河南南阳市六校2025-2026学年高二上学期期末素质评价数学试题

南阳六校高二年级期末素质评价 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线的准线方程是 A.y=-1 B. C. D. 2．在的展开式中，和项的系数相等，则k= A.1 B.2 C.3 D.4 3．某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则P(X=2)= A. B. C. D. 4．已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 则D(X)= A.0 B.0.1 C.0.2 D.0.4 5．已知直线经过O(0,0),B(2,6)两点，将绕O点顺时针旋转得到直线，则的斜率为 A. B. C. D. 6．某快递公司使用三种运输方式配送包裹，电动车的配送量占总配送量的50%，小型货车的配送量占总配送量的30%，其余的由无人机配送．不同运输方式的当日送达率如下：电动车 为80%，小型货车为60%，无人机为90%．现在随机抽查一个已发出的包裹，它当日送达的概率是 A.0.7 B.0.74 C.0.76 D.0.8 7．已知双曲线C的两条渐近线分别与直线x=a交于点A,B，双曲线C上的动点P满足，其中0为坐标原点，则3λ+2μ的最小值为 A. B. D.3 8．甲、乙两人进行投篮比赛，每局两人各投一球，规定：每局若两人都投中或都未投中，则两人各得1分，若一人投中另一人未投中，则投中者得3分，未投中者得0分．已知甲每局投中的概率为，乙每局投中的概率为．现两人进行6局比赛，每次投篮相互独立，设两人得分之和为X，则E(X)= A.12 B.13 C.14 D.15 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数x,y满足方程，则 A.方程表示圆 B.x的最大值为 C.的最大值为 D.y-x的最大值为1 10．若，则 A. B. C. D.被4除的余数为1 11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，PO⊥平面,AB=2，平面PABO∩平面PCD=l,，点M∈l,，四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，则 A.l∥AB B.若PM=2，则点M到平面PBC的距离为 C.点Q到平面ABCD的距离为 D.直线QM与平面PAB所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量a=(2,-1,x),b=(x,-1,3)，若a⊥b，则x= 13.7名同学站成一排，甲身高最高，排在正中间，其他6名同学身高均不相等，从甲往左和往右均是由高到低排列，所有的排法种数为 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，且是C上关于原点对称的两个点，P在第一象限，直线与C的另一个交点为R，若则四边形的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分） （1）计算：; （2）证明： 16.(15分） 已知抛物线的焦点F到直线4x-3y+4=0的距离为1． （1）求C的方程； （2）若直线x-my-2=0与C交于M,N两点，且，求实数m的值. 17.(15分） 如图，在直三棱柱ABC-EFG中，AB⊥BC,AB=BC=BF=2,M,N分别为棱EF,FG上的动点（均与端点不重合），且FM=GN. （1）求证：AN⊥CM; （2）当三棱锥B-FMN的体积取最大值时，求直线CM与平面BMN所成角的正弦值． 18.(17分） 某高中学校计划组织学生进行“未来航天工程师”模拟选拔活动，活动包含身体素质评估和航天知识闯关两个环节．全校共3000名学生报名参与选拔，选拔流程如下： 第一阶段为身体素质评估，学生需完成一项体能测试（如：模拟太空行走耐力测试），测试成绩X服从正态分布N(70,102），只有成绩达到60分及以上的学生才可进入下一阶段．第二阶段为航天知识闯关，每名学生有两次挑战机会：若第一次挑战成功，直接通过；若第一次挑战失败，要进行第二次挑战，若第二次挑战成功，则通过，否则淘汰. （1）请估计该校通过第一阶段的学生人数（结果四舍五入保留整数）． （2）已知甲、乙两人进入了第二阶段，在此阶段中，甲每次挑战成功的概率为，乙每次挑战成功的概率为，且每次挑战相互独立. （i）设甲、乙两人中有Y人通过了第二阶段，求Y的分布列和数学期望； （ii）若已知甲、乙一共挑战了3次，求甲只挑战了1次的概率． 参考数据：P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545 P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973. 19.(17分） 已知椭圆的离心率为，且C经过点P(-2,1). （1）求C的方程． （2)0为坐标原点，平行于OP的直线l与C交于A,B两点（A在B的上方），与y轴正半轴交于点T. （i）若，求点T的坐标； （ii）设直线PA,PB分别与x轴交于点D,E，证明：为定值（S表示面积）. 学科网（北京）股份有限公司 $南阳六校高二年级期末素质评价 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案A 命题透析本题考查抛物线的几何性质 解析由y=子，得2=4，所以准线方程为)=-1 2.答案B 命题透析本题考查二项式定理 解析因为x项和x+1项的系数相等，所以k+k+1=5,k=2. 3.答案C 命题透析本题考查超几何分布的概率计算 CC6_363 解析P(X=2)=C0 =120=10 4.答案C 命题透析本题考查随机变量的方差 解析因为E(X)=-1×0.1+0×0.8+1×0.1=0,所以D(X)=0.1×(-1)2+0.8×0+0.1×12=0.2. 5.答案D 命题透析本题考查直线的倾斜角和斜率。 解析议直线4的倾斜角为®则斜率太=m《=号-8=3，顺时针旋转子后，得直线与的倾斜角为《子则 b2的斜率k'=tana- tan a-1 1 4 1 tan a 2 6.答案C 命题透析本题考查全概率公式的应用， 解析由题意知，无人机的配送量占总配送量的20%，再根据全概率公式可得当日送达的概率为0.5×0.8+ 0.3×0.6+0.2×0.9=0.76. 7.答案B 命题透析本题考查双曲线的几何性质、基本不等式的应用， 解析双曲线-子=1的渐近线方程为y=±之，当x=a时，得y=士1，不妨令A(a,1),B(a,-1),设点P(x, y),由O=AO+u0,得x=a(X+),y=A-4又因为点P在双曲线上，所以1+-(-4)2=1号 CS扫描全能王 一1 3亿人在的扫Ap 子所以3动+24≥2v6=6,当且仅当别=24，即A:气=时等号成立，所以31+24的最小值 4 为6. 8.答案D 命题透析本题考查随机变量的数学期望， 解析每局比赛两人都投中或都未投中的概率为号×号+(1-(1-子)分，设6局比赛中~两人都投 中或都未投中"的局数为Y,则Y服从二项分布B(6,),所以E()=6×7=3.根据题意X=2Y+3(6-)= 18-Y,所以E(X)=18-E(Y)=15. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AD 命题透析本题考查圆与直线的位置关系。 解析对于A,方程x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,表示以点C(3,0)为圆心，2√2为半径的圆，如图，故 A正确； 对于B,由图知x>0,x表示圆上的点到y轴的距离，其最大值为3+22，故B错误； 对于C,设之=k,即y=:,由题意可知，直线：-y=0与圆(x-3》+=8有公共点，所以31≤2万，即 +1 9k2≤8k2+8,解得-22≤k≤22，故Y的最大值为2万，故C错误； 对于D,设y-x=6,即x-y+b=0,由题意可知，直线x-y+6=0与圆(x-3)》2+y2=8有公共点，所以6+31≤2万. 解得-7≤b≤1，故y-x的最大值为1，故D正确. 10.答案ABD 命题透析本题考查二项式定理的应用 解析对于A,令x=0,得a=1,故A正确； 对于B,C,令x=1,得a+a1+a2+…+a1m=30①，令x=-1,得a-a1+a2-…+a1m=1②， ①+②，得a0+a2+a4+…+a1m= ,所以a++a+…8m2 2故B正确 CS扫描全能王 2 接3亿人在用的扫Ap ①-②，得2(a1+a3+a5+…+a9）=31m-1,所以a1+a3+a5+…+a9= ,故C结误， 对于D,因为a0+a1+a2+…+am=30=(4-1)1m=C9m×40+Cm×4×(-1)+…+C8×4×(-1)9+1, 前面100项都能被4整除，最后一项为1，故原式被4除的余数为1，故D正确. 11.答案ACD 命题透析本题考查空间向量的应用. 解析对于A,·四边形ABCD为正方形，∴.AB∥CD,又AB￠平面PCD,CDC平面PCD,∴.AB∥平面PCD,又 ABC平面PAB,平面PAB∩平面PCD=L,I∥AB,故A正确. 对于B,如图所示，取BC的中点N,连接ON,则ON⊥OA,.PO⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,OWC平面ABCD, ∴.P0⊥OA,PO⊥ON,以O为坐标原点，OA,ON,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0, ),B(1,2,0),C(-1,2,0),4(1,0,0),根据对称性不妨取M(0,2,5),于是P=(1,2,-5),BC=(-2, 0,0),PM=(0,2,0). 24 M P D PB·n=0,「x1+2y1-V3z1=0, 设平面PBC的法向量为n=(x1,少，z),则 得 取n=(0,√5,2)，.点M到平 BC.n=0,【-2x1=0, 面C的距离为0.2酒-2耳放B错误 分 对于C,:QA=QB=QC=QD,且平面ABCD为正方形，∴.点Q在平面ABCD内的射影是ABCD的中心，可设 001,)P0=A0P四=40，即1+(h-万)2=1+1+尔，解得h=放C正确 对于D,设M(0,a月)，则0=(0，a-1,2）易得店=(0,2.0).市=(-1,0,5)，设平面P1B的法向量 AB·m=0,r2y2=0, 为m=(2,2,),则{ 即 取m=(5,0,1),设直线QM与平面PAB所成的角为 .m=0,【-+5五2=0， 2B 25 3 0,sin 0=I cos(oM,m>I=- 3 4 4 =,所以当a=1时，直线QM与平面PAB所成 2·√(a-1)2+号2×√3 角的正弦值取得最大值，最大值为了，故D正确。 CS扫描全能王 一3 白轮壁3亿人暂在闻的扫描APp 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12答案-5 命题透析本题考查空间向量的运算. 解析因为a1b,所以a·b=2x+1+3x=0,解得x=- 5 13.答案20 命题透析本题考查排列组合的应用. 解析从除甲外的6名同学中任选3人站在甲的左侧，则剩余3人站在甲的右侧，无论左侧还是右侧都只有 一种排法，所以所有的排法种数为C。=20. 14.答案1614 命题透析本题考查双曲线的定义与几何性质。 解析依题意，得b2=8,如图，点R在第二象限，设IRFI=t(t>0),由双曲线的定义，得IFI=t+2, 1PF,1=105,1=6+9,1P4,1=t+7,则cos∠PF,B,=36++2)=36++9+7),解得1=3，代 12t 12(t+9) 人原式可得，om∠阳，6=名，则m∠件R=V-ZPF-2写放Sm=2Smn=IPE1 IKR1m∠PR,=12x6×2g=16m R 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查排列数和组合数的计算 解析(1)C3.C5=C3C6。=10X9x8x10×9=5400. (6分) 3×2 2 (2)A-A0=(n+1)！-n!=(n+1-1)·n!=n·nl=n2.(n-1)！=n2A-.…(13分) 16.命题透析本题考查抛物线与直线的位置关系. 解析(1)由题意知（号，0， (1分) CS扫描全能王 4 3亿人都在闻的扫福APp 直线的距离公式得 $$\frac { | 2 p + 4 | } { \sqrt { 4 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } } = 1$$ 1， 解得 $$p = \frac { 1 } { 2 }$$ ( (负值舍去). ….................................(5分) 所以C的方程为 $$y ^ { 2 } = x .$$ ..................................................................................................(6分) (2)由 $$\left\{ \begin{array}{l} y ^ { 2 } = x ， \\ x - m y - 2 = 0 ， \end{array} \right.$$ $$y ^ { 2 } - m y - 2 = 0 ，$$ 设 $$M \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， N \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right) ，$$ 则 $$y _ { 1 } + y _ { 2 } = m ， y _ { 1 } y _ { 2 } = - 2 ，$$ ....................................................(8分) 所以 $$x _ { 1 } + x _ { 2 } = y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } = \left( y _ { 1 } + y _ { 2 } \right) ^ { 2 } - 2 y _ { 1 } y _ { 2 } = m ^ { 2 } + 4 ， x _ { 1 } x _ { 2 } = y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } =$$ .........................................(10分) 因为 $$F \left( \frac { 1 } { 4 } ， 0 \right) ，$$ 所以 $$\overrightarrow { F M } \cdot \overrightarrow { F N } = \left( x _ { 1 } - \frac { 1 } { 4 } \right) \left( x _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right) + y _ { 1 } y _ { 2 } = x _ { 1 } x _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \left( x _ { 1 } + \frac { 1 } { 1 6 } \right) y _ { 2 } = \frac { 1 } { 4$$ 解得 $$m = \pm \frac { \sqrt { 1 7 } } { 2 } .$$ ..........................................................................................(15分) 17.命题透析本题考查利用空间向量解决立体几何中的问题. 解析 (1)由题意知 FG，FE ，FB两两互相垂直，以F为坐标原点，以向量 $$\overrightarrow { F E } ， \overrightarrow { G F } ， \overrightarrow { F B }$$ 的方向分别为x轴、y轴、 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz， ..................................................................(1分) C. B N F G y M E x 设 MF=a(0<a<2)， ，则 M( (a，0，0)， B(0 0，0，2)，A(2，0，2)， (0，-2，2)， N(0，a-2，\right. ，0)，…...........(2分) $$\therefore \overrightarrow { N A } = \left( 2 ， 2 - a ， 2 \right) ， \overrightarrow { M C } = \left( - a ， - 2 ， 2 \right) ，$$ ...........................................................................(3分) $$\therefore \overrightarrow { N A } \cdot \overrightarrow { M C } = - a \times 2 - 2 \times \left( 2 - a \right) + 2 \times 2 = 0 ，$$ ∴AN⊥CM. ............................. .............. ….…(5分) (2)由(1)知 $$S _ { \triangle N M F } = \frac { 1 } { 2 } M F \cdot N F = \frac { 1 } { 2 } a \left( 2 - a \right) ，$$ $$\therefore V _ { B - A M F } = \frac { 1 } { 3 } S _ { \triangle M F F } \times B F = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } a \left( 2 - a \right) \times 2 = - \frac { 1 } { 3 } a ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } a = - \frac { 1 } { 3 } \left( a - 1 \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } {$$ 当 a=1 时， $$\left( V _ { B - M N } \right) _ { m n } = \frac { 1 } { 3 } ，$$ ..................................................................................(8分) 此时， ，M(1，0，0)，N(0，-1，0)， $$\therefore \overrightarrow { M N } = \left( - 1 ， - 1 ， 0 \right) ， \overrightarrow { M B } = \left( - 1 ， 0 ， 2 \right) ， \overrightarrow { M C } = \left( - 1 ， - 2 ， 2 \right) ，$$ 扫描全能王 - 5— 3亿人都在用的扫描App m·M=-x-y=0 设平面BMW的法向量为m=(x,y,z),则 m·证：-x+2:=0 取z=1,则x=2,y=-2, ∴.平面BMW的一个法向量为=(2，-2,1).… …（12分） 设直线CM与平面BMW所成的角为O, ·sine=lm·Md 12×(-1)-2×(-2)+1×21 1m1·112+(-2产+下×-产2+（-2)+2=9，…(4分） :.直线CM与平面BMN所成角的正弦值为g 4 …(15分) 18.命题透析本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列和期望. 解析(1)P(X≥60)=PL-0≤X≤L+）+0.5≈0.6827+0.5=0.84135. 2 2 …(3分) 所以估计该校通过第一阶段的学生人数为3000×0.84135≈2524.…(4分) （2)(1)甲桃战皮功的藏率为了+号×兮-号.乙桃战成功的蓝率为好+子×子-石 Y的所有可能取值为0,1,2，………(6分) P(Y=0)=(1-g1-6)=子 P=0-高x-)+(1-8别×6-品 5.735 P(Y=2)=9×16 =144 (9分) 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 1 73 35 144 144 (10分) 所以(n=0x+1×磊+2×篇-器 (12分) (ⅱ)第二阶段中，对每个人，第一次挑战成功就只挑战一次，第一次挑战失败就要挑战两次 设甲第一次挑战成功为事件A,乙第一次挑战成功为事件B,两人共挑战3次为事件M, 期P(M)=P(AB)+P(B)=P氏(AP(B)+P(AP(B)=分×(-）+(1-写）×4=员，.(4分) P(4)=P(AB)=子×1-）子， (15分) 所以P40兴批=号 -5 (17分) CS扫描全能王 6 3亿人暂在用的扫插App 19.命题透析本题考查椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系。 解析(1)设C的半焦距为c(c>0). a2 a2=8, +京1，解得 由题意得{4,1 =2. c2=a2-b2 散C的方程为发+2三1.…》 (3分) (2)(i)由题意知直线0p的斜率为-分，设T0,),则1：y=-宁+k (4分) 设A(x),B(),因为A=号店，所以0<1<2，且名，=-2x (5分) =-7得2-2+2-4=0. 1+x2=-1=2t, 由/ (7分) x2+4y2=8, x1x=-2x=2f-4, 解得=所以0， (8分) (i)要证明Sm-SaE=之，(1001-10E)=10D1,0E为定值，即要证明1O01-10E1为定值 2 由l与y轴正半轴相交，可知点D在x轴负半轴上，点E在x轴正半轴上，所以1OD1-IOE1=1xD+xEI,只需 要证明x0十xg为定值即可…(9分) 直线PA:2红+2)+1令0，得。号2.同理2…分） =+2++2-4=国+2)1-2)+西+2)1-）-4 所以x,+xE=1=水+-方 (1-y1)(1-y2) =二x-++g-2(+h）+4-4 (13分) (1-1)(1-2) 由(1)知x+6=2,+2=-7(x+6)+2=, h+=(-,++(-宁+=-+(+加=4-2+2=4 -4+26-2t+4-4=-4, 所以x,+xg=(1-)(1-2） 故SAmD-SamE=2,为定值.… (17分) CS扫描全能王 —7 3亿人都在用的扫APp