山西太原市2025-2026学年第一学期九年级期末学业诊断数学试卷

太原市2025-2026学年度第一学期九年级期末质量检测 数学参考答案与评分建议 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 5 6 7 8 9 10 选项 C B B A D 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.10 14.2 15. 4v10 5 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16.(本题2个小题，每小题4分，共8分) 解：（1)移项，得x2-2x=1. 配方，得 x2-2x+1=2 (x-1)2=2. 1分 两边开平方，得x-1=±√2 2分 所以，x-1=√2或x-1=-√2， 所以，x=√2+1，x2=-√2+1. 4分 (2)原方程可变形为(x+2)(x-2)-2(x+2)=0. 方程左边分解因式，得x+2)x-4)=0. .1分 所以，x+20或x-40. 2分 所以，X1=-2,2=4.4分 17.(本题6分) 解：四边形BECF是菱形 1分 D 理由：，BF∥CE,CF∥BE, E .四边形BECF是平行四边形..2分 ,四边形ABCD是矩形， B ∴.AB=CD,∠A=∠D=90. .3分 九年级数学答案第1页 ,E是AD的中点， ..EA=ED. ∴，△ABE≌△DCE. .4分 ..BE-CE. 5分 ,四边形BECF是平行四边形， ∴.□BECF是菱形. 6分 18.(本题5分) 解：所有可能的结果列表如下（树状图同样得分）： 2分 星星社团 A 薪火社团 ◇ A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) 0 (C,A) (C,B) (C,C) 由表格可知，所有可能的结果共有9种， 3分 每种结果出现的可能性相同， 4分 其中两个社团代表抽到的恰好是同一个红色教育基地书签的结果有3种， 所以，P(两个社团代表抽到的恰好是同一个红色教育基地书签)=3_} .5分 93 19.(本题6分) 87000 解：(1)反比例，y= 2分 (2)2175; 3分 (3)当y=20000时，20000= 87000 解，得x=4.35. .4分 87000 因为反比例函数y= 中，k=87000>0, 所以，当x>0时，y随x的增大而减小 即当y≤20000时，x≥4.35， 5分 所以，x的最小值为4.35. 答：吸管的长度最短应是4.35mm. .6分 九年级数学答案第2页 20.(本题6分) 解：设每套人脸识别门锁应降价x元 .1分 根据题意，得1600-x-1200)8+4× 0 5000. 3分 整理，得x2-300x+22500=0. 解，得=x2=150 .5分 答：每套人脸识别门锁应降价150元. 6分 21.(本题6分) 解：(1)③： 1分 (2)如图，过点A作AB⊥MN于点B, .∠ABD=90° 由题可知，DF=5.52m,∠ADB=31°，∠AFB=42° 在Rt△ABD中，∠ABD=90°，tan∠ADB=AB D. BD 则BD=AB AB AB tan∠ADB tan31°0.600 2分 在Rt△AFB中，∠ABD=90°，tan∠AFB=AB BE 则BF= AB AB AB .3分 tan AFB tan42°~0.900 .DF=BD-BF, .ABAB ≈5.52 4分 0.6000.900 解，得AB=9.936≈9.9m… 5分 答：雕塑的实际高度约为9.9m. 6分 22.(本题7分) 解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， AB=AD,CB=CD,∠B=∠D. 1分 .CE=CF, ∴.CB-CE=CD-CF, 即BE=DF .2分 '.五边形ABEFD是等腰五边形 .3分 九年级数学答案第3页 (2)①等腰五边形的两个底角相等；4分 ②答案不唯一，合理即可. 5分 例：如答图1，连接BD,CE,则BD=CE: 如答图2，连接BE,则BElICD: 如答图3，取CD的中点G,连接AG,则AG⊥CD(或AG平分∠BAE)… 图1 图2 图3 (3)3或3√3 7分 23.(本题11分) 解：（1)四边形CDHF是正方形..1分 证明：，四边形ABCD是矩形， .∠BCD=∠D=90°，DC=AB. 2分 ,MN是线段CE的垂直平分线，垂足为点F, :.MNLCE,EF-CF-LCE, .∠CFH=90°， 四边形CDHF是矩形 .3分 CE-2AB,AB-I CE, 2 :.DC=1 cE. 2 .CR=-CE,.DC=CF. 2 ∴.矩形CDHF是正方形 4分 2)ic3 CD. 理由如下： 由(1)得，DC=AB=1CB,∠D=90°. 2 ,点E与点A重合， 九年级数学答案第4页 DCA5 2 ∴在Rt△ADC中，∠D-90°，sin∠DAC=DC=1 AC2 .∠DAC=30°， 6分 ,MN是AC的垂直平分线，垂足为点G, ∴NLAC,AG=CG=LAC 2 .∠AGH=90°，DC=AG 7分 在Rt△AGH中，tan∠HAG=HG AG .∠HAG=30°， :C=tam30°- 3 ,.HG= √3 AG AG 3 即iG=V3 CD 3 8分 (3)10°或50°或70°. ………………11 【评分说明】上述解答题的其他解法，请参照此标准评分 九年级数学答案第5页2025~2026学年第一学期九年级期末学业诊断 数学 (考试时间：上午8：00一9：30) 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器.答题时间90分钟 题目 选择题 填空题 解答题 总分 总评 制 得分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑 : 1.反比例函数)6的图象一定经过的点是 A.(2,3) B.(-4,-2) C.(3,-2) D.(6,-1) 2.柱础石是中国建筑石构件中的一种，在传统砖木结构建筑中用以负荷与防潮 翠 如图是一种空心柱础石的示意图及其主视图（柱础石中空的部分是圆柱形）， 则其左视图是 个正面 主视图 B C D (第2题图) 3.关于x的一元二次方程的两根为x=-1,x2=2,则这个一元二次方程可能是 A.(x+1)(x+2)=0 B.(x-1)(x-2)=0 C.(x+1)(x-2)=0 D.(x-1)(x+2)=0 4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC与△DEF是第一 象限内以点O为位似中心的位似图形.若OA:OD=1:3,点D的坐标为 (6,9),则点A的坐标为 A.(2,3) B.(3,4.5) 0 C.(4,6) D.(3,2) (第4题图)》 5.为分析一元二次方程x=3x-1根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是 A.32+2×1×(-1)=7 B.(-3)2-4×1×(-1)=13 C.(-3)2-1x1=8 D.(-3)2-4×1×1=5 九年级数学第1页（共8页） 6.在花艺造型中，黄金分割率被赞誉为最美的比例.如图，在竖向的花艺作品中，花材的高 AC、花器的高BC以及整体作品的高AB满足黄金分割率，即 BC AC ≈0.618.若要使花艺 AC AB 造型满足黄金分割率，且整体作品高AB=50cm,则花材的高AC约为 A.19.1cm B.30.9cm C.11.8cm D.38.2cm 7.如图，利用几个全等的直角三角板（含30°角）拼摆成如下的四边形ABCD, (第6题图) 其中是菱形但不是正方形的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.近年，我省文博场馆旅游热潮持续升温，全省文旅市场呈现“人气旺、活力足”的繁荣景象 据统计，2023年国庆期间文博场馆门票收入约为1247万元，2025年国庆期间文博场馆门票 收入约为1774万元.设连续两年国庆期间文博场馆门票收入的年平均增长率为x,则下面 所列方程正确的是 A.1247(1+x)2=1774 B.1247(1+x%)2=1774 C.1774(1-x)2=1247 D.1247+1247(1+x)+1247(1+x)2=1774 9.已知反比例函数)=-4的图象经过点P(x,）,Q(x,),则下列结论一定成立的是 A.点P,Q在同一个象限 B.若x1<-1,则y>4 C.若x<2,则y<y2 D.=当 x2 yi 0 10.如图，小彬将两根长度相等的细木条的一端固定（固定点记为O),制成一个 可以活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径AB.已知OA=OB=30cm, ∠AOB=20°，则储物内径AB的长为 A.60tan10°cm B.30tan20°cm C.60sinl0°cm D.30sin20°cm (第10题图) 九年级数学第2页（共8页） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置 11.用配方法解一元二次方程x2-6x=1时，配方后所得方程为 (x-3)2=▲ 12.如图，A,B,C均在正方形网格中的格点（小正方形的顶，点）处， (第12题图) 则cosB的值为▲， 13.2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源 9 为骥骥 于中国不同时期马的经典形象.如图是一个电子转盘，被等分成四 个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案.电子转盘的运 骋骋 驰驰 (第13题图) 行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当 前区域随机转到相邻两个区域中的某一个，若指针从“骥骥”所在区域 开始，按两次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为▲ 14.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在反比例函数y=m(x>0)和 (第14题图) y=-3(x>0)的图象上，点C是y轴上的一个动点，连接AC,BC,AB 若AB∥y轴，且△ABC的面积为2.5，则m的值为△ 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,点D是AB边的一 个三等分点(AD<BD),点E在BC边上，线段AE,CD交于点F.A D 若∠AEB=∠ADC,则EF的长为▲ (第15题图) 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程. 16.(每小题4分，共8分)用适当的方法解下列一元二次方程。 (1)x2-2x-1=0: (2)x2-4=2(x+2). 九年级数学第3页（共8页） 17.(本题6分)如图，矩形ABCD中，点E是AD边的中点，连接EB,EC,点F是矩形外一点，连 接BF,CF若BF∥CE,CF∥BE,判断四边形BECF的形状，并说明理由. 世 18.(本题5分)学校开展“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的国防教育活动，组织同学们 $ 到三处红色教育基地学习，分别是：山西国民师范旧址革命活动纪念馆、太原解放纪念馆、 彭真生平暨中共太原支部旧址纪念馆.薪火社团和星星社团收集了三枚红色教育基地的 公 书签（除正面图案外完全相同，分别记为A,B,C).现将三张书签背面朝上放置于桌面，搅 匀后由薪火社团代表先从中随机抽取一张，记下图案名称后放回搅匀；由星星社团代表再 随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求两个社团代表抽到的恰好是同一个红色教 育基地书签的概率 山西国民师范旧址革命活动纪念馆 太原解放纪念馆 彭真生平暨中共太原支部旧址纪念馆 A B C 九年级数学第4页（共8页） 19.(本题6分)综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另 一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音.大家利用专 业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的 振动频率，部分数据如下表： 吸管长度x(mm) 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y(Hz 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： (1)观察振动频率y(Hz)随吸管长度x(mm)变化的规律，可知y是x的▲函数（选填： “一次”或“反比例”)，y与x之间的函数关系式为▲； (2)若一根同型号吸管的长为40mm,按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率 为▲Hz; (3)已知人耳通常能够感知的声波频率不超过20000Hz.若要用此型号吸管吹出人耳能正 常感知的声音，吸管的长度最短应是多少？ 20.(本题6分)AI智能家居已经悄悄融入我们的日常生活，人脸识别门锁就是AI智能家居产： 品中常见的一种.某商家销售一款人脸识别门锁，每套进价为1200元.调查发现，当销售 价为1600元时，平均每天能售出8套：而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出 4套.该商家要使这款人脸识别门锁平均每天的销售利润为5000元，每套应降价多少元？ 九年级数学第5页（共8页） 21.(本题6分)研学实践 研学主题：在太原市五一广场的南广场上，一座大型雕塑《力量》傲 然矗立.该雕塑展现了八路军部队集结于首义门外准 备开赴抗日前线，广大太原民众自发欢送将士北上抗 日的历史情景.研学实践活动中，同学们利用所学知识测量这座雕塑的高度 方案设计：如图，点A表示雕塑最高点，矩形MNPQ表示雕塑基座，测倾器安装在雕塑旁水 平地面上点C处.凋整测倾器高度，使测倾器顶部D与MW在同一水平直线上， 同时测得点A的仰角∠ADM=31°：保持测倾器高度不变，沿DM方向移动测倾器 到点E,测倾器顶部F也在直线MN上，测得点A的仰角∠AFM=42°.图中各点均 在同一竖直平面内 问题解决：(1)同学们发现根据上述方案得到的信息，仍无法计算出雕塑的实际高度（即，点 A到MN的距离)，他们计划补充测量如下数据： ①测倾器的高度CD: ②基座的宽度MN; ③测倾器移动的距离DF;④测倾器最初位置到基座的距离DM, 这四个补测数据中仅有一个能求出雕塑的实际高度，这个数据是△ (填序号即可)； (2)若(1)中符合要求的数据测量结果是5.52m,请根据你所选择的数据求出雕塑 的实际高度（即，点A到MN的距离.结果精确到0.1m.参考数据：sin31°≈0.515， cos31°≈0.857，tan31°≈0.600，sim42°≈0.669，cos42°≈0.743，tan42°≈0.900) D 九年级数学第6页（共8页） 22.(本题7分)阅读与思考 下面是一篇数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务， 等腰五边形 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.运用已有经验，可以对 其他特殊图形展开探究.下面我们按照“定义一性质一判定”的路径研究“等腰五边形” 定义对象：如图1，在凸五边形ABCDE中，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分要素名 称如图1所示 顶角 上 上腰 由定义直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两 B)旁角 旁角QE 条下腰相等，两个旁角相等； 下腰 下腰 分析性质： 角 底边 D ①从整体看，等腰五边形是轴对称图形： 图1 ②从局部看，关于底角：…；关于对角线： 任务： 概念理解：(1)已知：如图2，正方形ABCD中，点E,F分别在BC, D CD边上，且CE=CF,连接EF 求证：五边形ABEFD是等腰五边形： 性质探究：(2)根据定义，进一步探索等腰五边形的其他性质. ①写出等腰五边形底角的性质： C 图2 ②如图3，已知等腰五边形ABCDE,其中AB=AE,BC=ED,∠B=∠E.在图3中 适当添加线段，可以获得关于等腰五边形性质的相关结论 例：在图3中连接AC,AD,得到图4，则AC=AD 请仿照上例，在图3中添加其它线段（画出添加的线段，说明添加方法），写出相 应的一个结论： D 图3 图4 图5 应用拓展：(3)如图5，在一张菱形纸片ABCD中，∠A=60°，AB=6,点P,Q分别在菱形ABCD的 组邻边上（不与顶点重合），连接PQ,可将菱形纸片分成两部分，其中一部分的 形状是以PQ为底边的等腰五边形，若其面积是菱形ABCD面积的？，则PQ的 长为▲ 九年级数学第7页（共8页） 23.(本题11分)综合与探究 问题情境：数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题 已知四边形ABCD是矩形，BC<2AB,AC是它的一条对角线，点E是平面内的一 个动点，且CE始终等于2AB,作线段CE的垂直平分线MW,MN分别交直线BC, AC,AD于点F,G,H 特例探究：(1)如图1，小敏画出了点E在线段CB的延长线上时的图形.判断此时四边形 CDHF的形状，并证明你的结论； (2)如图2，小捷画出了点E与点A重合时的图形.猜想线段HG与CD之间的数 量关系，并说明理由； 拓展延伸：(3)保持(2)中的矩形ABCD形状不变，小琪继续改变点E的位置（不再与点A重 合)，且其他条件不变.请直接写出直线EF经过点A时，∠AEC的度数 些 M M 焙 H (E)4 D D G G F B C N 图1 图2 备用图 九年级数学第8页（共8页）