20.1.1 勾股定理及其验证-课件--2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 20.1.1 勾股定理及其验证 第二十章 勾股定理 授课教师： Home . 班 级： . 时 间：2026年01月18日 . 1 1．经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想． 3．尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性．（难点） 2．掌握勾股定理，会运用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题．（重点） 学习目标 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 3 5 4 商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分刚为9，16，25，且9+16=25. 从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 探究 如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A₁,B₁,C₁的面积之间有什么关系？A₂,B₂,C₂呢？A₃,B₃,C₃呢？ 6 探究 如图 ,每个小方格的面积均为 1,图中正方形 A₁,B₁,C₁的面积之间有什么关系？A₂,B₂,C₂呢？A₃,B₃,C₃呢？ SA₁=_________,SB₁=_________,SC₁=_________, 面积之间的关系： ______________________________. 1 4 5 SA₁+SB₁=SC₁ S正方形-4×S直角三角形 =3×3-4××1×2=5. 7 探究 如图 ，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A₁，B₁，C₁的面积之间有什么关系？A₂,B₂,C₂呢？A₃,B₃,C₃呢？ SA₂=_________,SB₂=_________,SC₂=_________, 面积之间的关系： ______________________________. 4 9 13 SA₂+SB₂=SC₂ S正方形-4×S直角三角形 =5×5-4××2×3=13. 8 探究 如图 ，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A₁,B₁,C₁的面积之间有什么关系？A₂,B₂,C₂呢？A₃,B₃,C₃呢？ SA₃=_________,SB₃=_________,SC₃=_________, 面积之间的关系： ______________________________. 9 25 34 SA₃+SB₃=SC₃ S正方形-4×S直角三角形 =8×8-4××3×5=34. 9 返回 9 1. 如图为由边长为1的小正方形组成的网格，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，SA＝________，SB＝________，SC＝________，三个正方形面积间的关系可用式子表示为________________． 25 34 SA＋SB＝SC 中考考法 10 探究 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ SA4=_________,SB4=_________,SC4=________, 面积之间的关系： ______________________________. 4 16 20 SA4+SB4=SC4 S正方形-4×S直角三角形 =6×6-4××2×4=20. A4 B4 C4 可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想（如图）： 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2. 符号语言 ： 如图，在Rt△ABC中， ∠C = 90°， ∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c， 则 a2+b2=c2. a b c 2. (4分)如图是用硬纸板做成的四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的正方形所拼成的图形．请利用这个图形证明勾股定理． 中考考法 返回 中考考法 例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理 = 100， 所以AB = 10. 例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 解： (2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，， 从而， 所以DE = 8. 返回 3. C 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC的长为(　　) A．2 B．4 C．8 D．9 中考考法 返回 4. B 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2，则AD的长为(　　) 中考考法 思考 你会证明勾股定理吗？ 证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约 3 世纪）的证法. 如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”. 赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）. 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 B a A c b (1) (2) a b c (3) 赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下： 如图 (1)，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a. 这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）. a (1) (2) a b c (3) 把图 (1) 中左、右两个三角形移到图 (2) 中所示的位置，就会形成一个以 c 为边长的正方形（图 (3)），它的面积是. 因为图 (1) 与图 (3) 都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等，即a a 在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理. 由图(1)得大正方形的面积 = c² + 4 ×ab， 由图(2)得大正方形的面积 = a² + b² + 4 × ab， 联立两式易得 a² + b² = c². 刘徽 “青朱出入图”. 设大正方形的面积为S，则 S = c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得 S = a² + b²，所以 a² + b² = c². 加菲尔德总统拼图. 设梯形的面积为 S，则 S = (a + b)(a + b) = a² + b² + ab. 因为 S = ab + ab + c² = c² + ab， 所以 a² + b² = c². 返回 5. B [教材P26练习T3变式]已知平面直角坐标系中有两点A(－3，0)，B(0，－2)，则A，B两点之间的距离是(　　) 中考考法 返回 6. B 如图，AB＝BC＝CD＝2，且BC⊥AB，CD⊥AC，则线段AD的长为(　　) 中考考法 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△ADE与Rt△AGE全等，Rt△BFE与Rt△BGE全等，BC=a，AC=b，AB=c，在正方形DEFC中，DE=EF=CF=CD=x. 小明发现了一种求正方形DEFC边长的方法： 由题意可得BF=BG=a-x，AD=AG=b-x. ∴ AB=BG+AG， ∴ a-x + b-x = c， 解得 x = . (1) 小亮也发现了一种求正方形 DEFC 边长的方法：连接 CE，利用S△ABC= S△AEB+ S△AEC+ S△BEC可以得到x与a,b,c的关系.请根据小亮的思路完成他的求解过程. 解：（1）如图 ，连接 EC. 由题意可得，ED = EG = EF = x， ∴ S△AEB = cx，S△AEC = bx，S△BEC = ax. ∴ S△ABC= S△AEB+ S△AEC+ S△BEC， ∴ ab = cx + bx + ax， ∴ (a+b+c) x = ab， ∴ x = . (2) 请结合小明和小亮得到的结果验证勾股定理. (2) 由小明和小亮所得结果知， = ， ∴ (a + b + c)(a + b - c) = 2ab， ∴ (a + b)² - c² = 2ab， ∴ (a + b)² - 2ab = c²， ∴ a² + b² + 2ab - 2ab = c²， 即 a² + b² = c². 返回 7. 72 在Rt△ABC中，斜边BC＝6，则BC2＋AB2＋AC2的值为________． 中考考法 8. (8分)[教材P25练习T1变式]在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c． (1)已知b＝2，c＝3，求a的值； 中考考法 解：设a＝3x，则c＝5x.∵a2＋b2＝c2， ∴(3x)2＋322＝(5x)2，解得x＝8(负值已舍去)． ∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40. (2)已知a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值． 返回 中考考法 32 返回 9. B 如果直角三角形两边长分别为3和4，那么这个三角形的第三边的长是(　　) 中考考法 33 返回 10. B 如图，先以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，再以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，相应的三个正方形的面积分别为S1′，S2′，S3′，则下列关系式中正确的是(　　) A．S1′＋S3′＝2S2′ B．S1＋S2＝S3 C．S1＋S2>S3 D．S1′<S3′－S2′ 中考考法 34 返回 11. 8 中考考法 35 返回 12. [2025东营中考改编]如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 026的值为______． 中考考法 36 13. (8分)[2025保定期中]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC上一点，AB＝AE，连接DE．若BD＝5，CD＝13，求AE的长． 中考考法 返回 中考考法 14. (8分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图①所示的方式摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2＋b2＝c2． 中考考法 中考考法 请参照上述证法，利用图②完成勾股定理的证明． 返回 中考考法 41 勾股定理 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2. 证明 赵爽弦图 青朱出入图 加菲尔德总统拼图 利用勾股定理进行计算 应用 证明：由题图可知大正方形的面积可表示为(a＋b)2，也可表示为c2＋4×ab，∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方． A．1 B． C． D．2 A． B． C． D． A．2 B．2 C．4 D．3 解：∵在△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3， ∴a＝＝＝. A．5 B．5或 C． D．2 在△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若c－a＝6，b＝2 ，则△ABC的面积为________． 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD. 又∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(SAS)， ∴DE＝BD＝5，∠AED＝∠B＝90°，∴∠CED＝90°. 在Rt△CDE中，由勾股定理得CE＝＝12. 设AB＝AE＝x，则AC＝x＋12， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2， ∴x2＋(5＋13)2＝(x＋12)2，解得x＝7.5，即AE的长为7.5. 证明：连接DB, DC，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线于点F，易得DF＝EC＝b－a． ∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab， S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)， ∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)， ∴a2＋b2＝c2． 证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，交DE的延长线于点F，易得BF＝b－a. ∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE ＝ab＋b2＋ab， S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a， ∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，∴a2＋b2＝c2. $