第1章 三角函数（单元自测·提升卷）数学北师大版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第1章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选A 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，可以推出，所以； 由，. 故“”是“”的充分不必要条件，故选A 3．已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，且，得，则， 故，故选B 4．在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边在直线上，所以角的终边在一、三象限的角平分线上， 故终边在直线上的所有角组成的集合为 .故选C 5．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即，又，则时最小，最小值是，故选A 6．若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是奇函数， 故，，检验符合，所以，故选D. 7．函数与函数的交点为，则函数（其中）的一个减区间是（     ）. A．    B．    C．    D． 【答案】C 【解析】因为在上，所以； 把代入可得, 所以或， 即或， 因为，所以，即， 令，解得； 当时，减区间为，故选C. 8．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则， 由题意可得，解得. 当时，令，解得，易知， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得，则，即， 化简可得，解得. 综上所述，的取值范围为，故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由于， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到， 结合选项A可得函数周期为，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：AB 10．已知函数，，则下列命题正确的是（    ） A． B．的对称中心为， C．的图象关于对称 D．的图象和的图象关于对称 【答案】ACD 【解析】对A，，故A正确； 对B，根据余弦函数的性质知的对称中心为，故B错误； 对C，根据正弦函数性质知的图象关于对称，故C正确； 对D，设是图象上任意一点，则它关于直线 对称点为， 而， 因此点在的图象上， 同理设是图象上任意一点， 可证其关于直线 对称点为在的图象上， 所以的图象和的图象关于对称，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数在区间上有且只有三个零点，则（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为1 C．的取值范围是 D．有两个极大值点 【答案】BD 【解析】因，设，则，作出函数的图象如下： 要使函数在区间上有且只有三个零点， 需使，解得，故C错误； 不妨取，则，， 因，故不是的一个周期，故A错误； 又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .    【答案】 【解析】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 13．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 14．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 所以， 解得，所以的取值范围是． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 16．（本小题满分15分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求； (2)求点的坐标. (3)求的值. 【解】（1）因为为角终边上一点，由三角函数的定义可得. （2）由题意可知， 由三角函数的定义可得，， 由题意可知，所以， ， 易知点的坐标为，即点. （3）由（2）中的结论可知， 所以. 17．（本小题满分15分）已知的最大值为3，最小值为.    (1)求a，b的值； (2)若，在图中作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间； (3)当，求满足的x的取值范围. 【解】（1）由于，若，则， 所以，解得； 若，则， 所以，解得. 综上所述，或. （2）由，则，此时， 则在上的图象如下：    而函数的周期为， 由图可知，在上的单调递增区间为. （3）由，则，此时， 由，得，即， 则， 所以满足的x的取值范围为. 18．（本小题满分17分）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 【解】（1）由图可知，解得由，得， 所以， 又函数图象过点， 所以，即， 所以，得， 又，所以，所以. （2）由题意得， 则，即， 令，画出的图象如图所示，    由图象可知，， 即，解得， 所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 19．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【解】（1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，即， 又，所以，所以. （2）令，解得， 即的单调递减区间为. （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当， 所以， 若对任意的，都有， 则， 解得，即的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第1章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 5．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 7．函数与函数的交点为，则函数（其中）的一个减区间是（     ）. A．    B．    C．    D． 8．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，，则下列命题正确的是（    ） A． B．的对称中心为， C．的图象关于对称 D．的图象和的图象关于对称 11．已知函数在区间上有且只有三个零点，则（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为1 C．的取值范围是 D．有两个极大值点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .    13．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 14．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 16．（本小题满分15分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求； (2)求点的坐标. (3)求的值. 17．（本小题满分15分）已知的最大值为3，最小值为.    (1)求a，b的值； (2)若，在图中作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间； (3)当，求满足的x的取值范围. 18．（本小题满分17分）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 19．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第1章 三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 5．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 7．函数与函数的交点为，则函数（其中）的一个减区间是（     ）. A．    B．    C．    D． 8．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，，则下列命题正确的是（    ） A． B．的对称中心为， C．的图象关于对称 D．的图象和的图象关于对称 11．已知函数在区间上有且只有三个零点，则（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为1 C．的取值范围是 D．有两个极大值点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .    13．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 14．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 16．（本小题满分15分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求； (2)求点的坐标. (3)求的值. 17．（本小题满分15分）已知的最大值为3，最小值为.    (1)求a，b的值； (2)若，在图中作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间； (3)当，求满足的x的取值范围. 18．（本小题满分17分）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 19．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第1章 三角函数·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B C A D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ACD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为为角终边上一点，由三角函数的定义可得. （2）由题意可知， 由三角函数的定义可得，， 由题意可知，所以， ， 易知点的坐标为，即点. （3）由（2）中的结论可知， 所以. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由于，若，则， 所以，解得； 若，则， 所以，解得. 综上所述，或. （2）由，则，此时， 则在上的图象如下：    而函数的周期为， 由图可知，在上的单调递增区间为. （3）由，则，此时， 由，得，即， 则， 所以满足的x的取值范围为. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）由图可知，解得由，得， 所以， 又函数图象过点， 所以，即， 所以，得， 又，所以，所以. （2）由题意得， 则，即， 令，画出的图象如图所示，    由图象可知，， 即，解得， 所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 19．（本小题满分17分） 【解】（1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，即， 又，所以，所以. （2）令，解得， 即的单调递减区间为. （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当， 所以， 若对任意的，都有， 则， 解得，即的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $