精品解析：河北省廊坊市霸州市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，须用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的为（ ） A B. C. D. 3. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币5次，有4次都是正面朝上 B. 随意翻到教材的某页，这页的页码是偶数 C. 把一粒种子种在花盆中，种子会发芽 D. 二次函数的图象是双曲线 5. 为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量凌霄塔的高度．如图，嘉嘉在处测得凌霄塔塔顶的仰角，此时从凌霄塔塔顶处观测处的俯角是（ ） A. B. C. D. 6. 我们知道，压强、压力与受力面积三者关系为，当压力一定时，下列能反映与之间关系的图象是（） A. B. C. D. 7. 将抛物线平移，得到抛物线，则平移方式是（） A. 向右平移2个单位长度 B. 向左平移2个单位长度 C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度 8. 如图，三角板中，，，将它绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别是点，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的方程有两个实数根，则的值不可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 10. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，点在上．若，半径，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 11. 嘉嘉和淇淇决定利用所学知识测量河的宽度，如图，河的两岸是平行的，已知上的点处有两个标志物测得它们之间的距离米．嘉嘉在如图所示的点处站定，于点，与交于点，测得米，淇淇在上移动，当淇淇移动到点时（点在一条直线上），测得米，则这条河的宽度为（ ） A. 30米 B. 36米 C. 40米 D. 56米 12. 一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知是方程的两个实数根，则___________． 14. 如图，是半径为6上的三点，若，则弦的长为___________． 15. 已知，其中与是一组对应边，．若，则边上的高是___________． 16. 如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点在反比例函数的图象上，，直线轴，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 18. 如图，一建筑物的高为10米，某时刻它在水平地面上的影长为6米．身高1.5米的嘉嘉在建筑物下的点处乘凉，米．若笔直站立的嘉嘉不会被阳光晒到，求的最大值． 19. 如图，四张不透明卡片的背面完全相同，在卡片的正面分别写上一个数字，将这些卡片背面朝上洗匀． （1）从中随机抽取一张，求抽到偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张，正面朝上放在桌面上，再从剩余卡片中随机抽取一张，正面朝上放在上一张的右边，这样组成一个两位数．请用列表或画树状图的方法，求组成的两位数是5的倍数的概率． 20. 工人师傅将一根铁棍沿一点折弯，得到折线形状，其示意图如图所示，其中．（参考数据：） （1）求点到所在直线的距离； （2）求点与点之间的距离（结果保留根号）． 21. 某种商品原价是125元，经过两次降价，价格下降了． （1）求价格降到了多少元； （2）已知每次下降的百分率相同，那么每次下降的百分率是吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出每次下降的百分率． 22. 如图1，中，分别是上的点，，． （1）求的长； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，得到，其中点，的对应点分别是点，，连接，，点恰好落在上，，求的长（用含的式子表示）． 23. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，与的延长线交于点，弦，点，关于对称． （1）判断点与位置关系，并说明理由； （2）已知． ①若，求的长． ②若的长为，直接写出的长（结果精确到）．（参考数据：） 24. 如图，抛物线经过点，，顶点为．抛物线（为常数），与轴交于点，（点，不重合，且点在点左侧），顶点为． （1）求对应的函数解析式及点的坐标； （2）嘉嘉说：的顶点在上． 淇淇说：的顶点在上． 请选择一人的说法进行说理； （3）若， ①连接，当与互相平分时，求的值； ②设点的横坐标为．直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，须用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角的三角函数值，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2. 下列图形中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图形重合．根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握左视图的定义（从物体左面看得到的视图）是解题的关键．明确左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形，观察该几何体左侧面的形状，确定其左视图的轮廓． 【详解】解：由题意可得，几何体的左视图为： ， 故选：B． 4. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币5次，有4次都是正面朝上 B. 随意翻到教材的某页，这页的页码是偶数 C. 把一粒种子种在花盆中，种子会发芽 D. 二次函数的图象是双曲线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币5次，有4次都是正面朝上，是随机事件，该选项不符合题意； B、随意翻到教材的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，该选项不符合题意； C、把一粒种子种在花盆中，种子会发芽，是随机事件，该选项不符合题意； D、二次函数的图象是双曲线，是不可能事件，该选项符合题意； 故选：D． 5. 为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量凌霄塔的高度．如图，嘉嘉在处测得凌霄塔塔顶的仰角，此时从凌霄塔塔顶处观测处的俯角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了仰角与俯角的概念、平行线的性质，熟练掌握仰角与俯角的定义及平行线的内错角相等是解题的关键．过点作水平线，过点作水平线，利用与平行的性质，结合内错角相等，即可得出从处观测处的俯角与从处观测处的仰角相等． 详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴从 处观测处的俯角为， 故选： 6. 我们知道，压强、压力与受力面积三者的关系为，当压力一定时，下列能反映与之间关系的图象是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象特征及实际问题中自变量的取值范围是解题的关键．先根据压强公式，结合压力一定的条件，判断出与的函数类型，再根据该函数的定义域和增减性，对应到选项中的图象进行选择． 【详解】解：，且， 是的反比例函数， ， 函数图象是第一象限内的双曲线分支，且随增大，减小， 故选： 7. 将抛物线平移，得到抛物线，则平移方式是（） A. 向右平移2个单位长度 B. 向左平移2个单位长度 C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律以及通过顶点坐标变化判断平移方向是解题的关键．通过对比原抛物线与平移后抛物线的顶点坐标变化，确定平移的方向和距离． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∵抛物线的顶点为， ∴顶点从移动到，即向右平移了2个单位长度， ∴抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线， 故选：A． 8. 如图，三角板中，，，将它绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别是点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再由旋转的性质可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵三角板中，，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故选：C． 9. 已知关于的方程有两个实数根，则的值不可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的根的情况求参数．利用一元二次方程判别式非负的条件，确定m的取值范围，再对比选项即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式， ∴， ∴， ∴． 选项 A、B、C中的值均满足，而选项 D 中，不满足条件， ∴ m的值不可能是． 故选：D． 10. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，点在上．若，半径，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据直径所对的圆周角为直角得到是直角三角形，结合直角三角形的性质求出的长度，最后用勾股定理计算的长度． 【详解】解：四边形是圆内接四边形，， ， 是半圆的直径，， ，， 在中，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补、直径所对的圆周角为直角，以及角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 11. 嘉嘉和淇淇决定利用所学知识测量河的宽度，如图，河的两岸是平行的，已知上的点处有两个标志物测得它们之间的距离米．嘉嘉在如图所示的点处站定，于点，与交于点，测得米，淇淇在上移动，当淇淇移动到点时（点在一条直线上），测得米，则这条河的宽度为（ ） A. 30米 B. 36米 C. 40米 D. 56米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线判定相似三角形、利用相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键． 通过平行线判定三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解得出河的宽度． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得（米）， 故选：B． 12. 一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知是方程的两个实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是半径为6的上的三点，若，则弦的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握同弧所对的圆心角是圆周角的倍是解题的关键．连接、，利用同弧所对的圆心角是圆周角的倍，求出圆心角的度数，再根据判断的形状，最后结合圆的半径求出弦的长度． 【详解】解：连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为： 15. 已知，其中与是一组对应边，．若，则边上的高是___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出的面积，再根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵，其中与是一组对应边，， ∴， ∵ ∴， ∴边上的高是， 故答案为：18． 16. 如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式及线段最值问题，熟练掌握利用坐标差表示平行于轴的线段长度，以及二次函数的最值求法是解题的关键．先通过抛物线求出点的坐标，再代入求出的值；设点、的横坐标为（），分别写出两点的纵坐标，从而得到的长度表达式，最后利用二次函数的性质求出其最大值． 【详解】解：中，令，则， 解得或， ， 过点， ， ， ， ， 轴，设， ， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点在反比例函数的图象上，，直线轴，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式的确定、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数解析式和平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式，求出的值，即可得到反比例函数的解析式． （2）由轴得点的纵坐标与点的纵坐标相等，将其代入反比例函数解析式求出点的横坐标，从而得到的长度，再以为底、点到的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积． 【小问1详解】 解：在上， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 代入得， ∴， ， ∴． 18. 如图，一建筑物的高为10米，某时刻它在水平地面上的影长为6米．身高1.5米的嘉嘉在建筑物下的点处乘凉，米．若笔直站立的嘉嘉不会被阳光晒到，求的最大值． 【答案】的最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了平行投影．在同一时刻，建筑物的高度与影长和人的高度与影长成正比例，据此列式，求出此时人的影长，计算出最多离建筑物的距离． 【详解】解：设嘉嘉这个时刻在水平地面上形成的影长为x米， 根据题意得，解得， 嘉嘉这个时刻在水平地面上形成的影长为米， 因为(米)， 所以他最多离建筑物米才可以不被阳光晒到． 答：的最大值为． 19. 如图，四张不透明卡片的背面完全相同，在卡片的正面分别写上一个数字，将这些卡片背面朝上洗匀． （1）从中随机抽取一张，求抽到偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张，正面朝上放在桌面上，再从剩余卡片中随机抽取一张，正面朝上放在上一张的右边，这样组成一个两位数．请用列表或画树状图的方法，求组成的两位数是5的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到组成的两位数是5的倍数的结果数，最后根据概率公式求出概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，写有偶数的卡片有两张， ∴从中随机抽取一张，抽到偶数的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中组成的两位数是5的倍数的结果数有3种， ∴组成的两位数是5的倍数的概率为． 20. 工人师傅将一根铁棍沿一点折弯，得到折线形状，其示意图如图所示，其中．（参考数据：） （1）求点到所在直线的距离； （2）求点与点之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作交的延长线于点D，求出的度数，再解直角三角形即可得到答案； （2）解直角三角形求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作交的延长线于点D， ∵， ∴， 中，， ∴点到所在直线的距离约为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点与点之间的距离为． 21. 某种商品原价是125元，经过两次降价，价格下降了． （1）求价格降到了多少元； （2）已知每次下降的百分率相同，那么每次下降的百分率是吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出每次下降的百分率． 【答案】（1）80元 （2）不是，每次下降的百分率为 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）价格下降了，那么实际价格为原来的，据此列式求解即可； （2）设每次下降的百分率是x，根据两次降价后价格从125元变为80元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：元， 答：价格降到了80元； 【小问2详解】 解：不是，每次下降的百分率为，理由如下： 设每次下降的百分率是x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴每次下降百分率为． 22. 如图1，中，分别是上的点，，． （1）求的长； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，得到，其中点，的对应点分别是点，，连接，，点恰好落在上，，求的长（用含的式子表示）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、图形旋转的性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和旋转前后对应边相等、对应角相等的性质是解题的关键． （1）由可证，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出的长度． （2）先由得到的相似关系求出的长度；再根据旋转的性质得到、、，从而推出，结合证明，利用比例关系求出的长度，最后结合（）得到的表达式． 【小问1详解】 解：， ， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 绕点旋转得到， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线，与的延长线交于点，弦，点，关于对称． （1）判断点与的位置关系，并说明理由； （2）已知． ①若，求的长． ②若的长为，直接写出的长（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】（1）点在上，理由见解析； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用点、关于对称的性质，直接得到，再结合是半径，即可判断点在上． （2）①连接，利用直径所对圆周角为直角得到；结合切线性质得；再由推出，从而证明，利用相似三角形对应边成比例求出．②连接，由弧长公式求出的度数；结合，利用等腰三角形内角和求出；再由得到，最后在中用正切函数求出． 【小问1详解】 解：点在上，理由如下： 如图，连接、， 点关于对称， ， 是的半径，， ， 点在上； 【小问2详解】 解：①连接， 是半圆的直径， ， 是半圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ； ②连接， 弧的长为半径， ， 即， ， ， ， ， 在中，， ， 【点睛】本题主要考查了圆切线性质、圆周角定理、弧长公式、平行线的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及解直角三角形，熟练掌握圆的相关性质和相似三角形的判定是解题的关键． 24. 如图，抛物线经过点，，顶点为．抛物线（为常数），与轴交于点，（点，不重合，且点在点左侧），顶点为． （1）求对应的函数解析式及点的坐标； （2）嘉嘉说：的顶点在上． 淇淇说：的顶点在上． 请选择一人的说法进行说理； （3）若， ①连接，当与互相平分时，求的值； ②设点的横坐标为．直接写出的取值范围． 【答案】（1）​的解析式为，点M坐标为 （2）见详解 （3）①；②的取值范围为 【解析】 【分析】（1）用交点式求的解析式，再化为顶点式得坐标； （2）将或的坐标代入对方的抛物线解析式验证； （3）①利用与互相平分得四边形为平行四边形，列方程求解； ②求​与轴交点，结合求的范围． 【小问1详解】 解：因为过，用交点式设： 展开得． 当时，，代入得 解得． 所以的解析式为： 配方得顶点式： 因此顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：选择嘉嘉， 已知​的顶点坐标为． 将代入​的解析式得， 化简： 该等式对任意都成立，因此恒在上，嘉嘉的说法正确． 选择淇淇， ​的顶点式为，顶点坐标为． 将代入​的解析式： 与点的纵坐标相等，故在​上，淇淇的说法正确． 【小问3详解】 解：①∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴与的中点重合． ∵是​与轴的左交点， 令，解得， 即 ∵， ∴的中点坐标为． ∵，， ∴的中点坐标为． 由中点重合，纵坐标相等得， 整理得， ∴ 解得（负根舍去）； ②C点横坐标． 令，则， ∴． ∵ ∴ ∴ 即． 【点睛】本题考查二次函数的解析式求解、顶点坐标计算、点与抛物线的位置关系及平行四边形性质的应用．解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $