专题7.1 条件概率与相关公式（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

专题7.1 条件概率与相关公式 教学目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义。 2.会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题。 3.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式。 4.了解贝叶斯公式，并会简单应用。 教学重难点 1.重点 （1）掌握条件概率的计算方法； （2）利用条件概率公式解决一些简单的实际问题； 2.难点 （1）理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率； （2）利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单。 知识点01 条件概率及其性质 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 【特别提醒】　(1)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率． (2)P(B|A)与P(AB)，P(A)三者互不相同，P(B|A)是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A与B同时发生的概率，P(A)是事件A的概率，P(B|A)与P(B)不一定相等． (3)从集合的角度看，若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于A∩B(如图)．由于已知A已经发生， 故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间． 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【特别提醒】　(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生． (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件． 条件概率的性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【特别提醒】　(1)若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0． (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和． 事件的相互独立性：（1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . （3）易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 【即学即练】 1．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)，称此公式为全概率公式． 【特别提醒】　(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和． (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)． 【即学即练】 2．已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同.某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色不相同的概率为 . 知识点03 贝叶斯公式* 贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝，i＝1，2，…，n． 【特别提醒】　(1)贝叶斯公式的分子是乘法公式，分母是全概率公式． (2)如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时应用全概率公式；如果所求概率为条件概率P(A|B)，而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式． 【即学即练】 3．某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 题型01 利用定义求条件概率 【典例1】 掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（   ） A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16 【变式1-2】为增强学生的体质，某校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和乒乓球.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学两者都爱好.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为 . 【变式1-3】从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为 . 题型02 乘法公式的应用 【典例2】 已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知两个随机事件，，若，，，则 ． 【变式2-3】已知，，，则 . 题型03 条件概率性质的应用 【典例3】 已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，，，则的值为 【变式3-3】已知，且若，，则 ． 题型04 条件概率中的互斥与独立 【典例4】 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【变式4-1】假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【变式4-3】已知随机事件，若；则 ． 题型05 全概率公式的应用 【典例5】 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】某疾病全球发病率为0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为1%，则某人检测成阳性的概率约为（    ） A．0.03% B．0.99% C．1.03% D．2.85% 【变式5-2】赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是 ． 【变式5-3】已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，如果小明第一天选择了米饭套餐，则第4天选择米饭套餐的概率是 ． 题型06 贝叶斯公式的应用 【典例6】 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 【变式6-3】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 一、单选题 1．盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 2．一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（    ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 4．已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 6．A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 7．设、是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．事件，则 B．若和互斥，则和可能相互独立 C．若事件、满足，则与是对立事件 D．事件与事件中至少有一个发生的概率不一定比与中恰有一个发生的概率大 8．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与不独立 D． 9．甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙命中的概率为，乙命中丙命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则三人中至少有一人命中的概率为（ ） A． B． C． D． 10．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） A．若为两个事件，则 B．若为两个事件，则 C．若事件满足，则是必然事件 D．若为相互对立事件，则与一定互斥 12．如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C． D．事件与相互独立 13．通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 14．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 15．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 16．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 17．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 18．某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则 ． 19．某个班级有42名学生，其中男生25名，女生17名，男生中有18名团员，女生中有10名团员.在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于 . 20．已知两个随机事件，若，，，则 . 21．已知随机事件，则 . . 22．小郅同学参加某场数学竞赛，需要在个编号分别为、、、、的题中抽取任意个作答，已知他可以答对（正确率）这个题中的个，题中至少答对题即可晋级．现已知小郅晋级了，则他答对号题的概率为： ． 23．已知事件满足，则 . 24．某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则 ，则诊断结果是阳性概率 ，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为 ． 25．某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的不合格品率依次为，，，.该厂规定，出现不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担 的责任.（结果精确到） 26．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为 ；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为 . 27．贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 28．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 条件概率与相关公式 教学目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义。 2.会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题。 3.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式。 4.了解贝叶斯公式，并会简单应用。 教学重难点 1.重点 （1）掌握条件概率的计算方法； （2）利用条件概率公式解决一些简单的实际问题； 2.难点 （1）理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率； （2）利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单。 知识点01 条件概率及其性质 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 【特别提醒】　(1)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率． (2)P(B|A)与P(AB)，P(A)三者互不相同，P(B|A)是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A与B同时发生的概率，P(A)是事件A的概率，P(B|A)与P(B)不一定相等． (3)从集合的角度看，若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于A∩B(如图)．由于已知A已经发生， 故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间． 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【特别提醒】　(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生． (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件． 条件概率的性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【特别提醒】　(1)若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0． (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和． 事件的相互独立性：（1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . （3）易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 【即学即练】 1．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出和，再利用条件概率的计算公式计算即可. 【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种. 事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种, 因此. 事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种； 乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件， 因此. 所以. 故选：C. 知识点02 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)，称此公式为全概率公式． 【特别提醒】　(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和． (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)． 【即学即练】 2．已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同.某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色不相同的概率为 . 【答案】 【分析】划分从乙盒取球的三种情况，分别计算每种情况的概率及对应从甲盒取两不同色球的概率，再通过全概率公式求和得最终概率. 【详解】乙盒取2球有三种情形： 取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2不同色球的概率为； 取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2不同色球的概率为； 取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2不同色球的概率为. 所求概率为. .故答案为：. 知识点03 贝叶斯公式* 贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝，i＝1，2，…，n． 【特别提醒】　(1)贝叶斯公式的分子是乘法公式，分母是全概率公式． (2)如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时应用全概率公式；如果所求概率为条件概率P(A|B)，而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式． 【即学即练】 3．某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品是次品”，则， ． 故答案为： 题型01 利用定义求条件概率 【典例1】 掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出满足两枚骰子出现的点数不一样的基本事件个数，再求出两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件个数，利用古典概型求解. 【详解】掷两枚质地均匀的骰子各一次，共有个基本事件， 去掉点数一样的基本事件， 得到两枚骰子出现的点数不一样的基本事件还有个， 其中两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件有，共6个， 由古典概型可得. 故选：A 【变式1-1】某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为（   ） A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16 【答案】A 【分析】根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】设第一关通过为A，第二次通过为B， 则，， 所以. 故选：. 【变式1-2】为增强学生的体质，某校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和乒乓球.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学两者都爱好.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用条件概率公式进行求解. 【详解】记“爱好乒乓球”为事件，“爱好羽毛球”为事件， 由题可知，，则. 故答案为： 【变式1-3】从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为 . 【答案】/0.25 【分析】计算出，利用条件概率公式进行求解. 【详解】，，故. 故答案为： 题型02 乘法公式的应用 【典例2】 已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 【变式2-1】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 【变式2-2】已知两个随机事件，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 【变式2-3】已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】利用概率的乘法公式求出的值，再利用条件概率公式可求出的值. 【详解】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故答案为：. 题型03 条件概率性质的应用 【典例3】 已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 【变式3-1】设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 【变式3-2】已知，，，则的值为 【答案】/ 【分析】设，根据条件概率公式与互斥事件、对立事件的关系列方程组，即可得的值. 【详解】设， 由，， 可得，解得， 所以的值为. 故答案为：. 【变式3-3】已知，且若，，则 ． 【答案】/ 【分析】由，可得相互独立，再结合已知条件，根据独立事件的概率乘法公式，即可求解． 【详解】由可得相互独立， 又，， 又因为，所以， 所以 故答案为：． 题型04 条件概率中的互斥与独立 【典例4】 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 【变式4-1】假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及条件概率公式即可判断ABC；举例判断D. 【详解】对于A，由于，则，A正确； 对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误； 对于C，当相互独立时，，而，则，C错误； 对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4， 则，，则，D错误， 故选：A 【变式4-2】已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【答案】B 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为独立，所以与也相互独立， 所以，故B错误； 对于C：若独立，根据并事件的概率公式得 ，故C正确； 对于D：互斥，由概率的加法公式可得，故D正确. 故选：B 【变式4-3】已知随机事件，若；则 ． 【答案】 【分析】利用条件概率、独立事件的乘法公式结合事件的关系与运算计算即可. 【详解】由题意可得，， 而， ， 又. 故答案为：． 题型05 全概率公式的应用 【典例5】 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设男性中有购买了新能源车，由全概率公式将购买新能源车的分为男性购买新能源车和女性购买新能源车列出关系求解即可. 【详解】设男性中有购买了新能源车，则， 解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是. 故选：D. 【变式5-1】某疾病全球发病率为0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为1%，则某人检测成阳性的概率约为（    ） A．0.03% B．0.99% C．1.03% D．2.85% 【答案】C 【分析】根据题意，某人检测成阳性包含两种情况：非患者检测为阳性和患者检测为阳性，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】由题意，未患病者判定为阳性的概率为1%，患病者判定为阳性的概率为95%， 所以某人检测成阳性包含两种情况： ①非患者检测为阳性的概率为； ②患者检测为阳性的概率为, 所以某人检测成阳性的概率为. 故选：C. 【变式5-2】赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，运用全概率公式计算即可. 【详解】设事件：抽到的是特级脐橙，事件：掷骰子点数小于等于4（从甲筐中抽）；事件：掷骰子点数大于等于5（从乙筐中抽）， 则，甲筐中特级脐橙的概率为，乙筐中特级脐橙的概率为. 所以，. 故答案为：. 【变式5-3】已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，如果小明第一天选择了米饭套餐，则第4天选择米饭套餐的概率是 ． 【答案】/ 【分析】设小明第天选择米饭套餐的概率为，选择面食套餐的概率为，且，进而利用全全概率公式计算即可. 【详解】设小明第天选择米饭套餐的概率为，选择面食套餐的概率为，且， 根据题意可得， 根据题意可得， 所以，， 所以. 故答案为：. 题型06 贝叶斯公式的应用 【典例6】 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”． 当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时 当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时 所以， 故选：C. 【变式6-1】根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B， 则本题所求． 故选：A． 【变式6-2】进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人患流感”. 已知，两区的人口数的比为，所以，. 两区患流感的概率：，. 所以. 故. 故答案为：. 【变式6-3】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【答案】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，再使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则，，，， 故 ， 则所求概率为. 故答案为： 一、单选题 1．盒中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球．甲从中随机取出两个球，在已知甲取出的有红球的条件下，他取出两个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件为甲取出的有红球，事件表示取出两个红球， 则，， 则. 故选：C 2．一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率中的缩小样本空间的方法求解即可. 【详解】设事件“三次中至少有一次正面”，事件“三次中恰好有两次正面”， 依题意，正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正， 正正反，正反正，反正正，则正正反，正反正，反正正， 则三次中恰好有两次正面的概率为. 故选：B. 3．在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求得事件和事件的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 4．已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 5．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 6．A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 7．设、是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．事件，则 B．若和互斥，则和可能相互独立 C．若事件、满足，则与是对立事件 D．事件与事件中至少有一个发生的概率不一定比与中恰有一个发生的概率大 【答案】D 【分析】根据事件的包含关系可判断A，利用互斥事件和相互独立事件的概念可判断B，利用对立事件的概念可判断C和D. 【详解】对于A，若事件，则，故A错误； 对于B，若事件、互斥，则， 若事件、相互独立，则， 所以若和互斥，则和不可能相互独立，故B错误； 对于C，若掷一枚骰子掷出的点数为奇数，掷一枚骰子掷出的点数大于3， 满足，但明显事件、不是对立事件，故C错误； 对于D，若事件与事件是对立事件， 则事件与事件中至少有一个发生的概率和与中恰有一个发生的概率相等，故D正确. 故选：D. 8．已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B． C．事件与不独立 D． 【答案】B 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可. 【详解】已知，则，而题目中，显然，因此事件A与B不互斥，选项A错误； ，又，所以，选项B正确； 因为， ，由于，所以事件与独立，选项C错误； ，则，选项D错误. 故选：B. 9．甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙命中的概率为，乙命中丙命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则三人中至少有一人命中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据对立事件与独立事件的概率公式算出三人中至少有一人命中的概率． 【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意，解得 故三人中至少有一人命中的概率. 故选：D. 10．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：由互斥事件和事件概率公式、条件概率计算公式即可求解；法二：确定事件与事件相互独立，得到即可求解. 【详解】法1：因为，所以， 所以， 所以． 法2：因为，所以， 所以， 所以，所以事件与事件相互独立， 所以事件与事件独立，所以. 故选：C 11．下列说法正确的是（    ） A．若为两个事件，则 B．若为两个事件，则 C．若事件满足，则是必然事件 D．若为相互对立事件，则与一定互斥 【答案】D 【分析】根据对立事件和互斥事件、独立事件的定义，结合对立事件和互斥事件、独立事件的概率公式进行逐一判断即可. 【详解】对A：只有事件互斥时，才有，故A错误； 对B：只有事件为独立事件时，才有，所以B错误； 对C：若且事件互斥时，才有是必然事件，所以C错误； 对D：对立事件一定互斥，所以D成立. 故选：D 12．如图是一个古典概型的样本空间和事件，其中，，下列结论正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C． D．事件与相互独立 【答案】A 【分析】对A，根据容斥原理判断；对B，根据互斥定义判断；对C，由古典概型概率计算公式计算；对D，由相互独立的定义判断. 【详解】对于A：由可得，A正确； 对于B：由可知，事件与不互斥，B错误； 对于C：由图知，，所以，C错误； 对于D：因为， 所以，D错误； 故选：A. 13．通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 【答案】D 【分析】以表示事件“收到的字符是”，分别表示传输的字符为，根据已知信息求得，利用贝叶斯公式可求得. 【详解】设表示“收到的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”， 由题意可得，，，， ， ， 根据贝叶斯公式可得， . 故选：D. 14．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 15．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 16．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 17．某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 二、填空题 18．某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则 ． 【答案】 【分析】先根据古典概型概率公式求出各事件的概率，再根据条件概率公式，求出条件概率. 【详解】已知男生中有10名团员，女生中有9名团员，共有19名团员，则， 已知男生中有10名团员，则, 可得， 故答案为：. 19．某个班级有42名学生，其中男生25名，女生17名，男生中有18名团员，女生中有10名团员.在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于 . 【答案】 【分析】应用条件概率公式求概率即可. 【详解】由题设，知，， 所以. 故答案为： 20．已知两个随机事件，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率的性质即可求解. 【详解】由可得，故, 故答案为：, 21．已知随机事件，则 . . 【答案】 / / 【分析】求出和，由概率的乘法公式和条件概率公式，可得结果. 【详解】由概率的乘法公式得， 因为，，则， 所以由条件概率公式得， 故答案为：； 22．小郅同学参加某场数学竞赛，需要在个编号分别为、、、、的题中抽取任意个作答，已知他可以答对（正确率）这个题中的个，题中至少答对题即可晋级．现已知小郅晋级了，则他答对号题的概率为： ． 【答案】 【分析】设事件答对第一题，事件小郅晋级，求出、、，利用概率的乘法公式、条件概率公式可得出的值. 【详解】设事件答对第一题，事件小郅晋级，则事件为“小郅可以答对第一题且选中此题”， 则， 因为，， ，因此，. 故答案为：. 23．已知事件满足，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式、全概率公式及条件概率公式列式求解. 【详解】由，得，， 由全概率公式，得，则， 即，解得，， 因此，所以. 故答案为： 24．某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则 ，则诊断结果是阳性概率 ，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为 ． 【答案】 【分析】将每种事件的概率表示出来，利用条件概率公式与全概率公式求解即可. 【详解】设“阳性”，“阴性”，“患病”，“不患病”，“诊断结果正确”，“诊断结果不正确”， 由题知：某种疾病的患病率为，则， 通过验血诊断该病的误诊率为，则， 因为漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为， 所以， 任选1人进行验血，诊断结果为阳性的概率为 则， 若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为， 由前面的计算过程可知：， 所以． 故答案为：①；②；③. 25．某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的不合格品率依次为，，，.该厂规定，出现不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担 的责任.（结果精确到） 【答案】 【分析】记产品是不合格品为事件，产品来自第四条流水线为事件，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求出，即可得解. 【详解】记产品是不合格品为事件，产品来自第四条流水线为事件， 则， 所以， 所以第四条流水线应该承担约的责任. 故答案为： 26．有两台光刻机生产同一型号芯片，假设第台生产的次品率为，第2台生产的次品率为.现将两台光刻机生产出来的芯片混放在一起，已知第台光刻机生产的芯片占比分别为.任取一枚芯片，则它是次品的概率为 ；如果取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为 . 【答案】 / 【分析】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品，根据条件可求出，，再由全概率公式、条件概率和乘法公式，即可求解. 【详解】设事件：取到的芯片是第台光刻机生产的，事件：取到的芯片是第台光刻机生产的， 事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品， 由题知，， 所以. 则，所以， 则取到的芯片为合格品，则该合格品是第一台光刻机生产的概率为. 故答案为：，. 27．贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 【答案】 【分析】根据题意，记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”，利用全概率及贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”， 则，，， ， 故， 所以． 故答案为：. 28．已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为 . 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型的概率公式以及条件概率计算公式，结合全概率公式和贝叶斯公式即可计算得解. 【详解】设事件为“取出的小球来自i号箱”，事件B为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且两两互斥， 由题意有， ， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $