第26章 概率初步（知识清单）数学沪科版九年级下册

第26章 概率初步 知识点一 事件的分类 知识点二 求概率的方法 ·概率公式：概率=所求情况数与 总情况数之比 ·所求情况数的确定： （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 知识点三 树状图法 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 知识点四 用频率估计概率 ·概念：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝ p． ·适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点五 频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【易错点一】 根据事件的可能性选择合适的方法求概率 ·易错辨析：树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果。 ①列表法适合于两步完成的事件（需要计算数字和差积、涉及坐标运算等问题使用表格法）； ②树状图法适合两步或两步以上完成的事件 【例1】（25-26九年级上·全国·期末）习近平主席在考察北京师范大学时对好老师提出了弘扬“四有好老师”精神，其中： a． 有理想信念 - 政治素质过硬，教育信仰坚定； b． 有道德情操 - 师德高尚，行为世范； c． 有扎实学识 - 业务能力精湛，育人水平高超； d． 有仁爱之心 - 关爱学生，用心培育； 小光同学将其中的“有理想信念”、“有道德情操”、“有扎实学识”、“有仁爱之心”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片． (1)小光第一次抽取的卡片上的文字是“有扎实学识”的概率是 ； (2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的概率（卡片名称可用字母表示）． 【答案】(1) (2)图表见解析， 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，利用概率公式计算是解题的重要步骤． （1）直接根据概率公式求解； （2）先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次抽取卡片上的一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）第一次抽取的卡片上的文字是“有扎实学识”的概率； 故答案是：． （2）画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次抽取卡片上的文字一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的结果数为， 所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率． 【变式1-1】（23-24九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)，， (2)1，3 (3) 【难度】0.65 【知识点】由频率估计概率、列表法或树状图法求概率、已知概率求数量 【分析】（1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，频率逐渐稳定在，即得到摸到白球的概率，从而得到摸到黑球的概率． （2）本题考查了概率的相关计算，根据概率乘以总数即可解题． （3）本题考查了用树状图求概率，根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的情况数再除以总的情况数，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，摸到白球的频率逐渐接近：， 则摸到白球的概率可看作：， 摸到黑球的概率：． 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，而小球总数为4， 所以口袋中黑球的个数：， 口袋中白球的个数：． 故答案为：1，3； （3）解：画树状图如下， 共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． (1)现任意转动转盘A1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为 ； (2)现任意转动转盘A，B各1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率． (请用画树状图或列表等方法说明理由) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率和用画树状图或列表的方法求概率.掌握概率公式是关键． （1）直接用求概率的方法求概率即可. （2）列出表格，可以得出等可能的结果以及两个数字之和为奇数的结果，然后利用概率公式求概率即可． 【详解】（1）解：当转盘停止转动时，则指针落在标有数字的扇形的概率为 故答案为： （2）解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中转盘，的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的有种结果， 所以转盘，的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数得概率为． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内均匀，从口袋内任取出第一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回，再从袋中取出第二个球记下数字后作为点P的纵坐标y，请用树状图或列表的方法求出点落在直线上的概率． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： yx 1 2 3 4 1                     2                     3                     4                     共有16种等可能的结果，数字x、y满足的有，，，． (数字x、y满足)． 【易错点二】 树状图法或列表法求概率&有放回实验或无放回实验的确定 ·易错辨析：树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件 有放回：①题中给出“有放回的”条件；②转盘问题； 无放回：①题中给出“不放回”三个字；②任意选两个（一般为“四选二”或“五选二”）；③从剩下的选一个。 【例3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图所示，李老师设计的一个电路图，有四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题． (1)下列说法正确的有______（多选）． A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件； (2)当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】(1)BD (2) 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率、事件的分类 【分析】本题主要考查了事件的分类；画树状图或列表法求一个事件的概率． （1）根据题意以及事件的分类即可求解． （2）列表法得出共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】（1）A．闭合其中的一个开关灯泡发光是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件，故该选项正确，符合题意； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件，故该选项正确，符合题意； 故选：BD． （2）根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下： 由表格可知共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种． （能使灯泡发光） 【变式3-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）小颖为学校联欢会设计了一个“摸牌”游戏，游戏规则如下：准备，两组相同的牌，每组四张且大小一样，四张牌的牌面数字分别是，，，．将两组牌分别洗均后，牌面朝下放在不透明的桌面上，游戏者从，两组牌中各摸出一张牌，将组牌的牌面数字作为十位数字，组牌的牌面数字作为个位数字组成一个两位数，若这个两位数是偶数，则游戏者获胜．请运用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． 【答案】游戏者获胜的概率为． 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，用列表法列出所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中这个两位数是偶数的结果有种， ∴， 答：游戏者获胜的概率为． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）化学实验课上，张老师带来了（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为______； (2)小云随机从中抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求小云抽到的两种金属均能置换出氢气的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）列出表格，根据表格可求解； 【详解】（1）解：∵一共有（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属元素卡片， ∴小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为 （2）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，共6种， 小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为． 重难点01 事件的分类 ·方法：必然事件的判断——一定会发生或一定不会发生的事件 【典例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列事件是必然事件的是（   ） A．心想事成，完美B．煮熟的鸭子，飞了C．瞄准射击，打中 D．一天24小时，永恒 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件的概念是解题的关键． 必然事件指在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中必然会发生的事件；随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；由此即可求解． 【详解】解：A、心想事成，完美，是随机事件，不符合题意； B、煮熟的鸭子，飞了，是不可能事件，不符合题意； C、瞄准射击，打中，是随机事件，不符合题意； D、一天24小时，永恒，是必然事件，符合题意； 故选：D ． 【变式1】（24-25九年级上·河南开封·期末）下列事件是随机事件的是（   ） A．地球绕着太阳转 B．将油滴入水中，油和水相融 C．菱形的四条边相等 D．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】事件的分类 【分析】根据事件的分类解答即可． 本题考查了事件的分类，正确掌握分类是解题的关键． 【详解】解：A. 地球绕着太阳转是必然事件，不符合题意； B. 将油滴入水中，油和水相融是不可能事件，不符合题意；     C. 菱形的四条边相等是必然事件，不符合题意；     D. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势是随机事件，符合题意； 故选：D． 重难点02 判断事件发生的可能性的大小 【典例2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查求概率，求出任意50人中有两个人生日相同的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，任意两人，生日不相同的概率为， 第3人与其余2人生日均不相同的概率为：， 第4人与其余3人生日均不相同的概率为：， 第50个人与其余49人生日均不相同的概率为：， ∴（50人中至少有2人生日相同的概率）； ∴调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同是正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高； 故选C． 重难点03由频率估计概率 【典例3】（24-25九年级上·河南开封·期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01)： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，则这名运动员“射中9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验中，事件发生的频率稳定在某个固定值附近，该值即为概率的估计值． 【详解】解：∵观察表中“射中9环以上”的频率，随着射击次数增加，频率在0.8附近波动，且最后两次频率均为0.80， ∴根据频率的稳定性，概率估计值为0.8． 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）下表是某种子实验室，记录的某种绿豆在相同条件下发芽实验的结果： 每批粒数（） 发芽的频数（） 发芽的频率（）（精确到） 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了本题主要考查了用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：从表中的数据发现，当实验次数越来越多时，种子发芽的频率越来越接近， 这种绿豆发芽的概率的估计值为． 故答案为： ． 【变式3-2】某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 ．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 【答案】0.96 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：观察上表，可以发现，合格工件的频率稳定在0.960附近，合格的概率约为0.96． 故答案为：0.96． 【典例4】（24-25九年级上·山东青岛·期末）实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为 ． 【答案】100 【难度】0.85 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由题意可得小球落在该地形图上的概率为0.5，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为0.5， 设该地形图的面积为， 则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为， 故答案为：100． 【变式4-1】新郑红枣又名鸡心大枣、鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某综合实践小组跟踪调查了新郑红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计新郑红枣移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的占比稳定在左右，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的占比稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：C． 【变式4-2】如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），月月想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题考查了频率估算概率，概率公式的运用，根据题意可得长方形的面积为，频率稳定在，根据概率的计算方法即可求解，理解题意，掌握概率公式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：长方形的面积为， 根据图可得，频率稳定在， 设不规程图形的面积为， ∴， 解得：， 故选：． 【典例5】（24-25九年级上·山东青岛·期末）二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图，小山将二维码打印在面积为的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷，点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 【答案】260 【难度】0.85 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.65，即黑色阴影的面积占整个面积的0.65，据此求解即可． 【详解】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右， 点落在黑色阴影的概率为0.65， 黑色阴影的面积为， 故答案为：260． 【变式5】生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故答案为：． 【典例6】（24-25九年级上·河南开封·期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】45 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键．设袋子中红球有x个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于x的方程，求出x的值，从而得出结果． 【详解】解：由题意，摸到黑球的概率为． 设袋子中红球有x个， 根据题意，得 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为45个， 故答案为：45． 【变式6】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则n的值最可能是 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据题意可得蓝球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在， ， 解得：， 即n的值最可能是6． 故答案为：6． 重难点04 根据概率公式计算概率 【典例7】（24-25九年级上·山东烟台·期末）将，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、无理数 【分析】本题考查无理数，概率公式，先找出无理数，再根据概率公式列式计算即可． 【详解】解： 这6个数中，无理数有π和两个， ∵抽到每个数的可能性相同， ∴从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是． 故答案为：． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）从，，，，中随机任取一个实数，则取到无理数的概率是 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】根据概率公式计算概率、无理数 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，无理数的概念，熟练掌握概率公式是解题关键． 先找出无理数的个数，用无理数的个数除以数据的总数即可求解． 【详解】解：在，，，，中，无理数有、，共个， 在个实数中，随机任取一个实数，取到无理数的概率为． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由反比例函数值求自变量、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共2个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 重难点05 几何概率 【典例8】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可． 【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为， ∴阴影区域的面积为， ∵整个正方形的面积为， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选C． 【变式8-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有2个面被涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】几何体中的点、棱、面、根据概率公式计算概率 【分析】此题主要考查了概率公式的应用．直接根据题意得出恰有2个面被涂色的有12个，再利用概率公式求出答案． 【详解】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面被涂色的为棱长为2的正方体顶点处的12个小正方体； 故取得的小正方体恰有三个面被涂色的概率为． 故选：B． 【变式8-2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】几何概率、求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积，几何概率的计算；熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，再减去的面积即可得阴影部分的面积，再进一步利用概率公式计算即可． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 ， ∴一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是： ， 故选：D． 【典例9】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知区域C的面积为， 最大的圆的面积为， ∴“豆子落在C中” 的概率． 故选：D． 【典例10】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分，若红色部分扇形的圆心角度数为，黄色部分扇形的圆心角度数为．转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 求出蓝色区域占整个圆的几分之几即可． 【详解】解：蓝色区域所在的圆心角度数为：， ∴蓝色区域所占整个圆的，即转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是． 故答案为：． 【变式10-1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，正六边形飞镖游戏板，对角线，相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次)，现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：如图，连接， 根据正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，    ∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为． 故答案为：． 重难点06 列表法或树状图法求概率 【典例11】24-25九年级上·河南郑州·期末）游戏规则如下：掷两次质地均匀的骰了，掷得的点数之和恰好为所选的数的获胜！如果你参与这个游戏，要想获胜可能性最大，你会选择（    ）． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查用列表法或画树状图求概率，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 利用列表法找到点数之和为几的次数最多，选择那个数获胜的概率就越大． 【详解】解：根据题意列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 掷两次质地均匀的骰子，共有36种等可能的结果， 点数之和为7的有6种，最多， 故选择7获胜的可能性大， 故选B 【变式11-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）3张反面无差别的卡片．它们的正面分别印有等边三角形、平行四边形和正六边形．现将3张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张．用抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率、轴对称图形的识别 【分析】本题考查列表法求概率、轴对称图形，首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵等边三角形和正六边形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形， 分别用A、B、C表示等边三角形、平行四边形和正六边形， ∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为， 故选：A． 【变式11-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）为弘扬中华传统文化，某校美术兴趣小组开展传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画”、“陶艺”3个社团供学生选择．甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概念，掌握列表法活画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：用列表法把所有等可能结果表示如下，“剪纸”、“木版画”、“陶艺”分别用表示， 共有9种等可能结果，其中甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的有3种结果， ∴他们刚好选到相同社团的概率是， 故答案为： ． 【典例12】（24-25九年级上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则 ．（填“”“”或“”号） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，先列树状图，得出共种等可能结果，则甲乙座位相邻的结果有4种，甲乙座位不相邻的结果有2种，即可作答． 【详解】解：依题意，把三张票的连续的座位是记为，列树状图如下： 共种等可能结果，则甲乙座位相邻的结果有4种，甲乙座位不相邻的结果有2种， ∴，， ∴， 故答案为：． 【典例13】（24-25九年级上·河南郑州·期末）太阳发出的光经过三棱镜折射后，可以形成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫等色光组成的光带，这是光的色散现象，说明太阳发出的白光是由不同色光组成的．自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用了光的三原色设计了一个“配紫色”游戏．如图所示，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘两次（如指针指向扇形分界线，则需要重新转动），恰好可以配成紫色的概率是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查用列表法与树状图法求事件的概率，熟练掌握列表法与树状图法求事件的概率是解答本题的关键．根据题意直接列表，由表格可得出所有等可能的结果数以及转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 红 绿 蓝 红 (红，红) (红，绿) (红，蓝) 绿 (绿，红) (绿，绿) (绿，蓝) 蓝 (蓝，红) (蓝，绿) (蓝，蓝) 由表格可知，共有9种等可能的结果，转出的两种颜色分别是红色和蓝色的结果有2种，所以转动2次转盘，恰好可以配成紫色的概率为； 故答案为． 【变式13】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘，，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转) 请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果，并求出两转盘数字之和为5的概率． 【答案】所有可能出现的结果见解析； 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法或树状图法，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：所有可能出现的结果如下： 1 2 3 2 3 4 由表知，共有9种等可能结果，其中两转盘数字之和为5的有3种结果， 所以两转盘数字之和为5的概率为． 【典例14】如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种， ∴， 故选B． 【典例15】（24-25九年级上·河南郑州·期末）郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园B．郑州之林C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观. (1)小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是______； (2)用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【详解】（1）解：明从自然景点中选中“郑州之林”的概率 ； 故答案为： ； （2）解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数为，所以小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率． 【典例16】（24-25九年级上·山东青岛·期末）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； (2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明两次所获奖品总值不低于40元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种， 小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为． 故答案为：． （2）解：将这三张卡片分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明两次所获奖品总值不低于40元的结果有：，，，，，，共6种， 小明两次所获奖品总值不低于40元的概率为． 【例17】（24-25九年级上·山东烟台·期末）2024年“十一”期间，昆嵛山旅游景点，人头攒动，热闹非凡．烟台市文旅局对本次“十一”假期选择无染寺、九龙池、石门里、烟霞洞风景区（以下分别用、、、表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图． 请根据以上信息回答： (1)本次参加抽样调查的游客有多少人？ (2)将两幅不完整的统计图补充完整； (3)若某游客随机选择、、、四个景区中的两个． ①用列表或画树状图的方法，求该游客第一个景区恰好选择的概率； ②恰好选择、的概率是________． 【答案】(1)600 (2)见解析 (3)① ② 【难度】0.85 【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的某项数目、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，画树状图求概率， 对于（1），根据选择B类型的人数和其所占的百分比，可得答案； 对于（2），先求出C类型的人数，再求出A，C类型所占的百分比，然后补全统计图即可； 对于（3），画树状图得出所有可能出现的结果，再根据要求结合概率公式解答即可． 【详解】（1）解：， 所以本次参加抽样调查的游客有600人； （2）解：， 所以C类型的人数为120人； ， C类型所占； ， A类型所占． 补全统计图，如图所示． （3）解：画树形图如下： 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，第一个景区选择A有3种，所以游客第一个景区恰好选择A的概率是； 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，选择A，B两个景区的有2种，所以游客第一个景区恰好选择A的概率是． 故答案为：． 【变式17】（24-25九年级上·山东烟台·期末）体育中考前夕，教体局为了解全区九年级男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全区部分九年级男生进行了调查， 将调查结果分成五类：A排球、B立定跳远、C1000米跑、D篮球、E足球．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)将上面的统计图补充完整； (2)假设全区九年级毕业学生中有3200名男生，试估计全区九年级男生中选“篮球”的人数有多少人？ (3)甲、乙两名九年级男生在上述五个项目中各选一项，正好一人选篮球，一人选立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明，并列出所有等可能的结果． 【答案】(1)图见解析 (2)640人 (3) 【难度】0.65 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．还考查了统计图． （1）用A类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出B类人数后补全条件统计图； （2）用3200乘以样本中D类人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有25种等可能情况，找出正好一人选篮球．一人选立定跳远的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解： （人），调查的总人数为1000人． B 类人数为（人）． 统计图补充为： （2）解：（人）． 所以估计全区九年级男生中选“篮球”的人数有640人； （3）解：画树状图为： 共有25种等可能情况，其中正好一人选篮球，一人选立定跳远的结果数为2， 所以正好一人选篮球．一人选立定跳远的概率． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 概率初步 知识点一 事件的分类 知识点二 求概率的方法 ·概率公式：概率=所求情况数与 之比 ·所求情况数的确定： （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 知识点三 树状图法 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 知识点四 用频率估计概率 ·概念：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝ ． ·适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 知识点五 频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【易错点一】 根据事件的可能性选择合适的方法求概率 ·易错辨析：树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果。 ①列表法适合于两步完成的事件（需要计算数字和差积、涉及坐标运算等问题使用表格法）； ②树状图法适合两步或两步以上完成的事件 【例1】（25-26九年级上·全国·期末）习近平主席在考察北京师范大学时对好老师提出了弘扬“四有好老师”精神，其中： a． 有理想信念 - 政治素质过硬，教育信仰坚定； b． 有道德情操 - 师德高尚，行为世范； c． 有扎实学识 - 业务能力精湛，育人水平高超； d． 有仁爱之心 - 关爱学生，用心培育； 小光同学将其中的“有理想信念”、“有道德情操”、“有扎实学识”、“有仁爱之心”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片． (1)小光第一次抽取的卡片上的文字是“有扎实学识”的概率是 ； (2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的概率（卡片名称可用字母表示）． 【变式1-1】（23-24九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000 摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751 摸到白球的频率 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数） (2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________； (3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． (1)现任意转动转盘A1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为 ； (2)现任意转动转盘A，B各1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率． (请用画树状图或列表等方法说明理由) 【变式2-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内均匀，从口袋内任取出第一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回，再从袋中取出第二个球记下数字后作为点P的纵坐标y，请用树状图或列表的方法求出点落在直线上的概率． 【易错点二】 树状图法或列表法求概率&有放回实验或无放回实验的确定 ·易错辨析：树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件 有放回：①题中给出“有放回的”条件；②转盘问题； 无放回：①题中给出“不放回”三个字；②任意选两个（一般为“四选二”或“五选二”）；③从剩下的选一个。 【例3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图所示，李老师设计的一个电路图，有四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题． (1)下列说法正确的有______（多选）． A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件； B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件； C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件； D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件； (2)当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【变式3-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）小颖为学校联欢会设计了一个“摸牌”游戏，游戏规则如下：准备，两组相同的牌，每组四张且大小一样，四张牌的牌面数字分别是，，，．将两组牌分别洗均后，牌面朝下放在不透明的桌面上，游戏者从，两组牌中各摸出一张牌，将组牌的牌面数字作为十位数字，组牌的牌面数字作为个位数字组成一个两位数，若这个两位数是偶数，则游戏者获胜．请运用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）化学实验课上，张老师带来了（镁），（铝）（锌），（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“”的概率为______； (2)小云随机从中抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法求小云抽到的两种金属均能置换出氢气的概率． 重难点01 事件的分类 ·方法：必然事件的判断——一定会发生或一定不会发生的事件 【典例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列事件是必然事件的是（   ） A．心想事成，完美B．煮熟的鸭子，飞了C．瞄准射击，打中 D．一天24小时，永恒 【变式1】（24-25九年级上·河南开封·期末）下列事件是随机事件的是（   ） A．地球绕着太阳转 B．将油滴入水中，油和水相融 C．菱形的四条边相等 D．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势 重难点02 判断事件发生的可能性的大小 【典例2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 重难点03由频率估计概率 【典例3】（24-25九年级上·河南开封·期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01)： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，则这名运动员“射中9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【变式3-1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）下表是某种子实验室，记录的某种绿豆在相同条件下发芽实验的结果： 每批粒数（） 发芽的频数（） 发芽的频率（）（精确到） 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到）． 【变式3-2】某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 ．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 【典例4】（24-25九年级上·山东青岛·期末）实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为 ． 【变式4-1】新郑红枣又名鸡心大枣、鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某综合实践小组跟踪调查了新郑红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计新郑红枣移栽成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），月月想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例5】（24-25九年级上·山东青岛·期末）二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图，小山将二维码打印在面积为的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷，点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.65左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 【变式5】生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 ． 【典例6】（24-25九年级上·河南开封·期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【变式6】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则n的值最可能是 重难点04 根据概率公式计算概率 【典例7】（24-25九年级上·山东烟台·期末）将，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为无理数的概率是 ． 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）从，，，，中随机任取一个实数，则取到无理数的概率是 ． 【变式7-2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 重难点05 几何概率 【典例8】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有2个面被涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【典例9】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（    ） A． B． C． D． 【典例10】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分，若红色部分扇形的圆心角度数为，黄色部分扇形的圆心角度数为．转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是 ． 【变式10-1】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，正六边形飞镖游戏板，对角线，相交于点O．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次)，现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是 ．    重难点06 列表法或树状图法求概率 【典例11】24-25九年级上·河南郑州·期末）游戏规则如下：掷两次质地均匀的骰了，掷得的点数之和恰好为所选的数的获胜！如果你参与这个游戏，要想获胜可能性最大，你会选择（    ）． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式11-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）3张反面无差别的卡片．它们的正面分别印有等边三角形、平行四边形和正六边形．现将3张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张．用抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）为弘扬中华传统文化，某校美术兴趣小组开展传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画”、“陶艺”3个社团供学生选择．甲、乙两人随机报名一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是 ． 【典例12】（24-25九年级上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则 ．（填“”“”或“”号） 【典例13】（24-25九年级上·河南郑州·期末）太阳发出的光经过三棱镜折射后，可以形成红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫等色光组成的光带，这是光的色散现象，说明太阳发出的白光是由不同色光组成的．自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用了光的三原色设计了一个“配紫色”游戏．如图所示，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘两次（如指针指向扇形分界线，则需要重新转动），恰好可以配成紫色的概率是 ． 【变式13】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘，，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转) 请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果，并求出两转盘数字之和为5的概率． 【典例14】如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例15】（24-25九年级上·河南郑州·期末）郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园B．郑州之林C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观. (1)小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是______； (2)用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率． 【典例16】（24-25九年级上·山东青岛·期末）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； (2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 【例17】（24-25九年级上·山东烟台·期末）2024年“十一”期间，昆嵛山旅游景点，人头攒动，热闹非凡．烟台市文旅局对本次“十一”假期选择无染寺、九龙池、石门里、烟霞洞风景区（以下分别用、、、表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图． 请根据以上信息回答： (1)本次参加抽样调查的游客有多少人？ (2)将两幅不完整的统计图补充完整； (3)若某游客随机选择、、、四个景区中的两个． ①用列表或画树状图的方法，求该游客第一个景区恰好选择的概率； ②恰好选择、的概率是________． 【变式17】（24-25九年级上·山东烟台·期末）体育中考前夕，教体局为了解全区九年级男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全区部分九年级男生进行了调查， 将调查结果分成五类：A排球、B立定跳远、C1000米跑、D篮球、E足球．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： (1)将上面的统计图补充完整； (2)假设全区九年级毕业学生中有3200名男生，试估计全区九年级男生中选“篮球”的人数有多少人？ (3)甲、乙两名九年级男生在上述五个项目中各选一项，正好一人选篮球，一人选立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明，并列出所有等可能的结果． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $