专题6.5 二项式定理（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

专题6.5 二项式定理 教学目标 1.能用计数原理证明二项式定理。 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项。 3.理解二项式系数的性质并灵活运用。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二项式定理及二项展开式的通项； （2）能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题； （3）能利用二项式定理解决整除(余数)问题。 2.难点 （1）掌握“赋值”法并会灵活应用； （2）掌握二项展开式中系数最大(小)问题。 知识点01 二项式定理 1.定义：一般地，对于任意正整数，都有：()， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2．二项式(a+b)n的展开式的特点： (1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； (3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 3.二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 【即学即练】 1． . 知识点02 二项式系数及其性质 （1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大. ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即。 【即学即练】 1．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 知识点03 杨辉三角 因为(a+b)0=1，所以可以把n=0对应的二项式系数看成1.把n=0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排成如下数表形式: 杨辉三角的性质: (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.事实上，设表中任一不为1的数为，那么它上一行中与这个数相邻的两个数分别为 和由组合数的性质，有=1，=1，. (3)对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知，二项式系数，…，，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 【即学即练】 1．如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 题型01 二项式定理的正用与逆用 【典例1】 写出的二项展开式 . 【变式1-1】计算 ． 【变式1-2】化简： . 【变式1-3】化简下列式子： (1)； (2)． 题型02 求指定项的二项式系数与系数 【典例2】 在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【变式2-1】在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．8 C． D．48 【变式2-2】的展开式中的常数项为 ． 【变式2-3】的二项展开式中的系数是 ． 题型03 求有理项或其系数 【典例3】 在的展开式中有理项的个数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【变式3-1】在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-2】展开式中有理项的个数为 . 【变式3-3】已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有 项. 题型04 三项展开式的系数问题 【典例4】 的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式4-1】的展开式中项的系数是 . 【变式4-2】展开式中，的系数为 . 【变式4-3】的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 题型05 两个二项式乘积展开式的系数问题 【典例5】 展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-2】在的展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】的展开式中的系数为 题型06 求二项式系数最值问题 【典例6】 在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式6-2】若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 【变式6-3】若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 题型07 求系数最值问题 【典例7】 的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【变式7-1】写出在的展开式中系数最大的项 ． 【变式7-2】已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 【变式7-3】在的二项展开式中，系数最大的项是 ． 题型08 展开式各项的系数和问题 【典例8】 若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式8-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【变式8-3】若，则 ； ． 题型09 整除问题 【典例9】 若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【变式9-1】已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 【变式9-2】已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 【变式9-3】若能被7整除，则的最小正整数取值为 . 题型10 杨辉三角问题 【典例10】 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 【变式10-1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【变式10-2】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【变式10-3】“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 一、单选题 1．已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．二项式系数最大项为第5项 D．展开式中常数项为45 2．已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 3．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 4．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 5．的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 6．若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．二项式的展开式中的常数项为（   ） A．30 B．20 C．15 D．6 8．展开式中的系数是（    ） A．-8 B．24 C．-24 D．16 9．在的展开式中，各项系数之和为（   ） A．1 B．16 C．32 D．243 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．-1024 B．-1 C．1 D．1024 二、填空题 12．二项式展开式中的第4项为 ． 13．在的展开式中，共有 项的系数为有理数． 14．展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 15．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 16．在的二项展开式中系数最大的项的系数是 （结果用数字表示） 17．已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 18．在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是 ． 19．若，则 ； ． 20．对任意实数，有，则 ．（参考数据:） 21．已知多项式，则 ． 22．被8整除的余数为 . 23．设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 24．已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为 ，系数最大值为 ． 25．已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 ． 26．南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是 ． 27．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第 行，…，当第n次出现全行的数都为1时，该行共有 个1.    三、解答题 28．在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 二项式定理 教学目标 1.能用计数原理证明二项式定理。 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项。 3.理解二项式系数的性质并灵活运用。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二项式定理及二项展开式的通项； （2）能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题； （3）能利用二项式定理解决整除(余数)问题。 2.难点 （1）掌握“赋值”法并会灵活应用； （2）掌握二项展开式中系数最大(小)问题。 知识点01 二项式定理 1.定义：一般地，对于任意正整数，都有：()， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2．二项式(a+b)n的展开式的特点： (1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； (2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； (3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 3.二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 【即学即练】 1． . 【答案】 【分析】根据二项式定理，将题目中的式子整理为二项式的形式进行计算即可. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：. 知识点02 二项式系数及其性质 （1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大. ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即。 【即学即练】 1．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 【答案】7 【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 知识点03 杨辉三角 因为(a+b)0=1，所以可以把n=0对应的二项式系数看成1.把n=0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排成如下数表形式: 杨辉三角的性质: (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.事实上，设表中任一不为1的数为，那么它上一行中与这个数相邻的两个数分别为 和由组合数的性质，有=1，=1，. (3)对于给定的n来说，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知，二项式系数，…，，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 【即学即练】 1．如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【答案】559 【分析】由题意可得第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，…，即求的和，计算即可得答案. 【详解】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是，第五行的第三位数字，…， 第十五行的第三位数字是， 则所求为 . 故答案为：559 题型01 二项式定理的正用与逆用 【典例1】 写出的二项展开式 . 【答案】 【分析】直接根据二项式定理展开求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以. 故答案为： 【变式1-1】计算 ． 【答案】 【分析】逆向使用二项式定理即可. 【详解】 . 故答案为：. 【变式1-2】化简： . 【答案】 【分析】将根据二项式定理进行展开，然后计算即可. 【详解】， 则， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】通过逆用二项式定理得到，要注意,作为整体考虑. 【详解】（1） . （2） . 题型02 求指定项的二项式系数与系数 【典例2】 在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 【变式2-1】在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．8 C． D．48 【答案】A 【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，再求出对应的值，进而求出的系数． 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， ， 的系数为，故A正确． 故选：A． 【变式2-2】的展开式中的常数项为 ． 【答案】15 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故答案为： 【变式2-3】的二项展开式中的系数是 ． 【答案】 【分析】根据展开式通项公式可写出含的系数. 【详解】因为， 令，解得， ， 所以的系数为， 故答案为： 题型03 求有理项或其系数 【典例3】 在的展开式中有理项的个数为（    ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，根据指数的特点求解结论． 【详解】展开式的第项为 ， 若第项为有理项，则能被4整除，这样的有13个． 故选：D. 【变式3-1】在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】通项公式为， 易知当或或或时， 即或或或时，可得有理数项， 所以有理数的项的个数是4， 故选：A 【变式3-2】展开式中有理项的个数为 . 【答案】34 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由的幂指数是整数求得答案. 【详解】二项式展开式通项为， 当是整数，即是3的整数倍时，是有理项， 因此可以取，共34个， 所以展开式中有理项的个数为34. 故答案为：34 【变式3-3】已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有 项. 【答案】3 【分析】由二项式的展开式可得的值，结合有理项的定义赋值求解即可. 【详解】展开式的第7项为， 则，，则，， 则展开式的通项为，， 令，则， 所以展开式中的有理项共有3项. 故答案为：3 题型04 三项展开式的系数问题 【典例4】 的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，然后可得答案. 【详解】的通项公式， 令，则，所以的系数为 故选：B 【变式4-1】的展开式中项的系数是 . 【答案】60 【分析】利用二项式展开式的通项公式可求答案. 【详解】由的展开式的通项公式可得， 令，； 因为，所以项的系数是. 故答案为：60 【变式4-2】展开式中，的系数为 . 【答案】 【分析】分不含项和含一个项两种情况，直接根据组合数的知识进行求解即可. 【详解】展开式中，的项为，则的系数为. 故答案为： 【变式4-3】的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 【答案】924 【分析】把三项变成两项再应用二项式展开式计算求解. 【详解】的展开式中常数项是. 故答案为：． 题型05 两个二项式乘积展开式的系数问题 【典例5】 展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中的与中的第项相乘为含的项，即为含的项，整理后令的次数为解出的值，从而求出这项的的系数，中的与中的第项相乘为含的项，即为含的项，整理后令的次数为解出的值，从而求出这项的的系数，将这两个的项的系数相加即为展开式中的系数. 【详解】中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 故展开式中的系数为. 故选：C. 【变式5-1】的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】解法一：将条件整理变形，可得，即可得答案；解法二：由二项式定理计算即可. 【详解】解法一：因为， 所以展开式中的系数为1； 解法二：展开式中的项为， 所以的系数为1. 故选：C 【变式5-2】在的展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出展开式的通项公式，再结合多项式乘法法则求出展开式中含的项即可. 【详解】依题意，， 二项式展开式的通项为， 因此的展开式中含的项为， 所以所求系数为. 故选：A 【变式5-3】的展开式中的系数为 【答案】 【分析】原式可转化为，利用二项展开式通项公式分别求和的系数即可. 【详解】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 题型06 求二项式系数最值问题 【典例6】 在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式系数的性质和展开式通项公式即可求解. 【详解】在的二项展开式中，根据二项式系数的性质可知最大的二项式系数是， 则二项式系数最大的项是， 故选：A. 【变式6-1】若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解. 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即． 故选：B. 【变式6-2】若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】D 【分析】由二项式的系数和求出，再赋值计算即可. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得， 令可得的展开式中各项系数和为. 故选：D. 【变式6-3】若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（   ） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】利用公式二项式系数和为得到，解得的值，求出，整理后设的次数为，求出，从而计算出常数项. 【详解】的展开式中二项式系数和为，，， 设为常数项，则， 故，解得，则. 故选：C. 题型07 求系数最值问题 【典例7】 的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【分析】利用展开式的通项得不等式组可得答案. 【详解】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 【变式7-1】写出在的展开式中系数最大的项 ． 【答案】 【分析】先求出二项式的通项，从而得出展开式的系数，根据展开式的系数的性质得出所有可能的系数最大项，求出所有可能的系数最大项进而得出系数最大项． 【详解】二项式的通项为：， 展开式的系数为， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 展开式中系数最大的项出现在中， 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 当时系数最大，即． 故答案为：． 【变式7-2】已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为： 【变式7-3】在的二项展开式中，系数最大的项是 ． 【答案】 【分析】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案. 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 题型08 展开式各项的系数和问题 【典例8】 若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式的性质，利用赋值法求出常数项及包含目标表达式的等式，进而计算出目标表达式的值． 【详解】， 令，则， 令，则， ． 故选：C． 【变式8-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 【变式8-2】已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】C 【分析】求出二项式展开式的通项公式，求出分析判断AB；赋值计算判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， 对于A，，A正确； 对于B，当时，，解得，当时， 即有，因此的最大值为，B正确； 对于C，当分别取时，，则，C错误； 对于D，当分别取时，，则， 而，因此，D正确. 故选：C 【变式8-3】若，则 ； ． 【答案】 【分析】令，可得，再令，即可求解；分别令和，两式相加即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得，① ∴； 令，可得，② ①②两式相加，可得. 故答案为： 题型09 整除问题 【典例9】 若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【详解】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 【变式9-1】已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 【答案】C 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【详解】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 【变式9-2】已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合整除思想求解. 【详解】依题意，， 而能被6整除，则是6的正整数倍，ABD不满足，C满足. 故选：C 【变式9-3】若能被7整除，则的最小正整数取值为 . 【答案】5 【分析】先将进行变形，使其与建立联系，再根据整除的性质求出的最小正整数取值. 【详解】因为，而，所以. 根据二项式定理，将展开可得 除了最后一项外，其余各项都含有因数，都能被整除. 所以（其中为整数）. 因为能被整除， 14k能被整除，所以只要能被整除即可. 当时，，此时取最小正整数. 故答案为：5. 题型10 杨辉三角问题 【典例10】 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 【答案】B 【分析】明确杨辉三角每行数字个数及规律以及去掉1后每行数字个数规律，然后确定所求数列前35项在杨辉三角中的位置，利用等比数列求和公式求杨辉三角前行和，再去掉1的个数及第10行对应部分和，从而得到所求数列前35项和. 【详解】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数. 第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字； 那么， 当时，，即前9行去掉1后有28个数. 所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字. 杨辉三角前行和为， 前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）. 第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9， 前7个数字和为. 所以此数列的前35项和为. 故选：B. 【变式10-1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【分析】根据杨辉三角每一行的数字与组合数的对应关系，结合组合数的运算性质，依次判断选项. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 【变式10-2】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【详解】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 【变式10-3】“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列为2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据“杨辉三角”确定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，从而得到的最大值. 【详解】依据“杨辉三角”的分布规律及可知最后一个出现在第行的第个数， 去掉所有之后是第行第个数，所以的最大值为， 故答案为：. 一、单选题 1．已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．二项式系数最大项为第5项 D．展开式中常数项为45 【答案】AD 【分析】由二项式系数和的性质可判断A；由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等可判断B；由二项式系数最大值可判断C；由展开式通项公式可判断D. 【详解】由的展开式中二项式系数之和为1024，可得，故A正确； 由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，可得展开式中奇数项的二项式系数和为，故B错误； 易知是最大的二项式系数，所以二项式系数最大项为第6项，故C错误； 由，故D正确； 故选：AD. 2．已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 3．已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得. 【详解】， ， ， 则 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除， ，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以， 所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小， 则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值， 故系数最小的项为第项. 故选：A. 4．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式和相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】由题意，解得，故A错误； 二项展开式的各项的二项式系数和为，故B正确； 的二项展开式共有8项，其二项式系数最大的项有两项，分别为第四项和第五项，故C错误； 对于D，二项展开式的第5项为，其系数为35，故D错误. 故选：B. 5．的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【分析】求出展开式通项，再求出的展开式通项，即可求出. 【详解】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D. 6．若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 7．二项式的展开式中的常数项为（   ） A．30 B．20 C．15 D．6 【答案】C 【分析】由题可得展开式通项为，据此可得答案. 【详解】的通项为：，令， 则展开式中的常数项为：. 故选：C 8．展开式中的系数是（    ） A．-8 B．24 C．-24 D．16 【答案】D 【分析】根据二项式定理结合多项式乘多项式的法则即可求解. 【详解】展开式中的系数为，的系数为， 所以展开式中的系数是. 故选：D 9．在的展开式中，各项系数之和为（   ） A．1 B．16 C．32 D．243 【答案】C 【分析】利用赋值法，可得答案. 【详解】令，即得的展开式中的各项系数之和为. 故选：C. 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】赋值法求系数和. 【详解】令，则①， 令，则②， 则（①-②）再除以2可得， 故选：B. 11．已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．-1024 B．-1 C．1 D．1024 【答案】C 【分析】由题意先求，令即可求解. 【详解】由题意有第6项的二项式系数为，又只有第6项的二项式系数最大，所以，解得， 令有， 故选：C. 二、填空题 12．二项式展开式中的第4项为 ． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为，， 所以展开式的第4项为. 故答案为：. 13．在的展开式中，共有 项的系数为有理数． 【答案】3 【分析】利用通项可得答案. 【详解】， 要使系数为有理数，则且即，6，12．故共有3项． 故答案为：3. 14．展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 【答案】A 【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 15．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【分析】由，写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 16．在的二项展开式中系数最大的项的系数是 （结果用数字表示） 【答案】20412 【分析】根据二项展开式得到第项系数为，再利用二项式系数最大项的求法得出的值即可求最大项的系数. 【详解】的展开式通项为，则系数为， 设第项系数最大，则 即，解得，又，所以， 所以最大项系数为第7项，最大系数为. 故答案为：20412. 17．已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质，得到n，再利用展开式的通项，得到常数项. 【详解】依题意有， ， 令得， 所以常数项为， 故答案为：. 18．在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是 ． 【答案】 【详解】因为二项式只有第五项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，所以， 则二项式展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 19．若，则 ； ． 【答案】 【分析】令，可得，再令，即可求解；分别令和，两式相加即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得，① ∴； 令，可得，② ①②两式相加，可得. 故答案为： 20．对任意实数，有，则 ．（参考数据:） 【答案】 【分析】利用赋值法，分别令，可求解结果. 【详解】令，则①， 令，则②， ①＋②得：. 解得. 令，则， 解得. 所以. 故答案为：. 21．已知多项式，则 ． 【答案】9 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】令可得， 令可得， 相减可得， 故答案为：9 22．被8整除的余数为 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于， 由于均能被8整除，所以除以8的余数为7， 故答案为：7 23．设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 【答案】5（答案不唯一） 【分析】先利用二项展开式将变形，进而即可求得n的可能取值 【详解】 ， 其中被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除， 则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一 故答案为：5（答案不唯一） 24．已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为 ，系数最大值为 ． 【答案】 70 7 【分析】写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，设第项的系数最大得，求解即可. 【详解】二项式通项公式为： ， 所以第一项的系数为：，第二项的系数为：， 第三项的系数为： ， 由于前三项的系数成等差数列， 所以，解得，或， 因为至少有前三项，所以（舍），故， 所以二项式系数的最大值为. 二项式通项公式为：， 设第项的系数最大，故， 即，即， 解得， 因为，所以或， 故系数最大的项为或. 故系数最大值为7. 故答案为：70；7. 25．已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数及项的系数的关系求出，由展开式通项公式列出不等式组得解. 【详解】由题意，，即，解得， 因为，， 所以，解得或（舍去）， 因为， 设第项系数最大，则， 即，解得， 因为为正整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 26．南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9行第8个数是 ． 【答案】36 【分析】根据题意，结合杨辉三角，找出规律，即可得出结果. 【详解】由图分析，第0行的数为1，第1行的数为， 第2行的数为， 第3行的数为…… 因此，第n行第m个数为，所以第9行第8个数是. 故答案为： 27．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第 行，…，当第n次出现全行的数都为1时，该行共有 个1.    【答案】 7 【分析】根据杨辉三角的性质，归纳出规律即可得解. 【详解】由题意，第1次全行的数都为1的是第1行， 第2次全行的数都为1的是第3行， 杨辉三角中，第7行的数依次为1,7,21,35,35,21,7,1， 故对应0-1三角数表中，第7行的数全部为1， 第3次全行的数都为1的是第7行； 寻找规律，其中，，， 经验证，第行全行的数均为1，第行全行的数均为1， 所以第n次出现全行的数都为1的是第行，共有个1. 故答案为：7； 三、解答题 28．在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解； （2）令，假设最大，由解出的取值范围，结合可得出的值，代入通项后即可得解. 【详解】（1）的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. （2）令， 假设在、、、中最大，则，即， 即，解得， 因为，则，所以展开式中系数最大的项为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $