专题10分式寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题10分式寒假预习讲义（1） 1.理解分式的概念，能准确区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义及值为0的条件。 2.掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的约分、通分，理解最简分式、最简公分母的概念。 3.通过预习培养自主探究能力，为新学期课堂学习奠定基础，突破易错点。 预习必备 知识点梳理 1.分式的意义 2.分式的基本性质 3.核心易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.分式的判定 2.分式无意义的条件 3.分式有意义的条件 4.分式值为零的条件 5.求分式正负时未知数范围 6.判定分式变形的正误 7.约分 8.最简分式 9.分式的求值 10.判定分式值的变化 11.化最高次项系数为正 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.分式的意义】 1.分式定义： 形如（A、B是整式，B中含字母，且B0）的代数式叫分式；A是分子，B是分母。 区分整式与分式：看分母是否含字母，不含则为整式，含则为分式。 2.分式有意义的条件：分母不等于 0（B0）。 3.分式无意义的条件：分母等于 0（B=0）。 4.分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0（A=0且B0，二者缺一不可）。 5.分式的取值：根据条件列不等式 / 方程，求解字母的取值范围。 【知识点02.分式的基本性质】 1.基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示：，（C是不等于 0 的整式）。 易错点：C不能为 0，乘除的是同一个整式。 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 用式子表示：−−=−。 3.最简分式：分子与分母没有公因式（1 除外）的分式叫最简分式。 4.分式的约分 定义：根据分式基本性质，把分子、分母的公因式约去的变形。 步骤：① 分子、分母先因式分解；② 约去公因式；③ 化为最简分式或整式。 注意：约分后分式的值与原分式相等，约分的关键是找公因式。 【知识点03.易错点总结】 · 误把含 π 的式子归为分式，忽略 π 是常数 · 求取值 / 值为 0 时，漏看分母≠0 的前提 · 用基本性质时，乘除不同整式或乘除 0 · 分式符号只改 1 个 / 改 3 个，违背 “改 2 个不变” · 约分不先因式分解，或直接消项而非公因式 · 系数约分漏乘分子 / 分母，约分不彻底 【题型1.分式的判定】 【典例】下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 【跟踪专练2】下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.分式无意义的条件】 【典例】已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 【跟踪专练1】当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】当时，分式没有意义，则b的值为（    ） A． B． C． D．3 【题型3.分式有意义的条件】 【典例】若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若分式的值为0，则 ． 【跟踪专练2】下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（　　） A． B． C． D． 【题型4.分式值为零的条件】 【典例】当 时，分式的值为零． 【跟踪专练1】分式的值为，则（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】若分式的值为零，则 ． 【题型5.求分式正负时未知数范围】 【典例】若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【跟踪专练1】如果分式的值为负数，那么x满足 ． 【跟踪专练2】当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值 ． 【题型6.判定分式变形的正误】 【典例】根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 【跟踪专练2】下列分式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【题型7.化分式系数为整数】 【典例】不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ． 【跟踪专练1】不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【题型8.约分】 【典例】约分： ． 【跟踪专练1】若．则（   ） A． B． C．2 D．1 【跟踪专练2】已知，均不等于0，且满足：，则 ． 【题型9.最简分式】 【典例】下列分式中，不是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 【跟踪专练2】若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【题型10.分式的求值】 【典例】已知，则代数式的值为 ． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若 ，则 的值等于 ． 【题型11.判定分式值的变化】 【典例】把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．缩小为原来的 【跟踪专练1】利用分式的基本性质填空：，空格应填入 ． 【跟踪专练2】若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A．3 B． C． D． 【题型12.化最高次项系数为正】 【典例】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【跟踪专练2】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 1．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 2．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 4．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 5．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式寒假预习讲义（1） 1.理解分式的概念，能准确区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义及值为0的条件。 2.掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的约分、通分，理解最简分式、最简公分母的概念。 3.通过预习培养自主探究能力，为新学期课堂学习奠定基础，突破易错点。 预习必备 知识点梳理 1.分式的意义 2.分式的基本性质 3.核心易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.分式的判定 2.分式无意义的条件 3.分式有意义的条件 4.分式值为零的条件 5.求分式正负时未知数范围 6.判定分式变形的正误 7.约分 8.最简分式 9.分式的求值 10.判定分式值的变化 11.化最高次项系数为正 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.分式的意义】 1.分式定义： 形如（A、B是整式，B中含字母，且B0）的代数式叫分式；A是分子，B是分母。 区分整式与分式：看分母是否含字母，不含则为整式，含则为分式。 2.分式有意义的条件：分母不等于 0（B0）。 3.分式无意义的条件：分母等于 0（B=0）。 4.分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0（A=0且B0，二者缺一不可）。 5.分式的取值：根据条件列不等式 / 方程，求解字母的取值范围。 【知识点02.分式的基本性质】 1.基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示：，（C是不等于 0 的整式）。 易错点：C不能为 0，乘除的是同一个整式。 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 用式子表示：−−=−。 3.最简分式：分子与分母没有公因式（1 除外）的分式叫最简分式。 4.分式的约分 定义：根据分式基本性质，把分子、分母的公因式约去的变形。 步骤：① 分子、分母先因式分解；② 约去公因式；③ 化为最简分式或整式。 注意：约分后分式的值与原分式相等，约分的关键是找公因式。 【知识点03.易错点总结】 · 误把含 π 的式子归为分式，忽略 π 是常数 · 求取值 / 值为 0 时，漏看分母≠0 的前提 · 用基本性质时，乘除不同整式或乘除 0 · 分式符号只改 1 个 / 改 3 个，违背 “改 2 个不变” · 约分不先因式分解，或直接消项而非公因式 · 系数约分漏乘分子 / 分母，约分不彻底 【题型1.分式的判定】 【典例】下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；的分母中含有字母，是分式． 故选：D． 【跟踪专练1】有整式，2，，请在上述整式中选择你最喜欢的两个整式组成一个分式 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 依据分式定义（分母含字母的整式商式），从给定整式里，分别选含字母的整式作分母，其余整式作分子，组合出所有符合条件的分式． 【详解】解：分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时： 分子为，分式为； 分子为，分式为． 分母为时，因是常数（不含字母），组成的、不是分式，舍去． 综上，所有分式为、、、． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A.等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B.等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C.等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D.等式的右边是整式和分式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．熟知因式分解的定义是解此题的关键． 【题型2.分式无意义的条件】 【典例】已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 【答案】3 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键．根据分式无意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式没有意义， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【跟踪专练1】当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 【跟踪专练2】当时，分式没有意义，则b的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：当，， ∵分式没有意义， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 【题型3.分式有意义的条件】 【典例】若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式的意义，分式有意义的条件为，即可求得的范围． 【详解】解：∵分式有意义， ， ， 故选：A． 【跟踪专练1】若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，因此解分子方程并验证分母不为0即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子， 解得：， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，分式有意义． ∴分式的值为0时，． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，逐项分析即可，解题的关键是正确理解分式有意义的条件． 【详解】、由可知当，即时，分式无意义，不符合题意； 、由可知，即取任何值时，分式都有意义，符合题意； 、由可知当时，分式无意义，不符合题意； 、由可知当，即时，分式无意义，不符合题意； 故选：． 【题型4.分式值为零的条件】 【典例】当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为：分子为零，且分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零 ∴且， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】分式的值为，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为，需分子的值为且分母的值不为，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 【跟踪专练2】若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：分式的值为零，则，解得， 故答案为：． 【题型5.求分式正负时未知数范围】 【典例】若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 【跟踪专练1】如果分式的值为负数，那么x满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵，分式的值为负数 ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值 ． 【答案】3（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查了分式的值为正数的条件，解题的关键是根据分式值为正的条件列出不等式求解． 根据分式值为正数的条件列出不等式，求出的取值范围，再在范围内取一个值即可． 【详解】根据题意可得：． 解得：． 那么在这个范围内任取一个值都满足条件，例如． 故答案为：3（答案不唯一，满足即可） 【题型6.判定分式变形的正误】 【典例】根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；将原分式的分子和分母同时乘以，即可变形为选项C的形式. 【详解】解：分子和分母同时乘以： ； 故选：C 【跟踪专练1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 【跟踪专练2】下列分式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式化简判断即可，准确分析判断是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【题型7.化分式系数为整数】 【典例】不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为 ． 【答案】 【分析】运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 【跟踪专练1】不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 【题型8.约分】 【典例】约分： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分化简，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练1】若．则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键；由分式变形为，然后代值进行求解即可． 【详解】解：∵时，， ∴， 当时，原式． 故选B． 【跟踪专练2】已知，均不等于0，且满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，分式的化简．由得到，因此，代入分式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【题型9.最简分式】 【典例】下列分式中，不是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 【答案】2 【分析】本题主要考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③不是分式； ④，不是最简分式； ⑤，不是最简分式； ⑥，不是最简分式； ⑦是最简分式； 综上分析可知：最简分式有2个． 故答案为：2． 【跟踪专练2】若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型10.分式的求值】 【典例】已知，则代数式的值为 ． 【答案】12 【详解】， ， ． 故答案为：12． 【跟踪专练1】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．先根据已知等式可得，再代入化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 【跟踪专练2】若 ，则 的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，涉及到了完全平方公式，解题关键是利用完全平方公式进行配方． 对原式利用完全平方公式进行配方得到，，进而得到，即可求出的值． 【详解】解：， ，， ，， ， 的值等于． 故答案为：． 【题型11.判定分式值的变化】 【典例】把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本概念，熟练掌握分式的基本概念是解决本题的关键． 将分式中x和y都扩大为原来的2倍后化简比较即可求解． 【详解】解：∵把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， ∴分式变为， ∴分式的值不变． 故选：C ． 【跟踪专练1】利用分式的基本性质填空：，空格应填入 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分母扩大倍，则分子应扩大倍，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练2】若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，当分式中的变量扩大3倍后，分母变为原来的9倍．要使分式的值不变，分子A必须也变为原来的9倍．因此，A的表达式在变量扩大3倍后应等于原表达式的9倍，据此进行判断即可． 【详解】解：原分式为，当和扩大为原来的3倍时，分母变为．此时分式变为．要使分式的值不变，需满足，即． 选项A：，扩大后仍为3，不满足． 选项B：，扩大后为，而，不相等． 选项C：，扩大后为，而，不相等． 选项D：，扩大后为，而，相等． 故选D． 【题型12.化最高次项系数为正】 【典例】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【跟踪专练1】不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练2】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 1．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 2．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的基本性质，以及因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． （1 ）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （2 ）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （3 ）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以x求解即可； （4 ）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以求解即可． 【详解】（1）解：： （2）解：； （3）解：； （4）解：． 3．（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 4．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 5．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $