考点02 空间向量的坐标表示8大题型（专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

考点02 空间向量的坐标表示 考点一：空间向量基本定理 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式． 考点二：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 考点三：空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 考点四：空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2）． （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 题型一：空间向量基本定理及其推论 基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 空间向量基本定理及推论易错点：基底需不共面，易误认共线或共面向量为基底。 1．（2025·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·广西南宁·月考）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·上海·期中）已知，，是空间三个不共面的向量，有如下三组向量：① ，，；②，，；③，，；其中能够成为空间向量的基底的组数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·高二·广东深圳·期中）若构成空间一组基底，那么能与，构成空间一组基底的向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·浙江嘉兴·期中）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 题型二：用基底表示向量 用基底表示向量时 （1）若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律． （2）若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 用基底表空间向量易错点：未确认基底不共面，分解时运算法则误用，系数求解漏条件，向量转化时方向出错致符号偏差。 1．（2025·高二·重庆·月考）如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·贵州毕节·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·高二·浙江宁波·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知三棱锥，为中点，为中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：空间向量基本定理的应用 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底．然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算． 空间向量基本定理应用易错点：基底非不共面致推导错，系数唯一性质忽视，共面 / 共线判定漏核心条件，向量运算符号易出错。 1．（2025·高二·陕西西安·期中）如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 2．（2025·高二·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 3．（2025·高二·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 4．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 5．（2025·高二·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 （1）建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上． （2）对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键． 空间直角坐标系及中点坐标易错点：建系未保证三轴垂直，点的坐标与投影混淆，中点公式误用加减，漏看坐标轴负方向致坐标符号错。 1．（2025·高二·安徽亳州·期中）若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·高二·辽宁大连·期中）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·山东东营·月考）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 题型五：空间向量的坐标表示及运算 （1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． （2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则． 空间向量坐标表示及运算易错点：坐标与向量起点混淆，加减乘运算对应坐标错位，模长计算忘开方，符号处理失误致结果偏差。 1．（2025·高二·天津·月考）如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为 .    2．（2025·高二·天津滨海新·月考）已知，，则的坐标为 . 3．（2025·高二·河北·月考）已知A，B，C三点的坐标分别是，，，点，则点P的坐标是 . 4．（2025·高二·甘肃金昌·月考）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为 . 5．（2025·高二·山西忻州·月考）已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 . 题型六：空间向量平行的坐标表示及应用 判断空间向量平行的步骤 （1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行． （2）向量关系代数化：写出向量的坐标． （3）对于，，根据或（都不为0）判断两向量是否平行． 空间向量平行坐标应用易错点：忽略坐标不为零的前提，对应分量成比例漏写系数，共线与平行概念混淆，忽视零向量的特殊情况。 1．（2025·高二·贵州毕节·期末）已知两个向量，，且，则的值为 . 2．（2025·高二·河北·月考）若，，三点共线，则 . 3．（2025·高二·江西宜春·月考）已知向量，，若，则 ． 4．（2025·高二·江西赣州·月考）已知向量，若，则 5．（2025·高二·辽宁锦州·月考）已知空间向量，若，则 ． 题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标． 空间向量数量积及相关坐标易错点：数量积算成模长乘积，垂直判定漏坐标和为 0，夹角公式忘除模长积，忽略夹角范围致符号错。 1．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知向量.求： (1) (2) 2．（2025·高二·河南平顶山·月考）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 3．（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知向量． (1)求； (2)求； (3)求在方向上的投影向量． 4．（2025·高二·天津东丽·月考）已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. 5．（2025·高二·北京海淀·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)求与的夹角． 题型八：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 （1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解． （2）利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 向量坐标解平行垂直易错点：平行漏零向量特例，比例式忽略分母非零；垂直误算数量积，坐标运算时符号、对应分量易出错。 1．（2025·高二·天津·月考）已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 2．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 3．（2025·高二·广东惠州·月考）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 4．（2025·高二·内蒙古包头·期中）已知点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与垂直，求实数的值. 5．（2025·高二·福建福州·月考）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 1．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知点在平面内，则x值为（    ） A． B． C．1 D．-1 2．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 5．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 6．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 8．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 9．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，则（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D．向量是与平行的一个单位向量 10．（多选题）（25-26高二上·河南周口·月考）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 11．（多选题）（25-26高二上·山东济南·月考）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 12．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则 13．（25-26高二上·陕西延安·月考）已知向量，，且，则 ． 14．（25-26高二上·陕西西安·月考）在空间直角坐标系中，，，，且，则 ． 15．（25-26高二上·河南·月考）设，若，则实数k的值为 ． 16．（25-26高二上·山东·月考）向量，则在上的投影向量的坐标为 ． 17．（25-26高二上·山东济南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 空间向量的坐标表示 考点一：空间向量基本定理 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式． 考点二：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 考点三：空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 考点四：空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2）． （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 题型一：空间向量基本定理及其推论 基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 空间向量基本定理及推论易错点：基底需不共面，易误认共线或共面向量为基底。 1．（2025·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 2．（2025·高二·广西南宁·月考）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以为共面向量， 所以不能作为基底，故A错误； 选项B，若共面， 则存在实数使得， 因为不共面，所以，解得， 所以存在实数使得， 即共面，所以不能作为基底，故B错误； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以共面， 所以不能作为基底，故C错误； 选项D，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，方程组无解，所以不为共面向量， 所以能作为基底，故D正确. 故选：D. 3．（2025·高二·上海·期中）已知，，是空间三个不共面的向量，有如下三组向量：① ，，；②，，；③，，；其中能够成为空间向量的基底的组数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，，是空间三个不共面的向量，所以不存在且，使得. 对①：假设，，共面，则存在且，使得，即存在且，使得，与已知矛盾，所以假设不成立，故，，不共面，可以成为空间向量的基底； 对②：因为，所以向量，，共面，不能成为空间向量的基底； 对③：假设，，共面，则存在且，使得即， 即存在， 得唯一解为， 因此不存在不全为零的实数使得向量共面，这与矛盾， 故假设不成立，所以，，不共面，可以成为空间向量的基底. 故选：C 4．（2025·高二·广东深圳·期中）若构成空间一组基底，那么能与，构成空间一组基底的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，则向量与共面，A不是； 对于B，，则向量与共面，B不是； 对于C，，则向量与共面，C不是； 对于D，若与共面，则存在实数，使得， 而不共面，于是，无解， 向量与不共面，可以构成空间一组基底，D是. 故选：D 5．（2025·高二·浙江嘉兴·期中）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面， 因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确； 对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误； 对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误； 对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误； 故选：A 题型二：用基底表示向量 用基底表示向量时 （1）若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律． （2）若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 用基底表空间向量易错点：未确认基底不共面，分解时运算法则误用，系数求解漏条件，向量转化时方向出错致符号偏差。 1．（2025·高二·重庆·月考）如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 2．（2025·高二·贵州毕节·期末）如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，点为中点，故， 又，，，故. 故选：B 3．（2025·高二·浙江宁波·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意有. 故选：B. 4．（2025·高二·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，为中点， 所以，， 故. 故选：B 5．（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知三棱锥，为中点，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为中点，所以， 因为为中点，所以， 则. 故选：D 题型三：空间向量基本定理的应用 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底．然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算． 空间向量基本定理应用易错点：基底非不共面致推导错，系数唯一性质忽视，共面 / 共线判定漏核心条件，向量运算符号易出错。 1．（2025·高二·陕西西安·期中）如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 【解析】（1）由题可得向量； （2）由题， 由（1）得，又向量， 所以 . 2．（2025·高二·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【解析】（1）由向量的线性运算法则可得， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 3．（2025·高二·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【解析】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 4．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 5．（2025·高二·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【解析】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 （1）建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上． （2）对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键． 空间直角坐标系及中点坐标易错点：建系未保证三轴垂直，点的坐标与投影混淆，中点公式误用加减，漏看坐标轴负方向致坐标符号错。 1．（2025·高二·安徽亳州·期中）若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点是点在平面内的射影， 所以,所以. 故选：A. 2．（2025·高二·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 3．（2025·高二·辽宁大连·期中）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：B 4．在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得， 故. 又， 则， 故点坐标为． 故选:A. 5．（2025·高二·山东东营·月考）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，点、， 是线段上的点，且，则， 设点，则，即，解得， 故点的坐标为. 故选：A. 题型五：空间向量的坐标表示及运算 （1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． （2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则． 空间向量坐标表示及运算易错点：坐标与向量起点混淆，加减乘运算对应坐标错位，模长计算忘开方，符号处理失误致结果偏差。 1．（2025·高二·天津·月考）如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为 .    【答案】 【解析】由题可知，，，，而为中点，则，所以. 故答案为： 2．（2025·高二·天津滨海新·月考）已知，，则的坐标为 . 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为：. 3．（2025·高二·河北·月考）已知A，B，C三点的坐标分别是，，，点，则点P的坐标是 . 【答案】 【解析】，设， 所以，解得. 故答案为：. 4．（2025·高二·甘肃金昌·月考）已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【解析】点O为坐标原点，， 则， 所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 5．（2025·高二·山西忻州·月考）已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 . 【答案】 【解析】∵，∴ ∴， ∴， 即点C的坐标为 故答案为：. 题型六：空间向量平行的坐标表示及应用 判断空间向量平行的步骤 （1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行． （2）向量关系代数化：写出向量的坐标． （3）对于，，根据或（都不为0）判断两向量是否平行． 空间向量平行坐标应用易错点：忽略坐标不为零的前提，对应分量成比例漏写系数，共线与平行概念混淆，忽视零向量的特殊情况。 1．（2025·高二·贵州毕节·期末）已知两个向量，，且，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，显然，所以，解得， 所以. 故答案为： 2．（2025·高二·河北·月考）若，，三点共线，则 . 【答案】 【解析】，， 若，，三点共线，则向量与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得， 故答案为：. 3．（2025·高二·江西宜春·月考）已知向量，，若，则 ． 【答案】4 【解析】由，知，所以． 故答案为：4 4．（2025·高二·江西赣州·月考）已知向量，若，则 【答案】 【解析】因为向量，且， 所以，得， 所以. 故答案为： 5．（2025·高二·辽宁锦州·月考）已知空间向量，若，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以存在实数，使得，即， 所以，所以 故答案为： 题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标． 空间向量数量积及相关坐标易错点：数量积算成模长乘积，垂直判定漏坐标和为 0，夹角公式忘除模长积，忽略夹角范围致符号错。 1．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知向量.求： (1) (2) 【解析】（1），， ， 故. （2）， ， ， ， 因为向量夹角范围是，所以 . 2．（2025·高二·河南平顶山·月考）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1），， ，， . （2）设与的夹角为，则，     ，，     ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 3．（2025·高二·贵州贵阳·月考）已知向量． (1)求； (2)求； (3)求在方向上的投影向量． 【解析】（1）因为，所以； （2）因为向量，所以， 则； （3）由在方向上的投影向量为. 4．（2025·高二·天津东丽·月考）已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. 【解析】（1）因为，，， 若，则存在实数，使得， 可得，解得， 即，， 若，则，解得，即. （2）因为，，， 则，， 可得，，， 所以与所成角的余弦值为. 5．（2025·高二·北京海淀·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)求与的夹角． 【解析】（1）因为向量，， 所以. （2）由题意，向量，， （3）因为， 所以， 由，可得. 题型八：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 （1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解． （2）利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 向量坐标解平行垂直易错点：平行漏零向量特例，比例式忽略分母非零；垂直误算数量积，坐标运算时符号、对应分量易出错。 1．（2025·高二·天津·月考）已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 【解析】（1）由题设，所以； （2）由（1），又， 所以，可得，即， 所以，则； （3）由（1）， ， 由，则， 所以，则. 2．（2025·高二·陕西渭南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【解析】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （3）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为. 3．（2025·高二·广东惠州·月考）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【解析】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 4．（2025·高二·内蒙古包头·期中）已知点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与垂直，求实数的值. 【解析】（1）根据点，，则， 因为，所以，即，可知， 因为，所以，解得， 所以或 （2）根据点，，， 则，， ， 因为向量与垂直，所以， 即，解得. 5．（2025·高二·福建福州·月考）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 【解析】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 1．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知点在平面内，则x值为（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【解析】， 因为在平面内， 所以存在使得， 即， 所以，解得， 故选：A 2．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 5．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B 6．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，， 向量在向量上的投影向量， . 故选：D. 7．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以，所以， 故选：A. 8．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】选项A：由题意，解得，故A正确； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：在上的投影向量为， 所以，即， 判别式，方程无实数根，故C错误； 选项D：若与夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得，由与不共线，得 所以，故D正确. 故选：ABD 9．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，则（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，，所以，A正确； 对于B，， 故，B正确； 对于C，，在上的投影向量即为，C错误； 对于D，因为，所以，且， 故向量是与平行的一个单位向量，D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）（25-26高二上·河南周口·月考）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【解析】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 11．（多选题）（25-26高二上·山东济南·月考）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【解析】由的单位向量是，故A错误； 由，，可得，故B正确； 由为钝角，则， 又当，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：BD. 12．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则 【答案】 【解析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理．根据空间向量的线性运算即可得答案． 如图所示，连接， 则，， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高二上·陕西延安·月考）已知向量，，且，则 ． 【答案】1 【解析】因为，，且， 所以存在实数，使得，即， 所以，解得，所以. 故答案为：1. 14．（25-26高二上·陕西西安·月考）在空间直角坐标系中，，，，且，则 ． 【答案】1 【解析】在空间直角坐标系中，，，，则， 又因为，所以，所以. 故答案为：1. 15．（25-26高二上·河南·月考）设，若，则实数k的值为 ． 【答案】6 【解析】由题可知，. 因为，所以，所以，解得． 故答案为：. 16．（25-26高二上·山东·月考）向量，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意，在上的投影向量的坐标为． 故答案为： 17．（25-26高二上·山东济南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值. 【解析】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $