第03讲 不等式及其基本性质（3个知识点+9个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪科版

第03讲 不等式及其基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点2 ：不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 4．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）写出一个解集为的不等式： ． 知识点3 ：不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 【即时训练】 5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则下列不等式成立的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【题型1 不等式的定义】 1．以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 3．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 4．“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 5．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【题型2 列不等式】 6．贵阳某日最高气温是，最低气温是，则贵阳当日气温（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 7．“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 8．用不等式表示“与的平方和不小于它俩积的两倍”为 9．用不等式表示“的平方与的平方之差是非负数”为 ． 10．用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 【题型3 不等式的解集】 11．下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 12．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 13．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 15．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【题型4 根据不等式的性质判断式子的变形情况】 16．有下列变形：①由得；②由得；③由得；④由得，其中变形一定正确且使用了“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”这一不等式基本性质的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 17．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 18．在下列不等式的变形后面填上依据：   (1)如果a-3>-3,那么a>0； .   (2)如果3a<6,那么a<2； .   (3)如果-a>4,那么a<-4. . 19．根据不等式有基本性质，将变形为，则的取值范围是 ． 20．将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 利用不等式的性质比较大小】 21．已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 22．当时，、x、的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 23．比较大小： ， 1（填“”或“”） 24．比较大小：已知，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 25．阅读与思考 下面是小敏同学撰写的一则数学小论文，请你认真阅读并完成下列任务． 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．代数推理侧重于数与式、方程与不等式、函数等相关内容的运算、变形、证明，抽象程度较高，并且不同的代数推理中涵盖不同的推理思想．其中，方程与不等式的推理是初中代数推理的重要组成部分，我们运用代数推理技巧，对方程或不等式进行变形和化简，以便找到解或解集，也可用来比较代数式的大小．下面是我的推理过程： 我利用不等式的基本性质推理如下： 例 （1）已知，试比较与的大小． 解：，， ．（依据1） ．（依据2） （2）已知，，试比较与的大小． 解：， ． 又， ． ． 任务： (1)上面小论文中的“依据1”是________，“依据2”是________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比材料中（2）的推理方法，比较与的大小． 【题型6 不等式定义与实际问题】 26．用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 27．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 28．制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为，方案二总面积记为，试确定与的大小关系． 29．李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． (1)若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） (2)若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 30．果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 【题型7 利用不等式的性质解不等式】 31．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1) (2) 32．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 33．将下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)． 34．根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)． 35．阅读下列材料： 问题：已知，且，试确定的取值范围． 解：，， 又，，， 又，① 即②， ①+②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知，且， (1)试确定y的取值范围． (2)试确定的取值范围 【拓展训练一 不等式的性质综合】 36．已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 37．下列四个判断：其中正确的有（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 39．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 40．阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【拓展训练二 比较式子的大小】 41．某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 42．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 43．据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 44．已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 45．阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）若，则下列不等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列式子变形正确的是(  ) A．由 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知，根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知实数满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）已知实数x，y，z满足．若，则的最大值为（   ） A．19 B．26 C．21 D．30 8．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若，则 （填或）． 9．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）比大且比小的整数是 ． 10．（25-26七年级下·安徽宣城·期中）如果，则 （用“＞”或“＜”填空） 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数x，y满足，，设，则t的取值范围为： ． 12．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）若，比较与的大小关系，并说明理由． 13．（25-26七年级下·全国·专题练习）已知，请用“>”或“<”填空： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 14．（25-26七年级下·全国·专题练习）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 15．（25-26七年级下·全国·专项练习）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（25-26七年级下·全国·专题练习）某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 17．当时，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） (1)∵，， ∴ （不等式的基本性质3） ∴ （不等式的基本性质2） (2)若，则的取值范围为 ．（直接写出答案） 18．小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴．② ∴．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的解题过程． 19．【阅读材料】两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数和比较大小，那么当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也对，即当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【问题情境】制作某产品有两种用料方案，方案：用块型钢板，块型钢板；方案：用块型钢板，块型钢板；已知型钢板的面积比型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 20．果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 不等式及其基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是等式，故不符合题意； 、是不等式，故符合题意； 、是代数式，不是不等式，故不符合题意； 、是等式，故不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 知识点2 ：不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 【即时训练】 3．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 4．（24-25七年级下·安徽·阶段练习）写出一个解集为的不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的性质和解法，要构造解集为 的不等式，可以逆向思考：从结果出发，通过合理的变形得到不等式． 【详解】解：∵， 解得：， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 知识点3 ：不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 【即时训练】 5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则下列不等式成立的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】④⑥ 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①∵，若，则，故该项不成立； ②∵，∴，故该项不成立； ③∵，∴，故该项不成立； ④∵，∴，故该项成立； ⑤∵，若取，满足，但此时，有，故该项不成立； ⑥∵，∴，故该项成立； ⑦∵ ，∴ ，故该项不成立； 故答案为：④⑥． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【题型1 不等式的定义】 1．以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 2．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 3．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 4．“a与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． “a与1的差”表示为，“小于”用<表示，“b的2025倍”表示为． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 5．用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为，“与3的和”表示再加上3，即，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为，“与1的差”表示减去1，即，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“与1的和”表示为，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“”连接，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 【题型2 列不等式】 6．贵阳某日最高气温是，最低气温是，则贵阳当日气温（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用不等式表示实际问题，解题的关键是理解题意． 根据题意，将其转化为数学式子表示即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，气温介于最低和最高温度之间，包含临界温度， ∴， 故选：A． 7．“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：， 故选：A． 8．用不等式表示“与的平方和不小于它俩积的两倍”为 【答案】 【分析】此题主要考查了列不等式，根据已知得出两数的平方和及两数的积是解题关键．实际问题抽象出不等式，根据已知表示出两数a，b的平方和，进而得出这两数的积的两倍，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 9．用不等式表示“的平方与的平方之差是非负数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x的平方与的平方之差是非负数”，即“x与a的平方差大于等于0”即可． 【详解】解：x的平方与的平方之差是非负数可表示为：， 故答案为：． 10．用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． （1）a的5倍加上b表示为，小于2表示为，进而可得出； （2）m的与n的的和表示为，非负数表示为，进而可得出； （3）x的2倍减去x的表示为，不大于11表示为，进而可列出． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：； （3）解：根据题意得：． 【题型3 不等式的解集】 11．下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 12．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 13．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 14．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 15．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解的定义去判定即可． 【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误； ②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误； ③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确； ④不等式的解集是，故说法正确． 综上所述：正确的有③④ 故答案为：③④． 【题型4 根据不等式的性质判断式子的变形情况】 16．有下列变形：①由得；②由得；③由得；④由得，其中变形一定正确且使用了“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”这一不等式基本性质的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据不等式的性质进行解答． 【详解】①由a＞b的两边同时加上c，得a+c＞b+c，故①不符合题意； ②由a＞b的两边同时乘以5，得5a＞5b，故②符合题意； ③由a＞b的两边同时乘以-8，不等号的方向改变，即-8a＜-8b，故③不符合题意； ④由a＞b的两边同时乘以c，此时c的正负无法确定，故④不符合题意． 符合题意的是②， 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质： （1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 17．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；乘或除同一个正数，不等号方向不变；乘或除同一个负数，不等号方向改变，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴与的大小关系不确定，故该选项不符合题意； B、∵，∴，∴，故该选项符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故该选项不符合题意； 故选：B 18．在下列不等式的变形后面填上依据：   (1)如果a-3>-3,那么a>0； .   (2)如果3a<6,那么a<2； .   (3)如果-a>4,那么a<-4. . 【答案】 不等式的性质1 不等式的性质2 不等式的性质3 【详解】试题解析：（1）如果，那么 根据的是不等式的性质1； （2）如果，那么，根据的是不等式的性质2； （3）如果，那么，根据的是不等式的性质3. 故答案为不等式的性质1；不等式的性质2；不等式的性质3. 19．根据不等式有基本性质，将变形为，则的取值范围是 ． 【答案】m＜2 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】依题意得m-2＜0 解得m＜2 故答案为：m＜2． 【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质． 20．将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 (4)，见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可； （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 则不等式的两边同时加上，不等号方向不变，得到， （2）解： ， 则不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （3）解： ， 不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （4）解： ， 则不等式的两边同时减去，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，得到． 【题型5 利用不等式的性质比较大小】 21．已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先在的两边同乘以，变号，再在此基础上同减去3，不变号，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 22．当时，、x、的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分别在不等式两边同时乘上和同时除以即可进行判断． 【详解】解：当时，在不等式两边同时乘上可得：； 在不等式两边同时除以可得： ∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查不等式的性质．熟记相关结论是解题关键． 23．比较大小： ， 1（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，无理数的估算，以及实数比较大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得，即；因为，则，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：， 24．比较大小：已知，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的三个性质是关键．由不等式的性质：两边同时乘以得，两边同时加1得． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 25．阅读与思考 下面是小敏同学撰写的一则数学小论文，请你认真阅读并完成下列任务． 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．代数推理侧重于数与式、方程与不等式、函数等相关内容的运算、变形、证明，抽象程度较高，并且不同的代数推理中涵盖不同的推理思想．其中，方程与不等式的推理是初中代数推理的重要组成部分，我们运用代数推理技巧，对方程或不等式进行变形和化简，以便找到解或解集，也可用来比较代数式的大小．下面是我的推理过程： 我利用不等式的基本性质推理如下： 例 （1）已知，试比较与的大小． 解：，， ．（依据1） ．（依据2） （2）已知，，试比较与的大小． 解：， ． 又， ． ． 任务： (1)上面小论文中的“依据1”是________，“依据2”是________； (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比材料中（2）的推理方法，比较与的大小． 【答案】(1)依据1：不等式的基本性质3；依据2：不等式的基本性质1 (2) 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：依据1：不等式的基本性质3［或如果，并且，那么，或不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变］ 依据2：不等式的基本性质1［或如果，那么，或不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变］； （2）解：，， ． ，， ． ． 【题型6 不等式定义与实际问题】 26．用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 27．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 28．制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为，方案二总面积记为，试确定与的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，列代数式，整式的加减混合运算，先设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，依题意，得，分别表示出，，列式化简得，即可作答． 【详解】解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y， ∵每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小 ∴． ∵方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板， ∴用式子表示为：； ∵方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板， ∴用式子表示为：． 则， ∵， ∴． 即． 29．李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． (1)若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） (2)若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 【答案】(1)他获利元； (2)他这次买卖是赚钱了，理由见解析． 【分析】此题主要考查了列代数式以及整式的加减运算，正确表示出获利是解题关键． （1）利用进价与利润之间的关系得出总的利润即可； （2）利用已知表示出总的出售钱数再减去总的进价，求出利润，进而得出答案． 【详解】（1）解： 答：他获利元． （2）解： ∵， ∴， 答：他这次买卖是赚钱了． 30．果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，不等式的性质． （1）根据题意列代数式即可； （2）利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】（1）由题意得元，元， 故答案为：，； （2），理由如下： ， ， ， ． 【题型7 利用不等式的性质解不等式】 31．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，注意不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）不等式两边先同时加1，然后不等式两边同时除以2即可； （2）不等式两边同时除以即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都加上即可求解； （2）把不等式化为：，再进一步利用不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 33．将下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查不等式的性质，掌握性质是解决问题的关键． （1）不等式两边同时减去即可, （2）不等式两边同时乘即可, （3）不等式两边同时减去，整理后不等式两边同时除以4即可． 【详解】（1）解：不等式两边同时减去，解得； （2）不等式两边同时乘， 得， 整理得：； （3）不等式两边同时减去， 得， 整理得， 不等式两边同时除以4，得． 34．根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）利用不等式的性质1：先两边同减去，再两边同加上3，由此即可得； （2）利用不等式的性质1：先两边同减去，再两边同加上4，然后利用不等式的性质3：两边同乘以，由此即可得． 【详解】（1）解：， ，即， ，即． （2）解：， ，即， ，即， ，即． 35．阅读下列材料： 问题：已知，且，试确定的取值范围． 解：，， 又，，， 又，① 即②， ①+②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知，且， (1)试确定y的取值范围． (2)试确定的取值范围 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的性质，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键． （1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值； （2）由（1）得，进而求得，即，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是． 【拓展训练一 不等式的性质综合】 36．已知三个实数，，满足，． (1)证明：． (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查不等式的基本性质： （1）根据和即可求得答案； （2）根据，可变形得到，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 37．下列四个判断：其中正确的有（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断每个命题的正确性，注意乘除运算中正负号对不等式方向的影响. 本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ① ∵，且 ，但不等式成立时 （否则 ，矛盾）， ∴ ， 两边同除以 得 ，正确. ② ∵ 若 ，则 ，有 ，此时 不成立，错误. ③ ∵，两边加 2 得 ，正确. ④ ∵，两边乘 （负数），不等式方向改变，得 ，正确. 综上，正确命题有 3 个. 故选：C． 38．如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)，， ， (2)②④，证明见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质填空； （2）根据两个负数，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴ ． ∴ ． 故答案为：，， ，； （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：②④． 39．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【答案】④ 【分析】本题考查不等式的基本性质（不等式两边除以同一个数时，需考虑数的正负性），熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 分析每一步推理是否遵循不等式两边除以一个数时“除数不能为0且需考虑正负对不等号方向的影响”这一基本法则． 【详解】第一步：根据命题条件直接得出，这是对条件的直接引用，严谨． 第二步：将移项得到，移项法则应用正确，严谨． 第三步：对因式分解为，因式分解法则应用正确，严谨． 第四步：在两边除以时，没有考虑的正负性．根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变．但此处未分析是正还是负，直接除以，推理不严谨． 第五步：由移项得到，移项法则应用正确，但因第四步不严谨，导致结论错误． 综上，上述推理过程中，第四步是不严谨的． 故答案为④． 40．阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 【分析】本题主要考查基本不等式的应用，利用平方根的含义解方程，解题的关键是运用题中，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号． （1）当时，按照公式（当且仅当时取到等号）来计算即可． （2）当时，则，则也可以按公式（当且仅当时取到等号）来计算． （3）设，，则，再照公式（当且仅当时取到等号）来计算求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，的最小值为6． （2）解：∵， ∴， ， 当时，式子的最小值为． （3）解：设，， 则，欲使最小， ， ， 当且仅当时取得等号， 由， 解得或（舍去） 即为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 【拓展训练二 比较式子的大小】 41．某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 【答案】(1)①② (2)； (3) 【分析】本题考查有理数大小比较，解题的关键是掌握不等式的性质． （1）根据表格填空即可； （2）观察表格规律可得答案； （3）求出，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：由得； 由得； 故答案为：，； （2）解：若，则，若，则； 故答案为：，； （3）解：； 任意实数a， ． 42．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 43．据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两个数大小的方法． 若，则； 若，则； 若，则． 反之也成立． 这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)若，则______；填“”“”“” (2)若，，试比较，的大小； (3)请运用“作差法”解决下面的问题： 截至年月日中午，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破亿，强势跻身全球影史票房榜第五位，成为首部冲入该榜单前十的亚洲动画电影电影中哪吒的法宝更是不胜枚举，其中乾坤圈和火尖枪尤为厉害． 若个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为；个乾坤圈，个火尖枪的总重量记为，每个乾坤圈的重量比每个火尖枪的重量小，试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）将与作差并计算，然后结合已知条件进行判断即可； （2）将与作差并计算，然后将结果与比较大小即可； （3）设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且，则，，将它们作差并计算，然后将结果与比较大小即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ； （3）解：设每个乾坤圈的重量为，每个火尖枪的重量为，且， 则，， ， ． 44．已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）运用不等式的性质进行计算求解； （2）运用不等式的性质和作差法进行比较、求解． 此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴． 45．阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）． 依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得： 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）若，则下列不等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，逐一判断即可． 【详解】解：， A、应为，根据不等式的性质3，不等式的两边同时乘以，不等号的方向改变，故本选项不成立，符合题意； B、，根据不等式的性质1，不等式的两边同加上3得，则成立，故本选项不符合题意； C、，根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以3，不等号的方向不变，故本选项成立，不符合题意； D、，根据不等式的性质3，不等式的两边同乘以，不等号的方向改变，故本选项成立，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列式子变形正确的是(  ) A．由 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质和不等式的性质．根据等式的性质和不等式的性质，等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A. 由，故该选项不正确，不符合题意；     B. 由，得，故该选项不正确，不符合题意； C. 由 ，得，故该选项正确，符合题意； D. 由，得 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知，根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 【详解】解：A、若，则，故此选项不符合题意； B、若，则，故此选项不符合题意； C、若，则，故此选项符合题意； D、若，则，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，与之和可表示为：；与之和的平方可表示为；不大于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． 5．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根此题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质：不等式的两边加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，是解题的关键．根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：∵， A、若，则，若，则，若，则，故A选项错误； B、若，则，故选项B错误； C、若，则，故选项C错误； D、，则，故选项D正确； 故选：D． 6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知实数满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 错误， 故选项A不符合题意； ，， 当时，，当时，， ， 错误， 故选项B不符合题意； ， 当时，，当时，， ， 错误， 故选项C不符合题意； ， 当时，，当时，， ， 正确， 故选项D不符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）已知实数x，y，z满足．若，则的最大值为（   ） A．19 B．26 C．21 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据已知等式，得到，，再由得到，求出，再由即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为19， 故选：A． 8．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若，则 （填或）． 【答案】 【分析】根据不等式的性质1解答即可． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由， 故， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）比大且比小的整数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义结合不等式的性质估算无理数和的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴比大且比小的整数是2， 故答案为：2． 10．（25-26七年级下·安徽宣城·期中）如果，则 （用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质.在不等式的左右两边同时加上或减去同一个数，则不等式成立；在不等式的左右两边同时乘以或除以同一个正数，则不等式成立；在不等式的左右两边同时乘以或除以同一个负数，则不等式的符号需要改变. 【详解】因为 所以 所以 故答案为 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数x，y满足，，设，则t的取值范围为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，等式的性质．根据，可得，从而得到，再由，可求出y的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为： 12．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）若，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据不等式的基本性质判断即可． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·全国·专题练习）已知，请用“>”或“<”填空： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 【答案】(1)< (2)< (3)> (4)> 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质2进行作答即可； （3）运用不等式的性质3进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 14．（25-26七年级下·全国·专题练习）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 15．（25-26七年级下·全国·专项练习）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴由不等式的性质1得： ∴； （2）解：∵， ∴由不等式的性质1得： ∴； （3）解：∵， ∴由不等式的性质2得： ∴； （4）解：∵， ∴由不等式的性质3得： ∴． 16．（25-26七年级下·全国·专题练习）某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 17．当时，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） (1)∵，， ∴ （不等式的基本性质3） ∴ （不等式的基本性质2） (2)若，则的取值范围为 ．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 对于（1），先根据不等式两边都乘以，改变符号可得答案，再根据不等式两边都加上5，不改变符号得出答案； 对于（2），根据不等式两边都乘以负数时，不等号的方向改变可知，求出解集即可． 【详解】（1）解：∵， ∴（不等式基本性质3）， ∴（不等式基本性质2）； 故答案为：； （2）解：∵ ∴，且， 解得． 故答案为：． 18．小华在学习了“不等式的基本性质”后自主完成了一道题，老师批改结果为“错误”，请你作为他的同学帮助他一起完成订正． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴．② ∴．③ (1)小华的解题过程中，从步骤______开始出现错误（填写序号）； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握不等式的基本性质． （1）根据不等式的基本性质求解； （2）利用不等式的基本性质求解． 【详解】（1）解：根据不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，可得上述解题过程中，从步骤②开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：∵， ∴． ∴． 19．【阅读材料】两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数和比较大小，那么当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也对，即当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【问题情境】制作某产品有两种用料方案，方案：用块型钢板，块型钢板；方案：用块型钢板，块型钢板；已知型钢板的面积比型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查了整式的加减，不等式的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． 设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 利用作差法进行比较，即可解答． 【详解】解：设型钢板的面积为，型钢板的面积为， 根据题意： 方案1所用钢板面积为：，方案2所用钢板面积为：， ∵， 且， ∴， ∴从省料角度考虑，应选方案2． 20．果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，不等式的性质． （1）根据题意列代数式即可； （2）利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】（1）由题意得元，元， 故答案为：，； （2），理由如下： ， ， ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $