专题2.2 函数解析式及值域讲义-2026届高考数学一轮复习

专题2.2 函数解析式及值域 2.2.1 函数解析式 知识点梳理 1.待定系数法：解析式类型已知的，比如：一次函数，反比例函数，二次函数，且题目给出相应的条件，一般用待定系数法：先设解析式，再表达出题干的条件，解出答案. 2.换元法：已知复合函数的表达式，求函数解析式：先令，并用t表达x,最终得到，再换回即可，此时要注意t的取值范围. 3.方程组法（消元法）：成对出现或等类型的函数表达式，求函数解析式：一般情况是将另一部分替换x，得到新的等式，再和原等式联立解方程组求出. 4.已知函数奇偶性求函数解析式：已知函数奇偶性和一半函数的解析式，求另一半解析式：①设范围已知；②将代入已知解析式并计算结果；③利用奇偶性计算出答案. 典型例题 例1.已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则函数的解析式f(x) . 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， ∴,解得：. ∴f(x)＝x2－2x－1. 例2.已知，则函数的解析式为 . 解：令得,, 例3.设为奇函数,且当时,,则当时, . 解: 设, 则,∴ ∴ 设为奇函数, ∴即 例4.已知的定义域为，满足，则函数 . 解：因为① 将替换为 ，得到:② ① - ② ，得:， 所以. 随堂演练 1.设函数.已知,且,,则函数的解析式 ， . 解: , , , 且 解得：. 2.已知函数为奇函数,且当时,, 则( ) A. B. C. D. 解：是奇函数,故,而时,, 故,故,故选: . 3.若定义在上的偶函数和奇函数满足，则等于( ) A. B. C. D. 解： 为定义在 上的偶函数,, 又 为定义在 上的奇函数,, 由 , .故选: . 4. ，则( ) A. B. C. D. 解: , 则, 故选: D. 5.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则 . 解:由于为奇函数,则; 当 时,, 当 时, ,则, 则; 综上, 6.若函数(常数)是偶函数,且它的值域为,则该函数的解析式 _______. 解：由于的定义域为，值域为，可知，为二次函数， .又为偶函数， 其对称轴为，， ，或。 若，则与值域是矛盾，， 若，又其最大值为， , . 7.已知函数，则 . 解: 根据题意,令,则,且,则, 可得所以 8.若，函数满足，则 . 解：所以 ， 联立得即所以 9.已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 解：由,得, 即 ①, 将换为,得 ②, 由① ②, 得 ,故. 10.已知，则的值等于 . 解：设 ，则 ∴ ∴ . 11.已知定义域为的函数满足. (1)若,求;又若,求. (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析式. 解: (1)因为对任意,有 所以 又由,得,即 若, 则,即. (2)因为对任意,有. 又因为有且只有一个实数,使得 所以对任意,有 在上式中令,有 又因为,所以,故或 若,则,即 但方程有两个不相同实根,与题设条件矛盾. 故,若,则有,即,此时有且仅有一个实数解.综上,所求函数为 () 2.2.2 分离常数求函数的值域 知识点梳理 1.分离常数主要用来处理形如的有理函数（一次分式函数）。也可推 广到分子分母次数相同或有公共部分的情形，通过恒等变形把“变量部分”单独分离出来。 2.基本思想：将分子改写成“含分母的形式 + 常数”:. 再拆开为:.这样函数就变成：一个常数+一个易求范围的的简单分式，从而只分析的取值范围，再加上常数即可。 3.标准步骤 (1)配凑分子:设令,比较系数或用待定系数法求出。 (2)拆分函数,代入并化简:. (3)求简单分式的值域 ①分析:分母不为零 。 ②随着, , 但取不到。 ③加上常数项得到原函数值域:若, 则. ④若是有限区间,比如 (不含的情况要小心),则.并注意是否取到 端点. 典型例题 例1.已知函数,则函数的最小值为( ) A. 0.4 解: 因为 ,易知 在 上单调递增, 所以 .故选: . 例2.函数的值域为 . 解: 由 , 可得 且 ,， 由 可得: ,由且,可得因为 ,所以,所以的值域为: . 随堂演练 1.函数的值域为 . ，，， . 2.函数的最大值为 . 解：; 在 上单调递减; 时, 取最大值 . 3.已知, 则的值域为 . 解：令，则，由，得，所以， 根据对勾函数的性质，可得函数在上单调递减，单调递增， 所以当时，最小值，又当时，；当时，， 即当时，最大值，所以函数的值域为. 4.函数的值域是 . 解: 由 , 得 ,,解之得 ;故答案为 . 5.函数的值域是 . 解：，所以函数值域是(-∞，1). 6.函数的值域是 . 解：，所以函数值域是(1，+∞). 7.函数的最大值为 . 解: 设,根据对勾函数的性质, 可得当,即时取得最小值,则,当时取等号,所以函数的最大值为 . 2.2.3 判别式法（万能k法）求函数值域 知识点梳理 1.适用题型：在函数求值域时一般建议用在最简分式含二次项，且定义域为R,可避免讨论根的分布，直接用判别式判断即可；如果定义域不为R，若需要讨论根的分布，不建议此法，若不需要复杂讨论也可考虑此法. 2.解题思路：通过去分母将等式整理成关于x的一元二次方程，利用方程有解转化成方程判别式解题. 典型例题 例1.函数的值域是__________. 解：由，得(y－3)x2＋(y－3)x－(y＋1)＝0， 当y＝3时，上式无解． 当y≠3时，要使方程有解，需满足Δ＝(y－3)2＋4(y－3)(y＋1)≥0. 即5y2－14y－3≥0，解得y≤－或y>3. ∴的值域为∪(3，＋∞). 随堂演练 1.函数的值域是 . 解：方法一： 设∴. 方法二：由，得(y－1)x2＋(1－y)x＋(2y－1)＝0， 当y＝1时，上式无解． 当y≠1时，要使方程有解，需满足Δ＝(1－y)2－4(y－1)(2y－1)≥0. 解得.. 2.函数的值域是 . 解: 令,所以, 整理得, 所以关于的方程有实数解. 当时,原式为, 解得,满足. 当时,所以,整理得, 解得,此时且, 综上, 函数的值域为 3. 函数的值域为 . 解:由 , 可得 且 , , 由 可得: 由 且 , 可得, 可得 因为 所以 所以 的值域为: 4.函数的值域是 . 解: 由函数，可得①. 当时，可得，满足条件. 当时，根据方程①必定有解，可得判别式，可得，解得，故有，且.综上可得，函数的值域为. 5.函数的值域为 . 解：因为,整理得, 可知关于的方程有正根. 若,则 , 解得 , 符合题意; 若,则 , 可得或 解得或且,则或或. 综上所述:或,即函数的值域为: 6.已知，且，则的取值范围是 . 解：因为 , 所以 . 又因为,所以,解得 . 7.已知，函数的最大值为，则实数的值为 . 解：，，两边平方得:， 即，再平方得:， 化简得: 当,即时, . 此时最大值为 , 不符题意. 所以.因为方程有解,所以. 即化简得:,因为,所以. 又因为的最大值为, 所以.所以. 2.2.4 换元法求函数值域 知识点梳理 1.换元法是一种常用数学解题方法，通过引入新的变量代替原式中较复杂的部分，将原函数转化为更容易分析的新函数，从而简化计算或推理. 在求函数值域中，换元法的核心思想是：将原函数y=f(x)中“难处理”的部分用新变量t表示，使y成为关于t的较简单函数，再在t的取值范围内求出y的取值范围. 2.常见换元类型 （1）根式换元. （2）三角换元. （3）指数/对数换元. （4）分式或高次多项式换元. 典型例题 例1.函数 的值域为 ( ) A. B. C. D. 解：令 ， 令 ，则 ，原函数化为 ， 该函数在 上为减函数，在 上为增函数， 又当 时，，当 时，，当 时，. 函数 () 的值域为 ， 则函数 () 的值域为 . 例2.求函数的值域. 解：函数，定义域为，令，所以， 所以，， 函数的图象为开口向下，对称轴方程为的抛物线， 所以时，函数，取最大值，最大值为， 故函数 的值域为. 例3.已知.求的值域. 解:令,, 原函数变为:, , 的值域为. 例4.函数的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 解：函数的定义域为,令, 则， 设，可得， 当时, 有最大值为,所以函数的最大值为. 故选: D. 随堂演练 1.函数的值域是( ) A. B. C. D. 解：当时,；当时,设,则, 从而，令. 则, 令 得: 或 , 令得: , 所以 在 , 上单调递增,在上单调递减. 又, 所以 的值域为 , 所以 的值域为.综上, 的值域为 .故选：C. 2.函数的最小值为( ) A.-8 B.8 C.-10 D.10 解:由解得 ，所以函数的定义域为 . 因为，故可设 则,(其中有). 因为,所以. 所以当时，函数取得最小值.故选: A. 3.已知且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 解：因为，所以。 当且仅当时等号成立, 所以. 因为， 令,则, , 所以 由对勾函数在上单调递增,则当时函数取到最小值, 所以当时,，所以. 故选: B. 4.的最大值为 . 解：由题意得:，解得: , 所以函数的定义域为:. 设,则, 其中,显然当时,取得最大值为.故答案为:. 5.若，则的取值范围是 . 解：因为 所以,解得:，令, 则 , 所以 ,因为，所以， 所以,所以. 故答案为：. 6.函数的值域为 . 解:由可得即函数的定义域为. 所以设 则 因为,所以,所以 所以, 所以函数的值域为,故答案为: 7.求函数，的值域． 解：. 设log2x＝t.∵，∴t∈[－1,2]， 则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，因此二次函数图象的对称轴为t＝－， ∴函数y＝－(t2＋t－2)在[－1,]上单调递增，在[,2]上单调递减， ∴当t＝时，有最大值，且ymax＝.当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2. ∴f(x)的值域为[－1,]. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 函数解析式及值域 2.2.1 函数解析式 知识点梳理 1.待定系数法：解析式类型已知的，比如：一次函数，反比例函数，二次函数，且题目给出相应的条件，一般用待定系数法：先设解析式，再表达出题干的条件，解出答案. 2.换元法：已知复合函数的表达式，求函数解析式：先令，并用t表达x,最终得到，再换回即可，此时要注意t的取值范围. 3.方程组法（消元法）：成对出现或等类型的函数表达式，求函数解析式：一般情况是将另一部分替换x，得到新的等式，再和原等式联立解方程组求出. 4.已知函数奇偶性求函数解析式：已知函数奇偶性和一半函数的解析式，求另一半解析式：①设范围已知；②将代入已知解析式并计算结果；③利用奇偶性计算出答案. 典型例题 例1.已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则函数的解析式f(x) . 例2.已知，则函数的解析式为 . 例3.设为奇函数,且当时,,则当时, . 例4.已知的定义域为，满足，则函数 . 随堂演练 1.设函数.已知,且,,则函数的解析式 ， . 2.已知函数为奇函数,且当时,, 则( ) A. B. C. D. 3.若定义在上的偶函数和奇函数满足，则等于( ) A. B. C. D. 4. ，则( ) A. B. C. D. 5.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则 . 6.若函数(常数)是偶函数,且它的值域为,则该函数的解析式 _______. 7.已知函数，则 . 8.若，函数满足，则 . 9.已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 10.已知，则的值等于 . 11.已知定义域为的函数满足. (1)若,求;又若,求. (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析式. 2.2.2 分离常数求函数的值域 知识点梳理 1.分离常数主要用来处理形如的有理函数（一次分式函数）。也可推 广到分子分母次数相同或有公共部分的情形，通过恒等变形把“变量部分”单独分离出来。 2.基本思想：将分子改写成“含分母的形式 + 常数”:. 再拆开为:.这样函数就变成：一个常数+一个易求范围的的简单分式，从而只分析的取值范围，再加上常数即可。 3.标准步骤 (1)配凑分子:设令,比较系数或用待定系数法求出。 (2)拆分函数,代入并化简:. (3)求简单分式的值域 ①分析:分母不为零 。 ②随着, , 但取不到。 ③加上常数项得到原函数值域:若, 则. ④若是有限区间,比如 (不含的情况要小心),则.并注意是否取到 端点. 典型例题 例1.已知函数,则函数的最小值为( ) A. 0.4 例2.函数的值域为 . 随堂演练 1.函数的值域为 . 2.函数的最大值为 . 3.已知, 则的值域为 . 4.函数的值域是 . 5.函数的值域是 . 6.函数的值域是 . 7.函数的最大值为 . 2.2.3 判别式法（万能k法）求函数值域 知识点梳理 1.适用题型：在函数求值域时一般建议用在最简分式含二次项，且定义域为R,可避免讨论根的分布，直接用判别式判断即可；如果定义域不为R，若需要讨论根的分布，不建议此法，若不需要复杂讨论也可考虑此法. 2.解题思路：通过去分母将等式整理成关于x的一元二次方程，利用方程有解转化成方程判别式解题. 典型例题 例1.函数的值域是__________. 随堂演练 1.函数的值域是 . 2.函数的值域是 . 3. 函数的值域为 . 4.函数的值域是 . 5.函数的值域为 . 6.已知，且，则的取值范围是 . 7.已知，函数的最大值为，则实数的值为 . 2.2.4 换元法求函数值域 知识点梳理 1.换元法是一种常用数学解题方法，通过引入新的变量代替原式中较复杂的部分，将原函数转化为更容易分析的新函数，从而简化计算或推理. 在求函数值域中，换元法的核心思想是：将原函数y=f(x)中“难处理”的部分用新变量t表示，使y成为关于t的较简单函数，再在t的取值范围内求出y的取值范围. 2.常见换元类型 （1）根式换元. （2）三角换元. （3）指数/对数换元. （4）分式或高次多项式换元. 典型例题 例1.函数 的值域为 ( ) A. B. C. D. 例2.求函数的值域. 例3.已知.求的值域. 例4.函数的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 随堂演练 1.函数的值域是( ) A. B. C. D. 2.函数的最小值为( ) A.-8 B.8 C.-10 D.10 3.已知且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 4.的最大值为 . 5.若，则的取值范围是 . 6.函数的值域为 . 7.求函数，的值域． 1 学科网（北京）股份有限公司 $