2026年四川省成都市中考数学题型 专项复习- A卷选择常考题型

A卷常考选择题 目录 典例详解 2 类型一、相反数 2 类型二、乘方计算 3 类型三、平均数中位数计算 4 类型四、科学计数法 6 类型五、三视图 7 类型六、平面直角坐标系 9 类型七、概率计算 10 类型八、古代问题 12 类型九、四边形性质判断 14 类型十、补充条件使三角形相似 15 类型十一、补充条件使四边形为特殊四边形 18 类型十二、圆相关计算 20 类型十三、四边形相关计算 22 类型十四、反比例函数性质 24 类型十五、二次函数图像与性质 26 类型十六、二次函数图像与系数关系 27 题型专练 31 典例详解 类型一、相反数 例1下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的符号化简规则，根据负负得正和正负得负等基本性质化简即可． 【详解】解：∵选项A∶，∴A错误． ∵选项B∶，∴B错误． ∵选项C∶，符合负负得正，∴C正确． ∵选项D∶ ，∴D错误． 故选C． 【变式1-1】的相反数是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：∵相反数的定义是只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是5． 故选：B． 【变式1-2】．的相反数（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求绝对值和相反数，先计算绝对值，再求相反数即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数为． 故选：B． 类型二、乘方计算 例2下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方以及负指数运算． 通过同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方以及负指数运算的运算法则去判断每一项即可． 【详解】解： A、，错误； B、，错误； C、，正确； D、，错误． 故选：C． 【变式2-1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据积的乘方运算法则逐一分析判断即可． 【详解】解：A、 ，故本选项不合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方和幂的乘方，根据运算法则逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵ 选项A：，∴ A错误； ∵ 选项B：，∴ B错误； ∵ 选项C：，∴ C正确； ∵ 选项D：，∴ D错误， 故选：C． 类型三、平均数中位数计算 例3信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（单位：字/），数据整理如下：，，，，，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是（      ） A．众数是 B．平均数是 C．中位数是 D．中位数是 【答案】A 【分析】本题考查的是众数，中位数，平均数．根据中位数、众数，平均数的概念求解可得． 【详解】解：18出现的次数最多， ∴众数为18，故A选项正确，符合题意； ， ∴平均数为，故B选项错误，不符合题意； 把这一组数从小到大排列为，，， ，，，，，，， 位于正中间的两个数为18，19， ∴中位数为，故C，D选项错误，不符合题意； 故选：A 【变式3-1】某学习兴趣小组的5名同学在一次数学竞赛活动中的成绩（单位：分）分别是92，95，90，92，86，对于这组数据，下列结论不正确的是（   ） A．极差是7 B．众数是92 C．平均数是91 D．中位数是92 【答案】A 【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数以及极差，正确运用公式是解题的关键．直接根据中位数、众数、平均数以及极差的计算公式对各选项进行判断． 【详解】解：A、这组数据极差是，符合题意； B、这组数据的众数是92，不符合题意； C、这组数据的平均数是，不符合题意； D．这组数据按从小到大排列为：86、90、92、92、95，所以这组数据的中位数是92，不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】一个小组12名同学的出生月份（单位：月）如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份 3 6 8 6 11 5 7 8 8 7 8 7 则下列说法错误的是（    ） A．这组数据的平均数是7 B．这组数据的众数是8 C．这组数据的中位数是6 D．这组数据的方差是3.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数、方差，关键是掌握三种数的定义，掌握方差的计算公式． 【详解】解：A.平均数，正确，该选项不符合题意； B.8出现的次数最多，因此众数为8，正确，该选项不符合题意； C.中位数：，错误，该选项符合题意； D.数据的方差，正确，该选项不符合题意． 故选：C． 类型四、科学计数法 例42025年12月26日，世界最长高速公路隧道——天山胜利隧道全线通车，这条隧道全长22130米，将天山穿越时间从3小时减至20分钟，不仅贯通南北疆经济大动脉，更彰显了中国基建的技术实力与民族韧劲．数据22130用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将22130写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 【变式4-1】据2025年2月6日国内产品榜的最新统计数据显示，应用在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破2000万大关，具体数字高达2215万，这一成绩不仅彰显了强大的用户吸引力，也进一步证明了技术在当今社会的广泛应用和巨大潜力．数字2215万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：2215万． 故选：B． 【变式4-2】2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．此次发现的超大规模离子吸附型稀土矿有望成为中国最大的中重稀土矿床．将115万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：115万， 故选：A． 类型五、三视图 例5如图，这是领奖台从正面看到的示意图，则此领奖台的俯视图是（    ）    A．     B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从上面看到的图形是俯视图解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：这个几何体的俯视图为，    故选：． 【变式5-1】如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形是主视图是解题关键． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下： 故选A． 【变式5-2】按如图所示的方式摆放的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．根据左视图是从左面看到的视图，即可求解． 【详解】 解：从左边看到的是． 故选：D． 类型六、平面直角坐标系 例6点关于原点对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点成中心对称的两点的坐标之间的关系．熟知关于原点的对称点，纵坐标与横坐标变成相反数是解决问题的关键． 点关于原点对称时，坐标变为相反数，即的对称点为，再根据象限定义判断位置． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为, 又∵的横坐标小于，纵坐标小于, ∴该点在第三象限， 故选C． 【变式6-1】在平面直角坐标系中,点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴横坐标取相反数：，纵坐标不变：2， ∴对称点的坐标为． 故选：D． 【变式6-2】已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标、解一元一次方程，根据题意得，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵点M到两坐标轴的距离相等， ∴，即， 当时，， 当时，， 故选：C． 类型七、概率计算 例7某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了频率、用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据捕捞到草鱼的频率稳定在，可设草鱼数量为条，利用概率公式列出方程求解，再计算总鱼数，最后求捞到鲫鱼的概率． 【详解】解：设草鱼数量为条， 则总鱼数为：条， ∵ 捕捞到草鱼的频率为， ∴ ， 解得， ∴总鱼数为条， 则捞到鲫鱼的概率为． 故选：C． 【变式7-1】在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测．已知共完成了200次检测，其中有4次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（   ） A．0.98 B．0.92 C．0.88 D．0.72 【答案】A 【分析】本题通过频率估计概率，合格品的频率即为概率的估计值． 本题主要考查由频率估算概率，解题的关键是理解题意． 【详解】解：∵总检测次数为200次，其中不合格品4次， ∴合格品的次数为次， ∴合格品的概率估计值为； 故选：A． 【变式7-2】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸出黑球的概率为0.8，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的频率稳定在0.8附近， ∴摸出黑球的概率为0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 类型八、古代问题 例8《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出九，盈四；人出八，不足五．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出9钱，多余4钱；每人出8钱，还缺5钱．问人数和鸡的价钱是多少？”设人数x人，鸡的总价y钱，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据每人出9钱，多余4钱；每人出8钱，还缺5钱，且设人数x人，鸡的总价y钱，则，即可作答． 【详解】解：∵每人出9钱，多余4钱；每人出8钱，还缺5钱，且设人数x人，鸡的总价y钱， ∴， 故选：D 【变式8-1】《九章算术》是我国古代的数学著作，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价，一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马值x钱，一头牛值y钱，则可列方程组为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设一匹马值x钱，一头牛值y钱，根据“两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱”可列出方程组． 【详解】解：由题意可列方程组． 故选：C． 【变式8-2】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有x人，鸡的价钱是y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设人数为x人，鸡的价钱为y钱， 根据题意，列方程组得：． 故选：A． 类型九、四边形性质判断 例9下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质，勾股定理逐一排除即可，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：、正方形的两条对角线互相平分，该选项正确，不符合题意； 、正方形的两条对角线相等，该选项正确，不符合题意； 、两条对角线互相垂直，该选项正确，不符合题意； 、设正方形边长为，对角线， ∴， ∴， ∴面积，即正方形面积等于对角线长平方的一半，该选项错误，符合题意； 故选：． 【变式9-1】下列命题中正确的是（   ） A．平行四边形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．矩形每一条对角线平分一组对角 D．有一组对边相等的矩形为正方形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊四边形的性质和判定，根据平行四边形、菱形的性质和正方形的判定逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、平行四边形的对角线互相平分，该选项命题错误； 、菱形的对角线互相垂直且平分，该选项命题正确； 、菱形每一条对角线平分一组对角，该选项命题错误； 、有一组邻边相等的矩形为正方形，该选项命题错误； 故选：． 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的菱形是正方形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到结论，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故B符合题意； C、菱形的邻边本来就是相等，无法得到正方形，故C不符合题意； D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：B． 类型十、补充条件使三角形相似 例10如图，点D是中上一点，连接．以下条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴A、若，能判定，故本选项不符合题意； B、若，能判定，故本选项不符合题意； C、若，不能判定，故本选项符合题意； D、若，则，能判定，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式10-1】如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定方法是解答此题的关键．根据相似三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：A、，， ， 故A选项不符合题意； B、，， ， 故B选项不符合题意； C、，， ， 故C选项不符合题意； D、，， 不能判定， 故D选项符合题意； 故选：D． 【变式10-2】如图，点在的边上，添加如下一个条件后，仍不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和常见的相似的基本图形是解题的关键． 相似三角形的判定方法，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．依次进行判断即可． 【详解】解：选项A：当且时，不能得到，故本选项符合题意； 选项B：当且时，能得到，故本选项不合题意； 选项C：当且时，能得到，故本选项不合题意； 选项D：当且时，能得到，故本选项不合题意； 故选A． 类型十一、补充条件使四边形为特殊四边形 例11如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 【变式11-1】如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 但当，四边形不一定是正方形，故添加不使平行四边形成为正方形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 故选：． 【变式11-2】如图，在 中，下列结论中错误的是（ ） A．当时， 是菱形 B．当时， 是矩形 C．当平分 时， 是菱形 D．当时， 是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形，矩形，正方形的判定．根据菱形，矩形，正方形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：当时， 是菱形，故本选项正确，不符合题意； B、当时，， 是矩形，故本选项正确，不符合题意； C、当平分 时，，所以，则 是菱形，故本选项正确，不符合题意； D、当时， 是矩形，故本选项错误，符合题意； 故选：D 类型十二、圆相关计算 例12如图，是的弦，半径于点D，若，则半径的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故选C． 【变式12-1】如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正五边形的中心角的计算，圆周角定理的应用，连接，求得，结合圆周角定理，计算求得即可． 【详解】解：如图，连接， 正五边形内接于， ， ， 故选：B． 【变式12-2】如图，中弦，相交于点P，连接，，则图中与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：根据圆周角定理得：， 故选：C． 类型十三、四边形相关计算 例13如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：四边形为正方形， ， 在中，， ． 故选：． 【变式13-1】如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 故选：B． 【变式13-2】如图，在平行四边形中，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，邻角互补可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 故选：A． 类型十四、反比例函数性质 例15对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，逐项分析即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分布在第二、四象限，故A选项正确； ∵，当 时，随的增大而增大，故B选项正确； 当时，，故图象经过点，故C选项正确； 对于D选项，若，则，此时成立；但若，则，故不一定成立，因此D选项不正确． 故选：D． 【变式15-1】关于反比例函数，已知点在它的图象上，下列说法中错误的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图象上 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数系数k的符号判断图象所在象限和增减性，并验证点的坐标是否满足函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，即当 时，随增大而增大， ∴故选项A、B正确，不符合题意； ∵点在图象上，∴，即， 对于点，当时，，故点在函数的图象上； 对于点，当时，，故点在函数的图象上， 故选项C正确，不符合题意； 对于D，当 时，，但当时，故当时，不一定成立，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【变式15-2】下列关于反比例函数图象的描述错误的是（   ） A．图象位于第一、三象限 B．点在此函数图象上 C．在每个象限内，函数随的增大而增大 D．图象关于坐标原点成中心对称 【答案】C 【分析】反比例函数 的，图象位于第一、三象限，点在图象上，图象关于原点对称，但在第一，三象限内 随 的增大而减小． 本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是要明确反比例函数的增减性必须要强调在同一个象限内． 【详解】∵ 反比例函数 ，当时，图象在第一、三象限，∴选项 A 正确； ∵ 当 时，，∴ 点在图象上，∴ 选项B 正确； ∵ 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小，∴ 选项C 错误； ∵ 反比例函数图象关于原点对称，∴选项 D 正确． ∴故选： C． 类型十五、二次函数图像与性质 例16关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，判断各选项的正确性． 【详解】解：∵ 抛物线中，， ∴ 开口向上，A正确； ∵ 对称轴为， ∴ C正确； ∵ 顶点坐标为 ， ∴ D错误； ∵ ，当时，随增大而增大， ∴ B正确． 故选：D． 【变式16-1】将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，抛物线平移时开口大小和方向不变，故二次项系数 a 不变，根据新顶点坐标直接写出顶点式即可． 【详解】解：∵将抛物线平移，使顶点移到点的位置， ∴所得新抛物线的表达式是， 故选：C． 【变式16-2】已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 类型十六、二次函数图像与系数关系 例17抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象、性质与系数的关系，需结合图象和对称轴分析系数符号、函数最值及点的位置关系． 【详解】解：由抛物线开口向下，得； 对称轴为，即，得； 根据图象，当时，因对称轴为直线， ∴时． ①由，，，得，故①错误； ②对称轴为，抛物线开口向下，故时函数取最大值，对任意实数，有，化简得，故②正确； ③由图象，当时，，根据对称性，当时，，代入得，即，故③正确； ④∵和为图象上两点， ∴，． ， 整理化简得， ∵，不等式两边除以，不等号方向改变，得到， 解得：，故④正确； 综上，②③④正确，正确的个数为． 故选：C． 【变式17-1】已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②； ③若，，是抛物线上的三点，则；④对于抛物线上任意一点，不等式恒成立．其中正确结论的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据抛物线的开口方向可得，由对称轴可得，即得，再根据抛物线与轴的交点位置可得，得到据此可判断①；把代入二次函数解析式可得，进而得，代入代数式计算可判断②；根据函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大，由可判断③；结合函数图象得，开口方向向上，当时，二次函数有最小值，且为，则对于抛物线上任意一点，不等式恒成立，即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①符合题意；； ∵抛物线经过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②不符合题意；； 由函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大， 依题意，， ∴，故③符合题意；； 结合函数图象得，开口方向向上，当时，二次函数有最小值，且为， ∴对于抛物线上任意一点，不等式恒成立． 故④不符合题意； ∴正确的结论有①③， 故选：B． 【变式17-2】如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由图象得到系数的符号，再结合对称轴、抛物线最值以及抛物线上点的特征即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，故②正确； 抛物线对称轴为，且与负半轴交点的横坐标大于， 抛物线与正半轴交点的横坐标小于， 则当时，，故③正确； 当时，抛物线有最大值为；当时，抛物线， ，则，故④正确； ， ， 当时，，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个， 故选：A． 题型专练 1. 2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2026的相反数是 故选：B． 2. 某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，则可求出该数的倒数，再根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案． 【详解】解：∵某数的倒数的相反数是2026， ∴该数的倒数为， ∵， ∴该数为， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项的运算规则，熟练掌握这些运算规则是解题的关键． 依次根据积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项的规则，判断每个选项的运算是否正确． 【详解】解：，故选项A正确 ，故选项B错误 ，故选项C错误 ，故选项D错误 故选：A． 4. 下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相除、同底数幂相乘、零指数幂和平方差公式，熟悉各种运算法则是解决本题的关键． 根据同底数幂相除、同底数幂相乘、零指数幂和平方差公式逐一判断各选项． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选D． 5. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（    ） A．中位数是 4，平均数是 3.8 B．众数是 4，平均数是 3.75 C．中位数是 4，平均数是 3.8 D．众数是 2，平均数是 3.8 【答案】C 【分析】根据众数和中位数的定义解决即可. 【详解】这组数据中4出现的次数最多,众数为4 , ∵一共有5个人， ∴第3个人的劳动时间为中位数， 故中位数为: 4 , 平均数为: 故答案是C. 【点睛】本题考查了中位数众数及平均数的概念，熟练掌握三者的概念和计算方式是解决本题的关键. 6. 中国代表队在北京冬奥会中取得9金4银2铜的好成绩，该成绩也是亚洲国家参加冬奥会的最佳成绩．中国代表队近5届冬奥会奖牌数（单位：枚）分别是11，11，9，9，15，关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．方差是4.8 B．中位数是9 C．平均数是10 D．众数是11 【答案】A 【分析】直接根据平均数、中位数、众数以及方差的计算公式对各选项进行判断． 【详解】因为这组数据的平均分是： (11+11+9+9+15) ÷5=11(分)， 这组数据方差是：； 所以A选项正确； 因为这组数据按从小到大排列为：9、9、11、 11、 15， 所以这组数据的中位数为11分， 所以B选项错误； 因为这组数据的平均数是： (11+11+9+9+15) ÷5=11(分)， 所以C选项错误； 因为这组数据的众数为11和9分，所以D选项错误； 故选： A． 【点睛】本题查了平均数，中位数，众数以及方差，正确运用公式是解题的关键． 7. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：榫的俯视图是： 故选：D． 8. 如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立体图形的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】 解：由图可得，俯视图是， 故选：B． 9. 2025年11月8日，第三届湖南（廉桥）中医药产业博览会开幕．开幕式现场签约项目18个，总金额为14.51亿元，将数据14.51亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的书写技巧是解题关键．将14.51亿转换为数字，再调整为科学记数法标准形式即可． 【详解】解：14.51亿． 故选：B． 10. 我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：0.000000007用科学记数法表示为， 故选：B． 11. 已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 12. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，根据点M在第二象限，得出m和n的符号，再判断点N的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点N在第三象限， 故选：C． 13. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其余完全相同的小球，其中有10个红球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球后记下颜色放回．通过大量重复摸球试验，摸到红球的频率稳定在左右，那么盒子中小球的个数为（   ） A．20 B．50 C．80 D．100 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，当大量重复试验时，频率稳定值可视为概率．根据频率稳定在，可知摸到红球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ， ， 故选：B． 14. 在一个不透明的口袋里，装有除颜色外都相同的红球、白球共15个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中红球个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用概率求数量． 利用频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，即概率为，总球数为15，因此红球数量为个． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴红球的概率为， 又∵总球数为15， ∴红球个数． 故选：B． 15. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系，将关系具体化得到方程，联立即得方程组． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的布列是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得方程组为， 故选A． 16. 《九章算术》是我国古代一部著名数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“每人出9元，多4元；每人出8元，少4元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵每人出9元，多4元， ∴； ∵每人出8元，少4元， ∴， ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 17. 下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．邻边相等的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的判定，根据正方形的判定条件逐一分析选项．正方形需同时满足矩形（四角为直角，对角线相等）和菱形（四边相等，对角线垂直）的特征． 【详解】A．矩形对角线相等，若还互相垂直，则符合菱形特征，故为正方形，正确． B．菱形对角线垂直，若相等则符合矩形特征，故为正方形，正确． C．邻边相等的矩形即为菱形，同时是矩形，故为正方形，正确． D．有一个直角的平行四边形是矩形，但未说明四边相等，不一定是正方形，错误． 故选D． 18. 下列说法正确的是（    ） A．矩形的邻边相等 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形，平行四边形的性质，正方形的判定逐一分析即可． 【详解】解：A、矩形的邻边不一定相等，不符合题意． B、菱形的对角线互相垂直，不符合题意． C、平行四边形的对角相等，不符合题意． D、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形的性质，正方形的判定，熟记性质与判定方法是关键． 19. 如图，点D是的边上一点，连接．下列条件中，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴A、由不能判定，故符合题意； B、由能判定，故不符合题意； C、由能判定，故不符合题意； D、由能判定，故不符合题意； 故选A． 20. 如图，已知在中，为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理的应用．能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．根据相似三角形的判定定理（有两角分别相等的两个三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似）逐个进行判断即可． 【详解】解：根据和，而无法证明，故A符合要求； ， 又， ，故B不符合要求； ∵，， ∴，故C不符合要求； ∵，， ∴，故D不符合要求； 故选：A． 21. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定是解题的关键．根据矩形、菱形和正方形的判定，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：若，则四边形是矩形，不一定是正方形，故A选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故B选项正确，符合题意； 若，则四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 22. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形、菱形与正方形的定义及判定定理等知识点，由矩形、菱形与正方形的定义及判定定理逐一判定即可得解，熟练掌握矩形、菱形与正方形的定义及判定定理是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，但不一定是菱形， 故A不符合题意； ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，但不一定是矩形， 故B不符合题意； ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， 故C符合题意； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，但不一定是正方形， 故D不符合题意， 故选：C． 23. 下面说法正确的是（    ） A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 B．对于反比例函数，y随x的增大而减小 C．关于x的方程是一元二次方程 D．顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和中点四边形．分别根据平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和中点四边形的定义即可解答． 【详解】解：A、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以本选项不符合题意； B、对于反比例函数，随的增大而减小，所以本选项符合题意； C、关于的方程，当时是一元二次方程，所以本选项不符合题意； D、顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，所以本选项不符合题意． 故选：B． 24. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．该反比例函数图象经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图象关于原点O成中心对称 D．该反比例函数图象在第一、第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，求出时的函数值即可判断A；根据函数解析式可判断函数图象所在的象限和在每个象限内的增减性，据此可判断B和D；由反比例函数的对称性可判断C． 【详解】解：当时，，故该反比例函数图象不经过点，故A说法错误，不符合题意； ∵， ∴该反比例函数图象在第二和第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，故B和D说法都错误，不符合题意； 该反比例函数图象关于原点O成中心对称，故C说法正确符合题意； 故选：C． 25. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，利用图象特征判断字母系数的符号是解题的关键． 根据每个选项中的图象特征，分别判断一次函数和二次函数中的符号，再对比是否一致即可得出答案． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故B选项不符合题意 C、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故D选项不符合题意； 故选：C． 26. 关于二次函数的图象，下列叙述错误的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．当时，y随着x的增大而增大 D．图象经过点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一判断开口方向、对称轴、增减性及点是否在图象上． 【详解】解：∵函数为，， ∴图象开口向上，A正确； 对称轴为直线，B正确； ∴当时，随增大而增大，C正确； 当时，， ∴图象不经过点，D错误． 故选：D． 27. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③若实数，则；④若，则，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 28. 如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤；⑥若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中所有正确的结论是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象并结合已知条件进行正确分析是解题的关键． ①由图象及对称轴即可判断；②推出抛物线过点，当时，，又由即可做出判断；③由对称轴为，且开口向上，得到离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可得出结论；④推出当时，，即可判断；⑤先推出，得到，由，得到，即可做出判断；⑥方程的四个根，可化为函数图象与函数图象交点的横坐标，画出分析，根据对称性求解． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则， 顶点在y轴右侧，则， 抛物线与y轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴抛物线过点， ∴当时，， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为，且开口向上， ∴离对称轴水平距离越大，函数值越大， ∵点与点，， ∴，故③错误； 当时，， ∵当时，， ∴当时，， 即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点，故④正确； 对应的函数值为， 对应的函数值为， 又∵时函数取得最小值， ∴，即， ∵对称轴为， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 方程的四个根，可化为函数图象与函数图象交点的横坐标，如图，可画出函数图象，令函数图象与函数图象交点依次为， ∵方程有4个根， ∴，函数图象与函数图象有4个交点， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ 即，故⑥正确， ∴正确的为②④⑤⑥， 故选：C． 29. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作，点恰好在上，则劣弧的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式的应用，关键是先确定圆心角的度数，再代入弧长公式计算． 【详解】解：∵、是⊙的半径， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 故选：A． 30. 如图，正六边形内接于，已知这个正六边形的边心距的长为3，则的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，连接，，证明是等边三角形，得到，由垂径定理求出，再利用勾股定理求出，根据得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 31. 如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（    ） A．36 B．48 C．72 D．96 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的面积计算及平移的意义，难度中等．根据平移的意义知四边形是平行四边形，，故由菱形对角线的长度求其面积即可解决问题． 【详解】解：∵菱形， ，． ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在菱形中， ， ∴四边形的面积等于． 故选：A． 32. 如图，菱形的对角线相交于点，是的中点，，连接．若，则（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线，根据菱形的性质得出，，再得出是等边三角形，，得出是的中位线，求出，进而利用勾股定理可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． 又∵E是的中点，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵四边形是菱形， ∴，是的中位线， ∴， ∴，． ∴​． 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ A卷常考选择题 目录 典例详解 2 类型一、相反数 2 类型二、乘方计算 2 类型三、平均数中位数计算 3 类型四、科学计数法 3 类型五、三视图 4 类型六、平面直角坐标系 5 类型七、概率计算 5 类型八、古代问题 6 类型九、四边形性质判断 7 类型十、补充条件使三角形相似 8 类型十一、补充条件使四边形为特殊四边形 9 类型十二、圆相关计算 9 类型十三、四边形相关计算 10 类型十四、反比例函数性质 11 类型十五、二次函数图像与性质 12 类型十六、二次函数图像与系数关系 13 题型专练 14 典例详解 类型一、相反数 例1下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】的相反数是（　　） A． B．5 C． D． 【变式1-2】．的相反数（    ） A．2026 B． C． D． 类型二、乘方计算 例2下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 类型三、平均数中位数计算 例3信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（单位：字/），数据整理如下：，，，，，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是（      ） A．众数是 B．平均数是 C．中位数是 D．中位数是 【变式3-1】某学习兴趣小组的5名同学在一次数学竞赛活动中的成绩（单位：分）分别是92，95，90，92，86，对于这组数据，下列结论不正确的是（   ） A．极差是7 B．众数是92 C．平均数是91 D．中位数是92 【变式3-2】一个小组12名同学的出生月份（单位：月）如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份 3 6 8 6 11 5 7 8 8 7 8 7 则下列说法错误的是（    ） A．这组数据的平均数是7 B．这组数据的众数是8 C．这组数据的中位数是6 D．这组数据的方差是3.5 类型四、科学计数法 例42025年12月26日，世界最长高速公路隧道——天山胜利隧道全线通车，这条隧道全长22130米，将天山穿越时间从3小时减至20分钟，不仅贯通南北疆经济大动脉，更彰显了中国基建的技术实力与民族韧劲．数据22130用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】据2025年2月6日国内产品榜的最新统计数据显示，应用在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破2000万大关，具体数字高达2215万，这一成绩不仅彰显了强大的用户吸引力，也进一步证明了技术在当今社会的广泛应用和巨大潜力．数字2215万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．此次发现的超大规模离子吸附型稀土矿有望成为中国最大的中重稀土矿床．将115万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 类型五、三视图 例5如图，这是领奖台从正面看到的示意图，则此领奖台的俯视图是（    ）    A．     B．   C．   D．   【变式5-1】如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】按如图所示的方式摆放的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 类型六、平面直角坐标系 例6点关于原点对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-1】在平面直角坐标系中,点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 类型七、概率计算 例7某鱼塘里混养了180条鲤鱼、若干条草鱼和120条鲫鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验，发现捕捞到草鱼的频率稳定在0.4左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲫鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】在一批同型号的产品中，随机抽取1件产品进行检测并记录结果，然后放回搅匀，视为完成1次检测．已知共完成了200次检测，其中有4次检测到不合格品，则可估计从这批产品中随机抽取一件是合格品的概率是（   ） A．0.98 B．0.92 C．0.88 D．0.72 【变式7-2】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 类型八、古代问题 例8《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出九，盈四；人出八，不足五．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出9钱，多余4钱；每人出8钱，还缺5钱．问人数和鸡的价钱是多少？”设人数x人，鸡的总价y钱，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】《九章算术》是我国古代的数学著作，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价，一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马值x钱，一头牛值y钱，则可列方程组为（   ）． A． B． C． D． 【变式8-2】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有x人，鸡的价钱是y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 类型九、四边形性质判断 例9下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 【变式9-1】下列命题中正确的是（   ） A．平行四边形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．矩形每一条对角线平分一组对角 D．有一组对边相等的矩形为正方形 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的菱形是正方形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 类型十、补充条件使三角形相似 例10如图，点D是中上一点，连接．以下条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，点在的边上，添加如下一个条件后，仍不能得到的是（    ） A． B． C． D． 类型十一、补充条件使四边形为特殊四边形 例11如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式11-2】如图，在 中，下列结论中错误的是（ ） A．当时， 是菱形 B．当时， 是矩形 C．当平分 时， 是菱形 D．当时， 是正方形 类型十二、圆相关计算 例12如图，是的弦，半径于点D，若，则半径的长是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，中弦，相交于点P，连接，，则图中与相等的角是（   ） A． B． C． D． 类型十三、四边形相关计算 例13如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式13-2】如图，在平行四边形中，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 类型十四、反比例函数性质 例15对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 【变式15-1】关于反比例函数，已知点在它的图象上，下列说法中错误的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点和都在该图象上 D．当时， 【变式15-2】下列关于反比例函数图象的描述错误的是（   ） A．图象位于第一、三象限 B．点在此函数图象上 C．在每个象限内，函数随的增大而增大 D．图象关于坐标原点成中心对称 类型十五、二次函数图像与性质 例16关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【变式16-1】将抛物线平移，使顶点移到点的位置，所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 类型十六、二次函数图像与系数关系 例17抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式17-1】已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②； ③若，，是抛物线上的三点，则；④对于抛物线上任意一点，不等式恒成立．其中正确结论的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式17-2】如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型专练 1. 2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2. 某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 3. 下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4. 下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（    ） A．中位数是 4，平均数是 3.8 B．众数是 4，平均数是 3.75 C．中位数是 4，平均数是 3.8 D．众数是 2，平均数是 3.8 6. 中国代表队在北京冬奥会中取得9金4银2铜的好成绩，该成绩也是亚洲国家参加冬奥会的最佳成绩．中国代表队近5届冬奥会奖牌数（单位：枚）分别是11，11，9，9，15，关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．方差是4.8 B．中位数是9 C．平均数是10 D．众数是11 7. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（  ） A． B． C． D． 8. 如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 9. 2025年11月8日，第三届湖南（廉桥）中医药产业博览会开幕．开幕式现场签约项目18个，总金额为14.51亿元，将数据14.51亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 10. 我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 11. 已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 12. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其余完全相同的小球，其中有10个红球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球后记下颜色放回．通过大量重复摸球试验，摸到红球的频率稳定在左右，那么盒子中小球的个数为（   ） A．20 B．50 C．80 D．100 14. 在一个不透明的口袋里，装有除颜色外都相同的红球、白球共15个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中红球个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 15. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 16. 《九章算术》是我国古代一部著名数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 17. 下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．邻边相等的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 18. 下列说法正确的是（    ） A．矩形的邻边相等 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 19. 如图，点D是的边上一点，连接．下列条件中，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 20. 如图，已知在中，为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 21. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 22. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是正方形 23. 下面说法正确的是（    ） A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例 B．对于反比例函数，y随x的增大而减小 C．关于x的方程是一元二次方程 D．顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 24. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．该反比例函数图象经过点 B．y随x的增大而增大 C．该反比例函数图象关于原点O成中心对称 D．该反比例函数图象在第一、第四象限 25. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 26. 关于二次函数的图象，下列叙述错误的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．当时，y随着x的增大而增大 D．图象经过点 27. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③若实数，则；④若，则，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28. 如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤；⑥若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中所有正确的结论是（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 29. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作，点恰好在上，则劣弧的长为（   ）    A． B． C． D． 30. 如图，正六边形内接于，已知这个正六边形的边心距的长为3，则的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 31. 如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（    ） A．36 B．48 C．72 D．96 32. 如图，菱形的对角线相交于点，是的中点，，连接．若，则（    ） A．4 B． C． D．6 1 学科网（北京）股份有限公司 $