精品解析：吉林省四平市第一高级中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性测试数学试卷

四平市第一高级中学2026—2027学年度上学期第一次阶段性测试 高一数学试题 本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为150分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷 主观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，B=，则（   ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，．”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B. 函数的定义域是 C. 函数的值域为 D. 已知是一次函数且，则 11. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最大值为 D. 的最小值为2 第Ⅱ卷 客观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则等于_________________. 13. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是_____． 14. 已知函数，若关于的不等式有解但没有整数解，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且，求实数m的取值范围． 16. 解关于的不等式： （1）； （2）； （3）． 17. 已知函数（）． （1）对都有成立，求实数取值范围； （2）求在上的最小值． 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． （1）求当时，函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解关于的不等式，其中且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平市第一高级中学2026—2027学年度上学期第一次阶段性测试 高一数学试题 本试卷分主观题和客观题两部分，共19题，共150分，共2页．考试时间为150分钟．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷 主观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，B=，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用分式不等式得出集合，应用绝对值不等式得出集合，最后应用并集定义计算求解. 【详解】集合，B=， 则. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以“”是“”的充要条件. 3. 命题“，．”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念直接可得. 【详解】命题“，．”的否定是，， 故选：D. 4. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令​，整理得，由原式可知，则，所以. 由移项，得. 对等式右侧配方：，将代入，得. 结合，将换为自变量，得. 5. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或.  故不等式的解集为. 6. 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求得的值.结合函数的图象关于原点对称，确定的值. 代入不等式求解，可得实数的取值范围. 【详解】由题可知，，即，解得，或. 若，则，图象关于y轴对称； 若，则，图象关于原点对称. 所以. 由，即化简得 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7. 设函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 8. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得 解得， 若，将代入方程得 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B. 函数的定义域是 C. 函数的值域为 D. 已知是一次函数且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据一元二次不等式恒成立的条件求解即可；对于B，根据函数有意义的条件即可求出定义域；对于C，求出，进而求出函数的值域；对于D，利用待定系数法即可求出的解析式. 【详解】对于A，由于二次不等式恒成立， 由于是二次不等式，所以， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为，故A正确； 对于B，令，解得且， 所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，，故， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为是一次函数，故设， 由题意得，， 即， 所以，解得， 所以，故D错误. 11. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最大值为 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：利用基本不等式求得的最小值为1，并非最大值； B：配凑，使用基本不等式求最小值； C：展开条件，结合基本不等式得到范围，求得的最大值； D：代入，换元后利用基本不等式求最小值，四个选项取等条件一致. 【详解】选项A：因为，，所以.又，所以由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为1，无最大值，A错误； 选项B：变形目标式：，由基本不等式，得，因此， 当且仅当，即时，等号成立，最小值为2，B正确； 选项C：展开已知条件得：，即.由基本不等式得，因此，即， 当且仅当时，等号成立，最大值为​，C正确； 选项D：由，得，代入目标式：. 令，则​，代入化简得：原式. 由基本不等式，，因此原式，当且仅当，即时，等号成立，最小值为2，D正确. 第Ⅱ卷 客观题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则等于_________________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数，先求，进而求解. 【详解】由题意有， 故答案为：. 13. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到在上的单调性和，再将乘积大于0的不等式转化为两个同号不等式组，结合的正负区间求解解集. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上是增函数， 所以在上单调递减，且， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 不等式等价于或， 解得，解得， 综上，原不等式的解集为. 14. 已知函数，若关于的不等式有解但没有整数解，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，令，得到为偶函数，作出的图象，结合特殊点的函数值，得到答案. 【详解】，即，故， 令，因为定义域为R，且， 故为偶函数，， 作出的图象如下： 当时，取得最小值，最小值为，且，， 要想关于的不等式有解但没有整数解，需满足， 故关于的不等式有解但没有整数解，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，集合， 且或，所以或. 【小问2详解】 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 16. 解关于的不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将二次项系数化为正数，分解因式，根据一元二次不等式解法解之； （2）将分式不等式转化为一元二次不等式，根据一元二次不等式不等式解法解之即可得结果. （3）将其化成绝对值不等式，再根据一元二次不等式解法解之即可得结果. 【小问1详解】 原不等式等价于或， 故不等式的解集为． 【小问2详解】 移项，得，通分得，即， 等价于， 解得，所以原不等式的解集为． 【小问3详解】 原不等式化为， 所以， 由，得，解得， 因为方程的解为， 所以不等式的解集为， 所以原不等式的解集为． 17. 已知函数（）． （1）对都有成立，求实数取值范围； （2）求在上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次不等式恒成立问题，结合函数图象与判别式即可求解； （2）二次函数“动轴定区间”问题，函数的图象对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增，根据对称轴与区间的关系分类讨论得到在上的最小值. 【小问1详解】 由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 函数的图象对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则． 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【解析】 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【小问1详解】 因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. 【小问2详解】 分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 19. 已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． （1）求当时，函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解关于的不等式，其中且． 【答案】（1）； （2） 函数在上单调递增.证明如下： 任取，则 因，故，，， 则，即在上单调递增. （3） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质，根据时的函数解析式，即可求得时的解析式； （2）运用函数的单调性定义证明即可； （3）结合函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为绝对值不等式，平方后整理为含参数的二次不等式，再根据参数的不同范围分类讨论，求解不等式的解集. 【小问1详解】 当时，，因是偶函数，故， 即当时，函数的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因是偶函数，且在上单调递增， 故，即得， 两边平方得：整理得， 分解因式，可得， 当时，，不等式化为， 因，故解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，，且，故解集为. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $