第09讲 因式分解（9个知识点+13个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪科版

第09讲 因式分解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、 因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 4、 【即学即练】 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 2．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）小莉做了4道因式分解题，题目如下： ① ② ③ ④ (1)小莉做错的或过程不完整的题目是 (填序号) ； (2)把（1）中选出的题目写出正确的因式分解结果． 知识点2 ：公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【即学即练】 3．（25-26七年级下·安徽六安·期中）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 知识点3 ：因式分解—提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【即学即练】 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）因式分解：． 知识点4：因式分解—运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 【即学即练】 7．分解因式： (1)； (2)． 8．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）分解因式： (1)． (2)． (3)． (4)． 知识点5 ：提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【即学即练】 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）因式分解： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： (1) (2) 知识点6 ：因式分解—分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【即学即练】 11．因式分解： 12．（25-26八年级上·天津·月考）分解因式 知识点7 ：因式分解—十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【即学即练】 13．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）因式分解：． 14．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）因式分解：． 知识点8 ：实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 【即学即练】 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在实数范围内因式分解： ． 知识点9 ：因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【即学即练】 17．已知为正整数，求证：能被16整除． 18．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (2)，为正整数，且，若是“正巧数”． ①求的值； ②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”． 【题型1 判断是否是因式分解】 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 4．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于整式乘法的是 ．（填序号） 5．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 6．已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 7．已知多项式分解因式为， ， ． 8．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值是 9．如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有 个． 10．阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【题型3 公因式】 11．多项式 的公因式是（   ） A．a B． C． D． 12．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 13．把分解因式时，应提取的公因式是 ． 14．找出的公因式． 15．找出的公因式． 【题型4 提公因式法分解因式】 16．下列多项式可以提取公因式的是（    ） A． B． C． D． 17．已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（   ） A．9 B． C． D． 18．分解因式： ． 19．因式分解： ． 20．因式分解：． 【题型5 平方差公式分解因式】 21．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（） A． B． C． D． 22．若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 23．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 24．当代生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，利用“因式分解”可以生成密码：先将确定的多项式因式分解，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式因式分解的结果是，若取，时，则有，，，12，17，13分别为因式码，将这些值按从小到大的顺序排列就形成密码121317．对于多项式，当取，时，请你写出用上述方法生成的密码为 ． 25．已知． (1)求和的值； (2)已知，求的值． 【题型6 完全平方公式分解因式】 26．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 27．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 28．因式分解： ． 29．因式分解： (1)； (2)． 30．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 【题型7 综合运用公式法分解因式】 31．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 32．若多项式的值为0，则的值为 ． 33．分解因式： ． 34．分解因式： (1) (2) 35．【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 【题型8 综合提公因式和公式法分解因式】 36．分解因式： (1) (2) 37．因式分解： (1)； (2)； (3)． 38．因式分解： (1) (2) 39．下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 (1)第三步到第四步运用了因式分解中的（    ） A．提取公因式                          B．两数的平方差公式   C．两数和的完全平方公式                D．两数差的完全平方公式 (2)除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 40．因式分解：． 【题型9 因式分解在有理数简算中的应用】 41．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 42．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 43．在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是 （填写序号）． 44．计算： ． 45．已知，求： (1)填空：________________； (2)试求的值； 【题型10 实数范围内分解因式】 46．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 47．在实数范围内因式分解： ． 48．在实数范围内进行因式分解 ． 49．在实数范围内分解因式． 50．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【题型11 十字相乘法】 51．因式分解：． 52．用十字相乘法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 53．阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ∴，可以得 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1) ． (2)分解因式：； (3)分解因式：． 54．综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 55．新乡某初中数学小组就一道试题展开了不同的解法，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一： 设另一个因式为，得 则， ，解得， ． 另一个因式为，的值为． 解法二： 设另一个因式为，得 当时， 即，解得 另一个因式为，的值为． 任务： (1)已知多项式分解因式的结果中有因式，则按照解法二的思路，可以令 ，之后求出实数 ； (2)已知二次三项式有一个因式是，按照解法一的思路求另一个因式及的值； (3)若多项式（是常数）分解因式后，有一个因式是，直接写出代数式的值． 【题型12 分组分解法】 56．阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 57．阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 58．在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 59．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （2）请用以上方法将分解因式． 60．阅读材料：对某些多项式的因式分解可引入“多项式分裂重组法”． 例如：分解因式：将一次项分裂为，重组分组得． 【基础应用】 （1）利用“多项式分裂重组法”分解因式：； 【方法深化】 （2）分解因式：； 【拓展创新】 （3）已知多项式通过“多项式分裂重组法”可分解为，求，，的值． 【题型13 因式分解的应用】 61．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (2)，为正整数，且，若是“正巧数”． ①求的值； ②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”． 62．利用因式分解说明：当为自然数时，能被11整除． 63．利用因式分解化简求值：已知，求的值． 64．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． (1)利用“配方法”分解因式： (2)若，求m和n的值 (3)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：例如：．请你仿照上面的方法对进行因式分解 65．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； (3)当________，多项式有最小值，且最小值为________． 1．下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．日常生活中经常需要密码，如取款、上网等，我们可以用“因式分解”的方法产生密码，方便记忆．如将多项式分解因式为，取，计算因式的值分别为，，，密码就可以设置为018162，180162等．按照上述产生密码的方法，多项式，在取，时，密码不可能设置为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 5．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 6．如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 8．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知一个长方形的长为，宽为，其周长为10，面积为，则的值是 ． 10．因式分解： ． 11．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以生成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中13，18，14分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131418． （1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是 ； （2）已知多项式，当分别取正整数时，用上述方法生成的密码的前两个因式码为4，14，则第三个因式码是 ． 12．已知，，，则代数式的值为 ． 13．利用因式分解求值． (1)已知，，求值． (2) 14．分解因式： (1)； (2)． 15．仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，， 则 所以，，解得：，． 另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： (1)若二次三项式可分解为，则_______ (2)若二次三项式可分解为，则_______． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 16．在“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分，而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是将一个多项式分解因式．如代数式，分解因式的结果为，当时，，此时可以得到6个6位数的数字密码，分别是121824，122418，181224，182412，241218，241812． (1)小云同学设计的多项式是，根据上述方法，当时，求分解因式后得到的一个6位数的数字密码． (2)小青同学设计的多项式是，根据上述方法，当时，求多项式分解因式后得到的一个8位数的数字密码． 17．先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)分解因式：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 18．利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决求多项式的最值（最大值或最小值）问题． 例如： ①求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最小值，最小值为． ②求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为1． 阅读上述材料，解决下列问题： (1)已知，当______时，多项式有最______值（填“大”或“小”），最值为______； (2)某公园计划用米长的篱笆围成一个长方形花坛．如图，当为多少米时花坛面积最大，最大面积是多少平方米？ 19．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有__________（填序号）； ①    ②    ③    ④． (2)若关于m，n的代数式（）为对称式，则的值为__________； (3)在（2）的条件下，已知，且，求的值． 20．阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式． 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片，每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙）．大正方形的边长为，因此大正方形的面积可以表示为．由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大正方形的面积也可以表示为，于是得到等式． (1)在图1的基础上，再选取一张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等式 ； (2)在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），使得这个大长方形的面积为． ①在图1的基础上补全这个大长方形； ②根据补全的图形，对多项式进行因式分解． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 因式分解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 （制作说明：学课本，重在教材知识的预习和剖析，基础知识尽量全梳理，里面内容干货多多益善，可以包括易错辨析、概念比较、重点记忆等内容） 知识点1 ：因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有 ，是因式分解的有 ． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 2．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）小莉做了4道因式分解题，题目如下： ① ② ③ ④ (1)小莉做错的或过程不完整的题目是 (填序号) ； (2)把（1）中选出的题目写出正确的因式分解结果． 【答案】(1)②③ (2)②；③ 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据题意判断即可； （2）根据提取公因式和公式法因式分解即可． 【详解】（1）解：小莉做错的或过程不完整的题目是②③， 故答案为：②③； （2）解：② ； ③ ． 知识点2 ：公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【即学即练】 3．（25-26七年级下·安徽六安·期中）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查多项式的公因式判断，通过因式分解检查各组是否有公因式． 【详解】解：A：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； B：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； C：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； D：∵，，且与无公因式， ∴没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法．确定多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，从而找出公因式． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 知识点3 ：因式分解—提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【即学即练】 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值． 将代数式因式分解为，然后代入已知值计算． 【详解】解：． 故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是掌握提公因式法分解因式． 先提取公因式，再将第二个因式合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 知识点4：因式分解—运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 【即学即练】 7．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式进行分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）分解因式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可； （3）用平方差公式分解因式即可； （4）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 知识点5 ：提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【即学即练】 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 知识点6 ：因式分解—分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【即学即练】 11．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先分组，再由平方差公式分解． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·天津·月考）分解因式 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先分组分解，再提取公因式即可． 【详解】解： ． 知识点7 ：因式分解—十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【即学即练】 13．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 连续两次运用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解： 14．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法，先将看作一个整体，然后利用十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． 知识点8 ：实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 【即学即练】 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 16．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．通过求解一元二次方程得到实数根，然后根据根写出因式分解形式即可． 【详解】解：方程， 其中，，， 判别式：， ∴， 即：，， 因此， 故答案为：． 知识点9 ：因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【即学即练】 17．已知为正整数，求证：能被16整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．先根据平方差公式进行运算，然后进行判断即可． 【详解】证明： ． 为正整数，是2的倍数， ∴是16的倍数， ∴原式能被16整除． 18．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (2)，为正整数，且，若是“正巧数”． ①求的值； ②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”． 【答案】(1)能被8整除，理由见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用、新定义，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据“正巧数”的定义得到，化简得到，即可证明； （2）①将所给式子变形为，再根据“正巧数”的定义可得；②根据已知“正巧数”得到也是“正巧数”，再将变形得到，即可判断． 【详解】（1）解：“正巧数”能被8整除，理由如下： 又是正整数， 能被8整除． ∴能被8整除， 即由它们构成的“正巧数”能被8整除． （2）解：① ； ②由①可知：， ， ． 是“正巧数”， 可设，其中为正整数， ， ， ， ， 由（1）得：任何一个“正巧数”都是8的倍数， 是“正巧数”． 【题型1 判断是否是因式分解】 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式， 选项A：，符合因式分解的定义； 选项B：，该等式不成立，不是因式分解； 选项C：，是多项式的乘法，不符合因式分解的定义； 选项D：，右边不是积的形式，不符合因式分解的定义； 故选：A． 2．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的判断，因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不满足将一个多项式化为几个整式的积的形式，即不属于因式分解，故该选项不符合题意； B、满足将一个多项式化为几个整式的积的形式，即属于因式分解，故该选项符合题意； C、不满足将一个多项式化为几个整式的积的形式，即不属于因式分解，故该选项不符合题意； D、是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键．因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； 选项B：，右边不是积的形式，故不符合题意； 选项C：，是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； 选项D：，右边是整式的积，且等式成立，是因式分解，故符合题意． 故选：D． 4．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于整式乘法的是 ．（填序号） 【答案】 ①③ ② 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可． 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解； 故答案为：①③；②． 5．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 6．已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【详解】解：展开，与原式比较系数， 得， 解得 ， 则． 故答案为：． 7．已知多项式分解因式为， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开给定的因式分解形式，与原多项式比较系数，即可求出和的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵多项式分解因式为， ∴，， 故答案为：，． 8．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值是 【答案】 1 【分析】本题主要考查因式分解，二元一次方程组的运用，多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是关键． 由于多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个因式为，则，根据多项式的乘法法则求解即可． 【详解】解：∵ 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为 ， ∴设， 等式右边， ∴， 解得，， 故答案为：1． 9．如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【详解】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 10．阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案； （2）可分解为，其中，，根据题意可推出a、b都为整数，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数， ∴为整数， 又∵， ∴a、b都为整数， ∵， ∴或或或或或 ∴的可能值为，，． 【题型3 公因式】 11．多项式 的公因式是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查公因式，根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可． 【详解】解：多项式的公因式是； 故选A． 12．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查多项式的公因式判断，通过因式分解检查各组是否有公因式． 【详解】解：A：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； B：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； C：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； D：∵，，且与无公因式， ∴没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 13．把分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，提取公因式，掌握提取公因式的计算方法是关键． 找出多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，确定公因式． 【详解】解：多项式中， 各项系数为，最大公约数为2， 字母部分，x的最小指数为1，y的最小指数为2，z的最小指数为1， ∴公因式为， 故答案为：． 14．找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：将看成一个整体， 所以的公因式为． 15．找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：和系数的公因数可取，相同字母的最低次幂是1，相同字母的最低次幂是1， 所以的公因式为． 【题型4 提公因式法分解因式】 16．下列多项式可以提取公因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，提取公因式是指多项式中各项有公共的因子，可以因式分解提出来．据此逐一检查各选项，只有B选项有公因式x． 【详解】解：A、无公因式，不符合题意； B、有公因式x，可分解为，符合题意； C、无公因式，不符合题意； D、无公因式，不符合题意． 故选：B． 17．已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式，令分别取四个选项中的单项式，再看多项式能否在有理数的范围内分解因式即可得到答案． 【详解】解：当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故A不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故B不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故C不符合题意； 当时，，能在有理数范围分解因式，故D符合题意； 故选：D． 18．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键；直接提取公因式y即可分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 19．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．观察表达式，发现两项都含有公因式，因此直接提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 20．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是掌握提公因式法分解因式． 先提取公因式，再将第二个因式合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【题型5 平方差公式分解因式】 21．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用平方差公式进行因式分解．平方差公式适用于形如的多项式，分解为，检查各选项是否可表示为两个平方的差． 【详解】解：平方差公式为． 选项A、，为两数平方和，无法用平方差公式分解； 选项B、，为两数平方差，可以用平方差公式分解因式； 选项C、，为平方和的相反数，无法用平方差公式分解； 选项D、，不是两数平方差，无法用平方差公式分解． 故选：B． 22．若，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，把因式分解，然后根据对应系数相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 23．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【详解】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 24．当代生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，利用“因式分解”可以生成密码：先将确定的多项式因式分解，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式因式分解的结果是，若取，时，则有，，，12，17，13分别为因式码，将这些值按从小到大的顺序排列就形成密码121317．对于多项式，当取，时，请你写出用上述方法生成的密码为 ． 【答案】1822404 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法（平方差公式）是解题的关键． 先对多项式因式分解，再代入数值计算各因式的值，最后将因式码排序得到密码． 【详解】解：∵ 多项式 因式分解为 又∵ ，， ∴ ， ， ， ∵ 因式码按从小到大排列为 ， ∴ 密码为 ， 故答案为：． 25．已知． (1)求和的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的除法运算，利用平方差公式分解因式，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，熟记幂的乘方运算法则与平方差公式是解本题的关键． （1）由条件可得，，可得，； （2）把左边分解因式可得，再把代入可得，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 联立得， 解得， ∴． 【题型6 完全平方公式分解因式】 26．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式与因式分解，多项式可以用完全平方公式分解因式，则可以写成的形式，由此可解． 【详解】解：， ∵多项式可以用完全平方公式分解因式， ∴， 故选：D． 27．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键． 需满足的形式，据此判断各选项． 【详解】解：选项A：，末项为负数，且非平方数，不符合公式； 选项B：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配； 选项C：：首项，末项，中间项，符合； 选项D：：缺少常数项，无法构成完全平方； 故选C． 28．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键．通过观察其结构，符合完全平方公式的形式，可直接进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为： 29．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先整理得，再计算得到，然后利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； （2）解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； （3） 解： ． 【题型7 综合运用公式法分解因式】 31．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 32．若多项式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式与完全平方公式因式分解，将原多项式化简为，再根据其值为0，得到 【详解】解： ， 由题意得， 解得． 故答案为：． 33．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，根据完全平方公式和平方差公式逐步对原式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 34．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)请在①、②处填空： ①_____②______ (2)将下列各式因式分解： ①_______； ②______； ③______． 【答案】(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为，再利用平方差公式因式分解． ③仿照阅读材料，运用配方法将转化为与的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： 故答案为：①，②； （2）解：① ； 故答案为：． ② 故答案为：． ③ ； 故答案为：． 【题型8 综合提公因式和公式法分解因式】 36．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再运用平方差公式解答即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 37．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式可进行分解因式； （2）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行分解因式； （3）根据乘法公式可进行分解因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 38．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）先用换元法，再利用十字相乘法分解因式即可． （2）先用分组分解法，再利用公式法分解因式即可． 【详解】（1）解：令， 则原式变成：， ， 再把代入得， 故 （2）解： 39．下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 (1)第三步到第四步运用了因式分解中的（    ） A．提取公因式                          B．两数的平方差公式   C．两数和的完全平方公式                D．两数差的完全平方公式 (2)除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】‘ 本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键． （1）根据提公因式法判断即可； （2）根据平方差公式和提公因式法计算即可； 【详解】（1）解：利用了提公因式法； 故选． （2）解：有其他解法，解法如下： 原式 ． 40．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先分组，再提取公因式，最后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 【题型9 因式分解在有理数简算中的应用】 41．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 42．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 43．在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是 （填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 【详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 44．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差分式分解因式，乘法运算律，解题关键是掌握平方差公式． 先用平方差公式将每个因式拆成2个分数的积，再利用乘法交换律与结合律求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 45．已知，求： (1)填空：________________； (2)试求的值； 【答案】(1)17 (2)的值为255或 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的应用，解题的关键是通过公式变形将待求式转化为已知条件的组合形式． （1）利用完全平方公式，代入、计算； （2）将因式分解为，先由完全平方公式求的值，再代入计算． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：，得， 当时： 当时： 答：的值为或． 【题型10 实数范围内分解因式】 46．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 47．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．通过求解一元二次方程得到实数根，然后根据根写出因式分解形式即可． 【详解】解：方程， 其中，，， 判别式：， ∴， 即：，， 因此， 故答案为：． 48．在实数范围内进行因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 49．在实数范围内分解因式． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 50．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． （2）首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型11 十字相乘法】 51．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握几种基本的因式分解方法是关键；先提取公因式y，再利用十字相乘法即可完成． 【详解】解： ． 52．用十字相乘法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解．熟悉十字相乘法进行因式分解的方法是解题的关键．二次三项式使用十字相乘法进行因式分解，即是通过寻找特定整数对，将多项式拆分为两个一次式的乘积的形式． （1）采用十字相乘法：寻找两个数，使其乘积为，和为．满足条件的数是和（因为，）． （2）先提取公因式：，再对用十字相乘法: 寻找两个数，乘积为，和为．满足条件的数是和(因为，)． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ． 53．阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ∴，可以得 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1) ． (2)分解因式：； (3)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （3）把看作一个整体，仿照题意根据，，进行分解因式即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ∴； （3）解：，， ∴ ． 54．综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）仿照题干因式分解即可； （2）设，仿照题干因式分解即可； （3）根据将原多项式化为，整理得到，进而求解即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设，则原式， 故答案为：； （3）解：∵ ∴ 55．新乡某初中数学小组就一道试题展开了不同的解法，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一： 设另一个因式为，得 则， ，解得， ． 另一个因式为，的值为． 解法二： 设另一个因式为，得 当时， 即，解得 另一个因式为，的值为． 任务： (1)已知多项式分解因式的结果中有因式，则按照解法二的思路，可以令 ，之后求出实数 ； (2)已知二次三项式有一个因式是，按照解法一的思路求另一个因式及的值； (3)若多项式（是常数）分解因式后，有一个因式是，直接写出代数式的值． 【答案】(1)3；1 (2)另一个因式为，的值为 (3)4 【分析】本题属于阅读材料类题型，解题的关键是理解题干中的信息以及熟练掌握因式分解． （1）利用解法二的步骤进行计算即可； （2）利用解法一的思路，由于二次项系数为负数，故假设另一因式应为，随后按步骤求解即可； （3）采用解法二，能得出方程，变形得出的值． 【详解】（1）解：假设另一个因式为， 得， ∴当时， ， 即，解得． （2）解：设另一个因式为，得 则， ，解得，， 另一个因式为，的值为． （3）解：采用解法二进行计算， 假设另一个因式为， 得， ∴当时， ， 即， 变形得， 故的值为4． 【题型12 分组分解法】 56．阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 57．阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了因式分解，正确理解题干所给的方法是解答本题的关键． （1）参考题干提供的解题方法进行因式分解即可； （2）参考题干提供的解题方法将原式左边化为平方和，右边为零的形式，从而求出，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：方法（1） 方法（2） （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， 即， ∴ 58．在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键．（1）先分组得，再提取公因式法进行因式分解； （2）先分组得，再根据完全平方公式进行因式分解得到，利用非负数的性质求得，据此计算即可求解； （3）由已知，两式相减得到，左边分解后可得到，再由已知，两式相加结合即可求得的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，， 两式相减得， ∴，即， 因式分解得， ∵， ∴即， ∵，， 两式相加得，即， ∵，， ∴， ∴． 59．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （2）请用以上方法将分解因式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解， （1）先利用加法的结合律把前两项结合，后两项结合，然后把前两项利用平方差公式分解因式，再提取公因式即可； （2）先利用加法的结合律把分成一组，利用完全平方公式将其分解因式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 60．阅读材料：对某些多项式的因式分解可引入“多项式分裂重组法”． 例如：分解因式：将一次项分裂为，重组分组得． 【基础应用】 （1）利用“多项式分裂重组法”分解因式：； 【方法深化】 （2）分解因式：； 【拓展创新】 （3）已知多项式通过“多项式分裂重组法”可分解为，求，，的值． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ，， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据题意利用分组分解法求解是解题的关键． （1）根据分组分解法组合求解即可； （2）根据分组分解法组合求解即可； （3）把展开，对照即可得解； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ， 根据是由多项式通过“多项式分裂重组法”分解得到， ， ，，． 【题型13 因式分解的应用】 61．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． (1)设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (2)，为正整数，且，若是“正巧数”． ①求的值； ②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”． 【答案】(1)能被8整除，理由见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用、新定义，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据“正巧数”的定义得到，化简得到，即可证明； （2）①将所给式子变形为，再根据“正巧数”的定义可得；②根据已知“正巧数”得到也是“正巧数”，再将变形得到，即可判断． 【详解】（1）解：“正巧数”能被8整除，理由如下： 又是正整数， 能被8整除． ∴能被8整除， 即由它们构成的“正巧数”能被8整除． （2）解：① ； ②由①可知：， ， ． 是“正巧数”， 可设，其中为正整数， ， ， ， ， 由（1）得：任何一个“正巧数”都是8的倍数， 是“正巧数”． 62．利用因式分解说明：当为自然数时，能被11整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，通过平方差公式将原式进行因式分解，得到，再根据整除的性质即可证明． 【详解】证明： ， ∵为自然数， ∴为整数， ∴能被11整除， 即能被11整除． 63．利用因式分解化简求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．先把原式整理，再因式分解，然后代入，即可求解． 【详解】解： 当时，原式． 64．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． (1)利用“配方法”分解因式： (2)若，求m和n的值 (3)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：例如：．请你仿照上面的方法对进行因式分解 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，以及平方差公式的计算，解决本题的关键是熟练掌握完全平方式的概念． （1）根据配方法，先将凑成完全平方式，再求解即可； （2）根据配方法，将配方，并将化为完全平方式，求解即可； （3）根据配方法，将配方，再使用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 则有， ∴，， 解得， ∴，解得， 则m的值为8，n的值为4； （3）解：． 65．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； (3)当________，多项式有最小值，且最小值为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； 【分析】本题主要考查因式分解的应用，灵活运用配方法、平方差公式、完全平方公式是解答本题的关键． （1）先仿照例子进行即可解答； （2）先仿照例子把原式变形为，然后根据平方的非负性即可解答； （3）先仿照例子把原式变形为，然后根据平方的非负性即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ， 即多项式的值总是一个正数； （3）解： ∵，且当时，取得最小值，为0， ∴当，多项式有最小值，且最小值为． 故答案为：； 1．下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．先根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式，然后计算分解是否正确即可． 【详解】解：A、右边为乘积加2，不是乘积形式，不符合因式分解定义； B、左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C、右边是乘积的形式，但，原计算错误，不符合题意； D、右边是乘积的形式，且 ，原计算正确，符合题意． 故选：D． 2．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解． 将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ , 又∵，， ∴ 原式． 故选：A． 3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式分解因式． 平方差公式分解因式的公式为，逐一检查各选项是否能表示为两个平方的差即可． 【详解】解：平方差公式要求表达式为两个平方项的差． 选项A：，符合公式； 选项B：，符合公式； 选项C：，两项均为负，不能表示为两个平方项的差，不符合公式； 选项D：，符合公式； 故选：C． 4．日常生活中经常需要密码，如取款、上网等，我们可以用“因式分解”的方法产生密码，方便记忆．如将多项式分解因式为，取，计算因式的值分别为，，，密码就可以设置为018162，180162等．按照上述产生密码的方法，多项式，在取，时，密码不可能设置为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用．将多项式因式分解后代入x和y的值，得到三个因式的值，密码由这些值按任意顺序拼接而成，选项D的拼接结果中包含不在这些值中的数字，因此不可能，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ∵，： ∴，， ∴的值为12、24、48， 依题意，密码为这些值的任意顺序拼接，选项A、B、C均为的拼接，选项D为，拆分为，其中21不在因式值中， ∴ 密码不可能设置为D选项， 故选：D 5．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 6．如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确表示出与． 先根据阴影部分面积为4个底为，高为的三角形面积和表示出，再由大正方形的面积减去表示，然后根据建立等式，再化简、进行因式分解求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 故选：B． 7．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 9．已知一个长方形的长为，宽为，其周长为10，面积为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解的应用等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键． 由长方形的周长和面积公式得出、，再对因式分解得到，然后将、整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，长方形的周长为10，面积为， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 11．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以生成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，则有，其中13，18，14分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131418． （1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是 ； （2）已知多项式，当分别取正整数时，用上述方法生成的密码的前两个因式码为4，14，则第三个因式码是 ． 【答案】 1014148 106 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）对于多项式，先进行因式分解，得到，再代入，计算因式码并排序； （2）根据前两个因式码为4和14，求出和，再计算第三个因式码即可． 【详解】解：（1）， 当，时，计算各因式： ，，， 因式码为：10、14、148，按从小到大顺序排列形成密码1014148； 故答案为：1014148； （2）因式码为、、， ∵、为正整数， ∴， ∵前两个因式码为4和14， ∴， 解方程组得：， ∴第三个因式码为： ． 故答案为：106． 12．已知，，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 13．利用因式分解求值． (1)已知，，求值． (2) 【答案】(1)15 (2)4049 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，正确因式分解是解答的关键． （1）先将原式化为，再整体代入求解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解： ． 14．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． （1）先确定公因式，再提取即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再提公因式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 15．仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，， 则 所以，，解得：，． 另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： (1)若二次三项式可分解为，则_______ (2)若二次三项式可分解为，则_______． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3)另一个因式为，k的值为 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：4； （2）解：∵， ∴． 故答案为：1； （3）解：设另一个因式为，得， 则， ∴，， 解得，， ∴另一个因式为，k的值为． 16．在“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分，而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是将一个多项式分解因式．如代数式，分解因式的结果为，当时，，此时可以得到6个6位数的数字密码，分别是121824，122418，181224，182412，241218，241812． (1)小云同学设计的多项式是，根据上述方法，当时，求分解因式后得到的一个6位数的数字密码． (2)小青同学设计的多项式是，根据上述方法，当时，求多项式分解因式后得到的一个8位数的数字密码． 【答案】(1)数字密码是212517，211725，252117，251721，172125，172521．（写出其中一个即可） (2)其中一个8位数的数字密码是26261010．（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用， （1）将因式分解，根据题意求解即可； （2）将因式分解，根据题意求解即可． 【详解】（1）解： 当时，， ∴数字密码是212517，211725，252117，251721，172125，172521．（写出其中一个即可） （2）解： 当时，， 所以用于组成密码的四个两位数是26, 26, 10, 10， 根据题意，其中一个8位数的数字密码是26261010．（答案不唯一） 17．先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)分解因式：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，利用整体思想求解是解题的关键． （1）设，则原式，据此可得答案； （2）设，则可推出，即，根据偶次方的非负性求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原式， 将代入，得原式； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴该长方形的周长． 18．利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决求多项式的最值（最大值或最小值）问题． 例如： ①求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最小值，最小值为． ②求多项式的最值． 解：， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为1． 阅读上述材料，解决下列问题： (1)已知，当______时，多项式有最______值（填“大”或“小”），最值为______； (2)某公园计划用米长的篱笆围成一个长方形花坛．如图，当为多少米时花坛面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)；小； (2)当米时花坛面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2）设为米时花坛面积最大，得到，求得长方形花坛面积，然后即可求解； 【详解】（1）解：已知， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最值为； 故答案为：；小；； （2）解：设为米时花坛面积最大， ∴，， ∴长方形花坛面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 即当米时花坛面积最大，最大面积是平方米． 19．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有__________（填序号）； ①    ②    ③    ④． (2)若关于m，n的代数式（）为对称式，则的值为__________； (3)在（2）的条件下，已知，且，求的值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)3 【分析】本题主要考查了分解因式，完全平方公式，同底数幂乘除法运算，幂的乘方运算，正确理解对称式的定义是解题的关键． （1）①根据同底数幂乘法运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可；②根据幂的乘方运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可；③再根据对称式的定义判断即可；④根据同底数幂除法运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可； （2）根据对称式的定义可得，则可证明，根据，可得，据此可得答案； （3）根据（2）所求可得，则可求出的值，再根据完全平方公式可得答案． 【详解】（1）解：①， 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式， 因为， ∴， ∴代数式是对称式； ②， 代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴， ∴代数式是对称式； ③代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴代数式是对称式； ④， 代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴， ∴代数式不是对称式； 故答案为：①②③； （2）解：交换代数式中字母m、n的位置可得 ∵关于m，n的代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式． 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片，每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙）．大正方形的边长为，因此大正方形的面积可以表示为．由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大正方形的面积也可以表示为，于是得到等式． (1)在图1的基础上，再选取一张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等式 ； (2)在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），使得这个大长方形的面积为． ①在图1的基础上补全这个大长方形； ②根据补全的图形，对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2)①见解析；②2a2+7ab+3b2＝（2a+b）（a+3b） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形面积的不同计算方法推导代数等式并根据给定面积的多项式进行图形拼接是解题的关键． （1）观察图2，大长方形的长是，宽是．计算面积（方法一）：根据长方形面积公式，面积为，计算面积（方法二）：数出组成大长方形的卡片：1张边长为a的正方形、3张长a宽b的长方形、2张边长为b的正方形，总面积为 ．两种方法计算的是同一图形面积，即； （2）①将面积分解为 ，确定大长方形的长为，宽为，确定卡片数量：根据因式分解结果，需要2张边长为a的正方形卡片、7张长a宽b的长方形卡片、3张边长为b的正方形卡片，补全图形；②按长和宽的尺寸，用上述卡片拼接成大长方形． 【详解】（1）解：图2面积为， 面积也可表示为：， 因此． 故答案为：． （2）解：①如图： ； ②因为大长方形的长为，宽为， 所以． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $