专题04四川省成都市2026年中考题型专项复习-三角函数应用A16

该初中数学中考复习讲义聚焦“三角函数应用”核心考点，覆盖仰角俯角、坡度坡比、方位角及综合应用四大类型，以“典例详解（含变式）+题型专练”架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建从模型建立到实际应用的解题逻辑，突破几何应用题难点。 亮点在于以真实情境（如无人机测量、建筑斜坡）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过变式训练深化数学思维中的推理与运算能力，如仰角俯角问题中构建双直角三角形模型，配合分层专练实现精准提升，助力教师把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

三角函数应用 目录 典例详解 1 类型一、仰角俯角问题 1 类型二、坡度坡比问题 5 类型三、方位角问题 11 类型四、其他问题 17 题型专练 22 典例详解 类型一、仰角俯角问题 例1． 如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)20米 (2)建筑物的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作于点M，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点E作于点N，交于点F，分别在和中，由三角函数的定义求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点M，则， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得， ∴米， 所以，平台的高度为20米； （2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，， ∴， ∵米， ∴米， ∴， 在中，，则； 在中，，则：， ∴ 解得：， 所以，建筑物的高度为米． 【变式1-1】智能测量是一款非常有创意且实用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为多少米？（结果保留1位小数，参考数据，，，） 【答案】的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，将解直角三角形与实际问题结合，构造出适当的直角三角形是解题的关键． 过点作交于点，在中，求出、的长，在中，求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ， 解得， ∴在中，由勾股定理得， 故的高度为． 【变式1-2】坐落于丹东市振兴区站前广场的毛主席雕塑于2021年3月经辽宁省文物局认定，被确定为辽宁省第一批不可移动革命文物．如图，在某校科技小组实践活动中，小亮借助无人机测量丹东站前广场的毛主席雕塑的高度，采用如下的测量方案；无人机在雕塑正面的水平地面点处起飞，无人机首次悬停在点正上方的点处，此时无人机测得雕塑底座点的俯角为，无人机离地面的高度为，无人机从点处沿平行于的路线匀速飞向雕塑背面的点处，在处无人机测得雕塑顶点的俯角为． (1)求的长度； (2)若无人机水平飞行的速度为，无人机从点飞到点处，用时5秒，求雕塑的高度．（结果保留一位小数） （参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)的长度为； (2)雕塑的高度为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）在中，利用正切函数的定义求解即可； （2）延长交于点，求得，在中，利用正切函数的定义求得，进一步计算即可求出的长． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ∴， 答：的长度为； （2）解：延长交于点，如图， 此时，四边形是矩形，， 由题意得， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 答：雕塑的高度为． 类型二、坡度坡比问题 例2． 如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 【答案】(1)仿真树信号塔的高度为20米 (2)C，D两点之间的距离约为米 【分析】（1）延长交于点G，根据已知易得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，米，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵，， ∴， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴仿真树信号塔的高度为20米； （2）解：在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴C，D两点之间的距离约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2-1】某登山队从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的竖直高度．，，，在同一平面内． (1)尺规作图：在图中，过点作直线的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)求缆车的行驶路线（看作线段）的长．（参考答案：取0.28，取0.60） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）按照要求用尺规作图作出直线的垂线即可； （2）先根据正弦的定义求出，过点作于点，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意可知，， 在中，，， ， 过点作于点，如图， 四边形为矩形， ， ， 在中，，， ， 即缆车的行驶路线的长为． 【变式2-2】王强同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度．他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求王强同学从点C到点D的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）过点D作交于点H，设米，米，在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）过点作交于点，设米，再证四边形为矩形可得、， 进而得到的值，最后根据正切函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米， 斜面的坡度为， ， 设米，米， 在中，， ， 解得：，（舍）， 米． 答：王强同学从点到点的过程中上升的高度为米； （2）解：如图，过点作交于点， 设米， ， 四边形为矩形， 米，（米）， ， 米， （米）， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 米． 答：大树的高度是米 类型三、方位角问题 例3． 如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 【答案】(1)米； (2)194.6米． 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点A作，垂足为M，根据题意求出各角的度数，再求出，在中，，，根据即可求出答案； （2）过E作，垂足为N，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米），求出即可得到答案． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为M，如图： 由题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， （米） （米）， ∴（米） 在中，，， ∴， ∴， （米）， 答：A、C两地的距离为米； （2）解：当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米）， 过E作，垂足为N，如图： 在中，，， ∴， ， 在中，， ，， 解得：，（米） 答：小才与点A的距离为194.6米． 【变式3-1】如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟的速度从D出发，沿路线跑步前进，与此同时，乙以每分钟的速度从D出发，沿路线步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（计算结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)甲先到达地 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握作辅助线构造适当的图形是解题的关键． （1）先证是等腰直角三角形，求出的长度，再过点作交于点，得到等边和平行四边形，利用边的转换即可求解． （2）利用路程除以速度得到甲乙两人前进的时间，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知， ∴是等腰直角三角形， ， 如图，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴是等边三角形， ， ． （2）解：根据题意，可知 甲所需时间为（分）， 乙所需时间为（分）， ∵， ∴甲先到达地． 【变式3-2】为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，，，，是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）．    (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小雨从出发沿方向步行去往处，求小雨走过的路程（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)走过的路程为米 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）延长交于，由题意，，，，， 则在中，可求，进而在中，可求长，利用题目可解． （2）作，可求，，在和在中利用三角函数则线段可求，，小雨所走的距离即可求，除以各自的速度求出时间作比较即可． 【详解】（1）解：延长交于，    由题意，，，，， 在中，，，米， 米， 米， 在中， ∵， ， 米， 米， 答：的长度为米． （2）解：作，垂足为点P，    ∵，，， ，， ，， ， 在中， 米， 米， 在中，米， 米， 米， 答：小雨走过的路程为米． 类型四、其他问题 例4． 如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【答案】(1)7.6米 (2)正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输，说明见解析 【分析】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是找到恰当的直角三角形，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意单位和精确度． （1）记与交于点，根据等角的余角相等得，在中，根据锐角三角函数求出和的长，进而计算长，在中，根据锐角三角函数求出，由计算的长； （2）正方形扩大2倍后为正方形，则新正方形边长米，在中，根据锐角三角函数计算的长，从而计算的长，进而比较和的大小，从而判断扩大后的正方形会不会被卷帘门M所影响到． 【详解】（1）解：如图，记与交于点， 四边形是边长为米的正方形， ，米， ， ， ， ， ， 在中，， 由得，（米）， 由得，（米）， 在中， ，（米）， 由得，（米）， （米）， 答：的长约为7.6米； （2）解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形扩大2倍后为正方形， 则新正方形边长米， 在中，， 由得，（米）， （米）， 由（1）得米，米， ， 不能继续利用该传送带运输， 答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 【变式4-1】单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点，，，，，在同一平面内）．解决问题：根据以上信息，求的长．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，根据的长，由、，求出、的长，在中，根据，利用，求出的长，再根据，由求出的长即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ，， ，， 在中，，，， ，即， ， ， ， 则的长约． 【变式4-2】为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩．如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形、利用辅助线构建矩形是解题的关键． （1）依题意可知，代入计算即可解答； （2）过点B作于点G，易证、四边形是矩形，然后根据正弦求得，然后根据矩形的性质和线段的和差求得、，即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，米，，， ∴（米）， 即遮阳篷边缘点B到墙体的距离为米； （2）解：如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴； 在中，米，，， ∴（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴（米），米， ∴（米）． 即阴影的长为米． 题型专练 1. 项目式学习 项目主题：无人机撒播种子研究 项目背景：在农业种植技术研究中，针对一些复杂地形，使用无人机播撒种子高效、便捷，同时可以避免农民直接进入到危险复杂的地形中，有利于增强种植的安全性． 建立模型：无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）先根据速度和时间得到路程，再解即可得到长度； （2）先根据速度和时间即可得到路程，再利用矩形的性质及解求出的长度． 【详解】（1）解：由题知， ∴在中，， ∴， 答：故无人机的高度是； （2）解：如图，过点作于点，由题意得四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 答：的长度约为． 2. 如图，大连市的永丰塔建于辽代，“永丰夕照”是复州八景之首．某校九年级“数学活动”小组开展了“永丰塔高度的测量”综合与实践活动，采用如下方法：如图，先将无人机沿垂直上升至距塔所在地面的点，测得塔的顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得塔的顶端的俯角为．请根据测量数据，求永丰塔的高度．（结果精确到整数，参考数据：，，） 【答案】永丰塔的高度约为 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的判定和性质等知识点，掌握三角函数的基本概念是解题的关键．延长交延长线于，先证四边形是矩形，在中，根据得，设，则，在中，根据可建立关于的方程，求解后用进而可得． 【详解】解：延长交延长线于点，如图所示： 由题意得，，， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设， 中，， ， ， 中，， ，解得， 经检验，是分式方程的解， ， 永丰塔的高度约为． 3. 数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡角，小红在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为，其中点、、在同一直线上． (1)求斜坡的高度； (2)求大楼的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（）根据角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）过作，交于点，则，所以四边形为矩形，证明，设米，则米，由米，同理米，在中，根据勾股定理得：，即，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，米，，， ∴米， 则斜坡的高度为米； （2）解：过作，交于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 设米， ∵四边形为矩形， ∴米，即米， 在中，， ∴米， 同理米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴（米）， ∴大楼的高度为米． 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4. 甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作于点，交于点，延长交于点，由坡坡度为，可设，，得，即得到，解得，得到，， 进而得到，，，即可得，再根据可得，即可求解； （）设阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，由斜坡坡度为， 设，，得，即得，，，再根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，相似三角形的应用，平行投影，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，延长交于点， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 答：甲楼高度为； （2）解：设太阳光线照射乙楼顶端的影子恰好落在斜坡上的点，过点作于点，于点，如图， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 5. 因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） (1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)商店B与学校C之间的距离为 (2)小学先到达学校C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长即可； （2）求出的长，根据时间等于路程除以速度，求出两人回到学校所用时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，由题意，， 在中，，； 在中，，； 答：商店B与学校C之间的距离为； （2）解：由（1）可知：，， ∴，， 作于点，由题意，， 在中，， 在中，，， ∴， ∴小数回到学校所用时间为：； 小学回到学校所用时间为：； ∵， ∴小学先到达学校C． 6. 如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 【答案】(1)的距离为海里 (2)168海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点C作，交的延长线于点E，设海里，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； （2）设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据距离的关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E， 设海里， ∴， ∴， 由题意得：海里， 海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为海里； （2）解：设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据题意得， ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 7. 拉杆箱是旅行常用工具，某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同，求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】每节拉杆的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 在图1中，过点A作于，设每节拉杆的长度为，由，得，在图2中，过点A作于点， 由，得，得，解方程即可得． 【详解】解：如图1，过点A作于，设每节拉杆的长度为， 在中，， ， ， 如图2，过点A作于点， 在中，， ， ， 由题意得，， 解得， 答：每节拉杆的长度约为． 8. 周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 【答案】(1)230米 (2)670米 【分析】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握含30度的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正弦函数，是解题的关键． （1）在中，根据，可得，即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 故的长为230米； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故黄老师从山脚A点到达山顶点的路程约为670米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数应用 目录 典例详解 1 类型一、仰角俯角问题 1 类型二、坡度坡比问题 5 类型三、方位角问题 11 类型四、其他问题 17 题型专练 22 典例详解 类型一、仰角俯角问题 例1． 如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【变式1-1】智能测量是一款非常有创意且实用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为多少米？（结果保留1位小数，参考数据，，，） 【变式1-2】坐落于丹东市振兴区站前广场的毛主席雕塑于2021年3月经辽宁省文物局认定，被确定为辽宁省第一批不可移动革命文物．如图，在某校科技小组实践活动中，小亮借助无人机测量丹东站前广场的毛主席雕塑的高度，采用如下的测量方案；无人机在雕塑正面的水平地面点处起飞，无人机首次悬停在点正上方的点处，此时无人机测得雕塑底座点的俯角为，无人机离地面的高度为，无人机从点处沿平行于的路线匀速飞向雕塑背面的点处，在处无人机测得雕塑顶点的俯角为． (1)求的长度； (2)若无人机水平飞行的速度为，无人机从点飞到点处，用时5秒，求雕塑的高度．（结果保留一位小数） （参考数据：，，，，，，） 类型二、坡度坡比问题 例2． 如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 【变式2-1】某登山队从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的竖直高度．，，，在同一平面内． (1)尺规作图：在图中，过点作直线的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)求缆车的行驶路线（看作线段）的长．（参考答案：取0.28，取0.60） 【变式2-2】王强同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度．他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求王强同学从点C到点D的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 类型三、方位角问题 例3． 如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 【变式3-1】如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟的速度从D出发，沿路线跑步前进，与此同时，乙以每分钟的速度从D出发，沿路线步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（计算结果精确到）（参考数据：，，） 【变式3-2】为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，，，，是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）．    (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小雨从出发沿方向步行去往处，求小雨走过的路程（结果保留整数）． 类型四、其他问题 例4． 如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【变式4-1】单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点，，，，，在同一平面内）．解决问题：根据以上信息，求的长．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 【变式4-2】为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩．如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 题型专练 1. 项目式学习 项目主题：无人机撒播种子研究 项目背景：在农业种植技术研究中，针对一些复杂地形，使用无人机播撒种子高效、便捷，同时可以避免农民直接进入到危险复杂的地形中，有利于增强种植的安全性． 建立模型：无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，） 2. 如图，大连市的永丰塔建于辽代，“永丰夕照”是复州八景之首．某校九年级“数学活动”小组开展了“永丰塔高度的测量”综合与实践活动，采用如下方法：如图，先将无人机沿垂直上升至距塔所在地面的点，测得塔的顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得塔的顶端的俯角为．请根据测量数据，求永丰塔的高度．（结果精确到整数，参考数据：，，） 3. 数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡角，小红在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为，其中点、、在同一直线上． (1)求斜坡的高度； (2)求大楼的高度（结果保留根号）． 4. 甲楼、乙楼、斜坡的底部在同一水平面并且在同一直线上，具体数据如下图所示，已知甲、乙两楼间距，乙楼高，宽，斜坡坡度为，乙楼底端与斜坡底端相距，小明从点出发沿斜坡向上走到达点，此时小明垂直于水平地面站立恰好从乙楼楼顶上方看到甲楼楼顶，小明眼睛位置点与站立地点距离． (1)求甲楼高度； (2)某一时刻太阳光线照射甲楼顶端的影子恰好落在乙楼底端点，求此时乙楼的影子落在斜坡上的长度． 5. 因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） (1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 6. 如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 7. 拉杆箱是旅行常用工具，某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同，求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 8. 周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $