专题6.1 等差等比数列中性质的应用（培优热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

专题6.1 等差等比数列中性质的应用 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年： 小题考“活”：在选择题和填空题中，直接套用公式的“送分题”已非常少见，转而倾向于考查性质的灵活组合与快速识别。例如，利用等差数列下标和性质、等比数列片段和的性质简化计算。几何法并非“备用”方法，而是与向量法并列的通性通法。在图形规则或难以建系时，往往是更优选择。而在立体几何小题中，大概率使用几何法跟向量法，而比较少的能用到建系，建系计算更费时。 情境考“用”：命题注重将数列模型嵌入现实生活（如分期付款、人口增长）或科学文化背景（如《九章算术》中的古典数学问题）中，以考查学生的数学建模能力。这要求学生能剥离情境外衣，精准抽象出等差数列或等比数列模型。 预测2026年： 基于以上分析，函数与方程思想在2026年高考的数列板块预计将继续占据主导地位，而“结构的识别与构造”能力将是在“去套路化”命题下拉开差距的关键。等差等比数列的核心价值在于它们是离散的数学函数模型，直接锻炼了从复杂条件中抽象数学关系并代数化求解的能力。 题型01 等差中项的应用 解｜题｜策｜略 在等差数列求项的时候，可以用通项公式，也可以考虑用等差中项的性质： 当时，． 特别地，若，则．是的等差中项。 1．（2026·重庆·一模）在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 【答案】B 【分析】根据等差数列性质以及等差中项的应用计算可得结果. 【详解】依题意可得，因此； 又，可得； 因为，所以. 故选：B 2．（25-26高三上·江西上饶·月考）已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可得到，解出即可. 【详解】由等差中项的性质可得，故，解得. 故选：C． 3．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 4．（2025·安徽·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 【答案】A 【分析】写出数列与的通项公式，对数列利用等差中项的性质列方程求出数列的公差，从而代入的通项公式求出. 【详解】设的公差为，的公差为， ，解得，所以， ， 因为数列也是等差数列， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以，. 故选：A 5．（2025·浙江金华·一模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】应用等差中项的性质得，再由即可得出. 【详解】由题设，而， 所以. 故选：B 题型02 根据等差中项求和 解｜题｜策｜略 等差数列前n项和 若知道的值或者知道其中项，则可以用此来求等差数列的和。 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 【答案】D 【分析】由是与的等差中项可得，再利用等比数列的通项公式代入求出和，最后利用等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为数列为正项等比数列，设公比为， 又是与的等差中项，所以，即， 解得或（舍去）， 所以由解得， 所以该数列的前5项和， 故选：D 2．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】利用等差数列性质，，其中，计算即可. 【详解】由题意可知等差数列满足：， 所以得：， 所以． 故选：C． 3．（2026·重庆九龙坡·一模）已知为等差数列，其前n项和为则（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】通过等差数列的通项公式将已知等式转化为关于首项和公差的式子，化简得到中间项的值，再利用前项和与中间项的关系求出. 【详解】将转化为：， 展开得：， 合并同类项：， 化简得：，即. 前5项和，由等差数列性质知，， 故. 故选：B 4．（2026·四川绵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，则的前项和等于 . 【答案】 【分析】直接根据等差数列的性质及等差数列的前n项和公式可得. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以由等差数列的性质得，. 故答案为：. 5．（2026·贵州毕节·一模）记为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【分析】根据条件可求得与公差，再运用等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则由题可知，， 解得，故，， 故， 故答案为：. 题型03 等差数列片段和的性质 解｜题｜策｜略 为等差数列前项和，则是等差数列，公差为 1．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】84 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：84. 2．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】利用等差数列的片段和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 又，所以成等差数列， 则，则. 故选：A. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以， ， ， . 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以. 所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·山西晋中·月考）等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得. 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 5．（多选）（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，则（   ） A．若是等差数列，则，，成等差数列 B．若是等比数列，则，，成等比数列 C．若，且，则存在数列，使得 D．若，且，则存在，使得 【答案】AC 【分析】根据等差数列的定义和性质分析判断A；举例判断BC；根据数列特征及项的奇偶性判断D. 【详解】对于选项A：是等差数列，设其公差为d， 因为，， 则 所以，，，成等差数列，故A正确； 对于选项B：例如，则， 可得，，不成等比数列，故B错误； 对于选项C：例如周期数列，满足，且， 此时，故C正确； 对于选项D：因为，且，所以该数列的项奇偶交替，且为整数， 而前项包含个奇数，个偶数，这些项的和为奇数，而为偶数，矛盾， 故D错误； 故选：AC 题型04 等差数列的性质 解｜题｜策｜略 数列的前n项和为 是等差数列 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案. 方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解. 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 3．（25-26高三上·江苏·月考）已知等差数列的前n项和为，的前n项和为.若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质设出，再根据已知条件求出，即可计算出的值. 【详解】因为数列为等差数列，为其前n项和，由其性质可知数列为等差数列， 又因为为等差数列的前n项和，即， 因为，所以，解得， 所以，故. 故答案为： 4．（多选）（25-26高二上·山东·月考）记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列，则（   ） A．是等差数列 B． C． D．当时，的最小值为12 【答案】ACD 【分析】等差数列的通项公式的定义求出，利用求出，从而可判断A和B; 令，分析的取值规律，即可判断C; 令，分析的取值规律，即可判断D. 【详解】选项A：由题可知，则.当时，， 也满足上式，故，即得，所以是等差数列，故A正确； 选项B：由于，得，故B错误； 选项C：由于，令，即，解得，即数列的前5项为负，第6项为0，第7项起为正， 因此当时，单调递减，当时，单调递增，又， 故的最小值为（或），所以，故C正确； 选项D：由于，令，则，解得（舍去）或，又， 所以时，，所以当时，的最小值为12，故D正确. 故选: ACD 5．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·月考）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答. 【详解】对于A选项，设等差数列的公差为，则， 由得，故， 可得，故数列的公差大于，A错； 对于B选项，由得， 因为，故数列单调递增，所以，B对； 对于C选项，因为数列单调递增，且， 故当且时，；当且时，. 所以的最小值是，C对； 对于D选项，因为， ， ， 故成立的的最小值是，D对. 故选：BCD. 题型05 两个等差数列前n项和之比问题 解｜题｜策｜略 若与为等差数列，且前项和为与，则． 1．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 【答案】1 【分析】利用等差数列下标和的性质及等差数列前n项和公式有，结合已知求值即可. 【详解】由，， 所以. 故答案为：. 2．（25-26高二上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 3．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D 4．（多选）（2025·广东汕尾·一模）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 5．（多选）（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为6 D．若， 则数列的公差为 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的性质得到仍是等差数列，从而根据等差中项判断A；根据等差数列前n项和公式及等差中项，将转化为判断B； 根据等差数列前n项和公式的性质列方程求解C；根据等差数列前项和公式列方程求解D. 【详解】因为数列，均为等差数列，所以数列仍是等差数列， 所以是与的等差中项， 所以，故A正确. 因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 根据等差中项的性质知，即，所以，故B正确. 因为等差数列的前n项和为，所以成等差数列， 若，则成等差数列， 所以，解得，故C错误. 设的公差，因为，所以， 所以，即，则数列的公差为2，故D正确， 故选：ABD 题型06 等差数列奇数项和与偶数项和的关系 解｜题｜策｜略 1、 若项数为偶数，则；；． 2、 若项数为奇数，则；；． 弄清楚数列的总项，因为总项是奇数或偶数会影响到奇数项和跟偶数项和。 1．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列. 奇数项和为    ① 偶数项和为    ② 因为， 所以，解得. 所以，即等差数列的项数为21. 故选：A. 2．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ． 【答案】10 【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和①， 偶数项和②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【答案】 【分析】根据等差数列偶数项和与奇数项和的差即可求解. 【详解】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为： 4．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 题型07 等差数列的单调性 解｜题｜策｜略 根据等差数列的通项有是关于n的一次函数，的单调性与的正负有关。 1．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1， 若为单调递增的数列，则； 若， 则，， ，， 所以，， 则“为单调递增的数列”. 综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件. 故选：C 2．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 3．（多选）（25-26高二上·云南昭通·月考）已知单调递增的正项无穷等差数列满足：，则下列说法正确的有（   ） A． B．当时，的前项和为 C．公差的取值范围是 D．当为整数时，的最大值为7 【答案】AC 【分析】对于A，由等差数列的性质可求出，进而可判断；对于B，由求出公差，由等差数列的前项和公式求解即可；对于C，由为单调递增的正项无穷等差数列，列不等式组求解即可；对于D，结合及公差的范围得到的范围. 【详解】对于A，在等差数列中，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，由于，，则公差，故的前20项和为，故B错误； 对于C，由，为单调递增的正项无穷等差数列，得且，解得，即的取值范围为，故C正确； 对于D，，当为整数时，，即的最大值为9，D错误. 故选：AC. 4．（多选）（24-25高二下·河北保定·期末）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 【答案】BCD 【分析】取，结合数列单调性的定义可判断A选项；利用数列单调性的定义可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，不妨取，则，且对任意的，， 但，，此时数列不单调，A错； 对于B选项，若，由于，故数列是单调递增数列，B对； 对于C选项，对任意的，由于，故数列是单调递增数列，C对； 对于D选项，对任意的，， 因为，所以，故数列是单调递增数列，D对. 故选：BCD. 题型08 等差数列前n项和的最值 解｜题｜策｜略 1、 根据等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可以根据二次函数的性质来讨论的单调性、最值。由通项公式，求和公式，可得以下性质 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、当等差数列时，则此时的是数列和中的最大值，同理当等差数列时，则是数列和中的最小值 1．（多选）（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用前n项和与通项的关系，求出首项与公差的正负，结合选项逐项分析； 【详解】由于，即； 由于，即； 由于，即； 综上，，，； 对于选项A，由于，，，则A正确； 对于选项B，由于，则B错误； 对于选项C，由于，则C正确； 对于选项D，由于，则D错误； 故选：AC 2．（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由及等差数列前n项和的性质判断①④；应用等差数列前n项和公式可得，并结合可判断②③.. 【详解】由题意可得，所以，，故①②对； 由，可知， 所以满足成立的最小的值为18，③对； 由可知，等差数列的前项为正，从第10项开始为负，所以使得取得最大值时的为9.故④对.综上，正确命题的序号为①②③④. 故选：D 3．（多选）（24-25高二下·广西南宁·期中）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】根据数列的前项和的性质即可求解. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，所以，所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD. 4．（多选）（25-26高二上·河北·期末）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A：分析可知与异号，结合题意可证不成立；对于B：整理可得，进而可得，即可判断；对于C：可知与异号，即可判断；对于D：根据题意可得，进而分析判断. 【详解】在等差数列中，， 对于选项A：因为，所以， 又因为，可知与异号， 假设，则，可得，， 两者相矛盾，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可得，，则，， 又因为，即， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 又因为，可知与异号， 但的正负不确定，且， 所以的符号不确定，故C错误； 对于选项D：因为，则， 所以，故D错误. 故选：AB. 5．（多选）（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．是递减数列 B． C．当时，取得最小值 D．当时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】运用等差数列下标和的性质、等差数列的前项和公式以及的符号，依次判断即可. 【详解】对于A：，.又， ，故等差数列是递减数列，故A正确； 对于B：由A可知，且数列是递减数列，故有，， 因此有，故，即，故B正确； 对于C、D：由B可知，当时，；当时，，故当时，取得最大值，故C错误，D正确. 故选：ABD. 题型09 等比中项的应用 解｜题｜策｜略 若，则．是的等比中项。 1．（25-26高二上·天津南开·期末）已知递增的等比数列满足，，则的公比（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，结合韦达定理构造一元二次方程求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由题意可知. 因为是递增的等比数列，所以， 又，所以，是方程的两根，解得，. 所以，所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·河北邢台·月考）在等比数列中，，且，则（   ） A．36 B．27 C．18 D．9 【答案】C 【分析】由等比数列下标和的性质化简，可得，再结合解出，即可得解. 【详解】由等比数列的性质得，故， 得． 由，得，则，所以． 故选：C. 3．（25-26高二上·北京·期末）已知是等比数列，若，，则的前项和 ． 【答案】 【分析】根据所给条件列方程求解首项与公比，再由等比数列求和公式得解. 【详解】由可得， 由可得， 又，所以，即， 所以，. 故答案为： 4．（25-26高二上·天津津南·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 【答案】 【分析】应用等比数列及等差数列的下标和性质得出，，再代入结合特殊值的三角函数值求解. 【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，又，， 则，，所以，， 则. 故答案为：. 题型010 等比数列子数列性质 解｜题｜策｜略 从等比数列中挑选出m项的子数列,,…… 则这些子数列的和也成等比数列。 1．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 又，所以， 则. 故答案为：. 2．（25-26高三上·安徽·月考）在正项等比数列中，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据题设，利用等比数列的性质先得出，再结合即可求解． 【详解】由，则，得， 由题意知，故， 所以． 故答案为： 3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】由等比数列的公比，且， 则 ， 所以. 故答案为：. 5．（2025·贵州安顺·模拟预测）记为等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】/ 【分析】利用等比数列性质求出，进而可得，可得. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，所以. 故答案为： 题型011 等比数列变形后的数列性质 解｜题｜策｜略 1、 为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列，但为等差数列． 2、 若，是等比数列，则，仍是等比数列． 1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）设数列满足，且，则 . 【答案】4 【分析】由可知数列是正项数列，且是等比数列，由公比及等比数列的性质可得到结果. 【详解】因为数列满足， 所以数列是正项数列，且， 所以，所以数列是公比的等比数列. 又， 所以. 故答案为：4. 2．（多选）（24-25高二下·广东·期中）下列说法正确的有（   ） A．若、、成等差数列，则、、成等差数列 B．若、、成等差数列，则、、成等比数列 C．若、、成等比数列，则、、成等差数列 D．若、、成等比数列，则、、成等比数列 【答案】ABD 【分析】利用等差中项法可判断A选项；利用等比中项法可判断BD选项；利用特殊值法可判断C选项. 【详解】对于A选项，若、、成等差数列，则， 所以，， 所以，、、成等差数列，A对； 对于B选项， 若、、成等差数列，则， 所以，、、均为正数，且， 所以，、、成等比数列，B对； 对于C选项，若、、成等比数列，如取， 则、、均无意义，C错； 对于D选项，若、、成等比数列，则、、均不为零，且， 所以，，即、、成等比数列，D对. 故选：ABD. 3．（多选）（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知数列、都是正项等比数列，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 【答案】BC 【分析】利用特例法可判断AD选项；利用等比数列的定义可判断B选项；利用等差数列的定义可判断C选项. 【详解】因为数列、都是正项等比数列， 所以设数列，的公比分别为、，且，， 且对任意的正整数有，成立, 对于A选项，不妨设，，满足、都是正项等比数列， 此时， 因为，， 所以，此时数列不是等比数列，故A不正确； 对于B选项，因为，所以数列是等比数列，故B正确； 对于C选项，因为为常数， 所以数列是等差数列 ，故C正确； 对于D，设，，满足、都是正项等比数列，此时， ，， 所以，，所以，所以数列不是等比数列，故D不正确. 故选：BC. 4．（多选）（2025高三上·广东肇庆·专题练习）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，是数列的前n项和，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．，，成等比数列 【答案】AC 【分析】首先根据等比数列的定义求出数列的通项公式，进而可得到前n项和的表达式，根据数列的相关知识逐一分析． 【详解】因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，． 对于A，因为，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，故A正确； 对于B，数列的通项公式为，因为函数是减函数，所以数列是递减数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，所以数列是首项为0，公差为1的等差数列，故C正确； 对于D，因为，，，所以，，显然，所以，，不成等比数列，故D错误. 故选：AC. 5．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨设等比数列为，当时，不存在， 所以不是等差数列，所以D选项错误. 故选：AC 题型012 等比数列片段和性质 解｜题｜策｜略 公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 1．（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的片段和的性质可得出、、成等比数列，可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则 ，与题意矛盾， 因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列， 所以， 又因为，，则，整理可得， 解得或（舍去）， 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）设等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】解法一：由题意判断，利用等比数列前n项和结合求出，即可求得答案；解法二：利用等比数列前n项和的性质：，，成等比数列，求出，即可求得答案. 【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，不符题意； 所以，解得， 所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即， 求得，故， 故选：C． 3．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等比数列的前项和为，若，且，则 . 【答案】17 【分析】根据等比数列的前n项和性质得，从而利用求解即可. 【详解】设的公比为，则，解得， 所以. 故答案为：17 4．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【详解】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 5．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则 . 【答案】64 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质得. 故答案为：64. 题型013 等比数列奇数项和与偶数项和 解｜题｜策｜略 等比数列中同等项数的奇数项与偶数项的和 1．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 4．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 5．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 题型014 等比数列的单调性 解｜题｜策｜略 1、当或时，为递增数列； 2、当或时，为递减数列． 3、若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 1．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等比数列定义、数列单调性意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若等比数列是递增数列，则或，则必有； 取，数列的公比，而数列是递减数列， 所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（25-26高三上·福建龙岩·月考）若数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的定义得到结论. 【详解】取，，则，满足， 此时，所以数列不为递增数列， 故充分性不成立； 当数列为递增数列时，则，故必要性成立. ∴“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知为等比数列，为其公比，设甲：；乙：为递增数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【分析】应用等比数列定义结合充分条件和必要条件的定义举反例，判断即可. 【详解】根据题意，为等比数列， 当，时，，此时为递减数列，故充分性不成立； 同理可知，此时为递增数列，但，故必要性不成立． 故选：D． 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 5．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 题型015 等比数列的前n项积的性质 解｜题｜策｜略 为等比数列，若前项积为则成等比数列． 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D．当时，最小 【答案】D 【分析】对于A，由定义结合题设可判断选项正误；对于B，注意到，则，据此可判断选项正误；对于C，注意到数列是单调递增数列，结合B分析可判断选项正误；对于D，注意到，结合B分析，可得，结合数列是单调递增数列可判断选项正误． 【详解】因为，所以． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，则，故B错误 对于C，因，可知数列是单调递增数列.又，则当时，，所以，故C错误. 对于D，注意到，则， 从而，又，故.当时，；当时，；所以当时，最小，选项D正确； 故选：D 2．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知等比数列的前项积为，，，且，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【分析】由题意可得是递增数列且，由递增数列性质结合等比数列性质可判断最值. 【详解】设的公比为．由，，得，则． 由，得，所以是递增数列． 当时，； 当时，； 当时，． 故的最小值为14． 故选：C. 3．（25-26高三上·贵州·月考）已知公比不为1的等比数列的前项和为，为的前项积，若数列是首项为2的等差数列，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得，化简整理求得，进而求出通项， 进而求出，结合指数函数的单调性得解. 【详解】设等比数列的公比为，且，由题知，又，得， 所以，，，， 数列是首项为2的等差数列，可得，得， 解得，所以，则， 又，因为，所以当时，取到最小值， 所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 【答案】C 【分析】通过分析得等比数列为单调递减，且前项大于1，项以后小于1，再结合等比数列的性质可得. 【详解】由，所以和中一个大于1一个小于1. 若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以； 若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾； 所以，，等比数列是单调递减数列，且，. 所以当时，，当时，. 由等比数列性质，， 所以，. 当时，，单调递增且； 当时，，,单调递减且； 当时，，即，所以时，单调递减, 又. 所以，即时，单调递减且小于1. 所以最大的自然数为. 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，求出和，再证明数列是等比数列，进而求出其通项公式，从而得到的表达式，再通过求二次函数的最值，即可得到的最大值. 【详解】因为，①，所以可得. 令，可得，解得（舍去负值），所以. 在①中，用代换，可得②. ②除以①可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 所以， 令， 可知当或11时，取得最大值55， 又由，可得的最大值． 故选：D （建议用时：30分钟） 1．（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质得到，结合题意得到，利用等比中项的性质求出，结合和求解即可. 【详解】由题意可得成等差数列，成等比数列， 得到，，故， 若，则，解得， 可得，即，故A正确. 故选：A． 2．（2026·湖北荆门·模拟预测）已知等差数列前n项和为，若，则（    ） A．9 B．5 C．1 D．10 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和公式与等差中项的性质计算即可. 【详解】因为等差数列前n项和为，， 所以. 故选：A. 3．（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】依题意得. 故选：A 4．（多选）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．常数列是等差数列 B．若，则是等差数列 C．若是等差数列，则数列为等差数列 D．若是等差数列，，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通项公式，以及性质，即可判断选项. 【详解】A.常数列是等差数列，公差为0，故A正确； B.，，，，所以不是等差数列，故B错误； C.若是等差数列，则，，则（常数），所以数列为等差数列，故C正确； D. 若是等差数列，，则，故D正确. 故选：ACD 5．（多选）（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为0 D．已知，公差，则的最大值为32 【答案】BC 【分析】通过等差数列的等差中项性质分析的项；利用前项和与中间项的关系求；借助前项和的二次函数对称性求；通过通项公式确定前项和的最大值，逐一验证选项. 【详解】数列、为等差数列，则是等差数列. 选项A： ，，因2、5、8成等差数列， 故是与的等差中项，得，A错误. 选项B： 等差数列前项和满足， 故，，则. 代入，得，B正确. 选项C： 设数列的公差为，由， 得，解得， 所以，C正确. 选项D： 由，，得. 令，解得，故的最大值为，D错误. 故选：BC 6．（多选）（25-26高三上·重庆·月考）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 【答案】AC 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D. 【详解】对于A，由，正确； 对于B，数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，，错误； 对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以，正确； 对于D，由，，则，所以， 若时，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，错误. 故选：AC 7．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．6 B．9 C．15 D．81 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式和题设条件，求得数列的公比，代入即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，， . 故选：B. 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 8．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据递增数列的定义结合特例即可求解. 【详解】若有数列为递增数列，则， 当时，如：，满足， 但数列不是递增数列， 所以是数列为递增数列的必要不充分条件， 故选：B. 9．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 10．（多选）（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大项为 D． 【答案】AC 【分析】根据题意得，，，进而再根据等比数列的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以， 因为， 所以，即或， 当时，由于，故，即； 当时，由于，故，又因为，此时等比数列恒成立，与矛盾， 所以，，，故A选项正确； 对于B，由得，即得，故B选项错误； 对于C，由于，，， 所以，， 所以数列中的最大项为，故C选项正确； 对于D，，故D选项错误. 故选：AC 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 等差等比数列中性质的应用 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年： 小题考“活”：在选择题和填空题中，直接套用公式的“送分题”已非常少见，转而倾向于考查性质的灵活组合与快速识别。例如，利用等差数列下标和性质、等比数列片段和的性质简化计算。几何法并非“备用”方法，而是与向量法并列的通性通法。在图形规则或难以建系时，往往是更优选择。而在立体几何小题中，大概率使用几何法跟向量法，而比较少的能用到建系，建系计算更费时。 情境考“用”：命题注重将数列模型嵌入现实生活（如分期付款、人口增长）或科学文化背景（如《九章算术》中的古典数学问题）中，以考查学生的数学建模能力。这要求学生能剥离情境外衣，精准抽象出等差数列或等比数列模型。 预测2026年： 基于以上分析，函数与方程思想在2026年高考的数列板块预计将继续占据主导地位，而“结构的识别与构造”能力将是在“去套路化”命题下拉开差距的关键。等差等比数列的核心价值在于它们是离散的数学函数模型，直接锻炼了从复杂条件中抽象数学关系并代数化求解的能力。 题型01 等差中项的应用 解｜题｜策｜略 在等差数列求项的时候，可以用通项公式，也可以考虑用等差中项的性质： 当时，． 特别地，若，则．是的等差中项。 1．（2026·重庆·一模）在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 2．（25-26高三上·江西上饶·月考）已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 4．（2025·安徽·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 5．（2025·浙江金华·一模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型02 根据等差中项求和 解｜题｜策｜略 等差数列前n项和 若知道的值或者知道其中项，则可以用此来求等差数列的和。 1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 2．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 3．（2026·重庆九龙坡·一模）已知为等差数列，其前n项和为则（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 4．（2026·四川绵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，则的前项和等于 . 5．（2026·贵州毕节·一模）记为等差数列的前项和，若，则 . 题型03 等差数列片段和的性质 解｜题｜策｜略 为等差数列前项和，则是等差数列，公差为 1．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则 ． 2．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．12 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西晋中·月考）等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 5．（多选）（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，则（   ） A．若是等差数列，则，，成等差数列 B．若是等比数列，则，，成等比数列 C．若，且，则存在数列，使得 D．若，且，则存在，使得 题型04 等差数列的性质 解｜题｜策｜略 数列的前n项和为 是等差数列 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（25-26高三上·江苏·月考）已知等差数列的前n项和为，的前n项和为.若，，则 . 4．（多选）（25-26高二上·山东·月考）记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列，则（   ） A．是等差数列 B． C． D．当时，的最小值为12 5．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·月考）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 题型05 两个等差数列前n项和之比问题 解｜题｜策｜略 若与为等差数列，且前项和为与，则． 1．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 2．（25-26高二上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为 . 3．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·广东汕尾·一模）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选）（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为6 D．若， 则数列的公差为 题型06 等差数列奇数项和与偶数项和的关系 解｜题｜策｜略 1、 若项数为偶数，则；；． 2、 若项数为奇数，则；；． 弄清楚数列的总项，因为总项是奇数或偶数会影响到奇数项和跟偶数项和。 1．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 2．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ． 3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 4．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 题型07 等差数列的单调性 解｜题｜策｜略 根据等差数列的通项有是关于n的一次函数，的单调性与的正负有关。 1．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选）（25-26高二上·云南昭通·月考）已知单调递增的正项无穷等差数列满足：，则下列说法正确的有（   ） A． B．当时，的前项和为 C．公差的取值范围是 D．当为整数时，的最大值为7 4．（多选）（24-25高二下·河北保定·期末）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 题型08 等差数列前n项和的最值 解｜题｜策｜略 1、 根据等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可以根据二次函数的性质来讨论的单调性、最值。由通项公式，求和公式，可得以下性质 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、当等差数列时，则此时的是数列和中的最大值，同理当等差数列时，则是数列和中的最小值 1．（多选）（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（多选）（24-25高二下·广西南宁·期中）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 4．（多选）（25-26高二上·河北·期末）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选）（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．是递减数列 B． C．当时，取得最小值 D．当时，取得最大值 题型09 等比中项的应用 解｜题｜策｜略 若，则．是的等比中项。 1．（25-26高二上·天津南开·期末）已知递增的等比数列满足，，则的公比（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（25-26高三上·河北邢台·月考）在等比数列中，，且，则（   ） A．36 B．27 C．18 D．9 3．（25-26高二上·北京·期末）已知是等比数列，若，，则的前项和 ． 4．（25-26高二上·天津津南·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 题型010 等比数列子数列性质 解｜题｜策｜略 从等比数列中挑选出m项的子数列,,…… 则这些子数列的和也成等比数列。 1．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ． 2．（25-26高三上·安徽·月考）在正项等比数列中，已知，则 ． 3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等比数列满足，则 . 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则 ． 5．（2025·贵州安顺·模拟预测）记为等比数列的前项和，若，，则 . 题型011 等比数列变形后的数列性质 解｜题｜策｜略 1、 为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列，但为等差数列． 2、 若，是等比数列，则，仍是等比数列． 1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）设数列满足，且，则 . 2．（多选）（24-25高二下·广东·期中）下列说法正确的有（   ） A．若、、成等差数列，则、、成等差数列 B．若、、成等差数列，则、、成等比数列 C．若、、成等比数列，则、、成等差数列 D．若、、成等比数列，则、、成等比数列 3．（多选）（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知数列、都是正项等比数列，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 4．（多选）（2025高三上·广东肇庆·专题练习）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，是数列的前n项和，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．，，成等比数列 5．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 题型012 等比数列片段和性质 解｜题｜策｜略 公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 1．（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等比数列的前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）设等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．2 B． C． D．3 3．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等比数列的前项和为，若，且，则 . 4．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 5．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则 . 题型013 等比数列奇数项和与偶数项和 解｜题｜策｜略 等比数列中同等项数的奇数项与偶数项的和 1．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 2．（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 4．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 5．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 题型014 等比数列的单调性 解｜题｜策｜略 1、当或时，为递增数列； 2、当或时，为递减数列． 3、若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 1．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·福建龙岩·月考）若数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知为等比数列，为其公比，设甲：；乙：为递增数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 题型015 等比数列的前n项积的性质 解｜题｜策｜略 为等比数列，若前项积为则成等比数列． 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D．当时，最小 2．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知等比数列的前项积为，，，且，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 3．（25-26高三上·贵州·月考）已知公比不为1的等比数列的前项和为，为的前项积，若数列是首项为2的等差数列，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 5．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（     ） A． B． C． D． （建议用时：30分钟） 1．（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 2．（2026·湖北荆门·模拟预测）已知等差数列前n项和为，若，则（    ） A．9 B．5 C．1 D．10 3．（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．常数列是等差数列 B．若，则是等差数列 C．若是等差数列，则数列为等差数列 D．若是等差数列，，则 5．（多选）（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为0 D．已知，公差，则的最大值为32 6．（多选）（25-26高三上·重庆·月考）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 7．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．6 B．9 C．15 D．81 8．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（多选）（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大项为 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $