第1部分 专题2 关键能力提升二 数学工具在力学问题中的应用-【金版教程】2026年高考物理大二轮大考试题精选重组全书word

关键能力提升二　数学工具在力学问题中的应用

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1．(2025·云南卷，6)如图所示，质量为m的滑块(视为质点)与水平面上MN段的动摩擦因数为μ1，与其余部分的动摩擦因数为μ2，且μ1>μ2。第一次，滑块从Ⅰ位置以速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x1，所用时间为t1；第二次，滑块从Ⅱ位置以相同速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x2，所用时间为t2。忽略空气阻力，则(　　)

A．t1<t2   B．t1>t2

C．x1>x2   D．x1<x2

答案：A

解析：设MN段的长度为x0，滑块在除MN段外通过的位移为x′，则整个过程的位移为x＝x0＋x′，整个过程由动能定理得－μ1mgx0－μ2mgx′＝0－mv，由题意可知，滑块两次在MN段的位移x0相等，则两次在除MN段外通过的位移x′也一定相等，所以x1＝x2，C、D错误；由μmg＝ma可知，滑块在MN段的加速度大小为a1＝μ1g，在除MN段外的加速度大小为a2＝μ2g，因为μ1>μ2，则a1>a2，据此作出滑块第一次滑动的v­t图像如图中折线Ⅰ所示，由于第二次的释放点距离M较近，则滑块第二次到达M点的速度比第一次的大，根据v­t图像与t轴所围面积表示位移，可知两次滑块通过MN段时v­t图线与t轴所围梯形面积相等，由此可作出滑块第二次滑动的v­t图像如图中折线Ⅱ所示，由图可直观地看出t1<t2，A正确，B错误。

2．(2024·湖南卷，10)(多选)如图，光滑水平面内建立直角坐标系xOy。A、B两小球同时从O

点出发，A球速度大小为v1，方向沿x轴正方向，B球速度大小为v2＝2 m/s，方向与x轴正方向夹角为θ。坐标系第一象限中有一个挡板L，与x轴夹角为α。B球与挡板L发生碰撞，碰后B球速度大小变为1 m/s，碰撞前后B球的速度方向与挡板L法线的夹角相同，且分别位于法线两侧。不计碰撞时间和空气阻力，若A、B两小球能相遇，下列说法正确的是(　　)

A．若θ＝15°，则v1的最大值为 m/s，且α＝15°

B．若θ＝15°，则v1的最大值为 m/s，且α＝0°

C．若θ＝30°，则v1的最大值为 m/s，且α＝0°

D．若θ＝30°，则v1的最大值为 m/s，且α＝15°

答案：AC

解析：由于水平面光滑，则除碰撞过程外，两小球均做匀速直线运动，设B球与挡板在P点处碰撞，两小球在D点处相遇，B球从O点运动到P点所用时间为t1，从P点到D点所用时间为t2，根据题意，画出A、B的运动轨迹图如图所示，在△OPD中，根据正弦定理有＝＝，由几何关系知，∠ODP＝α＋α＋θ＝2α＋θ，∠OPD＝2(90°－α－θ)＝180°－(2α＋2θ)，由匀速直线运动规律有OP＝v2t1，PD＝v2′t2，OD＝v1(t1＋t2)，其中v2′＝1 m/s，联立并代入数据，可解得v1＝ m/s。令β＝α＋θ，则v1＝ m/s＝ m/s＝ m/s＝ m/s＝ m/s，由数学不等式可知，θ确定时，当且仅当＝时，v1取最大值，可解得此时的β＝θ＋α＝30°。将数据代入可知，若θ＝15°，则v1的最大值为v1m＝ m/s，且α＝15°，若θ＝30°，则v1的最

大值为v1m＝ m/s，且α＝0°，故A、C正确，B、D错误。

3．(2025·湖北卷，15)如图所示，一足够长的平直木板放置在水平地面上，木板上有3n(n是大于1的正整数)个质量均为m的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、3n，木板的质量为nm。相邻滑块间的距离均为L，木板与地面之间的动摩擦因数为μ，滑块与木板间的动摩擦因数为2μ。初始时木板和所有滑块均处于静止状态。现给第1个滑块一个水平向右的初速度，大小为(β为足够大常数，g为重力加速度大小)。滑块间的每次碰撞时间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

(1)求第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间，第1个滑块的速度大小。

(2)记木板滑动前第j个滑块开始滑动时的速度为vj，第j＋1个滑块开始滑动时的速度为vj＋1。用已知量和vj表示vj＋1。

(3)若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求β的值。

提示：12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)

答案：(1)

(2)vj＋1＝

(3)

解析：(1)分析可知，第1个滑块与第2个滑块碰撞前，木板处于静止状态。第1个滑块从开始滑动至与第2个滑块碰撞前瞬间的过程，初速度大小v1＝，末速度大小设为v1′，对第1个滑块由动能定理有－2μmgL＝mv1′2－mv

解得v1′＝。

(2)第j个滑块从开始滑动至与第j＋1个滑块碰撞前瞬间的过程，初速度大小为vj，末速度大