第08讲 完全平方公式与平方差公式（5个知识点+7个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪科版

第08讲 完全平方公式与平方差公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）计算：的结果是 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则 ． 知识点2 ：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【即学即练】 3．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则 ． 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 知识点3 ：完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 【即学即练】 5．（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 6．（24-25七年级下·四川雅安·月考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 知识点4 ：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【即学即练】 7．（25-26七年级下·安徽池州·期中）计算：． 8．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）计算： 知识点5 ：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2） 运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． （3） 【即学即练】 9．（25-26七年级下·安徽铜陵·期中）（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 10．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． ​ (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______________； (2)利用上述乘法公式计算：； 【题型1 运用完全平方公式进行运算】 1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么 ． 4．计算： ． 5．运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型2 通过对完全平方公式变形求值】 6．若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 7．已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 8．已知，则的值为 ． 9．已知，则 ． 10．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【题型3 完全平方公式在几何图形中的应用】 11．如图，将一个正方形分成面积为、、、四部分，则原正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 12．晓静拿来甲、乙两张大小不同的正方形纸片．她将这两张正方形纸片并列放置后先构造新的长方形得到图1，然后又构造新的正方形得到图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和20，则乙正方形的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 13．如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则 ． 14．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． (1)求绿化区域的面积（用含的式子表示）． (2)当时，求绿化区域的面积． 15．综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【题型4 运用平方差公式进行运算】 16．下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 17．两个连续奇数的平方差一定是（    ） A．5的倍数 B．6的倍数 C．7的倍数 D．8的倍数 18．计算：，则 ． 19．若，，则的值为 ． 20．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【题型5 平方差公式与几何图形】 21．（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 22．（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 23．如图①，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若将图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图②所示的一个长方形． (1)根据这两个图形的面积关系，可以得到一个乘法公式为：_____； (2)利用你得到的公式计算：； (3)若将图①中边长为的大正方形南北向减少2，东西向增加2，可得到一个长方形，如图③，则这个长方形的面积是_____． 24．将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若，求图中阴影部分的总面积． 25．如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 26．若多项式是完全平方式，则m的值为（   ） A． B．25 C． D． 27．已知多项式是一个完全平方式，则m的值是（） A．4 B． C． D．8 28．如果多项式是一个完全平方式，则的值是 ． 29．若是完全平方式，则 ． 30．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【题型7 乘法公式的新定义运算】 31．在有理数范围内定义一种新运算，规定 (1)求 (2)当时，求的值 32．定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”． 任务：根据上述材料，推理下面的结论． 求证： (1)任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方． (2)连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 33．定义一种新运算“”，对于任意，都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：． (1)求的值； (2)计算； (3)这种运算是否满足交换律？请说明理由． 34．新概念应用题 定义：如果一个实数的平方等于它的立方，那么这个实数叫做 “和谐数”． (1)求所有“和谐数”； (2)若是“和谐数”，求代数式值． 35．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 1．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式计算或变形错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．40 4．已知，则代数式的值是 （   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（    ） A．13 B．7 C．－5 D．9 6．如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若 是完全平方公式，则m= 10．若，则代数式的值是 ． 11．若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 12．已知．求 ． 13．如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 14．已知实数，满足，则的平方根是 ． 15．先化简，再求值：，其中，． 16．如图，某广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，两个角上分别有一块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化部分的总面积． 17．综合实践 探究主题 月历中的数学：月历不仅仅是一个记录日期的工具，它还蕴含着许多有趣的数学规律和奥秘．爱学小组借助月历，进行了系列探究，请你随爱学小组一起完成． 计算发现   （1）乐乐用图所示的四个小正方形框住月历中的四个数（如图中的阴影部分），四个小正方形对应位置上的数分别用表示．则 ， ， ． 尝试说理 （2）亮亮多次尝试用图所示的四个小正方形框住月历中任意位置的四个数，发现结果是一个定值．请你设未知数，利用整式运算的有关知识，对这一规律进行说明． 发散提问 （3）晶晶提出了一个新问题：用图中的四个小正方形框住某月月历中的四个数，如图所示，若，请求出的值． 18．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 19．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出之间的等量关系是 ； (2)若，则的值为 ； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ； (4)若，写出的值为 ． 20．阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 完全平方公式与平方差公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）计算：的结果是 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，应用完全平方公式进行展开计算． 【详解】解：． 故答案为． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式展开，然后通过两式相减消去平方项，得到关于的等式化简即可得到答案． 【详解】解：①， ②， 由①②得， 即， 解得， 故答案为：． 知识点2 ：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【即学即练】 3．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式与几何综合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由题意得，，，则根据即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【答案】(1) (2)；② 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 知识点3 ：完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 【即学即练】 5．（24-25七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·四川雅安·月考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 知识点4 ：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【即学即练】 7．（25-26七年级下·安徽池州·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先利用完全平方公式和平方差公式化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 知识点5 ：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【即学即练】 9．（25-26七年级下·安徽铜陵·期中）（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据等积法可进行求解； （2）①由题意易得，然后代入进行求解即可； ②根据平方差公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为； （2）①， ， ， ； ② ． 10．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． ​ (1)通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______________； (2)利用上述乘法公式计算：； 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查乘法公式的探究，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）计算两个图形的面积，利用面积相等得到等式，从而得到公式． （2）利用乘法公式拆分平方差计算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵两个图形的面积相等，右侧等腰梯形的高为大小正方形边长之差， ∴左侧图形面积为大小正方形面积之差，即； 右侧等腰梯形面积为， ∴． （2）解： ． 【题型1 运用完全平方公式进行运算】 1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握将对称数表示为中间数±差值，利用完全平方公式简化平方和计算是解题的关键． 将和分别表示为和，利用完全平方公式计算平方和． 【详解】解：设，则， ∵， ∴代入得， 故选：D． 3．如果，那么 ． 【答案】4 【分析】此题考查了完全平方公式，代数式求值， 首先由得到，然后将所求代数式通过完全平方公式变形，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 4．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过观察表达式结构，将其转化为完全平方形式以简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1. 5．运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【题型2 通过对完全平方公式变形求值】 6．若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：∵，又∵，， ∴； 故选D 7．已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式变形求值，是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件平方后展开，即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 8．已知，则的值为 ． 【答案】 22 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．根据完全平方公式得出，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 9．已知，则 ． 【答案】14 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 由已知方程变形得到的值，然后利用完全平方公式求解． 【详解】解：由，可知， 两边同除以得， 即． 则， 即， 所以． 故答案为：14． 10．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1) 12 (2) 4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 【题型3 完全平方公式在几何图形中的应用】 11．如图，将一个正方形分成面积为、、、四部分，则原正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何意义，熟练运用完全平方公式是做题的关键．四部分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式即可求得边长． 【详解】解：由题意和图可知，， ∴原正方形的边长为． 故选：A． 12．晓静拿来甲、乙两张大小不同的正方形纸片．她将这两张正方形纸片并列放置后先构造新的长方形得到图1，然后又构造新的正方形得到图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和20，则乙正方形的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，单项式乘以多项式，表示出阴影部分的面积是解题的关键． 设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b，根据图1和图2中阴影部分的面积分别为6和20，列出代数式利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设正方形甲的边长为a，正方形乙的边长为b， 由图1得：，即， 由图2得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴正方形乙的面积为4． 故选：A． 13．如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式与几何综合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由题意得，，，则根据即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 14．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． (1)求绿化区域的面积（用含的式子表示）． (2)当时，求绿化区域的面积． 【答案】(1)平方米 (2)86平方米 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值， 对于（1），根据整式的乘法法则计算； 对于（2），将a，b的值代入计算得出答案． 【详解】（1）解：绿化区域的面积为 ． 答：绿化区域的面积为平方米； （2）解：当时，． 答：绿化区域的面积为86平方米． 15．综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于任务1，根据面积公式计算可得答案； 对于任务2，根据面积相等可得答案； 对于任务3，将数值代入计算即可得出答案． 【详解】解：任务1：大正方形的面积减去4个小长方形的面积；正方形的面积； 故答案为：；； 任务2：根据面积相等得； 故答案为：； 任务3：由上面的结论可知， ∵， ∴原式， ．     所以． 【题型4 运用平方差公式进行运算】 16．下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据判断各选项即可． 【详解】解：A．，为完全平方的相反数，不符合题意； B．，符合题意； C．，无相同项或互为相反数的项，不符合题意； D．，为完全平方的相反数，不符合题意； 故选 ：B． 17．两个连续奇数的平方差一定是（    ） A．5的倍数 B．6的倍数 C．7的倍数 D．8的倍数 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．设两个连续奇数为和（n为整数），计算其平方差并化简，判断倍数关系． 【详解】解：设两个连续奇数为和（n为整数），则平方差为 ． 为整数， 两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 故选：D． 18．计算：，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解决问题的关键．利用平方差公式可知，进而即可求解． 【详解】解：， 又 ， ∴ ，解得 ． 故答案为1． 19．若，，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 20．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)2499 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型5 平方差公式与几何图形】 21．（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据等积法可进行求解； （2）①由题意易得，然后代入进行求解即可； ②根据平方差公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为； （2）①， ， ， ； ② ． 22．（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）1 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知长方形的宽是，长是， 所以面积是； 故答案为：，，； （3）由题意得：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4） ． 23．如图①，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若将图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图②所示的一个长方形． (1)根据这两个图形的面积关系，可以得到一个乘法公式为：_____； (2)利用你得到的公式计算：； (3)若将图①中边长为的大正方形南北向减少2，东西向增加2，可得到一个长方形，如图③，则这个长方形的面积是_____． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的推导，利用平方差公式进行计算，利用面积建立等量关系是解答此题的关键． （1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据长方形面积公式列出算式，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，图1阴影部分的面积为： ， 图2长方形的长为：， 图2长方形的宽为：， 面积为：， ∴可以得到一个乘法公式为：； （2）解： ； （3）解：根据题意得，这个长方形面积为： ． 24．将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若，求图中阴影部分的总面积． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算．利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得大三角形的高为： ，小三角形的高为：， 图中阴影部分的总面积为： ， ， ，即：， 图中阴影部分的总面积为． 25．如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3)287200 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用． （1）用代数式表示图①中两个正方形的面积差即可；图②是长为，宽为，有长方形的面积公式进行解答即可； （2）由（1）中图①、图②阴影部分面积相等即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 26．若多项式是完全平方式，则m的值为（   ） A． B．25 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的定义，多项式应可化为的形式，通过比较系数求解． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ 可设为， 比较系数得：， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 27．已知多项式是一个完全平方式，则m的值是（） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构，直接比较系数求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且和分别为和的平方， ∴该完全平方式应为． ∴． 故选：C． 28．如果多项式是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即或， 解得或； 故答案为：1或 29．若是完全平方式，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项，据此比较系数求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：1或． 30．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 【题型7 乘法公式的新定义运算】 31．在有理数范围内定义一种新运算，规定 (1)求 (2)当时，求的值 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了新定义运算，完全平方公式的运算，多项式乘多项式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，得，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解：由（1）得， 当时，． 32．定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”． 任务：根据上述材料，推理下面的结论． 求证： (1)任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方． (2)连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解新定义， 对于（1），根据新定义可设“邻积数”为，再根据条件可得，然后整理得出结论即可； 对于（2），先表示出两个“邻积数”为，再整理得出答案． 【详解】（1）证明：由题可知，任意“邻积数”乘4，再加1可以表示为． ， 任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方； （2）解：由题可知，两个连续的“邻积数”可以分别表示为． ， 两个连续“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 33．定义一种新运算“”，对于任意，都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：． (1)求的值； (2)计算； (3)这种运算是否满足交换律？请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，平方差公式，单项式乘以多项式，准确理解题意中的新定义是解题的关键． （1）根据题意列式进行计算即可； （2）根据题意列式然后利用平方差公式进行计算即可； （3）分别计算和比较求解即可． 【详解】（1）； （2） （3）这种运算不满足交换律，理由如下： ∵和不一定相等 ∴和不一定相等 ∴和不一定相等 ∴这种运算不满足交换律． 34．新概念应用题 定义：如果一个实数的平方等于它的立方，那么这个实数叫做 “和谐数”． (1)求所有“和谐数”； (2)若是“和谐数”，求代数式值． 【答案】(1)0、1 (2)5 或 9 【分析】本题主要考查了平方根和立方根应用，新定义运算，整式化简求值，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据“和谐数”定义进行求解即可； （2）先将整式化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】（1）解：设 “和谐数” 为 ，由得， 即， 解得：或， 故和谐数为 0、1； （2）解： ， 当时，原式， 当时，原式， 故代数式值为：5或9． 35．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 【答案】(1)19 (2)0 (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中计算即可； （3）根据题意，可知，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 1．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 又∵大正方形可看作由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， ∴． 故选：A． 2．下列各式计算或变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、添括号法则、零指数幂和平方差公式，选项A、B、C均正确，选项D的左边利用平方差公式展开后为，与右边不相等． 【详解】解：A、，正确； B、左边 ，与右边相等，正确； C、任何非零数的零次幂等于1，，所以，正确； D、左边，而右边为，两者不相等，故错误． 故选：D． 3．如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查分割法求阴影部分面积，利用完全平方公式变形求值，根据题意得，求出梯形的面积，和得出阴影部分的面积代数式，将代入计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴梯形的面积为， ，， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， 故选C． 4．已知，则代数式的值是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，掌握完全平方公式的运算法则是解题的关键，注意整体思想的运用．先将已知条件变形得到，再将代数式通过完全平方公式变形为，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 5．已知，则的值为（    ） A．13 B．7 C．－5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入求值是关键． 通过简化给定方程得到 ，整体代入求值即可． 【详解】解：∵ 展开得 简化得 ∴ 又∵ ∴当时，原式 故选：A． 6．如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 根据得到，根据得到，结合求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式的应用，正确识图是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为,,且，根据图形作答即可． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为,,且， 由甲得：， 由乙得：， ∴，． 由丙得知：， 故选：A． 8．已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式及应用，熟记完全平方公式是解题的关键．利用恒等式将原式转化为平方和形式，结合的差值计算． 【详解】解： ，，， ， ， ， ∴原式=． 故选：C． 9．若 是完全平方公式，则m= 【答案】±4 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的结构特征，根据常数项确定的值，再根据中间项系数求，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是完全平方公式， 所以它可以写成， 比较系数，得， 所以， 故答案为：． 10．若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等，掌握降幂求解是解题的关键． 先将进行化简，再对进行降幂求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 【详解】设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． 12．已知．求 ． 【答案】 34 【分析】本题考查完全平方公式的应用，能够熟练运用完全平方公式是解题关键； 由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 即 ． 则 ． 故答案为： 34． 13．如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用． 六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴ ∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ． ∵正方形与六边形面积相等： ∴ ∴． 故答案为：． 14．已知实数，满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查配方，完全平方公式；通过配方将方程转化为两个完全平方和的形式，利用非负性求出m和n的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 15．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 16．如图，某广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，两个角上分别有一块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、乘法公式、求代数式的值． (1)根据多项式乘多项式的法则和完全平方公式把多项式展开，再合并同类项； (2)把字母、的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】（1）解： （平方米）， 绿化部分的总面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 绿化部分的总面积为平方米． 17．综合实践 探究主题 月历中的数学：月历不仅仅是一个记录日期的工具，它还蕴含着许多有趣的数学规律和奥秘．爱学小组借助月历，进行了系列探究，请你随爱学小组一起完成． 计算发现   （1）乐乐用图所示的四个小正方形框住月历中的四个数（如图中的阴影部分），四个小正方形对应位置上的数分别用表示．则 ， ， ． 尝试说理 （2）亮亮多次尝试用图所示的四个小正方形框住月历中任意位置的四个数，发现结果是一个定值．请你设未知数，利用整式运算的有关知识，对这一规律进行说明． 发散提问 （3）晶晶提出了一个新问题：用图中的四个小正方形框住某月月历中的四个数，如图所示，若，请求出的值． 【答案】（），，；（）的结果是定值，说明见解析；（）的值分别为． 【分析】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，列代数式，解二元一次方程组等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图所示的四个小正方形框住月历中的四个数关系即可求解； （）设，则，，，然后代入即可求解； （）由，，则，从而求得，然后联立，解得即可． 【详解】解：（）根据题意可得：，， ∴， 故答案为：， ，； （）设，则，，， ， ∴的结果是定值； （）∵，， ∴， ∵， ∴（负值已舍去）， 联立，解得：， ∴，， 答：的值分别为． 18．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 19．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出之间的等量关系是 ； (2)若，则的值为 ； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ； (4)若，写出的值为 ． 【答案】(1) (2)22 (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的应用，观察图形，正确表示出图形的面积是解题关键． （1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）利用（1）中得到的等式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，表示出正方形的面积，正方形的面积，的面积，再利用（1）中的等式进行计算即可； （4）设，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ∴， 故答案为：． （2）解：∵由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积和正方形的面积为， ∴的面积为：，故， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【答案】(1)5，1 (2)124 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，则，据此可得第一空答案，再由可得第二空答案； （2）根据完全平方公式可得，再根据已知条件求解即可； （3）根据题意可求出，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴，即， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $