精品解析：湖南省长沙市周南梅溪湖中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

湖南省长沙市周南梅溪湖中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题 考试时间：2026年1月26日 （考试范围：第13章~第18章） 本试卷共4页，25小题，满分120分，考试用时：120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 雕窗是我国古代一种常见的窗户样式，其外框为圆形，中间具有精美的图案．如图，琳琳家的一个雕窗出现了破损，为买到同款雕窗，她应前往商店购买的样式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等图形，根据形状大小都相同的图形为全等形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，琳琳应前往商店购买的样式与原来的样式形状大小都相同，观察图形，只有B选项的图形符合题意； 故选B． 2. 小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（ ） A. 三角形的内角和为 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：三角支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 3. 若，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，因此，成立的条件是 ，即． 【详解】解：∵ 零指数幂的定义：当时，， ∴ 成立的条件是，即。 因此，满足的条件是． 故选：C． 4. 可以表示为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂乘方、同底数幂的乘法，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题关键．逐项检查每个选项是否可约分，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是最简分式，选项错误； B、，不是最简分式，选项错误； C、，不是最简分式，选项错误； D、，是最简分式，选项正确； 故选：D． 6. 如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形结合全等三角形的判定方法求解即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵根据图形，三角形未遮挡部分满足“角边角”，根据全等三角形的判定，小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴这两个三角形全等的依据， 故选：． 7. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( ) A. 3.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3 ∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6， ∴AP的长不能大于6． ∴ 故选D． 8. 如图，的外角的平分线交的延长线于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，先根据邻补角的定义求得的度数，再利用角平分线的定义求得的度数，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．可知的度数即为的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， 所以的值为． 故选：B． 9. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点D、E，连接，若的周长为的周长为12，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的定义和性质，得到，根据三角形周长公式，得到的周长为，结合的周长求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交边于点D、E， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴， ∴； 故选A． 10. 如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为的正方形场地．场地甲中间有一个边长为的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为、宽为的长方形花卉区，下方为草坪．已知，设甲、乙两块场地中草坪面积的比为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，不等式的性质，根据图形分别用含a、b的式子表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． 【详解】解：甲中草坪面积为，乙中草坪面积为， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案填入答题卡上相应位置．） 11. 已知点的坐标是，则点关于轴的对称点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此即可得解． 【详解】解：点的坐标是，则点关于轴的对称点坐标是， 故答案为：． 12. 已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在中，，是边上的高．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质．熟悉等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、高重合，简称“三线合一”，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质，边上的高同时也是底边的中线，计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵是边上的高 ∴． 故答案为：． 14. 若，则a的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解：∵， 又， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，正确掌握计算法则是解题的关键． 15. 已知，，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 16. 如图，等边中，过点作直线是直线上的动点，当取最小值，的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，利用轴对称的性质作辅助线是解题关键．作点关于直线的对称点，连接、，当点、、三点共线时，有最小值，此时点为与直线的交点，利用等边三角形的性质和等边对等角的性质，以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、，则， 即当点、、三点共线时，有最小值，此时点为与直线交点， 等边， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、20题每小题6分，第18、19、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式和公式法进行因式分解． （1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先展开，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式和分式的乘方与乘法运算，正确运用运算法则是解题的关键． （1）将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可； （2）先计算分式的乘方，再通过约分完成分式乘法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解． （1）根据解分式方程的步骤先去分母，等式两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程求解，再检验即可； （2）根据解分式方程的步骤先去分母，等式两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【小问1详解】 解：两边同乘以，去分母得 检验：当时， ∴原分式方程无解； 【小问2详解】 解：两边同乘以，去分母得 检验：当时， ∴原分式方程的解为 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：原式， ，即有， ∴原式． 21. 如图，点A、D、C、F在同一直线上，． （1）求证：； （2）若，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用，证明即可； （2）全等三角形的性质，推出，线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ，即， ∵，即：， ∴． 22. 如图，中，以为圆心，长为半径画弧，交于另一点，连接，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定定理和三角形内角和定理是解题的关键． （1）由作图方法可得，则可证明，进而由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论； （2）设，则，，，再根据三角形内角和定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：根据作图痕迹可知， ， 又， ，即有 ， ，即是等腰三角形； 【小问2详解】 解：， ∴设， ， ，， 中， 即，解得 ． 23. 假期将至，学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买种花卉的数量是用320元购买种花卉的数量的2倍．求A、B两种花卉的单价． 解：［法一］设种花卉价格为元／枝，根据题意可列出方程：① ； ［法二］设② ，根据题意可列出方程：． （1）法一中①处应填：___________，法二中②处应填：___________． （2）任选其中一种方法解答此题． 【答案】（1）；320元购买种花卉的数量设为枝； （2）种花卉的单价是20元/枝，种花卉的单价是25元/枝． 【解析】 【分析】该题考查分式方程的实际应用，解题的关键是找到题目中的等量关系并列出方程． （1）根据题中数量关系“用800元购买种花卉的数量是用320元购买种花卉的数量的2倍”列方程即可；根据所给方程及题目条件，分析方程中各量的意义． （2）根据法一和法二解分式方程即可求解． 【小问1详解】 解：法一：设种花卉价格为元/枝，则种花卉价格为元/枝， 根据题意可列出方程：； 法二：设320元购买种花卉的数量为枝，则800元购买种花卉的数量为枝， 根据题意可列出方程：； 故答案为：；320元购买种花卉的数量设为枝； 【小问2详解】 解：选择法一：， 去分母，得， 解得：， 经过检验是原方程的解， ， 答：种花卉的单价是20元/枝，种花卉的单价是25元/枝． 选择法二：， 去分母，得， 解得：， 经过检验是原方程的解， ， 答：种花卉的单价是20元/枝，种花卉的单价是25元/枝． 24. 在比较两个数或式子的大小时，常常采用“作差法”：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则， 结合上述材料，完成下列问题： （1）填空：若，则___________（填“>”“=”“<”）． （2）若，求证：不论取何值，始终有成立； （3）若关于的多项式（为大于0的常数）有一个因式是，试判断此多项式的另一个因式与的大小关系． 【答案】（1）> （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】该题考查了整式的混合运算，完全平方公式，因式分解． （1）根据作差法解答即可； （2）求出即可解答． （3）根据多项式有一个因式是，设，从而得出，则，解得，求出多项式的另一个因式是，令，然后分为当时，当时，当时，分别比较即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：>； 【小问2详解】 证明：令， ， ， ， ∴不论取何值，始终有成立． 小问3详解】 解：∵多项式有一个因式是， ∴设， ∵ ， ∴， ∴， ， ∴多项式的另一个因式是， 令， 当时，或，此时； 当时，或，此时； 当时，，此时． 25. 若两个等腰三角形的顶角顶点重合，且顶角之和等于，我们称这两个等腰三角形互为“顶补三角形”，这个重合的顶点称为“顶补点”． （1）如图，P，Q是的边上的两点，为等边三角形，且，求证：和是“顶补三角形”； （2）如图2，和互为“顶补三角形”，是“顶补点”，，若，求和的面积之和； （3）如图3，和互为“顶补三角形”，是“顶补点”，，延长交于点，连接，请判断以为边构成的三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，推出，得到，即可． （2）作，垂足分别为H，G，证明，得到，再根据面积公式进行计算即可； （3）以为边向下作等边，连接，证明，推出以为边构成的三角形，即为，求出，得到为直角三角形，即可． 【小问1详解】 证明：是等边三角形 又 ， ， ∵， 且 和是“顶补三角形”； 【小问2详解】 解：作，垂足分别为H，G， 和互为“顶补三角形”， ， 又， ， ， ，又， ， ， 和的面积之和 【小问3详解】 和互为“顶补三角形”， ， ， 又， ； 以为边向下作等边，连接， 又， 又， ， ， ∴以为边构成的三角形，即为， 此时， 为直角三角形； ∴以为边构成的三角形为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市周南梅溪湖中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题 考试时间：2026年1月26日 （考试范围：第13章~第18章） 本试卷共4页，25小题，满分120分，考试用时：120分钟． 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 雕窗是我国古代一种常见的窗户样式，其外框为圆形，中间具有精美的图案．如图，琳琳家的一个雕窗出现了破损，为买到同款雕窗，她应前往商店购买的样式为（ ） A. B. C. D. 2. 小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（ ） A. 三角形的内角和为 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 3. 若，则满足条件是（ ） A. B. C. D. 4. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上动点，则AP的长不可能是( ) A. 3.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 7 8. 如图，的外角的平分线交的延长线于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点D、E，连接，若的周长为的周长为12，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为的正方形场地．场地甲中间有一个边长为的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为、宽为的长方形花卉区，下方为草坪．已知，设甲、乙两块场地中草坪面积的比为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案填入答题卡上相应位置．） 11. 已知点的坐标是，则点关于轴的对称点坐标是__________． 12. 已知三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 13. 如图，在中，，是边上的高．若，则的长为__________． 14. 若，则a的值为____. 15 已知，，则____________． 16. 如图，等边中，过点作直线是直线上的动点，当取最小值，的度数为__________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、20题每小题6分，第18、19、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，点A、D、C、F在同一直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，中，以为圆心，长为半径画弧，交于另一点，连接，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求度数． 23. 假期将至，学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买种花卉的数量是用320元购买种花卉的数量的2倍．求A、B两种花卉的单价． 解：［法一］设种花卉价格为元／枝，根据题意可列出方程：① ； ［法二］设② ，根据题意可列出方程：． （1）法一中①处应填：___________，法二中②处应填：___________． （2）任选其中一种方法解答此题． 24. 在比较两个数或式子的大小时，常常采用“作差法”：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则， 结合上述材料，完成下列问题： （1）填空：若，则___________（填“>”“=”“<”）． （2）若，求证：不论取何值，始终有成立； （3）若关于的多项式（为大于0的常数）有一个因式是，试判断此多项式的另一个因式与的大小关系． 25. 若两个等腰三角形的顶角顶点重合，且顶角之和等于，我们称这两个等腰三角形互为“顶补三角形”，这个重合的顶点称为“顶补点”． （1）如图，P，Q是的边上的两点，为等边三角形，且，求证：和是“顶补三角形”； （2）如图2，和互为“顶补三角形”，是“顶补点”，，若，求和的面积之和； （3）如图3，和互为“顶补三角形”，是“顶补点”，，延长交于点，连接，请判断以为边构成的三角形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $