精品解析：河南省开封市通许县开封清华中学2025-2026学年高一上学期期末模拟数学试题

高一数学期末模拟卷 一、单选题 1. 已知集合，则集合且的子集的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则的大小关系是（   ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列选项正确是（  ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数的最大值为，最小值为 D. 函数在上单调递减 5. 恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 49 B. 51 C. 53 D. 55 8. 关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 设，，，则有（ ） A. 的定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若周期是，则其对称轴方程为， C. 若，则在区间单调递增 D. 若方程在上有三个根，则 三、填空题 12. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______. 13. 若函数值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________. 14. 已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则_______ 四、解答题 15. 已知集合. （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 17. “中老铁路”于2021年12月3日通车，玉溪作为中老铁路上的重要节点，从玉溪前往老挝，实现了朝发夕至．据悉，从玉溪到西双版纳的高铁，发车时间间隔t（单位：小时）满足，经统计在某一时段，高铁载客量与发车时间间隔t相关，当时高铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2小时时载客量为560人，记高铁载客量为． （1）求解析式； （2）若该时段这趟高铁每小时的净收益为（千元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每小时的净收益最大？ 18. 如图，点为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1． （1）求解析式． （2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且． （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值． 19. 设函数在非空数集M上的取值集合为N，即，若，则称为M上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）设，若存在实数b，使得为上的“集中函数”，求实数a的取值范围； （3）若为上的“集中函数”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末模拟卷 一、单选题 1. 已知集合，则集合且的子集的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意求出集合，再求解子集个数即可. 【详解】因为，且集合且， 所以，则集合有个子集，故B正确. 故选：B 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件概念及正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】充分性：函数在区间上是单调递增的. 若，且，根据单调性可得； 必要性：若，且，同样由的单调性，可推出. 因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知，，，则的大小关系是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的正弦值，判断参数范围，再根据对数函数性质，判断函数值大小，判断结果即可. 【详解】可知，即， ，即， ，且，即， 所以，即． 故选：D. 4. 已知函数，则下列选项正确的是（  ） A. 是函数的一个周期 B. 是函数的一条对称轴 C. 函数的最大值为，最小值为 D. 函数在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期的定义、对称轴的定义，结合换元法、正弦型函数的最值性质、单调性逐一判断即可. 【详解】A：因 ， 所以不是函数的一个周期，因此本选项说法不正确； B：因为 ， 所以是函数的一条对称轴，因此本选项说法正确； C：令， 则， 对两边同时平方，得 ，，该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，当时，函数取得最大值， 因为， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，因此本选项说法不正确； D： 当时，， 所以函数单调递减，且， 由上可知：函数的对称轴为，所以该函数在上先增后减， 因为函数在上不单调，所以本选项说法不正确. 故选：B 5. 恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 6. 已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到与图象的交点关于对称，则有，，即可得到答案. 【详解】函数，定义域为， 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称； 定义域为的函数满足，则的图象关于点对称. 所以函数与图象的交点也关于点对称. 函数与的图象有四个交点，分别为，，，， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 49 B. 51 C. 53 D. 55 【答案】A 【解析】 【分析】根据结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A. 8. 关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对参数分类讨论求解不等式，再根据解得情况分析可得实数的取值范围. 【详解】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故正整数解为1，2，3，所以， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 二、多选题 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由作差法可判断A，C，D，取特值可判断B. 【详解】对于A，若，则， 而，得到，故A正确； 对于B，取，满足，则，故B错误； 对于C，， 因为，，所以， 所以，故C正确； 对于D，若，则， 得到，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 设，，，则有（ ） A. 的定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数的性质求函数的定义域判断A，由奇偶性的定义判断函数的奇偶性判断B，由对数复合函数的单调性，结合参数范围判断的单调性判断CD. 【详解】由题设，则，定义域为，A错， 由， 所以偶函数，B对， 由题设，定义域为， 由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，C对， 当时，令，则在定义域上单调递增， 原不等式等价于. 根据单调性，此不等式成立的条件为，即. 因为题设条件为，且对于任意实数都有，所以恒成立. 因此，只要的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故D正确 故选：BCD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若周期是，则其对称轴方程为， C. 若，则在区间单调递增 D. 若方程在上有三个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式化简可得的表达式，结合奇函数定义可判断A；根据正弦函数的对称性可判断B；根据正弦函数的单调性判断C；解三角方程，根据根的个数列出相应不等式，可求出的范围，判断D. 【详解】, 由于,，故是奇函数，A正确； 若周期是，则，即， 令，则 则的对称轴方程为，B错误； 若，则，在区间单调递增，C正确； ，即，即， 则或， 解得或， 当时，或；当时，或；当时，或； 由于，在上有三个根，故，解得，D正确， 故选：ACD 三、填空题 12. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移变换法则求得，然后利用诱导公式及特殊角的正切值求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数性质，结合二次函数性质列式求解. 【详解】由的值域为，得函数的值域包含， 则，解得或； 令，由函数在上单调递增，函数是减函数， 得函数在上单调递减且， 因此，解得， 又或，于是有， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则_______ 【答案】2024 【解析】 【分析】首先通过变量代换，消去另一个函数，得到的递推关系，然后得出的周期，最后计算和. 【详解】因为是偶函数，所以 又，所以①， 又因为，所以②， 由①②得到③，所以④， 由③④得到，即，所以的一个周期为， 又，由，得到，且，， 所以，则， 故答案：2024 四、解答题 15. 已知集合. （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）“”是“”的必要不充分条件，得到集合是的真子集，求得实数的取值范围即可； （2）求出集合，由，得，再讨论、得到实数的取值范围即可． 【小问1详解】 ，即， 等价于，解得， 则， 又“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 则，解得 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 ，， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为． 16. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）且； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）运用诱导公式规则，分别化简分子、分母中每个三角函数（如，等），再对化简后的分式进行约分，最终转化为基本三角函数（正切）的形式化简求值； （2）先利用同角三角函数的平方关系（），将所求式子中的“”“”转化为含的表达式，再将“弦函数（，）表达式”转化为“切函数（）表达式”，化简求值即可； （3）先将，代入已知等式，结合诱导公式（）化简等式，再结合同角三角函数的平方关系，建立关于的方程，解方程得的值（即）即可. 【小问1详解】 由且， 所以且. 【小问2详解】 由题设及（1）知， 且 因为，所以， 所以 ； 【小问3详解】 由题知，得 所以代入原式得：， 即， 又， 整理得， 所以， 可得， 所以， 因为，所以， 等式两边同时除以得： 所以， 即 . 17. “中老铁路”于2021年12月3日通车，玉溪作为中老铁路上的重要节点，从玉溪前往老挝，实现了朝发夕至．据悉，从玉溪到西双版纳的高铁，发车时间间隔t（单位：小时）满足，经统计在某一时段，高铁载客量与发车时间间隔t相关，当时高铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2小时时载客量为560人，记高铁载客量为． （1）求的解析式； （2）若该时段这趟高铁每小时的净收益为（千元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每小时的净收益最大？ 【答案】（1） （2）6小时 【解析】 【分析】（1）由题意设减少的人数为，根据题意求出，写出各段函数的解析式即可得到答案； （2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性求分段函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意设减少的人数为， 由题意得，其中为常数， 因为发车时间间隔为2小时时载客量为560人，所以， 解得， 所以 【小问2详解】 由得， 即， ①当时， ，当且仅当等号成立， ②当时， 在上单调递减，当时Q取最大值， 综上，当发车时间间隔为小时，该时段这条线路每小时的净收益最大，最大为120千元. 18. 如图，点为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1． （1）求的解析式． （2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且． （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值． 【答案】（1） （2）（i），；（ii）或． 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数与x轴的交点设出交点式解析式，再由顶点坐标与三角形面积公式求出顶点纵坐标，代入解析式求出参数，从而得到的解析式. （2）（i）利用偶函数和奇函数的性质，结合构造出关于和的方程组，通过解方程组求出与的解析式. （ii）先写出的表达式，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，分和两种情况讨论函数在区间上的最大值，进而求出的值. 【小问1详解】 设，其中． 设，因为的面积为1，所以，得， 将的坐标代入，得，解得， 所以． 【小问2详解】 （i）由①，得②， 因为是偶函数，是奇函数，所以由②得③， 由①和③得，，． （ii）． ． 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得（舍去）或． 故的值为或． 19. 设函数在非空数集M上的取值集合为N，即，若，则称为M上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）设，若存在实数b，使得为上的“集中函数”，求实数a的取值范围； （3）若为上的“集中函数”，求证：． 【答案】（1）是上的“集中函数”，不是上的“集中函数”，证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的单调性求出值域，结合集中函数的定义进行判断即可； （2）先分析二次函数：对称轴，开口向上；再分类讨论单调性：当或：函数单调，验证值域包含于，仅、满足；当：函数先减后增，存在使值域包含于，区间内均满足；最后得出结论. （3）用函数的单调性的定义，结合指数函数和对数函数的单调性判断单调性，由“集中函数”定义得值域，进而转化为对数不等式；再通过指数变形、结合基本不等式，得，最终证得. 【小问1详解】 因为是上的增函数， 所以有， 因为，所以是上的“集中函数”. 因为是上增函数， 所以有， 因为不是子集，所以不是上的“集中函数”. 【小问2详解】 因为在上的值域， 又因是开口向上的二次函数，对称轴为，则分3种情况讨论： 当时，在上单调递增， 值域, 由，需满足： 两个不等式相加消去得：，结合，得. 当，在递减、递增， 设表示中最大的数， 值域. 由，需满足： 因为，， 所以， 故存在满足条件，因此均成立. 当，此时在上单调递减，值域. 由，需满足：， 两个不等式相加消去得：，解得. 结合，得. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 所以该函数的定义域为， 设是内任意两个实数，且，则有， ， ， 因为， 所以， 所以 所以在上单调递减，且， 所以值域. 由“集中函数”定义可得，得： ， 对变形：， 对变形：， 所以， 令，， 因为，所以， 则式子变为：， 因为， 所以 ，而， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $