数，且，则______________________． (3)根据你发现的规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的除法，探索规律，解题的关键是发现规律，构造规律的形式，运用规律解决问题． （1）被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小，项数与被除式的次数相等，按进行降幂排列，各项系数为，根据规律直接写出答案即可； （2）根据规律写出答案即可； （3）构造（2）中的公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据上面各式的规律可得： 故答案为：． （2）解：根据上面各式的规律可得： 故答案为：． （3）解：令， 根据（2），当，（即）时， 有， 所以， 即． 9．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 重难点三、整式混合运算的应用 此类问题将整式运算置于实际情境中。关键：1. 准确理解题意，用字母表示未知量。2. 根据题目描述的数量关系（和、差、积、商、倍分等），列出正确的整式混合算式。3. 严格按照运算顺序（先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内）进行化简。4. 有时需要结合公式（如平方差、完全平方）简化计算。 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，观察式子规律通过引入中间变量进行简化计算是解题的关键．设 ，将原式进行变形，然后简化计算，即可得解． 【详解】解：设 ，则原式可表示为： ， ， 故选： D． 11．如图，某市一小区为了居民有更好的生活环境，丰富居民的业余生活，决定重新修建一块长为米，宽米的长方形地块，计划在中间留下一个“口”型的图形，其余部分（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示阴影部分的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了整式的混合运算在几何面积中的应用，正确表示阴影部分的面积并进行整式的化简计算是解题的关键． （1）用长得方形面积减去中间空白部分正方形即阴影部分的面积，去括号合并同类项即可化简； （2）把，代入（1）中代数式得文化广场面积，用“单价数量总价”即可求得所需要的费用． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当，时，原式（平方米）， （元）． 答：修建文化广场需要元． 12．发现问题：边长有倍数关系的几个长方体，可以拼成新的大长方体，并且有多种拼法，表面积也随之改变．提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 分析问题：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 解决问题： （1）图________的大长方体表面积最小； 延伸问题： （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、，若将这4个纸盒搭成一个大长方体，共有________种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为________； （3）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是a、b、c，且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，探究共有几种不同的方式，并求出搭成的大长方体的表面积最小值．（用含a、b、c的代数式表示）． 【答案】（1）1；（2）7，544；（3）共有6（且）或7（或）或8（且）种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为 【分析】本题考查了几何体的表面积，三视图，找出各种不同搭法是解题的关键； （1）根据长方体表面积公式，分别计算出表面积，即可比较出大长方体表面积最小值； （2）先找出所有搭法，的面是面积最大的面，大长方体的表面积最小时，表面出现的的最少，即可得出大长方体的表面积最小的搭法； （3）根据（2）的方法思路，分且，，，找出各种搭法，再由且，得出的面是最大的面，在所有的搭法中表面出现的的面最少时，大长方体的表面积最小，即可得出结论. 【详解】解：（1）由长方体表面积公式得： ∵图1的长、宽、高分别是、、， ∴图1的表面积为， ∵图2的长、宽、高分别是、、， ∴图2的表面积为， ∵图3的长、宽、高分别是、、， ∴图3的表面积为， ∵， ∴图1的表面积最小. 故答案为：1. （2）∵现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、， 又∵， ∴有7种搭法，如图所示： ∵的面是面积最大的面， ∴大长方体的表面积最小时，表面出现的的最少， ∴第③种搭法的大长方体的表面积最小为. 故答案为：7，544. （3）当且时，共有6种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，如图所示，表面积分别为： ； ； ； 第二类有三种情况，如图所示，表面积分别为： ； ； ； 第三类：当时，如图所示，表面一共有8个的面，3个的面，5个的面， ∴表面积为：； 当时，如图所示，表面一共有3个的面，5个的面，8个的面， ∴表面积为：； ∴共有6（且）或7（或）或8（且）种不同的方式， 又∵且， ∴的面是最大的面， ∴在所有的搭法中表面出现的的面最少时，大长方体的表面积最小， ∴搭成的大长方体的表面积最小为. 故答案为：共有6（且）或7（或）或8（且）种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为. 13．在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（立方和公式），请据此完成以下任务： (1)任务一：①请你类比立方和公式，化简：___________； ②利用立方和公式计算：___________： (2)任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为，正方体B的棱长为．正方体的棱长为，请你判断正方体、正方体体积之和与正方体体积的大小关系，并说明理由． (3)任务三：已知：，，为正数，当为非零整数时，求的值； 【答案】(1)①；②51 (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）①类比立方和公式可求出； ②把变形为，再进行除法运算即可； （2）根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为，代入得，进行整理后讨论即可得到结论； （3）把变形为，整理得，设，则，，再进行讨论即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴ ； 故答案为：；51； （2）解：根据题意得，正方体的体积为，正方体的体积为，正方体的体积为， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，即； （3）解：∵ ∴， ∵为非零整数， ∴， ∴， 设，则，， 当时，， ∴； 当时，，不满足为正数的条件， 故的值为． 重难点四、科学记数法参与的混合运算 核心技巧：将科学记数法 a×10^n 视为一个整体（系数a与幂10^n的积）参与运算。常分两步：1. 算系数：按常规整式运算规则计算系数部分。2. 算10的幂：利用幂的运算法则 10^m × 10^n = 10^(m+n), 10^m ÷ 10^n = 10^(m-n) 进行计算。最后，将两部分结果相乘，并通常要求结果用科学记数法表示。 14．计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解： （2）解： 15．细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍 【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果． 【详解】解：次， ∴后，盘子里有细菌：（个）； （次）， ∴后，盘子里有个细菌； ， 答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍． 【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． 16．某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【分析】（1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可； （2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【详解】（1）10亿， ∴10亿元的总张数为张， （厘米）； 答：大约高厘米； （2）， ， （天）． 答：点钞机大约要点25天 【点睛】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键，需要注意先求出10亿元人民币的总张数． 17．某市计划修建一个长为米，宽为米的矩形市民休闲广场． (1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1) (2)块 【分析】(1)根据面积公式，单项式乘以单项式法则计算即可． (2)根据总面积除以单块大理石的面积计算即可． 【详解】（1）根据题意，得（）． 答：广场的面积为． （2）∵单块大理石的面积是， ∴． 答：需要块大理石地砖． 【点睛】本题考查了整式的除法与乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 重难点五、整式的混合运算 总原则：严格遵循运算顺序，并灵活运用公式简化。步骤：1. 有括号先算括号内（去括号注意符号）。2. 再进行乘方运算。3. 然后进行乘除运算（按顺序从左到右）。4. 最后进行加减运算（合并同类项）。关键：在乘除、乘方步骤中，积极识别并应用平方差、完全平方等乘法公式，能极大简化计算过程，减少出错。 18．对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是“和谐有理数对”，理由见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐有理数对”的定义逐一判断即可； （2）根据“和谐有理数对”的定义列出算式，再等量代换，即可得出答案； （3）根据“和谐有理数对”的定义列出代数式，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是“和谐有理数对”， ∵，， ∴不是“和谐有理数对”， 故答案为：； （2）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是“和谐有理数对”． 19．多边形数是一类有趣的图形数，它们表示可以在平面上用点排成某种正多边形形状的整数．对于一个正边形，其第个多边形数，记作 多边形类型 名称 数值 三角形数 1，3，6，10，15，… 正方形数 1，4，9，16，25，… 五边形数 1，5，12，22，35，… 以下给出多边形数的生成过程．对于一个边形数，当时，，即第一个边形数一定是1．第个边形数由第个边形数生成：首先，基于第个边形的两条相邻的边，每条边新增一个格点，使得这两条边各有个格点；然后，再补齐其他的边，使得最外层的每条边有个格点；最后，计算总格点数． 三角形数生成过程 四边形数生成过程    五边形数生成过程    以五边形数为例，当，最外层的每条边有2个格点，；当时，将时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，保证这两条边中每条边有3个格点；然后，再补上其他三条边，保证每条边有3个格点；最后，整个图形有12个格点（实心格点数和空心格点数之和），即．为了能够更好的理解的计算方法，我们在上表中也给了的三角形数和的四边形数的图形生成和计算过程． (1)请直接写出第6个五边形数的值：__________． (2)小明通过总结规律发现： 第个三边形数可以通过以下公式计算：； 第个四边形数可以通过以下公式计算：； 请你通过观察小明总结的规律，总结第个五边形数的计算公式： __________．（提示：总结完公式后，代入到原题例子中验证一下是否正确．） 猜想，对于第个边形数，其计算公式为：__________． (3)若的余式为，其中，，为常数，请直接写出，，的值：__________；__________；__________． 【答案】(1)51 (2)； (3)0，0，． 【分析】本题考查了图形类规律探索，整式四则混合运算，根据总结规律得到的计算公式是解题的关键． （1）根据题意，当在时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，再补上其他三条边，保证每条边有6个格点，进而得到增加的格点数，再加上35即可； （2）根据小明总结的规律即可解答； （3）根据题意可知，，，然后计算出的余式，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，， 当在时的五边形的右下两条相邻的边各增加一个格点，再补上其他三条边，保证每条边有6个格点，整个图形增加了有16个格点， ∴， 故答案为：51． （2）解：由题意可知，； ； 故答案为：；． （3）解：由（2）可知，，，， 那么 的余式为， ， ，． 故答案为：0，0，． 20．如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和． (1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）； (2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值； (3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由 【答案】(1)， (2)①3；②9 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、完全平方公式、多项式乘法与图形面积、整式的四则混合运算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）直接根据图2、图3列代数式即可； （2）①由题意可得、、，然后根据完全平方公式求值即可；②先求出，然后根据完全平方公式求值即可； （3）先根据图2、图3列代数式表示出，然后根据整式的四则混合运算求出，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：当正方形的边长为x时， 图2中阴影部分的面积：； 图2中阴影部分的面积：； 故答案为：，． （2）解：∵图1中长方形纸片的面积为40，周长为26， ∴，即， ①， ∴． ② ． （3）解：，理由如下： 当正方形的边长为x时， 由图2中两张长方形纸片重叠部分面积：， 由图3中两张长方形纸片重叠部分面积：， ∴ ， ∵， ∴． 21．提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决： 如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是． 【初中生解法】利用设未知数解决： 如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是． 完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法） 任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________． 【答案】任务一：56，见解析；任务二：51，见解析；任务三：正方形的边长；距离A下面的单位长度；距离左面的单位长度；无关；无关 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，整式的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 任务一：仿照题干解法求解即可； 任务二：仿照题干解法求解即可； 任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线，设，再仿照题干解法求解． 【详解】解：任务一： 如图，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为4、3，其面积为12，所以四边形的面积是； 任务二： 如图，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是； 任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线， 设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是， ∴四边形的面积由正方形的边长、距离A下面的单位长度、距离左面的单位长度确定，它与的长度无关，与的倾斜程度无关． 22．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式； (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 【答案】(1)①S阴影＝(a＋b)2−4ab；②S阴影=(a−b)2​；（a＋b）2−4ab＝（a−b）2 (2)S阴影＝a2−2ab＋b2 (3)见解析 【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形−4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积； （2）先证明四边形ABCD是正方形，然后用S阴影＝S正方形−4S基本图形； （3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1−S2，即可证明m与x无关． 【详解】（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2． ∵四个基本图形的面积为4ab， ∴S阴影＝(a＋b)2−4ab； ②∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝EF＝a−b， ∴S阴影＝EH2＝(a−b)2； ∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2． （2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b， ∴四边形EFGH是正方形， ∴S阴影＝MN2−4ab＝(a＋b)2−4ab， 即S阴影＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2． （3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b， m＝S1−S2 ＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b ＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2 ＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2 ＝3b2−ab ∴S与x无关． 【点睛】本题主要考查了利用有关代数式表示图形的面积．合理利用代数式把图形的面积表示出来是解题的关键． 23．矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    【答案】7 【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解． 【详解】解：由， 可得：， 由图①得：， 由图②得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 重难点六、整式的化简求值 核心思想：先化简，后代入。步骤：1. 对给定的复杂整式进行化简（包括去括号、合并同类项、利用公式计算等），得到最简形式。2. 将已知的字母取值代入化简后的式子。3. 进行数值计算得出结果。关键提醒：如果题目给出的字母值是负数或分数，代入时务必加上括号，避免符号错误。有时需整体代入，或先对已知条件变形再代入。 24．计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）先进行乘方和乘法运算，再进行加减运算即可； （）根据整式的乘法公式和运算法则先进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ∵，， ∴原式． 25．计算： (1)； (2)先化简，再求值：．其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，解答这类题目的关键是把最后结果化到不能再合并，然后代入求值． （1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再算括号内的减法，最后算除法； （2）根据整数的混合运算法则化简，再代入值计算即可．． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当，时，原式． 26．先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和多项式乘以多项式法则． 根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和多项式乘以多项式法则进行化简，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 27．已知满足：．化简，并求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，整式的化简求值，解题的关键是掌握各运算法则和乘法公式． 先利用完全平方公式和平方的非负性求出，然后再利用完全平方公式和平方差公式化简整式，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， 原式， 当时， 原式． 试卷第4页，共31页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $