专题01 三角函数的性质（专项训练）数学北师大版必修第二册

专题01 三角函数的性质（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型01三角函数的定义域 题型02三角函数的值域 题型03三角函数的周期 题型04根据三角函数的周期求参 题型05求三角函数的单调区间 题型06根据三角函数单调区间求参 题型07判断三角函数的奇偶性 题型08根据函数的奇偶性求值 题型09三角函数的对称性 题型10根据三角函数的对称性求值 题型11三角函数的综合性质 B综合攻坚・能力跃升 题型01三角函数的定义域 1．若函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型02三角函数的值域 4．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 5．关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 6．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，当取最大值时（    ） A． B． C． D． 题型03三角函数的周期 8．在下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 9．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 10．函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 11．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 题型04根据三角函数的周期求参 12．若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 13．已知奇函数的最小正周期为，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．若函数的最小正周期为2，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型05求三角函数的单调区间 15．下列区间上函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 16．在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 17．把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为（   ） A． B． C． D． 题型06根据三角函数单调区间求参 18．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 20．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型07判断三角函数的奇偶性 22．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 24．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 题型08根据函数的奇偶性求值 25．若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 26．已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 27．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 28．已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 30．已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型09三角函数的对称性 31．下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 32．函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 33．函数的图像的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 题型10根据三角函数的对称性求值 34．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 35．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 36．已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 37．若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 38．已知函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 题型11三角函数的综合性质 39．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．是的最大值 C．把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D．的一个零点为 40．已知函数在区间上有且只有三个零点，则（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为1 C．的取值范围是 D．有两个极大值点 41．若将函数的图象向左平移后关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C． D． 42．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 43．已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则 ． 1.（2021·新高考全国Ⅰ卷T4）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·天津卷T7）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 3.（2022·新高考全国Ⅰ卷T6）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 4．（2024·北京卷T6）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.（2025·新课标1卷T4）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京卷T8）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 7.(多选)（2024·新课标Ⅱ卷T9）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 8.（2025·海南·模拟预测）已知函数在上有两个不同的零点，，则 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数的性质（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型01三角函数的定义域 题型02三角函数的值域 题型03三角函数的周期 题型04根据三角函数的周期求参 题型05求三角函数的单调区间 题型06根据三角函数单调区间求参 题型07判断三角函数的奇偶性 题型08根据函数的奇偶性求值 题型09三角函数的对称性 题型10根据三角函数的对称性求值 题型11三角函数的综合性质 B综合攻坚・能力跃升 题型01三角函数的定义域 1．若函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，即， 故， 则. 故选：B 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，即， 又，故，即定义域为. 故选：C. 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：，即， 则. 故选：C. 题型02三角函数的值域 4．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， ，， ，即， 函数，的值域为. 故选：D. 5．关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【解析】因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：B. 6．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 因为，所以 的值域为 ， 故选：B. 7．已知函数，当取最大值时（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，其中，， 所以当时，取得最大值5， 所以，， 所以此时． 故选：D． 题型03三角函数的周期 8．在下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项：的最小正周期为，A选项错误； B选项：的最小正周期为，B选项正确； C选项：的最小正周期为，C选项错误； D选项：的最小正周期为，D选项错误； 故选：B. 9．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，可得函数的最小正周期为. 故选：D. 10．函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】函数的最小正周期是. 故选：C. 11．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，根据正切函数的性质，可得的最小正周期为. 故选：A. 题型04根据三角函数的周期求参 12．若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以． 故选：C． 13．已知奇函数的最小正周期为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的最小正周期为，所以，又函数为奇函数，所以，得．又因为，所以，故． 14．若函数的最小正周期为2，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由正弦函数的最小正周期公式得函数的最小正周期， 解得，故C正确. 故选：C． 题型05求三角函数的单调区间 15．下列区间上函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以函数的单调递减区间为， 当时，，则. 经检验ACD均不满足题意. 故选：B. 16．在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，函数； 由，，得，， 所以函数的单调递增区间是； 当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误. 故选：B. 17．把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 令，解得， 故单调递增区间为， 故选：A 题型06根据三角函数单调区间求参 18．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 19．若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有，解得，所以的最大值为． 故选：A. 20．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 21．已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为的图象关于点对称，所以，即， 所以，解得． 因为，，所以， 因为在上为增函数， 所以，解得， 所以当时，． 故选：B． 题型07判断三角函数的奇偶性 22．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，定义域为，而，则为奇函数，A选项错误； 对于定义域为，，则为偶函数，B选项正确； 对于定义域为，关于原点对称，，则为奇函数，C选项错误； 对于定义域为，令，，不相等，也不互为相反数，是非奇非偶函数，D选项错误． 故选：B． 23．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【答案】D 【解析】函数中，，则， 其最小正周期为，且，为奇函数. 故选：D 24．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 题型08根据函数的奇偶性求值 25．若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 【答案】A 【解析】若为偶函数，又，则或，解得或， 若，则， 若，则，所以. 故选：A 26．已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且是奇函数， 则，而不恒为0， 因此，所以． 故选：C 27．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，． 故选：C． 28．已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为奇函数， 则，则. 故选：D 29．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把函数（）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数是（），且它是偶函数， 所以（），，（）， 又因为，所以. 故选：B． 30．已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，则， 又，则当时，， 故的最小值为. 故选：B． 题型09三角函数的对称性 31．下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C：因为，为最大值， 所以是函数的对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故D错误； 故选：C. 32．函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】令，解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故选：A. 33．函数的图像的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令,则， 故的对称中心为， 取，则其中一个对称中心为， 故选：D 题型10根据三角函数的对称性求值 34．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，得， 得， 当时，， 得的最小值为， 故选：D 35．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 因此函数图象的对称中心为， 而，则，， 所以的最小值为. 故选：D 36．已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可知，解得， 又因为，所以，则. 故选：A 37．若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】将函数的图象向右平移得到， 将点代入得， 所以，解得，又， 所以， 故选：B. 38．已知函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，，得. 因为，所以. 故选：A. 题型11三角函数的综合性质 39．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．是的最大值 C．把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D．的一个零点为 【答案】ACD 【解析】对于A，因为的最小正周期为，所以A正确， 对于B，因为，所以不是的最大值，故B错误， 对于C，把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到函数，所以C正确， 对于D，因为， 令，可得，则， 取，得到，所以的一个零点为，故D正确， 故选：ACD. 40．已知函数在区间上有且只有三个零点，则（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为1 C．的取值范围是 D．有两个极大值点 【答案】BD 【解析】因，设，则，作出函数的图象如下： 要使函数在区间上有且只有三个零点， 需使，解得，故C错误； 不妨取，则，， 因，故不是的一个周期，故A错误； 又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D正确. 故选：BD. 41．若将函数的图象向左平移后关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C． D． 【答案】BC 【解析】C：由函数的图象向左平移后为 ， 因关于原点对称，所以，，解得，， 又因为，所以，即，故C正确； A：由题可得，故A错误； B：由值域为，所以的最小值为，故B正确； D：由， 故D错误. 故选：BC. 42．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 所以， 解得，所以的取值范围是． 43．已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则 ． 【答案】 【解析】因为的最小正周期为，所以，解得， 因为图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以令，则， 所以，则. 1.（2021·新高考全国Ⅰ卷T4）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 2.（2024·天津卷T7）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时，，故选D 3.（2022·新高考全国Ⅰ卷T6）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以.故选A 4．（2024·北京卷T6）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即，且，所以.故选B. 5.（2025·新课标1卷T4）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：C 6．（2025·北京卷T8）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即，综上，的最小值为4，故选：C. 7.(多选)（2024·新课标Ⅱ卷T9）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 8.（2025·海南·模拟预测）已知函数在上有两个不同的零点，，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 则在上有两个不同的零点， ，可知是一条对称轴， 所以关于对称，即， 即．所以， 所以 . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $