寒假作业13 函数的性质应用（8大题型）（巩固培优）高一数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 函数的性质的应用 1. 常见奇、偶函数 (1) 奇函数: . (2)偶函数: . 2. 周期性 周期性结论 若 ,则正周期 若 ,则 若 ,则 3. 对称性 对称性 轴对称 中心对称 图象表示 数学语言 双对称的 周期性结论 若 有两条对称轴 ,则 若 有两个对称中心 ,则 若 有一条对称轴 ,一个对称中心(b,0),则 4、抽象函数 （1）抽象函数：一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法． （2）在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2－x1)表示出来，然后利用题设条件确定f(x2－x1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)＝f(x1·)即可． （3）模特函数及其原型 ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋m，原型为一次函数f(x)＝kx＋b. ②f(x＋y)＝f(x)·f(y)，原型为f(x)＝ax(a>0，且a≠1). ③f(xy)＝f(x)＋f(y)，原型为f(x)＝logax(a>0，且a≠1). 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 具体函数奇偶性求参 1、若 是偶函数,则 _____. 题型二 函数不等式中恒成立或者有解问题 1．已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； 2．若，使的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．方程在区间内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 动轴定区间求最值 1．求关于的二次函数在上的最小值． 2．已知函数. (1)当，时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值. 题型四 定轴动区间求最值 1．已知函数，不等式的解集为，且. (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式. 2．已知函数. (1)若，求函数的最小值和最大值； (2)当，时，求函数的最小值. 题型五 动轴动区间求最值 1．设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式. 题型六 抽象函数满足： 或 1．已知函数满足，当时，，且. (1)求，的值，并判断的单调性并证明； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 2．已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)求证在上是增函数； (3)若，解关于的不等式. 题型七 抽象函数满足： 或 1．函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 2．已知函数满足：①定义域为：②对于任意正数、，；③当时，． (1)求的值； (2)判断的单调性，并说明理由； (3)若，解不等式． 题型八 抽象函数满足： 或 1．在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答此题. ①，.当时，; ②，.当时，; ③，. 且，; 当时，. 问题; 对任意，均满足___________.（填序号） (1)判断并证明的单调性; (2)求不等式的解集. 注; 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 2．①，.当时，；②，.当时，；③，.对，，当时，.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答此题. 问题：对任意，均满足___________. (1)判断的单调性； (2)求不等式的解集. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 一、单选题 1．函数与的图象（    ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 二、多选题 2．已知函数，的定义域均为，且，．若函数为偶函数，且，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C． D．若函数有m个零点，则的零点之和为m 3．设函数的定义域为，且的图象关于成中心对称，，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上为增函数 C．为偶函数 D．方程有且仅有6个实数解 4．已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．已知函数在上最大值为，且最小值为，则 ． 6．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为 四、解答题 7．已知定义在上的函数在上单调递增．为偶函数，且当时，． (1)求在上的解析式； (2)若函数与的值域相同，求实数的值； (3)令，讨论关于的方程的实数根的个数． 8．已知是定义在上的奇函数． (1)判断在定义域上的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)若，，成立，求实数的取值范围． 9．已知函数，，（，且）． (1)记，判断的奇偶性并证明； (2)求关于x的不等式的解集． 10．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 一、单选题 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若在R上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为 C．没有最小值 D．最大值为2 三、填空题 6．函数的值域是 ． 7．设函数，不等式的解集为，若存在，成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 8．已知函数，其中. (1)若不等式对于一切实数均成立，求实数的取值范围； (2)当时，若函数的最大值为，求实数的值. 9．已知二次函数的图像过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式： (2)若在区间上有最小值2，求实数的值： (3)设，若当时，恒成立，求实数的取值范围. 10．已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值. 11．已知定义在上的函数满足对任意的，恒成立.当时，，且. (1)判断的单调性并证明， (2)求不等式的解集. 12．已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 函数的性质的应用 1. 常见奇、偶函数 (1) 奇函数: . (2)偶函数: . 2. 周期性 周期性结论 若 ,则正周期 若 ,则 若 ,则 3. 对称性 对称性 轴对称 中心对称 图象表示 数学语言 双对称的 周期性结论 若 有两条对称轴 ,则 若 有两个对称中心 ,则 若 有一条对称轴 ,一个对称中心(b,0),则 4、抽象函数 （1）抽象函数：一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法． （2）在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2－x1)表示出来，然后利用题设条件确定f(x2－x1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)＝f(x1·)即可． （3）模特函数及其原型 ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋m，原型为一次函数f(x)＝kx＋b. ②f(x＋y)＝f(x)·f(y)，原型为f(x)＝ax(a>0，且a≠1). ③f(xy)＝f(x)＋f(y)，原型为f(x)＝logax(a>0，且a≠1). 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 具体函数奇偶性求参 1、若 是偶函数,则 _____. 解法 1: 偶函数满足 ,于是 , 由此可建立关于 的方程,求出 , 由题意, 的定义域为 , 因为 为偶函数, 所以 上式要对任意的 都成立,应有 ,解得: . 解法 2: 我们知道 为偶函数, 那么可以想象 也为偶函数, 不难发现所给函数的结构与之类似,故可考虑朝此方向变形, 看能否直接用结论求 , 由题意, 要使 为偶函数,应有 , 所以 ,解得: . 答案: 题型二 函数不等式中恒成立或者有解问题 1．已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析； (2)； (3). 【分析】(1)根据单调性的定义证明即可； (2)由已知可得，再根据函数的单调性求的最小值，由此可得实数的取值范围； (3) 由已知可得，再根据函数的单调性求的最大值，由此可得实数的取值范围. 【详解】（1），设， 则， ，，，， 即，所以，即， 则在上单调递减； （2）不等式在上恒成立，即 由（1）得在上为减函数，所以，所以 则的取值范围为； （3）存在，使得不等式成立，即不等式在上有解，则 由（1）得在上为减函数，所以，所以， 则的取值范围为. 2．若，使的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在上最大值即得结果. 【详解】不等式，等价于， 依题意，，恒成立， 而函数在上单调递增，当时，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C 3．方程在区间内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对等式进行常变量分离，结合对钩函数的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 设，当时，函数单调递增， 所以， 要想方程在区间内有解， 只需， 故选：D 题型三 动轴定区间求最值 1．求关于的二次函数在上的最小值． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得函数在上的最小值. 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为， 当时，二次函数在上单调递增， 所以. 当时，. 当时，二次函数在上单调递减， 所以. 综上所述，. 2．已知函数. (1)当，时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）配方后利用二次函数性质求解可得； （2）根据对称轴位置分和讨论最大值，由最大值为1列方程即可求解. 【详解】（1）当时，， 故当时，由二次函数性质可知，， （2）函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时， ，解得，满足题意； ②当时，即当时， ，解得，不满足题意. 综上所述，. 题型四 定轴动区间求最值 1．已知函数，不等式的解集为，且. (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意分析可得且0和2为方程的两个根，结合韦达定理运算求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数对称性运算求解. 【详解】（1）因为函数，不等式的解集为， 所以且0和2为方程的两个根， 则有，解得，， 又因为，则，可得，， 所以. （2）因为，图象开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增， 所以； ②当，即时，函数的对称轴在区间内， 故； ③当，即时，函数在上单调递减， 所以； 综上所述：. 2．已知函数. (1)若，求函数的最小值和最大值； (2)当，时，求函数的最小值. 【答案】(1)， (2)答案不唯一，详见解析 【分析】（1）直接根据二次函数性质计算得到最值. （2）考虑，，三种情况，根据二次函数的单调性计算得到最值. 【详解】（1），， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ，. （2）当，即时，函数在单调递减， ； 当，即时，函数在单调递减，在上单调递增， ； 当时，函数在单调递增，； 综上所述： 当时，； 当时， 当时，； 题型五 动轴动区间求最值 1．设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式. 【答案】， 【分析】结合二次函数对称轴，分，，和四种情况，得到答案. 【详解】函数的顶点坐标为，开口向上，对称轴为， 分以下四种情况求最值： ①当，即时，在上单调递增， 所以，； ②当，即时， 此时在上单调递减，在单调递增，且， 所以，； ③当，即时， 在上单调递减，在单调递增，且， 所以， ④当，即时，在上单调递减， 所以，； 综上知，在的最大值与最小值分别为： ，. 题型六 抽象函数满足： 或 1．已知函数满足，当时，，且. (1)求，的值，并判断的单调性并证明； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，，在上为增函数，证明见解析(2) 【分析】（1）赋值法求出，的值，并利用单调性的定义证明； （2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可. 【详解】（1）令，得，得 令，得，得 设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以 因为，所以，所以， 因此 即在上为增函数 （2）因为， ，即 又，所以 又因为在上为增函数，所以在上恒成立 得在上恒成立 即在上恒成立 因为，当时，取最小值，所以， 即时满足题意. 2．已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)求证在上是增函数； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1),证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造即可；（3）运用题干的等式，求出，结合（2）的单调性即可. 【详解】（1）令，得. ，所以函数为奇函数； （2）证明：在R上任取，则，所以. 又， 所以函数在R上是增函数. （3）由，得，. 由得. 因为函数在R上是增函数， 所以，解得或. 故原不等式的解集为或. 题型七 抽象函数满足： 或 1．函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明； （2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解. 【详解】（1）设，且， 则，， 因为， 所以， 即为减函数. （2）因为， 所以， 令，则，即， 所以， 又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 2．已知函数满足：①定义域为：②对于任意正数、，；③当时，． (1)求的值； (2)判断的单调性，并说明理由； (3)若，解不等式． 【答案】(1) (2)减函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）在等式中，令可得出的值； （2）任取、，且，则，判断出的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）计算得出，将所求不等式变形为，根据函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得原不等式的解集. 【详解】（1）解：令，则. （2）解：函数在上为减函数，理由如下： 任取、，且，则， ∴，即， ∴在上为减函数. （3）解：令，，则， 即，∴， 则不等式可化为：， 由（2）知，原不等式等价于，解得：， ∴不等式的解集为：. 题型八 抽象函数满足： 或 1．在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答此题. ①，.当时，; ②，.当时，; ③，. 且，; 当时，. 问题; 对任意，均满足___________.（填序号） (1)判断并证明的单调性; (2)求不等式的解集. 注; 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)增函数 (2)答案见解析 【分析】（1）根据单调性的定义法，证明单调性即可； （2）根据单调性，列出相应的不等式，解不等式方程可得答案. 【详解】（1）若选①：设，且，则，所以. 由得， 所以，， 所以，，所以在上是增函数; 若选②：设，且.则，所以. 由得， 所以，所以，所以f（x）在上是增函数; 若选③：设，且，则，所以. 由得，， 又，所以>，所以函数为上的增函数; （2）若选①：由得， 所以，可化为， 根据的单调性，得，解得，所以不等式的解集为. 若选②：令，则，所以可化为，根据的单调性，得，解得，所以不等式的解集为. 若选③：由得，， 所以可化为，根据的单调性，得， 解得，所以不等式的解集为. 2．①，.当时，；②，.当时，；③，.对，，当时，.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答此题. 问题：对任意，均满足___________. (1)判断的单调性； (2)求不等式的解集. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)增函数 (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合所选抽象函数的性质证明即可； （2）根据所选，利用抽象函数性质赋值求出对应的自变量，结合单调性即可得解. 【详解】（1）若选①：设，且， 则，所以. 由得， 所以， 所以， 所以在上是增函数. 若选②：设，且. 则，所以. 由得， 所以， 所以， 所以在上是增函数. 若选③：设，且， 则，所以. 由得， ， 又，所以>， 所以函数为上的增函数. （2）选①，由得， 所以可化为， 根据的单调性，得， 解得， 所以不等式的解集为. 若选②，令，则， 所以可化为， 根据的单调性，得， 解得， 所以不等式的解集为. 若选③，由得， ， 所以可化为， 根据的单调性，得， 解得， 所以不等式的解集为. 一、单选题 1．函数与的图象（    ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】设点在的图象上，可求出点在函数图象上，分析两点的位置关系即可求解． 【详解】设点在的图象上，则， 又，说明点在的图象上， 点与点关于对称， 所以函数与的图象关于直线对称． 故选：B． 二、多选题 2．已知函数，的定义域均为，且，．若函数为偶函数，且，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C． D．若函数有m个零点，则的零点之和为m 【答案】ABD 【分析】利用函数的性质分析已知抽象函数，求出的对称轴，判断选项A、B，分析得出函数的周期，利用函数周期性计算，判断选项C，利用函数对称性分析选项D． 【详解】函数为偶函数，， 把替换为，则，关于对称，故A正确； ，把替换为得， ，把替换为得， ，故， 函数的图象关于对称，故B正确； ，把替换为得， 代入，可得， 关于点对称，也即， ，，把替换为得， ，周期， ，关于对称，， ，则，解得， 令，则， ，令，则， ，解得， 令，则，解得， ， ， ， ，故C错误； ，把替换为得， ，， 函数的图象关于点对称， 图象也关于点对称， 设有m个零点，共有对关于对称， 的零点之和为，故D正确． 故选：ABD． 3．设函数的定义域为，且的图象关于成中心对称，，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上为增函数 C．为偶函数 D．方程有且仅有6个实数解 【答案】BCD 【分析】根据图象关于中心对称和，得出函数的周期，画出图像，然后检验选项. 【详解】已知定义域为，图象关于中心对称得，， 由与，得， 令，则，，故， 进而，即是周期为 8 的周期函数. 如图； 选项A，由周期可得， 由中心对称， , 由对称轴， , 代入解析式， ， 故，所以A 错误. 选项B，由周期与对称性，对应平移，由图像可得上单调递增，所以B正确. 选项C，由图像可得，关于对称，所以为偶函数，所以C正确. 选项D，方程，即()，由图像可得，总计6个解，所以D正确. 故选：BCD. 4．已知为的导函数，两个函数的定义域均为，为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的奇偶性和周期性，结合导数的性质及赋值法，对选项进行分析判断． 【详解】为奇函数，为偶函数， ，， 令，则，解得， 是偶函数，，选项A正确； ，且， ，故的周期， ，但的值不确定，故选项B不一定正确； 是偶函数，，，即， 为奇函数，故，故选项C正确； 令，则， ，为奇函数，满足题设条件； ，，故D不一定正确； 故选：AC． 三、填空题 5．已知函数在上最大值为，且最小值为，则 ． 【答案】 【分析】结合函数是奇函数，得到满足关系式，可知图象关于点中心对称，由对称性知，故只需求的值即可. 【详解】由题意，函数的图象在连续不断， 由区间关于原点对称，且对任意， 都有 ， 故， 所以函数的图象关于点中心对称， 由对称性可知，函数的图象在内的最大值点与最小值点关于中心对称， 故，所以 故答案为：. 6．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为 【答案】/ 【分析】利用分参法及函数的单调性求解 【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①， 所以，②， ①②两式联立可得，. 由可得， 可得， 令，其中， 任取、且，则， 所以， ， 当时，，，则,故， 当时，，，则，故， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数，则， 故，即，故的最大值为. 故答案为： 四、解答题 7．已知定义在上的函数在上单调递增．为偶函数，且当时，． (1)求在上的解析式； (2)若函数与的值域相同，求实数的值； (3)令，讨论关于的方程的实数根的个数． 【答案】(1) (2) (3)时，实根个数为2，，实根个数为1 【分析】（1）利用偶函数的定义和性质结合已知条件求出在对应区间上的解析式； （2）利用二次函数的性质求出的值域，利用指数函数的性质求出的值域，结合值域相等条件构造方程并求解； （3）利用二次函数和指数函数的性质，分情况讨论方程的实根个数． 【详解】（1）是偶函数，， 当时，，代入时的解析式： ， 在上的解析式． （2）开口向上，对称轴为， 又函数在上单调递增， ，最小值为， 的值域为， 是偶函数，时，单调递增， ，， ，故值域为， 函数与的值域相同， ， 时，单调递增，单调递增，单调递增， ，当时，等式成立， 时，存在唯一解． （3），， 若，当时，，即， ，， 设两根为，则，故， 存在2个小于0的根； 当时，，， 时，，，故无解， 时，根的个数为2； 若，当时，，即，解得，有1个根； 当时，，解得，不满足，故无解， 时，根的个数为1； 若，当时，，即， ，， 时，，与矛盾，故无解；时，故无解； 当时，令，此时函数单调递增， 且 所以,使得，所以函数只有一个零点； 时，根的个数为1． 综上，时，方程的实数根的个数为2； ，方程的实数根的个数为1． 8．已知是定义在上的奇函数． (1)判断在定义域上的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)若，，成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质列等式求解得到a、b的值，再根据单调性的定义证明即可； （2）利用奇偶性及单调性列不等式求解即可； （3）求出的最小值，再将不等式转化为在上恒成立的问题求解即可． 【详解】（1）由题意可知的定义域关于原点对称，即， 且，解得，所以， 任取且， 则， 因为，所以，因为，所以， 则，可得，即， 所以在上单调递增． （2）由题意可得， 因为单调递增，且定义域为， 所以有 解得，所以不等式的解集为． （3）因为在单调递增， 所以， 则原条件等价于：， 化简得， 令，要使在上恒成立，只需端点值非负， 即， 解得或或，所以的取值范围为． 9．已知函数，，（，且）． (1)记，判断的奇偶性并证明； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)为偶函数，证明过程见解析. (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据偶函数的定义判断即可. （2）结合函数单调性及的取值范围求解即可. 【详解】（1）为偶函数. 证明：，定义域为；，定义域为. ，定义域为，定义域关于原点对称. 因为，所以， 所以为偶函数. （2），定义域为；，定义域为. 由可得，. 当时，因为对数函数在定义域上单调递增， 所以，解得. 当时，因为对数函数在定义域上单调递减， 所以，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 10．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）由（2）知，，，则 一、单选题 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性和二次函数的单调性进行解答. 【详解】由，解得， 令， 易知在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 结合函数的定义域可得， 函数的单调递减区间是， 故选:D. 2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式在恒成立，求出的取值范围，然后结合充分条件必要条件的定义判断即可. 【详解】若“，”为真命题，得，恒成立，只需， 对于A，时，不能推出“，”为真命题， “，”为真命题时推出， 故是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，故A正确； 对于B，时，能推出“，”为真命题， “，”为真命题时不能推出， 故是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故B错误； 对于C，时，不能推出“，”为真命题， “，”为真命题时不能推出， 故是命题“，”为真命题的一个既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，时，能推出“，”为真命题， “，”为真命题时不能推出， 故是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故D错误； 故选：A 3．函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数转化为反比例型函数求解即可. 【详解】由题意，， 设， 则原问题转化为求函数的值域， 因为函数在为减函数， 由，得， 即值域为， 故选：C. 4．已知函数，若在R上是减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数以及一次函数的单调性，即可结合分段函数的性质求解. 【详解】由在R上是减函数可得，解得， 故选：B 二、多选题 5．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为 C．没有最小值 D．最大值为2 【答案】BD 【分析】先求出函数定义域，令，根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断即可得出结果． 【详解】由，得，即函数的定义域为,， 令，则的图象是开口向下，对称轴为的抛物线， 函数在,上单调递增，在,上单调递减， 又单调递增，在,上单调递增，在,上单调递减，故B正确，A错误； 由于当时，，当时，，故，所以，，故D正确，C错误． 故选：BD 三、填空题 6．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可得函数的值域． 【详解】函数的图象是开口朝下，且以直线为对称轴的抛物线， 由得： 当时，函数取最大值4， 由，，得函数最小值为0， 故函数的值域是， 故答案为： 7．设函数，不等式的解集为，若存在，成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】根据给定的解集求出函数，再求出在上的最小值即可求得结果. 【详解】依题意，不等式的解集为， 则是方程的二根，且，于是，且，解得， ，而，则当时，， 由存在，成立，得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 四、解答题 8．已知函数，其中. (1)若不等式对于一切实数均成立，求实数的取值范围； (2)当时，若函数的最大值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将不等式化简为，再结合一元二次不等式在恒成立问题，可联系一元二次函数图象，即可解决. （2）讨论给定区间与对称轴的关系，找出在不同情况下的最大值，再与题干最大值为建立等式，解出符合题意的即可. 【详解】（1）∵不等式对于一切实数均成立， ∴即对于一切实数均成立， ∴即， ∴解得或， ∴的取值范围为. （2）对称轴为， ①当时，在单调递减， ∴， 又∵当时，函数的最大值为， ∴解得或， ∴； ②当时，在单调递增，在单调递减， ∴， 显然，不符合题意； ③当时，在单调递增， ∴， 又∵当时，函数的最大值为， ∴，解得或， ∴； 综上所述，或. 9．已知二次函数的图像过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式： (2)若在区间上有最小值2，求实数的值： (3)设，若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法，结合一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （2）通过构造新函数，利用二次函数的性质进行求解即可； （3）通过构造新函数，利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）二次函数的图象过点，可得， 不等式的解集为，可得，1，3为方程的两根， 可得，，即有，，则； （2）在恒成立在恒成立，即当时，的对称轴为，故. （3）在恒成立恒成立 恒成立.，当时，在处取最小值，，即. 10．已知二次函数，恒有. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得出关于的方程，解出即可； （2）根据对称轴与区间中点的关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，所以且，解得， 又，则， 故． （2），对称轴， 当，即时，时，，解得； 当，即时，， 时，，不合题意； 当，即时，时，，解得（舍）， 综上，． 11．已知定义在上的函数满足对任意的，恒成立.当时，，且. (1)判断的单调性并证明， (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）由时，，，可考虑设，构造，变形得，进而得证； （2）由可得，则，即，结合（1）所证单调性去“”即可求解. 【详解】（1）在上单调递增. 证明如下： 设，则. 因为当时，，所以. 因为，所以， 则，即， 故在上单调递增； （2）因为，所以，即. 因为，所以，则等价于 ，即， 即， 由（1）可知在上单调递增，则， 解得，即不等式的解集是. 12．已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可； （2）根据将不等式整理为，然后根据单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）在R上单调递增，证明如下， 令，，，且， 则， 因为，所以，，即，， 所以在R上单调递增. （2） ， 因为在R上单调递增，所以，整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $