精品解析：四川省绵阳市盐亭县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季九年级（上）期末教学质量监测试卷 （数学） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 下列事件：①367人中至少2人的生日相同；②抛掷一枚骰子2次，所得点数之和大于2；③在标准大气压下，温度低于时冰融化；④今晚7点，打开电视收看，正在播放新闻联播．其中，必然事件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”（1尺寸）．则的长度是（ ） A. 寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 5. 司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将八等分（图2中的点为八个等分点），连接、、，与的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 点钟后，从时针到分针第二次成角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数）． A. B. C. D. 7. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个反比例函数的图象经过，两点，则n的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 9. 将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，点A对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行一场比赛，共需比赛15场，则九年级班级的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 11. 已知关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 10 12. 如图，平行四边形中，，以为直径的圆经过点C，点Q为线段上的动点（不与O、C重合），过点Q作直线于D，交直线于P．①点B的坐标是；②直线的解析式是：；③当时，直线与已知圆相切；④直线与圆看似相切，实则相交．以下结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，是的直径，是上一点，点是弧的中点，于点，交于点，已知，的半径为2，则的长为__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交的图像于B，C两点，若的面积是3，则k的值为_________． 15. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______． 16. 若是方程的根，则的值为_____ 17. 对于二次函数，若当时的函数值与时的函数值相等，则二次函数的最小值为______. 18. 已知直角三角形外接圆的半径为6，内切圆的半径为2，那么这个直角三角形的面积是__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程① ② （2）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支？ 20. 甲、乙两名同学投掷一枚骰子，用字母p，q分别表示两人各投掷一次的点数． （1）求满足关于x的方程有实数解的概率． （2）求（1）中方程有两个不相等实数解的概率． 21. 掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 22. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 23. 数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： （1）建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． （2）画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． （3）观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． （4）得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 24. 如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． （1）求证：； （2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线； （3）求的半径． 25. 如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式． （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点(在第一象限内)使得，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级（上）期末教学质量监测试卷 （数学） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案． 【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 3. 下列事件：①367人中至少2人的生日相同；②抛掷一枚骰子2次，所得点数之和大于2；③在标准大气压下，温度低于时冰融化；④今晚7点，打开电视收看，正在播放新闻联播．其中，必然事件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查的是对必然事件的概念的理解，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，随机事件就是可能发生也可能不发生的事件， 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.根据定义即可判断． 【详解】解：①367人中至少2人的生日相同，是必然事件； ②抛掷一枚骰子2次，所得点数之和大于2，是随机事件； ③在标准大气压下，温度低于时冰融化，是不可能事件； ④今晚7点，打开电视收看，正在播放新闻联播，是随机事件； 故选：A． 4. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”（1尺寸）．则的长度是（ ） A. 寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，根据垂径定理，由可求出的长，设的半径为，则，表示出，在中，根据勾股定理建立关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：连接， 寸， 寸， 设的半径为，则， 寸， ， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， 寸， 故选：D． 5. 司南（如图1）是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图2，圆心为O，根据八个方位将八等分（图2中的点为八个等分点），连接、、，与的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆的基本性质，连接，，，，由正八边形得，由由对称性可知是的直径，由圆的基本性质得，即可求解；掌握正多边形与圆，圆的基本性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，， 点、、、、、、、是的八等分点， ， ， 由对称性可知，是的直径， ， ． 故选：C． 6. 点钟后，从时针到分针第二次成角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了钟表问题、一元一次方程的应用，解题的关键是掌握分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为． 先设共经过分钟，根据点钟可知现在时针与分针的角度为，再根据时针每分钟转过的角度为度，分针每分钟转过的角度为6度，可得时针走的角度为，分针走的角度为，最后根据时针到分针第二次成角列出方程求解即可． 【详解】解：设共经过分钟， 据题意得： 解得： 答：共经过分钟． 故选：D． 7. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键；由题意易得，然后根据扇形面积公式及割补法可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 8. 若一个反比例函数的图象经过，两点，则n的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义，设函数为，利用点 P 求出常数 k，再代入点 Q 的坐标求解n． 【详解】解：∵ 反比例函数图象经过点 ， ∴ ，解得， ∴ 函数解析式为， ∵ 图象经过点， ∴， 整理得， 两边除以得， ∴， 故选A． 9. 将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，点A对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过过作轴于C，由旋转的性质得，，可得，证明，根据全等三角形的性质得，，即可求解． 本题考查坐标与图形的性质−旋转，作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质求解是解题的关键． 【详解】解：过作轴于C， ∴， ∵，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故选A． 10. 某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行一场比赛，共需比赛15场，则九年级班级的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设九年级班级个数为x个，由每个班级都要比赛场，且两个班级之间的比赛只算作一场列出方程求解即可． 【详解】解：设九年级班级个数为x个， 由题意得， ∴， 解得或（舍去）， ∴九年级班级个数为6个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 11. 已知关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组得出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于的范围，由方程有实数根知且，解得且，继而可得符合条件的整数和． 【详解】解：解不等式得：， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴整数解为，，，0， ∴， 解得：， 关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得且， 在且中，符合条件的整数和为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 12. 如图，平行四边形中，，以为直径的圆经过点C，点Q为线段上的动点（不与O、C重合），过点Q作直线于D，交直线于P．①点B的坐标是；②直线的解析式是：；③当时，直线与已知圆相切；④直线与圆看似相切，实则相交．以下结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据平行四边形的性质得，证明四边形是矩形，可得，可得点B的坐标；②利用待定系数法可得直线的解析式；③过的中点G作于F，交于，可求出，的长；④连接，求出的度数判断是否相切． 【详解】如图，连接， ∵是圆的直径， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形，同理，四边形是矩形， ， ∴，故①不正确； ②∵点A的坐标为， 设直线的解析式为：， 则，解得， ∴直线的解析式为：，故②正确； 如图2，过的中点G作于F，交于， 则是的中点， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴直线与已知圆相切，故③正确； ④连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴直线与圆相切，故④错误； 故正确的为②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题是圆的综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，直线和圆相切的判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，掌握圆与平行四边形的性质是关键． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，是的直径，是上一点，点是弧的中点，于点，交于点，已知，的半径为2，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的推论、等边三角形判定与含的直角三角形的性质． 通过弧中点推导垂直关系，结合中位线定理与角度关系，利用含的直角三角形的性质计算线段长度． 【详解】解：如图，连接，连接与交于点． ∵，的半径为， ∴，为等边三角形， ∴； ∵点是弧的中点， ∴， ∴，且为的中点． ∴是的中位线， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，，， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交的图像于B，C两点，若的面积是3，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数k的几何意义即可求出k的值． 【详解】如图所示：连接、， ∵轴， ∴， ∴ ， 又∵的面积是3， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义常考的几种类型是解题的关键． 15. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用． 设周平均增长率为，根据第三周阅读人次是第一周的倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设周平均增长率为， 则 （舍去负值） ． 故答案为：40． 16. 若是方程的根，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算即可求出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： ． 17. 对于二次函数，若当时的函数值与时的函数值相等，则二次函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，进而得出，根据抛物线开口向上，最小值即为时的函数值，代入，即可 【详解】解：∵当时的函数值与时的函数值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴ ∵抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性求得对称轴是解题的关键． 18. 已知直角三角形外接圆的半径为6，内切圆的半径为2，那么这个直角三角形的面积是__________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的性质，直角三角形内切圆的性质，勾股定理，完全平方公式及直角三角形的面积公式．利用直角三角形外接圆半径与斜边的关系求斜边，再通过内切圆半径公式求两直角边和，结合勾股定理和完全平方公式求两直角边乘积，最后计算面积． 【详解】解：如图，点O是的外心，点D是的内心，E、F、M是的内切圆与各边的切点， 设，，则有， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为28， 故答案为：28． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程① ② （2）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支？ 【答案】（1）， （2）， （3）每个枝干长出6个小分支 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法与实际应用； （1）①利用配方法求解方程即可； ②利用因式分解法求解方程即可； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是43”即可列方程． 【详解】（1）解方程① ， ， ， ， ，； ② ， ，； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支， 由题意得：， 解得， 由于实际问题，故， 即每个枝干长出6个小分支． 20. 甲、乙两名同学投掷一枚骰子，用字母p，q分别表示两人各投掷一次的点数． （1）求满足关于x的方程有实数解的概率． （2）求（1）中方程有两个不相等实数解的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，一元二次方程根的判别式． （1）根据题意列表一共有种等可能的结果，再结合一元二次方程根的判别式可得关于x的方程有实数解的结果有种，然后利用概率公式计算即可； （2）根据（1）中表格，结合一元二次方程根的判别式可得关于x的方程有两个不相等实数解的结果有种，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：（1）列表如下，由表格可知两人投掷骰子共有种等可能的情况． 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∵方程有实数解， ∴，即， ∴当时，，q可以取6、5、4、3、2、1，共6种， 当时，，q可以取6、5、4、3、2、1，共6种， 当时，，q可以取4、3、2、1，共4种， 当时，，q可以取2、1，共2种， 当时，，q可以取1，共1种， 当时，，没有符合要求的q值， ∴关于x的方程有实数解的结果共有：（种）， ∴关于x的方程有实数解的概率为； 【小问2详解】 解：∵方程有两个不相等实数解， ∴，即， ∴当时，，q可以取6、5、4、3、2、1，共6种， 当时，，q可以取6、5、4、3、2、1，共6种， 当时，，q可以取3、2、1，共3种， 当时，，q可以取2、1，共2种， 当时，，没有符合要求的q值， 当时，，没有符合要求的q值， ∴关于x的方程有两个不相等实数解的结果共有：（种）， ∴关于x的方程有两个不相等实数解的概率为． 21. 掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 【答案】（1） （2）该男生在此项考试中得优秀 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 22. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】（1）①45；②； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）略 （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： （1）建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． （2）画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． （3）观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． （4）得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 【答案】（1）一 （2） 如图所示： （3）当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点 （4） 【解析】 【分析】（1），分别为矩形相邻两边的长，取值应为正数； （2）直线为过原点和点的一条直线； （3）①将代入求解即可；②联立和整理得关于的一元二次方程，通过根的判别式讨论解的情况即可； （4）由（3）②可知当直线与函数的图象在第一象限有交点时的取值范围即为所求． 【小问1详解】 解：因为，分别为矩形相邻两边的长，所以， ，则满足要求的交点应在第一象限； 故答案为：一． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①将代入，解得， 故周长的值为12． ②联立和整理得， 当时，该方程无解，有0个交点，即，解得； 当时，该方程有2个解，有2个交点，即，解得； 综上，当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点． 【小问4详解】 由（3）知，当直线与函数的图象在第一象限有交点时，满足矩形的面积为，此时； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象平移、一次函数与反比例函数的交点和一元二次方程根的情况，熟练掌握联立一次函数与反比例函数的解析式求交点和根的判别式是解题的关键． 24. 如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． （1）求证：； （2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线； （3）求的半径． 【答案】（1） 证明：∵点是弧的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2） 证明：连接交于点．如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，又由，，即可证明； （2）连接交于点．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线； （3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径为． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵点是的中点， ∴点是的中点． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）． ∴的半径为． 【点睛】此题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 25. 如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式． （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点(在第一象限内)使得，求点坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；抛物线解析式为 （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，面积问题； （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，把，代入后求出，的值即可得出的解析式；将代入求出即可得出抛物线解析式； （2）需要分类讨论：，，，利用线段的长度来求点的坐标； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式列出方程，然后解出的值即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为； 把代入得， 所以抛物线解析式为； 【小问2详解】 ∵ ∴， ①当时，或； ②当时，点是线段的垂直平分线与轴的交点． 设 解得： ． ③当时， ； 解得：（舍去）或 ∴； 综上所述，符合条件的点的坐标为：或或或． 【小问3详解】 联立， 解得：， ∴， ∴ 设， ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $