精品解析：新疆喀什市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷

新疆喀什市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知向量与平行，则x，y的值分别为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的虚轴长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 过点的直线的倾斜角为，则等于（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5. 在公比为2的等比数列中，前4项的和为30，则首项为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 等差数列中，且，是其前项和，则下列正确的是（ ） A. 均小于0，而均大于0 B. 均小于0，而均大于0 C. 均小于0，而均大于0 D. 均小于0，而均大于0 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. B. 是的一个零点 C. 在区间上是增函数，在区间[1，4]上是减函数 D. 11. 下列四个选项中说法正确的是（ ） A. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程为 B. “”是“1，x，4成等比数列”的充分不必要条件 C. 直线倾斜角为 D. 过两点的直线的方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若抛物线焦点坐标为，则______，准线方程为______． 13. 过点与曲线相切的直线方程为____________． 14. 若数列的前项和是，则数列的通项公式是____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 中，． （1）求BC边上高所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程； （3）过点作圆M的切线，求切线的方程． 16. 已知椭圆的焦距为，且 （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆有交点，求在y轴上的截距的取值范围． 17. 如图，在长方体中，为的中点． （1）求证：直线平面PAC； （2）求平面PAC与平面夹角的余弦值． 18. 已知是等差数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）求数列的前项和． 19. 已知函数. （1）在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并写出单调增区间； （2）方程有四个不相等实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆喀什市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知向量与平行，则x，y的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 2. 双曲线的虚轴长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求得，进而求得虚轴长. 【详解】因为双曲线，所以，则，即虚轴长为4. 故选：C. 3. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用直接法写出圆的方程. 【详解】因为圆心为，半径为2，所以圆的方程是. 故选：D 4. 过点的直线的倾斜角为，则等于（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点斜率公式和倾斜角正切值表示斜率求解即可. 【详解】因为斜率，所以， 故选：D. 5. 在公比为2的等比数列中，前4项的和为30，则首项为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列求和公式列式求解即可. 【详解】由题意得，得． 故选：A 6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线DE与AC所成的角的余弦值. 【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， 所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)， 则, 则异面直线DE与AC所成角的余弦值为. 故选：B. 【点睛】本题考查关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算求解，属基础题. 7. 设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先利用双曲线定义得，再结合勾股定理，通过两式运算求出，进而得面积； 方法二：直接用双曲线焦点三角形面积公式，代入即得结果. 【详解】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又， 所以． 故选：C. 8. 等差数列中，且，是其前项和，则下列正确的是（ ） A. 均小于0，而均大于0 B. 均小于0，而均大于0 C. 均小于0，而均大于0 D. 均小于0，而均大于0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析数列的符号性，结合等差数列求和公式分析的符号性即可. 【详解】因为，且数列为等差数列，可知数列是递增数列， 当时，；当时，； 又因为，则， 可得，，， 所以均小于0，而均大于0. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可. 【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确； 又∵，∴，∴，故B正确； ∵，， ∴，，∴，故C正确； 又∵，，∴ ∴，故D错误． 故选:ABC． 10. 如图所示是函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. B. 是的一个零点 C. 在区间上是增函数，在区间[1，4]上是减函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的图象进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，图象没有给出的值，所以A选项错误. B选项，由图可知，所以是一个零点，所以B选项正确. C选项，由图可知在区间上增函数， 在区间[1，4]上是减函数，所以C选项正确 D选项，由图可知，所以，所以D选项错误. 故选：BC 11. 下列四个选项中说法正确的是（ ） A. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 B. “”是“1，x，4成等比数列”的充分不必要条件 C. 直线的倾斜角为 D. 过两点的直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况讨论，求出满足条件的直线方程，从而判断原说法不全面.选项B，通过验证充分性和必要性，判断条件类型.选项C，由直线方程求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.选项D，根据两点式直线方程的适用条件，判断原表达式的局限性. 【详解】对于A，若直线过坐标原点，则直线方程为； 若直线不过坐标原点，可设其方程为； 综上所述：直线的方程为或，A错误． 对于B，当时，成等比数列，充分性成立； 当1，x，4成等比数列时，，解得：，必要性不成立； 是“1，x，4成等比数列”的充分不必要条件，B正确； 对于C，由：知直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，C正确； 对于D，当直线垂直于坐标轴时，无法用表示，D错误； 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若抛物线的焦点坐标为，则______，准线方程为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点坐标求得，再根据抛物线的方程求得准线方程. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以，所以，准线方程为． 故答案为：4， 13. 过点与曲线相切的直线方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于零求出，得解. 【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为， 联立，消去整理得， ，即，解得， 所以过点的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 若数列的前项和是，则数列的通项公式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用与之间关系直接求解即可． 【详解】当时，5； 当时，，不满足； 所以． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 中，． （1）求BC边上高所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程； （3）过点作圆M的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求得BC边上的高所在直线的斜率，进而求得BC边上的高所在直线的方程. （2）设出圆的一般方程，代入三点的坐标，进而求得的外接圆的方程. （3）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合直线和圆的位置关系求得正确答案. 【小问1详解】 直线BC的斜率, 所以边BC上的高所在直线的斜率为， 所以边BC上的高所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 设的外接圆的方程为， 则 解得 所以的外接圆的方程为． 【小问3详解】 当切线的斜率存在， 设切线的方程为，即， 由题意得，解得， 此时切线的方程为． 当切线的斜率不存在时也符合题意，此时切线的方程为, ∴切线的方程为或. 16. 已知椭圆的焦距为，且 （1）求的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆有交点，求在y轴上的截距的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，确定的值，可得椭圆标准方程. （2）设直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据可求的取值范围. 【小问1详解】 ∵椭圆的焦距为，故， 又，联立解得， ∴椭圆的方程为：． 【小问2详解】 设在y轴上的截距为，则的方程为， 由，消去得. 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得， 所以的取值范围为． 17. 如图，在长方体中，为的中点． （1）求证：直线平面PAC； （2）求平面PAC与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面PAC. （2）利用向量法求得平面PAC与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面PAC法向量为， 则取，则， 所以． 因， 所以． 又因为平面PAC，所以平面PAC. 【小问2详解】 由（1）易知． 设平面的法向量为， 则取，则， 所以． 设平面PAC与平面的夹角为， 则， 所以平面PAC与平面夹角的余弦值为． 18. 已知是等差数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）25 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列通项公式和求和公式可得，即可得通项公式； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而分析最值； （3）分和两种情况，讨论的符号，结合运算求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 因为，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， 当时，取到最大值为25． 【小问3详解】 由（1）可知：， 时，当时， 当时，则； 当时，则； 综上所述：. 19. 已知函数. （1）在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并写出单调增区间； （2）方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见详解； （2）. 【解析】 【小问1详解】 当时，；当时，， 所以，. 作出函数的图象如下图 由图像可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 如图2，作出函数与直线的图象. 由图2知，当时，直线与有4个交点，即方程有四个不相等的实数根， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $