精品解析：重庆市綦江区教育科学研究所2025-2026学年九年级上学期期末教学质量监测数学试题

2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测试卷 九年级数学试题 考生注意： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右 侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）． A. 长河落日圆 B. 长江天际流 C. 手可揽明月 D. 鸟宿池边树 3. 已知反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（　　） A. k＞8 B. k≥8 C. k≤8 D. k＜8 4. 将抛物线向下平移4个单位，则得到的抛物线解析式为（　　）． A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为(　　) A. B. C. D. 7. 某公司2024年底，仓库货物存储量为800吨，为满足市场需求，该公司计划2026年底货物存储量达到1210吨．利用方程思想，设这两年货物存储量的年平均增长率为x，则依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　) A. B. C. 3 D. 10. 已知（是各项的系数，是常数项）：我们规定的伴导多项式是，且，如果，则它的伴导多项式，下列说法： ①已知，则它的伴导多项式； ②已知，它的伴导多项式，则或； ③已知二次多项式，并且它的伴导多项式是，若关于的方程有正整数解，则符合条件的的整数值的和为．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个不透明的箱子里有形状、大小相同的蓝球3个、绿球4个，从箱子里任意摸出1个球，摸到绿球的概率是 ______ ． 12. 若是方程的根，则的值为______． 13. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 _______ 米． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接．若，，，则的长为_______． 15. 如图，在四边形中，为对角线，，，，过、两点的⊙与相切于点．为中点，连接并延长，交于点，则的长度为_____________________；⊙的半径为_________． 16. 若一个四位自然数N的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好为13，且这个四位数N能被13整除，那么称这个数N为“双13数”．例如：四位数，且是“双13数”，按照这个规定，最小的“双13数”是______；当一个“双13数”N的千位数字与百位数字之和为m，十位数字与个位数字之和为n，记，，若，则满足条件的N的值是______ 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 在学习了平行四边形的性质，小东和小西进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． （1）作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小东写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵在中，， ∴ ， ∵平分， ∴ ． ∴， ∴ ． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵， ∴四边形是菱形． 小东和小西经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ． 21. 近年来，人工智能发展迅速，为了解本校初中学生对AI的知晓程度，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生进行问卷调查，并整理、描述和分析得分（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ； （2）该校八年级有1200名学生，九年级有名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有 名； （3）得分在“”范围有三位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生进行采访，恰好抽到一男一女的概率是 ； （4）请你就如何提高学生对的认知向该校提一条合理的建议． 22. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料(全部用完)，设的长为． （1）的长为 ；的取值范围是 ； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）玲玲说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断玲玲的说法正确吗？并说明理由． 23. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利150元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点，轴交于点，求△的面积的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由． 25. 在中，，，绕点逆时针旋转角度得到． （1）如图1，若，连接交于点，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点，连接，过点作，在射线上取点，使得，连接，求证：； （3）如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当取得最小值时，点是直线上一动点，将沿翻折得到，连接，，当同时取得最小值时，求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测试卷 九年级数学试题 考生注意： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右 侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形) ． 根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）． A. 长河落日圆 B. 长江天际流 C. 手可揽明月 D. 鸟宿池边树 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，正确理解不可能事件的定义是关键． 根据诗句描述的事件，判断其现实可能性即可． 【详解】解：对于A，“长河落日圆”描述自然现象，可能发生，故A错误； 对于B，“长江天际流”形容江水流向远方，可能发生，故B错误； 对于C，“手可揽明月”表示用手摘月亮，不可能发生，故C正确； 对于D，“鸟宿池边树”描述常见现象，可能发生，故D错误． 故选：C． 3. 已知反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（　　） A. k＞8 B. k≥8 C. k≤8 D. k＜8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，由k-8＞0即可解得答案． 【详解】∵反比例函数y=的图象位于第一、第三象限， ∴k-8＞0， 解得k＞8， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 4. 将抛物线向下平移4个单位，则得到的抛物线解析式为（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的平移，掌握好平移口诀是关键． 根据抛物线的平移规律：向下平移时，函数值减去平移的单位数． 【详解】解：∵抛物线向下平移4个单位， ∴新解析式为 ． 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，关键是掌握配方法的步骤：移项，将常数项移到等号右侧；配方，在等号两边加上一次项系数一半的平方；转化为完全平方式． 【详解】解：对进行配方， 移项得， 两边加上一次项系数一半的平方，即， 得，即； 故选：C． 6. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，关键是利用圆的半径和液体深度求出圆心到弦的距离，再结合垂径定理计算弦长． 【详解】解：根据题意，，由垂径定理得． ，， ， 在中，， ； 故选：B． 7. 某公司2024年底，仓库货物存储量为800吨，为满足市场需求，该公司计划2026年底货物存储量达到1210吨．利用方程思想，设这两年货物存储量的年平均增长率为x，则依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键 设这两年货物存储量的年平均增长率为x，根据“2024年底，仓库货物存储量为800吨，该公司计划2026年底货物存储量达到1210吨”列出方程即可． 【详解】解：设这两年货物存储量的年平均增长率为x，则依题意列方程为 ， 故选：A． 8. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，代数式的变形，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题关键． 先根据二次函数图象与系数的关系，判断出系数、、的符号，即可判断①；对于②，根据二次函数的对称性可知，抛物线过点，可判断②；对于③，求出当时，或0，根据图象可判断③；对于④，由于抛物线过点，，可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的顶点横坐标为， ∴，即， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， 对于①，由，，，可得，故①错误； 对于②，由二次函数的对称性可知，图象与轴的另一个交点为， 将，代入，得，故②正确； 对于③，抛物线与轴的交点为，点关于直线的对称点为，由图象可知，当时，抛物线在直线的下方或与直线相交，则，故③正确； 对于④，由可得，， 将，，代入，得， ， 化简，得，故④正确； 共有3个正确的结论． 故选：C． 9. 如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　) A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则． 设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 10. 已知（是各项的系数，是常数项）：我们规定的伴导多项式是，且，如果，则它的伴导多项式，下列说法： ①已知，则它的伴导多项式； ②已知，它的伴导多项式，则或； ③已知二次多项式，并且它的伴导多项式是，若关于的方程有正整数解，则符合条件的的整数值的和为．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查新定义“伴导多项式”的理解与应用，涉及多项式化简、解一元二次方程及整数解问题．根据定义计算伴导多项式，并验证各说法是否正确． 【详解】解：①∵，，， ∴，故①正确； ②∵，，，，， ∴， 令，则，即， 解得或，故②正确； ③∵，，，， ∴， 令，则， 整理得， 即， ∵为正整数， ∴为负整数且是的约数，即， ∴，验证均满足的条件． 和为，故③正确； 综上，正确的个数为3． 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个不透明的箱子里有形状、大小相同的蓝球3个、绿球4个，从箱子里任意摸出1个球，摸到绿球的概率是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好概率的计算公式是关键． 根据概率公式，摸到绿球的概率等于绿球的数量除以总球的数量． 【详解】解：箱子里有蓝球3个和绿球4个，总球数为个，因此摸到绿球的概率是． 故答案为：． 12. 若是方程的根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义以及代数式求值，利用方程根得到等式，将所求代数式变形为含已知方程的形式，再整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， 则； 故答案为：． 13. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 _______ 米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． 令，求出对应的的值即可（舍去负值）． 【详解】解：令，可得， ， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴小朱本次投掷实心球的成绩为米． 故答案为：． 14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接．若，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，掌握旋转的性质，等腰三角形的定义即勾股定理求线段长度的计算是关键． 根据旋转得到是等腰直角三角形，从而得到是直角三角形，由勾股定理得到的长，则，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 15. 如图，在四边形中，为对角线，，，，过、两点的⊙与相切于点．为中点，连接并延长，交于点，则的长度为_____________________；⊙的半径为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题综合考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、解直角三角形及等腰三角形的性质等知识点．首先连接、，设与交于点，利用垂径定理可得，通过三角函数可求得、，并得到．在等腰三角形中求出腰长．随后在中求出，从而得到．最后设，结合切线性质推出，用含的式子表示半径，再在中通过勾股定理建立方程，从而求解得出圆的半径． 【详解】解：如图，连接、，设与交于点，过点作． ∵是中点， ∴，且， ∴， 在中，，，， ∴， ， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，在中，， ∴． 设，则， ∴． ∵是切线， ∴，即． ∵， ∴． 又， ∴在中，，即， 解方程得(取正根)， 代入得半径：． 故答案为：；． 【点睛】解决圆与直角三角形结合的问题，核心在于灵活运用辅助线与几何性质的联动：遇到弦的中点时，连接圆心与弦中点可触发垂径定理，遇到切线时连接圆心与切点可得到垂直关系，这是打开解题突破口的关键．解题过程中要善于利用平行线、等腰三角形等条件传递角度，将已知角转化到目标三角形中，从而简化三角函数或边长的计算．当半径等关键线段未知时，可通过设未知数，结合勾股定理或三角函数建立方程求解，这是处理此类几何计算的常用思路． 16. 若一个四位自然数N的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好为13，且这个四位数N能被13整除，那么称这个数N为“双13数”．例如：四位数，且是“双13数”，按照这个规定，最小的“双13数”是______；当一个“双13数”N的千位数字与百位数字之和为m，十位数字与个位数字之和为n，记，，若，则满足条件的N的值是______ 【答案】 ①. 1391 ②. 7605 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式的加减，本题是新定义型，熟练掌握新定义的规定并准确应用是解题的关键．利用数位上的数字的特征，要求最小的“双13数”，千位数字应最小为1，百位数字最小为3，则十位数字为9，个位数字利用“双13数”的定义求得即可；利用已知条件得到，通过分解质因数可得，变化可得，则“双13数” 的十位数字为，个位数字为，利用数位上的数字为之间的整数，得到关于的不等式，从而得到的取值范围，利用得到，则十位数字为，个位上的数字为，于是得到“双13数” 的可能值为4905，9405，5805，8505，7605，6705，通过验证即可得出结论． 【详解】解：要求最小的“双13数”，千位数字应最小为1，百位数字最小为3，则十位数字为9， ， 小的“双13数”是1391； ，，， ， ， ，， 一个“双13数” 的千位数字与百位数字之和为，十位数字与个位数字之和为， “双13数” 的十位数字为，个位数字为， 由题意：， ， ， 为正整数， ， ， ， ， “双13数” 的十位数字为0，个位数字为5， “双13数” 的千位数字与百位数字之和为13， “双13数” 的可能值为4905，9405，5805，8505，7605，6705， 其中只有，满足条件， 满足条件的的值是7605． 故答案为：1391；7605． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法计算即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得． 18. 已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】（1） （2）该用电器的可变电阻至少是 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用问题，掌握反比例函数的单调性质是解答本题的关键． （1）反比例函数经过点，代入反比例函数式，即可求得函数解析式． （2）当时，根据反比例函数的增减性性质，求电阻R的范围即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数表达式为， 将点代入得：， ∴ ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题可知，当时，， ∵， ∴I随着R的增大而减小， ∴当时，， ∴该用电器的可变电阻至少是． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由和平分，可证明，从而得到，命题得证； （2）设的半径为，则，在直角中，根据勾股定理构造方程，求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 20. 在学习了平行四边形的性质，小东和小西进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． （1）作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小东写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵在中，， ∴ ， ∵平分， ∴ ． ∴， ∴ ． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵， ∴四边形是菱形． 小东和小西经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ． 【答案】（1） 解：如图即为所求； （2）；；；；四边形是平行四边形；互相垂直 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定、角平分线的尺规作图及性质，关键是利用平行四边形的对边平行及平行四边形与菱形的判定定理完成证明与命题推导． （1）需掌握用尺规作角平分线的基本步骤； （2）先利用平行得内错角相等，结合角平分线得角相等，进而证边相等，再通过一组对边平行且相等证平行四边形，最后由邻边相等证菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 所以平行四边形的任意一组邻角的平分线：互相垂直， 故答案为：；；；；四边形是平行四边形；互相垂直． 21. 近年来，人工智能发展迅速，为了解本校初中学生对AI的知晓程度，现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生进行问卷调查，并整理、描述和分析得分（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ； （2）该校八年级有1200名学生，九年级有名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有 名； （3）得分在“”范围有三位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生进行采访，恰好抽到一男一女的概率是 ； （4）请你就如何提高学生对的认知向该校提一条合理的建议． 【答案】（1） （2） （3） （4）八年级不了解人工智能的有，九年级不了解人工智能的有，建议学校开设相关课程或举办有关人工智能的讲座等（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查统计图表的解读、中位数计算、用样本估计总体、概率计算，涉及知识点：扇形统计图的百分比计算、中位数的定义、用样本频率估计总体数量、古典概型的概率计算．解题技巧是从扇形图和数据中提取频率信息，通过中位数的定义确定数值，用频率乘以总体数估算人数，用列表法计算概率； （1）先计算八年级各等级人数，确定扇形图的百分比 a，再计算九年级数据的中位数 ； （2）用样本中 “不了解” 的频率乘以各年级总人数，求和得到总人数； （3）用列表法或树状图计算恰好抽到一男一女的概率； （4）提出合理建议． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 八年级中了解的学生人数所占的比例为， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）； 故答案为：； 【小问3详解】 解：列表如下， 男 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） 总共有种等可能情况，满足恰好抽到一男一女的有6种情况， 恰好抽到一男一女的概率为． 故答案为：； 【小问4详解】 解：八年级不了解人工智能的有，九年级不了解人工智能的有，建议学校开设相关课程或举办有关人工智能的讲座等（答案不唯一）． 【点睛】解决这类统计综合题的核心是准确提取图表和数据中的信息，熟练掌握中位数、百分比、概率的计算方法．注意中位数计算时要先排序，用样本估计总体时要找准对应频率，概率计算时要清晰列出所有可能情况． 22. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料(全部用完)，设的长为． （1）的长为 ；的取值范围是 ； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）玲玲说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断玲玲的说法正确吗？并说明理由． 【答案】（1）； （2）当为时，矩形花园的面积为 （3）解：玲玲的说法不正确，理由如下： 矩形花园的面积为， 则，整理得， ∵， ∴方程无实数根， 故玲玲的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在面积问题中的应用，关键是根据墙的长度关系列出表达式，再结合面积公式列方程求解． （1）设，先根据三面墙的总长推导出的表达式；再结合旧墙的长度限制，列出不等式组确定的取值范围； （2）矩形面积，代入、，列出方程，求解得到两个根，检验解的合理性即可； （3）假设面积为，根据面积公式列出方程，计算判别式，根据判别式判断合理性即可． 【小问1详解】 解：设， ∵三面墙总长为，且， ∴； ∵旧墙最长为，且墙长为正， ∴， 解得； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：根据题意，矩形面积为， 整理得， 解得，； ∵， ∴舍去， 故当时，矩形花园面积为． 【小问3详解】 略 23. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利150元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为15元 （3）当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的实际应用，一次函数的解析式，正确理解题意并列出关系式是解题关键． （1）根据表格中的数据，使用待定系数法求出关系式即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可； （3）先根据题意列出与的关系式，结合二次函数的图象与性质，求出的最大值和的值． 【小问1详解】 解：设y与x之间关系式为， 将，；，，代入，得， ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意，可列方程：， 化简，得， 解得，，， ∵， ∴， 答：销售单价为15元； 【小问3详解】 解：根据题意得，， 变形，得， 与是二次函数关系，且图象开口向下，对称轴为直线， ∴在上，随的增大而增大， ∴当，取得最大值元． 答：当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点，轴交于点，求△的面积的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】（1） （2）的面积的最大值为，此时点的坐标为 （3）存在，的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数解析式求解、动点面积最值、平移变换及角度存在性问题，涉及知识点：二次函数解析式的确定、等腰直角三角形性质、面积的二次函数最值、抛物线平移规律、角度互余的坐标转化．解题关键是准确表示点坐标和线段长度，利用二次函数性质求最值，结合角度互余的几何意义列方程；易错点是平移参数计算错误，或角度转化时的坐标关系分析错误．（1）代入点 、 求抛物线解析式；（2）设 点坐标，利用 轴和 表示 的面积，转化为二次函数求最值；（3）先求平移后抛物线解析式，再利用 的条件，构造直角三角形求点 坐标． 【小问1详解】 解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设， 轴，在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴PH值最大时，值就最大， ， 此时， 的面积的最大值为，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：在新抛物线上存在一点，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得（舍去）或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】解决二次函数综合题的核心是用坐标表示点和线段，结合几何性质转化为代数问题．遇到面积最值时，常将面积表示为二次函数；遇到平移时，要抓住平移向量不变；遇到角度存在性时，常通过斜率或直角三角形转化为坐标方程． 25. 在中，，，绕点逆时针旋转角度得到． （1）如图1，若，连接交于点，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点，连接，过点作，在射线上取点，使得，连接，求证：； （3）如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当取得最小值时，点是直线上一动点，将沿翻折得到，连接，，当同时取得最小值时，求出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，连接，与交于点， 由旋转的性质得：，， ，． 平分， ． 在和中，， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 由勾股定理得：，整理得：． ， ， ． ，，， ，，三点共线，且是等腰三角形． ， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题以等腰直角三角形的旋转变换为背景，考查旋转的性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、最短路径问题、折叠变换的性质等知识，属于综合性较强的压轴题． （1）首先根据旋转的性质得到，结合旋转角算出，进而推出；接着发现，由此判断是含角的直角三角形，利用勾股定理求出的长度；最后根据得到，从而求出的长． （2）连接，利用平分且，通过证明，得到；再由，结合角度关系推出是等腰直角三角形，得到；接着通过角度计算证明，结合和，推出三点共线且为等腰三角形，得到；最后将拆分为，代换为，进一步转化为，结合和，最终推导出； （3）先由判定四点共圆，从而推出，确定点在过且垂直的直线上；再根据垂线段最短，当这条直线时取得最小值，此时为等腰直角三角形，求出和的长度；接着由折叠性质知，根据三角形三边关系，确定当在上时取得最小值；最后结合这些条件，利用三角形面积公式计算出的面积． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， ，． ， ，． 在中，由勾股定理得：， ，解得(负值舍去)， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ． ，， ， ． ∴点、、、四点共圆， ， ∴点在过点且垂直于的直线上． 过点作的垂线，当时，最小． 由折叠得：， ， ∴当点在上时，最小，如图所示． ，， ． ， ． ，， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $