专题01 条件概率与全概率公式的9大题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

专题01 条件概率与全概率公式的9大题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算 1 题型二、条件概率的性质与应用 2 题型三、条件概率与事件 3 题型四、条件概率与古典概型 4 题型五、全概率公式 5 题型六、贝叶斯公式 7 题型七、分配问题 8 题型八、三门问题 9 题型九、马尔科夫链 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、条件概率的计算 1．设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 2．已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3．已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 4．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 5．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 6．已知，则 . 7．若，则 . 8．若随机事件满足，，，求的值． 题型二、条件概率的性质与应用 9．已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 11．质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则 . 12．某个科技小作品是由红、黄、蓝三个颜色的灯组成，每次闪烁时只有一个颜色的灯亮，其余两个颜色的灯不亮，每种颜色的灯不会连续在两次闪烁中亮起，若第1次闪烁，红灯亮起，则第6次闪烁时，黄灯亮的概率为 . 13．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点从左下角图示处出发，每次可沿着网格移动1个单位长度，直至到达点时停止移动，则移动的最短路径的条数为 ；若点选择移动最短的路径并最终移动到点处，事件：点移动过程中会经过点,事件：点前两次移动均为横向移动，则 . 14．为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战．每场挑战赛都采取七局四胜制．积分规则如下：以或获胜队员积4分，落败队员积0分；以或获胜队员积3分，落败队员积1分．假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率． 题型三、条件概率与事件 15．已知随机事件相互独立，，则（   ） A． B． C． D． 16．已知A，B是两个随机事件，，则下列命题中错误的是（ ） A．若A包含于B，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，则 D．若A，B相互独立，则 17．在一个随机试验中，随机事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．与是对立事件 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若，则 18．在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 19．设是一个随机试验中的两个事件，若 ，则 . 20．甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为.第3次投壶的人是乙的概率为 ，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为 . 21．某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 题型四、条件概率与古典概型 22．某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 23．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 24．袋中大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是 ． 25．某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 26．设，有个罐子和个小球，球和罐子均以1至编号.现在按号码递增的顺序依次将球放入罐子中，1号球可不受限制地随意等可能放入个罐子中的任意一个；对于，只要号罐子空着，就把号球放入到号罐子里；否则，就随意等可能放入一个空罐中.如此下去，显然号球就只有一种放法.将号球放入号罐子中的事件记为.例如，当时，显然1号球放入到1号罐子里的概率为，也就是. (1)当时，求和； (2)对于确定的，记.例如，表示的是按照规则将4个球放入到4个罐子里，最终4号球落入4号罐子里的概率.显然，，求证：在时，，并求出数列的通项公式； (3)对于确定的，求. 题型五、全概率公式 27．某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 28．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 29．近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 30．在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 31．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为 . 32．秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为 . 33．现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为 . 34．某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI质检系统进行检测，该厂芯片的次品率为，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率正确标记为“合格” (1)现从生产线上随机抽取1件芯片进行检测，若，求被系统标记为合格品的概率； (2)若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率有所降低，那么随着的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由. 35．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 36．近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．假设最终进入半决赛有四支队伍，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时A与B同组，C与D同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 题型六、贝叶斯公式 37．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 38．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 39．通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 40．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 41．某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 题型七、分配问题 42．将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为 ． 43．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的，，共3所学校，每所学校至少1人，则在甲、乙两人不分配到同一所学校的前提下，甲恰好分配到学校的概率为 . 44．现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球．甲同学将这6个小球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒子中随机摸1个球，试验结束． (1)若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率； (2)甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最大值． 题型八、三门问题 45．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 46．端午假日期间，某商场为了促销举办了购物砸金蛋活动，凡是在该商场购物的顾客都有一次砸金蛋的机会．主持人从编号为1，2，3，4的四个金蛋中随机选择一个，放入奖品，只有主持人事先知道奖品在哪个金蛋里．游戏规则是顾客有两次选择机会，第一次任意选一个金蛋先不砸开，随后主持人随机砸开另外三个金蛋中的一个空金蛋，接下来顾客从三个完好的金蛋中第二次任意选择一个砸开，如果砸中有奖的金蛋直接获奖．现有顾客甲第一次选择了2号金蛋，接着主持人砸开了另外三个金蛋中的一个空金蛋． (1)作为旁观者，请你计算主持人砸4号金蛋的概率； (2)当主持人砸开4号金蛋后，顾客甲重新选择，请问他是坚持选2号金蛋，还是改选1号金蛋或3号金蛋？（以获得奖品的概率最大为决策依据） 47．“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提•霍尔•游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲•沃斯•莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲•沃斯•莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 48．在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 题型九、马尔科夫链 49．某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为，分配到复杂任务的概率为．已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为，且各阶段任务完成情况相互独立． (1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率． (2)记为该机器人在完成第n个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率．求的值， 50．甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 51．已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为． (1)求的值． (2)求证：数列是等比数列，并求的表达式． 1．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 2．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 3．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 4．小明同学参加学校组织的投篮比赛，连续投篮2次，已知小明初始投进的概率为0.8，若第一次投进，则下次投进的概率为0.6；若第一次未投进，则下次投进的概率为0.4．记事件为小明第i次投进，下列说法正确的是（    ）． A． B． C．相互独立 D． 5．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 6．现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 7．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 8．小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，（），且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率． (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． (3)闯关游戏比赛组织方为了吸引参赛者，提供了三种闯关游戏方式：水上闯关、陆地徒步闯关、自行车闯关，每种闯关游戏方式都设置若干关卡，所有关卡都闯过，则闯关成功；其中有一关没有闯过，则闯关失败．参赛者只能参加其中一种闯关游戏方式．三种闯关游戏方式发布后已有100选手参加，且闯关后的统计数据如下表： 闯关方式闯关结果 水上闯关 陆地徒步闯关 自行车闯关 闯关成功 8 16 8 闯关失败 12 24 32 小王等可能的选择上述三种闯关游戏方式中的一种，求闯关游戏结束时，小王闯关成功的概率．（注：用频率近似为概率，第三问与小问（1）（2）无直接联系） 9．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 条件概率与全概率公式的9大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算 1 题型二、条件概率的性质与应用 3 题型三、条件概率与事件 6 题型四、条件概率与古典概型 9 题型五、全概率公式 13 题型六、贝叶斯公式 17 题型七、分配问题 20 题型八、三门问题 21 题型九、马尔科夫链 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、条件概率的计算 1．设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以，故选：A. 2．已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【解析】根据条件概率公式，先求： 由，得. 再求： 由，代入，得.故选：B 3．已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ．故选：D． 4．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A：，所以．又由，故A正确；对于B：， 变形可得，故B错误；对于C：，故C正确； 对于D：，则有，故，故D正确，故选：ACD 5．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 【答案】 【解析】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以，由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为，所以，所以. 故答案为：. 6．已知，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，故. 7．若，则 . 【答案】 【解析】由，得,即，故. 8．若随机事件满足，，，求的值． 解：，，， 由得， 由，可得， 所以． 题型二、条件概率的性质与应用 9．已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意，，，若相互独立，则相互独立，相互独立，所以，，所以，故充分性成立；若，即，则，即，故，即相互独立，故、相互独立，故必要性成立，故“相互独立”是“”的充分必要条件． 故选：C 10．如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”，每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：，设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等，记，，则，即.若即则路径数有6种；若即则路径数有24种；若即则路径数有6种；所以.事件“向右移动2次且回到点”要使向右移动2次且回到点，则且，又，所以，路径数有6种；.. 故选：A. 11．质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则 . 【答案】 【解析】依题意，在不超过20的自然数中，素数有：2，3，5，7，11，13，17，19共有8个，其中“孪生素数”有：3和5，5和7，11和13，17和19共有4对，所以，所以. 12．某个科技小作品是由红、黄、蓝三个颜色的灯组成，每次闪烁时只有一个颜色的灯亮，其余两个颜色的灯不亮，每种颜色的灯不会连续在两次闪烁中亮起，若第1次闪烁，红灯亮起，则第6次闪烁时，黄灯亮的概率为 . 【答案】 【解析】设事件“第n次闪烁红灯亮”，“第n次闪烁黄灯亮”，“第n次闪烁蓝灯亮”，那么由题意可知，，又，所以，可构造等比数列，，因为，所以是以为首项，公比为的等比数列，故，所以，，故第6次闪烁时，黄灯亮的概率为. 13．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点从左下角图示处出发，每次可沿着网格移动1个单位长度，直至到达点时停止移动，则移动的最短路径的条数为 ；若点选择移动最短的路径并最终移动到点处，事件：点移动过程中会经过点,事件：点前两次移动均为横向移动，则 . 【答案】 【解析】点移动到点的最短路径为沿网格共移动5次，其中向上移动两次，向右移动3次，则不同的条数为从5次中选择两次向上移动，为；若点选择移动最短的路径并最终移动到点处，即共移动8次，其中向上移动3次，向右移动5次，事件：点移动过程中会经过点,即前5次向上移动两次，后3次向上移动1次，所以，事件：点移动过程中会经过点,且点前两次移动均为横向移动，即第3,4,5次移动中向上移动两次，后3次向上移动1次，所以，由条件概率知. 14．为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战．每场挑战赛都采取七局四胜制．积分规则如下：以或获胜队员积4分，落败队员积0分；以或获胜队员积3分，落败队员积1分．假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率． 解：设王强在这轮比赛得3分为事件A，王强前3局比赛获胜的事件为B， ， ， . 故王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率为 题型三、条件概率与事件 15．已知随机事件相互独立，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为随机事件相互独立，所以， 由， 由， 由，所以， 故选：A 16．已知A，B是两个随机事件，，则下列命题中错误的是（ ） A．若A包含于B，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，则 D．若A，B相互独立，则 【答案】B 【解析】对于A，因为A包含于B，所以，则，正确；对于B，因为A，B是对立事件，所以，所以，错误； 对于C，因为A，B是互斥事件，所以，所以，正确，对于D，因为A，B相互独立，所以，所以，正确.故选：B 17．在一个随机试验中，随机事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．与是对立事件 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】选项A：虽然，但不一定成立（即事件包含的样本点与事件包含的样本点有可能重复），故与不一定是对立事件，错误；选项B：若与相互独立，则，正确；选项C：若与相互独立，则与相互独立，所以，正确；选项D：若，则，所以，所以，正确.故选：BCD 18．在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】BCD 【解析】对于A，A与B相互独立，则, ，故A错误；对于B，因为与互斥，所以，所以，所以，，所以,故B正确；对于C，因为与互斥，所以，所以，所以所以，故C正确；对于D，显然，即，由，得，解得，所以与互斥，故D正确.故选：BCD 19．设是一个随机试验中的两个事件，若 ，则 . 【答案】 【解析】，将代入可以求得，，将，，求得. 20．甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为.第3次投壶的人是乙的概率为 ，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为 . 【答案】 【解析】第3次投壶的人是乙的有四种情况：①第1次投壶的人是甲，第2次投壶的人是甲，第3次投壶的人是乙，概率；②第1次投壶的人是甲，第2次投壶的人是乙，第3次投壶的人是乙，概率；③第1次投壶的人是乙，第2次投壶的人是甲，第3次投壶的人是乙， 概率；④第1次投壶的人是乙，第2次投壶的人是乙，第3次投壶的人是乙， 概率；综上，第3次投壶的人是乙的概率；设第2次投壶的人是甲为事件A，第1次投壶的人是乙为事件B，则，，则，所以在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为. 21．某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 解：（1）记“部件甲合格”为事件，“部件乙合格”为事件. 由题意知，. 记“该电子元件能正常使用”为事件， 则. （2）记“该电子元件恰好只有一个部件不合格”为事件， 则. （3）根据题意，要求的是， 则. 题型四、条件概率与古典概型 22．某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为，再安排给3人，总方法数为，其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以，而事件与都发生的所有可能结果有，即，所以所求概率为．故选：C． 23．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，故A错误；对于B，，，故B正确；对于C，事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生且第二位出场的是女生；第一位出场的是女生且第二位出场的是女生，，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD. 24．袋中大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是 ． 【答案】 【解析】设事件为第一次取出白球，事件为第二次取出白球，因袋中一共有8个球，第一次取出白球的概率，此时袋中还剩下个球，其中白球个，那么第一次和第二次都取出白球的概率为，由条件概率公式，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是. 25．某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 【答案】 【解析】设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为. 26．设，有个罐子和个小球，球和罐子均以1至编号.现在按号码递增的顺序依次将球放入罐子中，1号球可不受限制地随意等可能放入个罐子中的任意一个；对于，只要号罐子空着，就把号球放入到号罐子里；否则，就随意等可能放入一个空罐中.如此下去，显然号球就只有一种放法.将号球放入号罐子中的事件记为.例如，当时，显然1号球放入到1号罐子里的概率为，也就是. (1)当时，求和； (2)对于确定的，记.例如，表示的是按照规则将4个球放入到4个罐子里，最终4号球落入4号罐子里的概率.显然，，求证：在时，，并求出数列的通项公式； (3)对于确定的，求. 解：（1）当时，由题意，事件“将号球放入号罐子中”， 即前个球放置后号罐子为空，、号球不能放入号罐子， 共如图两类情况： 第一类：号球放入号罐子，其概率为，且之后放法确定. 因为号罐子空，号球必放入号罐子， 然后因为号罐子空，则号球必放入号罐子； 第二类：号球放入号罐子，概率为， 然后因为号罐子不空，则号球放入号罐子的概率为， 之后由于号罐子空，则号球放法确定，必放入号罐子； 则由概率乘法公式可知，此类情况概率为. 因为两类事件互斥，则由互斥事件的和事件概率加法公式可得 所以； 由事件“号球不放入号罐子，且号球放入号罐子”，即上述第二类情况， 故. （2）表示的是按照规则将个球放入到个罐子里，最终号球落入号罐子里的概率， 其中，且由题意，由（1）可知. 当时，事件共有以下情况： 第1类：号球放入号罐子，其概率为，且依序各罐子都空，故之后放法确定， 即任意号球都必放入号罐子； 第2类：号球放入号罐子，其概率为， 然后将剩余号共个球放入共个罐子中，且号球必须放入号罐子， 现不妨将号罐子重新编号为“新”号罐子，即将个球放入“新”共个罐子中，且号球必须放入号罐子，其概率为， 故由概率乘法公式可知，此类情况概率为该类情况的概率即为； 第类：号球放入号罐子，其概率为， 因为号罐子空，号球放法确定，必放入号罐子， 然后将剩余号共个球放入共个罐子中， 且号球必须放入号罐子， 现不妨将号罐子重新编号为“新”号罐子， 即将个球放入“新”共个罐子中， 且号球必须放入号罐子，其概率为， 故由概率乘法公式可知，此类情况的概率为； 同理依次分类下去，，直至第类， 第类：号球放入号罐子，其概率为， 因为号罐子均为空，所以号球依次放入对应编号的罐子中 然后将球与号球两个球放入号共个罐子中即可，且号球必须放入号罐子， 同理可知此类情况的概率为； 因为这类事件互斥，则由互斥事件的和事件概率加法公式可得 所以， 则有①，得证. 由所证式子可得②， 由得， 化简可得，又， 故可得. （3）现按照规则将个球放入到个罐子里，其中， 由题意事件“号球放入号罐子中”， 则由全概率公式可得， 且，，， 且由（2）知， 代入公式可得， 解得. 故. 题型五、全概率公式 27．某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件A：该医院的患者现场挂号，事件B：该医院的患者对医院的服务满意，则事件：该医院的患者在线挂号，且，，,由全概率公式可知.故选：A 28．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设“取到编号为1的工厂的产品”， “取到编号为2的工厂的产品”， “取到编号为3的工厂的产品”，则.设“取到产品是次品”，则.由全概率公式.故选：C. 29．近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件， 则，.则. 故选：D 30．在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【解析】用,分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼，则,,,抽到男生且喜欢体育锻炼的概率为：，故A正确；抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为：，故B正确；抽到的学生不喜欢体育锻炼的概率为： ,;抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为：,故C错误；抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为,，所以,故D正确；故选：ABD. 31．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为 . 【答案】 【解析】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”，，，， 由全概率公式可得. 32．秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为 . 【答案】 【解析】用表示这个人患了流感，分别用，，表示这个人来自地区，则，，.，，.所以. 33．现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为 . 【答案】/0.45 【解析】设第三次取出白球为事件，选中第个袋子为事件.因为10个袋子外表相同，从中任选一个袋子，每个袋子被选中的概率均为，所以.因为第个袋中有10个球，其中个红球，个白球，所以在第个袋子中，任意一次取到白球的概率均为，则在第个袋子中，第三次取到白球的概率.所以由全概率公式可知，第三次取出白球的概率 . 34．某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI质检系统进行检测，该厂芯片的次品率为，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率正确标记为“合格” (1)现从生产线上随机抽取1件芯片进行检测，若，求被系统标记为合格品的概率； (2)若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率有所降低，那么随着的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由. 解：（1）用事件表示抽到的是正品，把抽到的产品标记为合格品为事件， 则，， 由全概率公式得. （2）设系统的误判率为，则， 所以随着的降低，系统的误判率升高. 35．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 解：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结 果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ． 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为． ②由①得，所以方案一中取到红球的概率为： 方案二中取到红球的概率为： 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 36．近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．假设最终进入半决赛有四支队伍，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时A与B同组，C与D同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 解：（1）记拿到冠军分别为事件．淘汰赛赛制下，A只需要连胜两场即可拿到冠军： 对于：需战胜A后战胜C或D中胜者 同理， （2）记淘汰赛赛制和双败赛制下A获得冠军的概率分别为 则 而双败赛制下，A获得冠军的可能性有三种： 1．直接连赢三局（未用“复活甲”） 2．从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛 3．直接掉入败者组拿到冠军 首先，A直接连赢三局的概率为：， A从胜者组掉入败者组再夺冠：， A直接掉入败者组再夺冠：， 所以：， 比较两种赛制： ， 当时，，即双败赛制下，强者拿到冠军的概率更大； 当时，，即双败赛制下，弱者拿到冠军的概率更小． 综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的． 题型六、贝叶斯公式 37．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，则，由贝叶斯公式得：．故选：B. 38．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【解析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，则 ，事件 表示智驾出现故障，则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，，所以甲乙丙要承担的责任比为.故选：B. 39．通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 【答案】D 【解析】设表示“收到的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，由题意可得，，，， ，，根据贝叶斯公式可得， .故选：D. 40．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【答案】 【解析】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则，，，，故， 则所求概率为. 41．某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 解：（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 题型七、分配问题 42．将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为 ． 【答案】 【解析】将甲，乙，丙三名志愿者分配到，，三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，且乙分配到社区，基本事件总数，在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区包含的基本事件个数，在乙分配到社区的条件下，甲分配到社区的概率为． 43．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的，，共3所学校，每所学校至少1人，则在甲、乙两人不分配到同一所学校的前提下，甲恰好分配到学校的概率为 . 【答案】 【解析】将这5名教师分配到新疆的，，共3所学校，每所学校至少1人，则先分组后排列，5名教师分成三组，可能为1，1，3或1，2，2.若为1，1，3，则有种情况；若为1，2，2，则有种情况.所以5名教师分配到新疆的，，共3所学校，每所学校至少1人，共有种情况. 设“甲、乙两人不分配到同一所学校”为事件，“甲恰好分配到学校”为事件.若为1，1，3，则甲、乙两人分配到同一所学校有：种；若为1，2，2，则甲、乙两人分配到同一所学校有：种； 所以甲、乙两人不分配到同一所学校共有：种.所以.若为1，1，3，甲、乙两人不分配到同一所学校，且甲恰好分配到学校有：种；若为1，2，2，甲、乙两人不分配到同一所学校，且甲恰好分配到学校有：种；所以甲、乙两人不分配到同一所学校，且甲恰好分配到学校总共有：种.所以.所以. 44．现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球．甲同学将这6个小球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒子中随机摸1个球，试验结束． (1)若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率； (2)甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最大值． 解：（1）记事件A为“乙摸到红球”， 若乙选择的是1号盒子，则乙摸到红球的概率，        若乙选择的是2号盒子，则乙摸到红球的概率，         由全概率公式得，， （2）由（1）知，， 不妨设在一号盒子中放k个红球和m个白球， 则在二号盒子中有个红球，个白球， 其中，1，2，3且，1，2，3，由对称性，只需考虑和两种情况，           当时，， ， 当，时， 时取最大，即在一号盒子中只放一个红球，则， 此时．          当时， 列举可得，，均小于．         故甲应该在其中一个盒子中只放1个红球，在另一个盒子中放入剩余5个球， 此时乙最终摸到红球的概率最大为． 题型八、三门问题 45．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】ABD 【解析】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此，，，的概率均为，即A正确；对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确；对于C、D选项，奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故，奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故，由全概率公式可得：， ，，故C错误，D正确．故选：ABD． 46．端午假日期间，某商场为了促销举办了购物砸金蛋活动，凡是在该商场购物的顾客都有一次砸金蛋的机会．主持人从编号为1，2，3，4的四个金蛋中随机选择一个，放入奖品，只有主持人事先知道奖品在哪个金蛋里．游戏规则是顾客有两次选择机会，第一次任意选一个金蛋先不砸开，随后主持人随机砸开另外三个金蛋中的一个空金蛋，接下来顾客从三个完好的金蛋中第二次任意选择一个砸开，如果砸中有奖的金蛋直接获奖．现有顾客甲第一次选择了2号金蛋，接着主持人砸开了另外三个金蛋中的一个空金蛋． (1)作为旁观者，请你计算主持人砸4号金蛋的概率； (2)当主持人砸开4号金蛋后，顾客甲重新选择，请问他是坚持选2号金蛋，还是改选1号金蛋或3号金蛋？（以获得奖品的概率最大为决策依据） 解：（1）设分别表示1，2，3，4号金蛋里有奖品， 设分别表示主持人砸开1，2，3，4号金蛋， 则，且两两互斥． 由题意可知，事件的概率都是， ，，，． 由全概率公式，得． （2）在主持人砸开4号金蛋的条件下，1号金蛋、2号金蛋、3号金蛋里有奖品的概率分别为 ， ， ， 通过概率大小比较，甲应该改选1号金蛋或3号金蛋． 47．“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提•霍尔•游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲•沃斯•莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲•沃斯•莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 解：（1）如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，所以，应该换门. （2）因为总共门数是，则山羊门数为， 如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门都比不换门中奖概率更高. （3）由（2）知不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元是值得的，须有：， 整理得：， 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 48．在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 解：（1）如果主持人知道内情，则他必然打开空箱子，，则， ，所以独立， 所以， 说明不换箱子不中奖的概率是，不换箱子中奖的概率是，于是，换箱子中奖的概率是. （2）如果主持人不知道内情，， 于是，， 说明换箱子与不换箱子中奖概率都是. （3）如果主持人知道内情的概率为，事件表示主持人知道内情，则， ， 又，设， ， ， 因此，. 说明不换箱子不中奖的概率. 题型九、马尔科夫链 49．某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为，分配到复杂任务的概率为．已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为，且各阶段任务完成情况相互独立． (1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率． (2)记为该机器人在完成第n个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率．求的值， 解：（1）令S表示“在一个阶段中成功完成任务”，表示“分配到简单任务”，表示“分配到复杂任务”． ．，． 根据全概率公式：． 令，则失败的概率． （2）计算（前一阶段不可能结束）．完成第2阶段后未结束，意味着没有出现“连续两次失败”． 即第阶段不能都是失败．（第阶段都失败）． 50．甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 解：（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对， 其概率为：； （2）（i）； 当乙同学回答完6道题目后，出现连续答对至少4道题这一情形， 可能的情况为：6道都答对、连续答对5道（第1道或者第6道答错）、 连续答对4道（1~4道答对，第5道答错，第六道答对或者答错； 第1道答错，2~5道答对，第6道答错；第1道答对或答错，第2道答错，3~6道答对）， 故； （ii）乙同学答完n道题后，如果没有出现连续答对至少4道题的情形， 则由题意可如下分类： ①第n题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ②第n题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形， 此时概率为； ③第n题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ④第n题答对，第题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为， 由全概率公式：①， 因此②， ， 所以当时，，故． 51．已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为． (1)求的值． (2)求证：数列是等比数列，并求的表达式． 解：（1）由题意，质点的初始位置为A，A不在底面上． 移动1次后，质点的位置． 从顶点A出发，有3条棱，分别通向， 这三个顶点都在底面上．故． 移动2次后，质点的位置． 第1次移动后，质点必在三点之一，且等可能性，概率均为； 若第1次到了B（概率）：从B出发，有3条棱，分别通向． 其中在底面，A不在．所以从B出发，下一步仍在底面的概率为； 若第1次到了C或情况与B完全对称，下一步仍在底面的概率也为； 由全概率公式得． （2）由题意知移动n次后，质点在底面上的概率为．则质点在顶点A的概率为． 若第n次后在底面（概率），且第次移动后仍留在底面． 从底面任意一点出发，有2条棱连向底面另两点，1条棱连向A，故留在底面的概率为； 若第n次后在顶点A（概率），且第次移动后到达底面． 从A出发，3条棱都连向底面，故到达底面的概率为1． 由全概率公式得， 令，即， 得．则， 所以数列是以为公比的等比数列，又． 所以，得. 1．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示，则.某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为所以.故选:B. 2．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记从 “放有两个黑球盒子”， “放有一个黑球一个红球盒子”， “放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件，，，则事件，，两两互斥，，记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为，得到， 则，故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为.故选：D. 3．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，所以为对立事件，故A正确；对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确；对于CD，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时，所以，，故C正确，D不正确.故选：ABC 4．小明同学参加学校组织的投篮比赛，连续投篮2次，已知小明初始投进的概率为0.8，若第一次投进，则下次投进的概率为0.6；若第一次未投进，则下次投进的概率为0.4．记事件为小明第i次投进，下列说法正确的是（    ）． A． B． C．相互独立 D． 【答案】ABD 【解析】由题意可知，，， ，A选项正确； ，B选项正确； ，不独立，C选项错误； ，D选项正确.故选：ABD. 5．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（   ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是 B．第二次取到1号球的概率 C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大 D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种 【答案】ABD 【解析】对于A选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球，则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为：，故A正确，对于B选项：记事件分别表示第一次、第二次取到号球，依题意两两互斥， 其和为，并且，， ，，由全概率公式有：，故B正确；对于C选项：依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同，， ，，则故在第二次取到1号球的条件下，它取自编号为1的口袋的概率最大，故C不正确；对于D选项：先将5个不同的小球分成或三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有：，故D正确；故选：ABD. 6．现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 解：（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，， 所以； 故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为； （2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件； 所以，，，； 由全概率公式得. 所以取到歌曲的概率为 7．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 解：（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 8．小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，（），且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率． (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． (3)闯关游戏比赛组织方为了吸引参赛者，提供了三种闯关游戏方式：水上闯关、陆地徒步闯关、自行车闯关，每种闯关游戏方式都设置若干关卡，所有关卡都闯过，则闯关成功；其中有一关没有闯过，则闯关失败．参赛者只能参加其中一种闯关游戏方式．三种闯关游戏方式发布后已有100选手参加，且闯关后的统计数据如下表： 闯关方式闯关结果 水上闯关 陆地徒步闯关 自行车闯关 闯关成功 8 16 8 闯关失败 12 24 32 小王等可能的选择上述三种闯关游戏方式中的一种，求闯关游戏结束时，小王闯关成功的概率．（注：用频率近似为概率，第三问与小问（1）（2）无直接联系） 解：（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立， 且， ， 故，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 故， 当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为， （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知事件相互独立， 由已知， ，， ，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为， 所以，故， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为， 所以， 即，故， 代入，可得， 所以，故，又， 所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为； （3）设事件闯关游戏结束时，小王闯关成功为, 事件小王选择水上闯关方式闯关为，选择陆地徒步闯关方式闯关为，选择自行车闯关方式闯关为，则， ， 所以， 由已知，，， 所以， 所以闯关游戏结束时，小王闯关成功的概率． 9．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 解：（1）由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 所以. （3）由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件，则， 所以 ， ， . 所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $