专题7.3 常用分布（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

专题7.3 常用分布 教学目标 1.理解n重伯努利试验的概念，掌握二项分布的概率表达式。 2.理解超几何分布的概念及特征，能够判断随机变量是否服从超几何分布 。 3.利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义。 教学重难点 1.重点 （1）能利用n重伯努利试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题； （2）会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率和均值； 2.难点 （1）用超几何分布的概率模型解决实际问题； （2）会用正态分布解决实际问题。 知识点01 二项分布 n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 【特别提醒】　(1)在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． (2)“重复”意味着各次试验成功的概率相同． 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n-k，k＝0，1，2，…，n． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 【特别提醒】 1．X的分布列可用表格表示为： X 0 1 … k … n P p0qn p1qn-1 … pkqn－k … 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(p＋q)n＝p0qn＋p1qn-1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0中对应项的值，故称X服从参数为n，p的二项分布． 二项分布的性质 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 特别地，若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 【即学即练】 1．设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C 知识点02 超几何分布 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r． 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【特别提醒】　(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)考察对象分两类，且各类对象的个数已知． (3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 超几何分布的性质 超几何分布的均值：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，则E(X)＝．D(X)＝ 【即学即练】 2．目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法1设抽取到的男生人数为，则的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布计算对应的概率，利用期望的公式即可求解； 解法2 由题意 服从超几何分布，利用超几何分布的数学期望公式即可求解. 【详解】解法1： 设抽取到的男生人数为，则的所有可能取值为0，1，2，，，，则， 解法2： 从8人中抽取2人，男生有5人，所以服从超几何分布， 则． 故选：C. 知识点03 正态分布 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 4．正态曲线的特点： (1)非负性：对任意的x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方； (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1； (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值； (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (6)当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； (7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②． 【特别提醒】　正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1． 3σ原则 1．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 2．服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 3．3σ原则 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 标准正态分布：μ=0，σ=1的正态分布，记作X~N(0，1). 结论：任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布. 【即学即练】 3．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【分析】越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误； 根据正态密度曲线的对称性，可知BCD正确． 【详解】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误; 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确. 故选：A. 题型01 二项分布的概率计算 【典例1】 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 故选：C 【变式1-1】抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则 . 【答案】/0.375 【分析】可知，利用二项分布的概率公式求解. 【详解】由题意可知，，则. 故答案为： 【变式1-2】某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到获奖次数服从，由获得750元现金券需要中奖5次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，小王购买了价值3800元的手机，可得小王购物后可以获得6张抽奖券， 因为每张抽奖券中奖的概率均为，所以获奖次数服从， 又因为若获奖获得价值150元的现金券，则获得750元现金券需要中奖5次， 所以小王得到750元现金券的概率为． 故答案为：. 【变式1-3】设，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据二项分布的概率计算公式即可由因式分解求解. 【详解】， 由于， 所以， 因此要么要么， 又，所以或， 故答案为：或. 题型02 二项分布的期望与方差 【典例2】 若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 【答案】C 【分析】根据求出，根据的分布列求出的分布列，再求期望可得答案. 【详解】因为，所以 因为，所以， 解得， ，， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 所以的分布列为 0 1 4 9 16 25 36 所以 . 故选：C. 【变式2-1】设随机变量，且，则 ；若，则的方差为 ． 【答案】 / 【分析】(1)用二项分布的概率公式可解； (2)用二项分布的方差结论即可解决. 【详解】(1) ,则， 则，解得 (2) ，由(1)得，则． ，则 故答案为：；． 【变式2-2】已知随机变量满足，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用二项分布公式，方差性质直接计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式2-3】某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)；这300名市民评分的平均数为. (2)分布列见解析， 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，即可求得实数的值；再由平均数的公式求出这300名市民评分的平均数； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. 这300名市民评分的平均数为： . 所以这300名市民评分的平均数为：. （2）解因为评分在分以上的市民所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 题型03 二项分布最值问题 【典例3】 为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 【变式3-1】某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】，，， 若是唯一的最大值，则 所以 解得． 因为，， ，，． ． 故选：A． 【变式3-2】若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是 . 【答案】4 【分析】由题意得，然后根据解出即可. 【详解】由题意， 当取最大值时，， 即，其中， 化简得，解得， 所以取最大值时，. 故答案为：4. 【变式3-3】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)分布列见详解； (2)7个或8个 【分析】（1）分析可知小球共经过4次碰撞，向右次，可得，进而可得分布列和期望； （2）分析可知小球落入2号球槽的概率为，且，令，运算求解即可. 【详解】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 题型04 超几何分布的概率计算 【典例4】 一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 故选：D 【变式4-1】如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则 ． 【答案】 【分析】由超几何分布的概率公式、互斥加法以或者对立减法公式即可求解. 【详解】解：法一：由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，则 ． 法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则． 故答案为：． 【变式4-2】设随机变量，则X的均值为 ． 【答案】3 【分析】根据超几何分布期望公式得解. 【详解】由超几何分布的期望公式， ， 故答案为：3. 【变式4-3】高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法1；由事件与事件互为对立事件，求出，即可求出； 解法2：由题可得，直接利用概率公式求解即可. 【详解】解法1：因为事件与事件互为对立事件，而， 所以（直接法求解较复杂时，考虑用间接法）． 解法2：由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，， ，则． 故选：B 题型05 超几何分布的期望与方差 【典例5】 一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率，得到分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可. 【详解】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 . 【变式5-1】已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【变式5-2】现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. (1)求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； (2)设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式结合对立事件概率公式求解； （2）应用超几何分布写出概率及分布列，再应用公式求解数学期望. 【详解】（1）由题意可知，选出的4名同学全是男生的概率为， 所以选出的4名同学中至少有1名女生的概率为； （2）根据题意，的可能取值为，则 ， . 所以的分布列为： 1 2 3 4 . 【变式5-3】某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． （3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 题型06 二项与超几何的综合应用 【典例6】 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则， 且Y的可能取值为0，1，2， 则， 可得， ， 所以，. 故选：B. 【变式6-1】一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【答案】B 【分析】根据超几何分布和二项分布的定义判断两个试验，再根据不同的分布计算概率、期望和方差，判断各个选项； 【详解】试验一：从袋子中逐个不放回地随机摸出20个球是超几何分布模型， 记取到黄球的个数为,, 则变量分布列是，， ，. 试验二：从袋子中逐个有放回地随机摸出20个球是二项分布模型； 记取到黄球的个数为，则,则期望和方差分别为，， 对于A,试验二是二项分布模型，A正确；对于B,，B错误； 对于C,，C正确；D正确； 故选：B. 【变式6-2】某学校拟建立一座教学楼，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】答案见详解 【分析】甲公司利用超几何分布进行求解，乙公司利用二项分布进行求解即可. 【详解】设甲公司答对题数为，则的取值为， ，，， 的分布列为 则， ； 设乙公司答对题数为，则的取值为， ，，，， 的分布列为 则， ； ，， 甲公司竞标成功的可能性更大. 【变式6-3】某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ） 【分析】（1）运用古典概型概率公式计算； （2）（ⅰ）中求的分布列就是确定的所有可能取值，结合二项分布求每个取值的概率.进而得到分布列和均值；（ⅱ）运用超几何分布求出，与比较即可. 【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部. 根据古典概型概率公式，所以. （2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即. 根据二项分布概率公式可得： ， ， ， ， ， 列出的分布列： .   （ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，. 求：根据超几何分布的数学期望公式，可得. 比较大小：因为，，所以. 题型07 正态曲线与正态密度函数 【典例7】 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 【变式7-1】通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 【答案】B 【分析】根据均值和方差的大小可得正确的选项. 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 【变式7-2】已知随机变量，其密度函数为，则 . 【答案】 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 【变式7-3】已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性可求得正确的选项. 【详解】因为服从正态分布，故， 故，故的图象关于点对称， 故选：C. 题型08 利用正态曲线解决对称问题 【典例8】 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为 ． 【答案】 【分析】根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数． 【详解】已知数学成绩，则分布关于对称， ， 已知，则， ，根据正态分布的对称性可知：， 正态分布是连续分布， ，故， 已知总人数为， 数学成绩为分以上的人数为：． 故答案为：． 【变式8-1】已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由正态分布的对称性可得出，则，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为随机变量满足，，， 由正态分布的对称性可得， 所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式8-2】某校期末考试的数学成绩服从，若，则（   ） A．90 B．85 C．80 D．75 【答案】C 【分析】利用对立事件的概率和也为1，联立可得，从而可得对称轴的取值. 【详解】因为，， 所以， 即. 故选：C. 【变式8-3】设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性及概率加法公式计算可得. 【详解】因为随机变量，所以. 因为，所以，所以. 所以. 所以. 故选：C. 题型09 3σ原则应用 【典例9】 “双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 【答案】0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可） 【分析】根据题意和正态曲线的特征可得到，再根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可． 【详解】依题意可得， 要使次品率不高于，则正品率不低于， 又根据正态曲线的特征知，， 所以， 所以，解得． 故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）． 【变式9-1】假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 【答案】C 【分析】借助正态分布的原则，进行解题； 【详解】因为，则， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，故等级对应“”， 因为考试的成绩服从正态分布，， 则， 则A等级的分数线约为115. 故选：C. 【变式9-2】某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 【答案】 0.4782 1587 【分析】设事件：在样本中抽取的1名学生在本次考试中数学成绩在之外，利用正态分布的概率计算公式求出，从而得到，由二项分布的概率公式即可求出，根据题意可得，解得 ，利用正态分布的概率公式计算即可求解. 【详解】设事件：在样本中抽取的1名学生在本次考试中数学成绩在之外． 成绩在之内的概率为0.9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ． 若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，则可得， ， ，即，解得． 甲市学生在该次考试中数学成绩为114分，且， 又，即，， 即学生本次考试的数学成绩在甲市的大致名次为第1587名． 故答案为：0.4782，1587 【变式9-3】某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为 ．（若，则 【答案】2 【分析】由正态分布的相关性质求解即可. 【详解】由正态分布性质可知，要使不合格率小于4.55%，则合格率不低于， 由得，， 由题意可知， 解得，故的最大值为． 故答案为：. 题型10 标准正态分布应用 【典例10】 某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 【变式10-1】随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【答案】 【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案. 【详解】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知， 因为，所以，即， 随机变量服从正态分布，根据对称性可知， ，则，即. 故答案为：. 【变式10-2】“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【分析】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【变式10-3】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题． 【详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 题型11 正态分布与其他知识综合应用 【典例11】 为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意明确“不需要补训”即为培训合格的事件，设甲、乙合格分别为独立事件；恰有一人不需要补训可分为“甲合格乙不合格”与“甲不合格乙合格”两种互斥情形，再根据独立事件的乘法公式及概率的加法公式求解； （2）利用给定参数确定正态分布模型，将成绩超过分转化为求的概率；结合正态分布的对称性及提供的概率参考数据，计算出对应的概率值，最后用总人数乘以该概率并取整估算人数； （3）先确定甲答对的题目数服从二项分布，由答对题数与奖金关系得到奖金的可能取值；再根据二项分布概率公式计算各取值对应的概率，列出分布列；最后利用期望公式计算数学期望. 【详解】（1）分别记甲、乙培训合格为事件， 则甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率：. （2）由已知得的近似值为的近似值为3， 所以， 而， 所以估计这些员工中成绩超过分的人数为. （3）的所有可能取值为. 且， 所以的分布列为 0 800 1600 2400 【变式11-1】泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由时，泊松分布近似于正态分布求解； （2）设为配送延迟包裹数，由，根据，，得到，由求解. （3）由，得到，再根据泊松分布的概率公式求解. 【详解】（1）当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，因， 故. （2）设为配送延迟包裹数，则，， 因为，， ， 所以， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为 . （3）由，可得， 根据泊松分布的概率公式：，，可得. 设， 由，可知在上为减函数. 因为，所以， 所以，即，故的取值范围为. 【变式11-2】某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 【答案】(1) (2)可靠性为,变差了 【分析】（1）首先根据优品的范围，再结合正态分布的数据，以及参考公式，分别求解改造前后的优品率，即可求解； （2）根据二项分布概率公式，分别求增加元件前后系统正常工作的概率，再比较. 【详解】（1）由条件可知，技术改造前，，优品率为， 技术改造后，，优品率为， ， 所以这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （2）设为原有3个元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 所以该系统的可靠性为 为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率， 则， 所以该系统增加一个元件，可靠性变差了. 【变式11-3】某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 【答案】(1)，88分 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出，进而可求出“优秀”的最低分数； （2）先求出每一层的分数，再求出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式或超几何的期望公式，即可求出期望； （3）利用正态分布的性质得，根据题设有，再由二项分布的期望计算公式，即可求解. 【详解】（1）由图可知， 解得. 因为， 则成绩由高到低的前分数线必在之间， 设分数线为，则，得， 则记为“优秀”的最低分数为88分. （2）样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的个人中，来自的人数为，来自的人数为，来自的人数为， 则的所有可能取值为1，2，3，4． ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 方法一：. 方法二：服从参数的超几何分布，故. （3）由题意得，， 由，所以， 所以 ， 所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的概率约为0.8186， 故，所以. 一、单选题 1．甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的乘法公式，得，再由条件概率公式得，从而，根据期望公式求解. 【详解】根据概率的乘法公式， 得， 根据条件概率公式得， 可得， 由于每场比赛的结果相互独立， 所以甲队获胜的场数，从而． 故选：B． 2．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【分析】设，依题意，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 则， 所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 3．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 4．某校高三学生一次数学考试(满分150分，及格90分)的成绩 近似服从正态分布，若该校共有1000名高三学生参加考试，且，则估计该校这次数学考试的及格人数为（    ） A．140 B．220 C．280 D．440 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性简化计算，关键点在于识别 和 关于均值 对称，从而将问题转化为求 . 【详解】由于正态分布关于均值对称， 可得：. 因为 ，且， 所以， 代入已知值：得， 解得：. 所以. 总学生数为 1000 人， 及格人数为：. 故选： B 5．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布性质求解. 【详解】因为随机变量，且， 所以，所以， 故选：D 6．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先利用正态分布的对称性求的关系，进而利用基本不等式求最小值. 【详解】由，得正态曲线关于对称. 因为， 所以，得. 又， 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为6. 故选：D 7．设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】根据正态分布的原则结合条件即可求解. 【详解】因为，所以标准差，期望， 根据正态分布的原则，， 要使，则需满足： ，化简可得：， 解得：，即，得出. 故选：C. 8．某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【答案】C 【分析】首先计算排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%，结合，以及当时，，可得到，计算即可得到答案． 【详解】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 二、填空题 9．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 【答案】 【分析】由随机变量X服从二项分布，及，求出，再由随机变量Y服从二项分布，则，计算可得. 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以， 解得或（舍去）， 又因为随机变量Y服从二项分布， 所以 ． 故答案为: . 10．Deep Seek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为 ；现Deep Seek从给定的10个问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为 ． 【答案】 0.9 8.1 【分析】设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被Deep Seek正确回答”，利用全概率公式计算可得；而X服从二项分布，根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被Deep Seek正确回答”， 由题意知， 则， ． 已知Deep Seek答对的题数为X，则X服从二项分布， 则． 故答案为：. 11．某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 【答案】 【分析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，先利用二项分布概率公式列出概率表达式，依题列出不等式组求得，根据，求得，继而得出答案. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 故答案为：120. 12．3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为 . 【答案】 【分析】先根据超几何分布的求概率公式求出不同取值情况下的概率值，利用求期望和求方差公式求出的期望和方差，再利用求方差性质求得的方差即可. 【详解】由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2， 则，，， ， ， 所以. 故答案为： 13．袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望 ． 【答案】5 【分析】先分析出的可能取值，再利用超几何分布求每个取值的概率，再用数学期望公式求出，进而求得. 【详解】X 的可能取值为 0 ，1 ，2 ，3， ，， ，， 则， 所以 ． 故答案为：5. 14．已知随机变量服从正态分布且，则 . 【答案】0.25/ 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】已知， 根据对称性可得：. 故答案为： 15．某工厂生产一批零件，其尺寸（单位：）服从正态分布，且，，则 . 【答案】 【分析】利用正态分布的性质求解. 【详解】服从正态分布，，， ，. 故答案为：. 三、解答题 16．某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出6个球中随机摸取2个球的情况数，再求从2个红球中随机摸取2个红球的情况数，进而可求得顾客获得一等奖的概率； （2）先求不获奖的概率，设3名顾客中获奖的人数为，服从二项分布，进而可求. 【详解】（1）设事件为“顾客获得一等奖”， 从6个球中随机摸取2个球的情况数为种， 从2个红球中随机摸取2个红球的情况数为种 则. （2）由题意得每次抽奖独立，则不获奖的概率为，则获奖的概率为， 设3名顾客中获奖的人数为，则， 则， ， 所以. 17．某公司使用一个由1台主服务器和3台备用服务器组成的系统运行关键业务.每台服务器正常工作的概率均为0.9（实际生活中服务器可靠度通常在0.9以上，为便于计算我们在此取0.9），且各服务器运行状态相互独立.该系统正常工作必须同时满足以下两个条件： ①主服务器正常工作； ②至少2台备用服务器正常工作. 否则判定为故障. (1)记为备用服务器正常工作的台数，求的分布列及期望； (2)求系统正常工作的概率； (3)若已知系统发生故障，求此时主服务器正常工作的概率.（结果精确到0.1） 【答案】(1)分布列见解析，2.7 (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，利用二项分布求出所有可能取值的概率，列出的分布列，利用公式求出. （2）设事件“系统正常工作”，利用独立重复事件求出的值. （3）设“系统发生故障”，“主服务器正常工作”，利用对立事件求出，利用独立事件的乘法公式求出，利用条件概率公式求解. 【详解】（1）由题可知的可能取值为0，1，2，3，则， 所以， ， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 所以. （2）设事件“系统正常工作”， 则 . （3）设“系统发生故障”，“主服务器正常工作”， 则， ， 所以. 18．某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响． (1)求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率； (2)若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)0.9 (2)分布列见解析，1.8 【分析】（1）利用对立事件概率和为1的性质求解至少完成一项核心任务的概率即可； （2）由（1）可得2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，再根据二项分布的性质求解分布列和期望. 【详解】（1）该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率． （2）由（1）得，这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 0.01 0.18 0.81 19．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2). 【分析】（1）根据二项分布求出的可能取值和对应的概率，进而得到的分布列. （2）根据题意先列出的表达式，进而确定最值. 【详解】（1）所有可能的取值为，且. ； ； ； . 故的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”， 则30个人中剩下个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为， 所以. 所以，解得. 所以， 故当时，最大. 20．某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题作答，先进行组答题，只有组的两道题均答对，方可进行组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学组每道题答对的概率均为，组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3道题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为，求的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了10轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)同学获得3张奖券的概率最大，理由见解析 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为的可能取值有， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 4 故； （2）由于两组题至少答对3道题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为 ， 所以甲同学进行了10轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大， 则有： 化简得：， 又因为，所以，即同学获得3张奖券的概率最大. 21．工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． (1)当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； 【答案】(1)①；②分布列见解析， 【分析】（1）①先求出当时，A等品有4件，B等品有6件，利用超几何分布概率模型求出概率； ②利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； 【详解】（1）①当时，其中A等品有件，B等品有件， 则从10件产品中随机抽取3件，恰有2件A等品的概率为； ②当时，A等品有4个，B等品有6个． X服从超几何分布，，1，2，3， ，， ，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 22．2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 【答案】(1)的估计值为，的估计值为，的估计值为； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据古典概型求解，法一：利用条件概率公式求解；法二利用缩小样本空间法求解即可； （2）根据分层抽样求出看过和没看过《哪吒之魔童降世2》的人数，进而可知的所有可能取值，求出相应的概率即可得到分布列，进而可求数学期望（或者利用超几何分布结论求解）. 【详解】（1）A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组． 样本容量，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》的频率为， 因此的估计值为， 抽取到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为， 因此的估计值为. 法一：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； 法二：， 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为， 因此的估计值为； （2）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 则看过《哪吒之魔童降世2》的人数的取值范围为， 由题意，看过《哪吒之魔童降世2》的人数，则， 此时，，. 则的分布列为： X 1 2 3 所以，或． 23．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 【答案】(1)甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为，至少有1次查验不顺利的概率， (2)分布列见解析，均值为 (3) 【分析】（1）由独立事件概率的乘法公式可得甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，根据对立事件的概率关系，求至少有1次查验不顺利的概率； （2）由题可知，的可能取值为，分别求出相应的概率，可得的分布列，根据均值的计算公式可得的均值； （3）由全概率公式求得被选中选手的得分在8-10分的概率，根据条件概率公式求得得分在8-10分的条件下，该选手是广东选手的概率. 【详解】（1）因为甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立， 所以甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为； 至少有1次查验不顺利的概率为. （2）的可能取值为， ； ； . 所以的分布列列表为： 所以的均值为. （3）从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，则该选手是广东选手的概率为，是香港选手的概率为，是澳门选手的概率为. 记“选手的得分在8-10分”为事件，记“该选手是广东选手”为，“该选手是香港选手”为，“该选手是澳门选手”为. 由题可知，. . 所以，若已知该选手的得分在8-10分，则该选手是广东选手的概率为. 24．甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求： (1)甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率； (2)若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望； (3)甲在比赛中获胜的概率. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为； (3). 【分析】（1）将所求概率的事件拆成两个互斥事件的和，再结合独立重复试验的概率公式求解. （2）求出的所有可能取值及各个值对应的概率，求出分布列并求出期望. （3）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件，再利用条件概率公式及全概率公式计算得解. 【详解】（1）甲在比赛中抢到的题目比乙多的事件是甲抢到2个题的事件与甲抢到3个题的事件和， 其概率为. （2）依题意，的所有可能取值为， 则， ， 所以的分布列为： 1 3 数学期望. （3）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件， 则， ， ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 常用分布 教学目标 1.理解n重伯努利试验的概念，掌握二项分布的概率表达式。 2.理解超几何分布的概念及特征，能够判断随机变量是否服从超几何分布 。 3.利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义。 教学重难点 1.重点 （1）能利用n重伯努利试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题； （2）会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率和均值； 2.难点 （1）用超几何分布的概率模型解决实际问题； （2）会用正态分布解决实际问题。 知识点01 二项分布 n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 【特别提醒】　(1)在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． (2)“重复”意味着各次试验成功的概率相同． 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n-k，k＝0，1，2，…，n． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 【特别提醒】 1．X的分布列可用表格表示为： X 0 1 … k … n P p0qn p1qn-1 … pkqn－k … 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(p＋q)n＝p0qn＋p1qn-1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0中对应项的值，故称X服从参数为n，p的二项分布． 二项分布的性质 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 特别地，若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 【即学即练】 1．设，且，那么（   ） A． B． C． D． 知识点02 超几何分布 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r． 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【特别提醒】　(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)考察对象分两类，且各类对象的个数已知． (3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 超几何分布的性质 超几何分布的均值：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，则E(X)＝．D(X)＝ 【即学即练】 2．目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 知识点03 正态分布 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 4．正态曲线的特点： (1)非负性：对任意的x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方； (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1； (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值； (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (6)当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； (7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②． 【特别提醒】　正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1． 3σ原则 1．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 2．服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 3．3σ原则 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 标准正态分布：μ=0，σ=1的正态分布，记作X~N(0，1). 结论：任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布. 【即学即练】 3．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 题型01 二项分布的概率计算 【典例1】 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则 . 【变式1-2】某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 【变式1-3】设，且，则的值为 ． 题型02 二项分布的期望与方差 【典例2】 若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 【变式2-1】设随机变量，且，则 ；若，则的方差为 ． 【变式2-2】已知随机变量满足，且，则 . 【变式2-3】某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 题型03 二项分布最值问题 【典例3】 为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【变式3-1】某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【变式3-2】若随机变量，则当取最大值时，正整数k的值是 . 【变式3-3】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 题型04 超几何分布的概率计算 【典例4】 一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则 ． 【变式4-2】设随机变量，则X的均值为 ． 【变式4-3】高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 题型05 超几何分布的期望与方差 【典例5】 一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. (1)求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； (2)设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 【变式5-3】某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 题型06 二项与超几何的综合应用 【典例6】 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出20个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．变量分布列是， 【变式6-2】某学校拟建立一座教学楼，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【变式6-3】某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 (1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率； (2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. （ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望. （ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明） 题型07 正态曲线与正态密度函数 【典例7】 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中 班获胜的可能性更大． 【变式7-2】已知随机变量，其密度函数为，则 . 【变式7-3】已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 题型08 利用正态曲线解决对称问题 【典例8】 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为 ． 【变式8-1】已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为 . 【变式8-2】某校期末考试的数学成绩服从，若，则（   ） A．90 B．85 C．80 D．75 【变式8-3】设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 题型09 3σ原则应用 【典例9】 “双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则 【变式9-1】假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 【变式9-2】某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 【变式9-3】某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为 ．（若，则 题型10 标准正态分布应用 【典例10】 某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【变式10-1】随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【变式10-2】“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【变式10-3】正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 题型11 正态分布与其他知识综合应用 【典例11】 为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 【变式11-1】泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 【变式11-2】某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是（），各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性． 附：若，则，． (1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； (2)若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？ 【变式11-3】某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计记为“优秀”的最低分数； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 一、单选题 1．甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（   ） A． B． C． D． 2．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 3．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．某校高三学生一次数学考试(满分150分，及格90分)的成绩 近似服从正态分布，若该校共有1000名高三学生参加考试，且，则估计该校这次数学考试的及格人数为（    ） A．140 B．220 C．280 D．440 5．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 8．某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 二、填空题 9．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 10．Deep Seek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为 ；现Deep Seek从给定的10个问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为 ． 11．某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得 分的概率最大． 12．3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为 . 13．袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望 ． 14．已知随机变量服从正态分布且，则 . 15．某工厂生产一批零件，其尺寸（单位：）服从正态分布，且，，则 . 三、解答题 16．某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 17．某公司使用一个由1台主服务器和3台备用服务器组成的系统运行关键业务.每台服务器正常工作的概率均为0.9（实际生活中服务器可靠度通常在0.9以上，为便于计算我们在此取0.9），且各服务器运行状态相互独立.该系统正常工作必须同时满足以下两个条件： ①主服务器正常工作； ②至少2台备用服务器正常工作. 否则判定为故障. (1)记为备用服务器正常工作的台数，求的分布列及期望； (2)求系统正常工作的概率； (3)若已知系统发生故障，求此时主服务器正常工作的概率.（结果精确到0.1） 18．某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响． (1)求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率； (2)若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望． 19．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 20．某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题作答，先进行组答题，只有组的两道题均答对，方可进行组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学组每道题答对的概率均为，组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3道题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为，求的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了10轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 21．工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量分析，已知其中A等品占，B等品占． (1)当时， ①求出3件产品中恰有2件A等品的概率； ②求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望； 22．2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为． (1)给出的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望． 23．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 (1)在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； (2)从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； (3)从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 24．甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求： (1)甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率； (2)若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望； (3)甲在比赛中获胜的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $