专题1.1 导数的概念及其几何意义（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题1.1 导数的概念及其几何意义 教学目标 1.理解平均变化率到瞬时变化率的过渡逻辑，掌握导数的定义及符号表示； 2.明晰导数的几何意义为曲线在某点处切线的斜率，能利用导数定义求简单函数在某点的导数，会根据导数求曲线在指定点的切线斜率。. 教学重难点 1.重点： （1）导数的定义，能准确表述瞬时变化率与导数的等价关系，掌握导数的核心符号与书写规范。 （2）导数的几何意义，明确函数在x=x0处的导数与曲线y=f(x)在点(x0 ,f(x0 ))处切线斜率的一一对应关系。 3.利用导数定义求简单函数（如幂函数）在某点的导数，以及根据导数几何意义求曲线的切线斜率的基本步骤 2.难点： （1）从极限的角度理解导数的定义，突破 “自变量增量无限趋近于 0” 的抽象认知，理解平均变化率向瞬时变化率的转化本质。 （2）区分 “曲线的切线” 与初中平面几何中 “圆的切线” 概念，理解割线通过 “无限逼近” 成为切线的过程，掌握 “以直代曲” 的数学思想。 （3）准确运用导数定义进行计算，克服极限符号、增量符号的理解与运算障碍；理解函数在某点的导数、导函数的区别与联系。 （4）体会导数概念中蕴含的极限思想，能将极限思想迁移到导数几何意义的理解与应用中. 知识点01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数y=f(x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位置，因而就不一定表示平均速度，但它仍然反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向（增减）。因此，我们把称为函数f(x)在区间[a,b]内的平均变化率. 【即学即练】（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 知识点02 瞬时变化率与导数 1.问题探索 —— 求运动物体的瞬时速度 若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度在d 趋近于 0 时的极限。 【即学即练】（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 2.函数的瞬时变化率----导数 （1）瞬时变化率 一般地，若函数y=f(x)的平均变化率在d趋近于0时有确定的极限值，则称这个值为该函数在x处的瞬时变化率.数学上叫作函数的导数或微商。 （2）函数在某点的导数：设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果当d趋近于0时，比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y=f(x)在 x=x0处的导数或微商，记作f′(x0)此时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微。 （3）导函数（一阶导数）：若y=f(x)任一点的导数都存在，则f′(x)（或y′）也是x的函数。 我们把f′(x)（或y′）叫作y=f(x)的导函数或一阶导数。 （4）二阶导数： 既然导函数f′(x)也是函数，若f′(x)在区间中任一点都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作 f′′(x)（或y′′）。 （5） 高阶导数： 类似地，可以定义三阶导数f′′′(x)等更高阶的导数。二阶及以上的导数统称为高阶导数。 【即学即练】（24-25高二下·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 知识点03 导数的几何意义 1.导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)，其几何意义就是曲线y=f(x)在点 (x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率。 2.切线方程： 已知导数的几何意义，曲线y=f(x)在点(x0 ,f(x0)) 处的切线方程为： 【即学即练】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型01 平均速度问题 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某公交车在起步后8秒内路程（单位：m）与时间（单位：s）满足，若公交车的瞬时速度未发生突变，则 ，公交车在这8秒内的平均速度为 ． 【变式1-1】（24-25高二下·福建厦门·月考）如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 题型02 平均变化率问题 【典例2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【变式2-2】（24-25高二下·天津静海·月考）已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【变式2-3】（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 题型03 瞬时速度问题 【典例3】（24-25高二下·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【变式3-2】（24-25高二下·山东临沂·期中）如果物体的运动函数为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（    ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【变式3-3】（多选）（24-25高二下·广东东莞·月考）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 题型04 导数的概念与辨析 【典例4】（25-26高二上·河北衡水·期末）已知是的导函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·河南·月考）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【变式4-2】（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则 ． 题型05 计算函数在某点处的导数 【典例5】（2024高二下·全国·专题练习）如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为． (1)当，时，求和； (2)求函数在处的导数． 【变式5-1】（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【变式5-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 题型06 求已知函数的导数 【典例6】（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中. (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求的值． 【变式6-1】（24-25高二下·安徽阜阳·月考）已知函数 (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求出，的值 【变式6-2】（22-23高二·全国·随堂练习）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)． 【变式6-3】（23-24高二上·上海·课后作业）求下列幂函数的导数，其中： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3). 题型07 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【典例7】（25-26高三上·上海·开学考试）若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为 ． 【变式7-1】（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式7-2】（23-24高二下·广东中山·月考）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 【变式7-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 题型08 求曲线在某点处的切线方程 【典例8】（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【变式8-1】（21-22高二下·广东深圳·期中）已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二下·四川成都·月考）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【变式8-3】（23-24高二下·重庆·月考）若函数， (1)用定义求； (2)求其图象在与轴交点处的切线方程． 题型09 比较大小 【典例9】（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数，是的导函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高二下·北京·期中）人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化 乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 一、单选题 1．（24-25高二下·福建·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．14 C．28 D．56 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 4．（24-25高二下·江苏·月考）函数在区间内可导，且若，则（    ） A． B． C． D．不确定 5．（24-25高二下·江苏扬州·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 7．（25-26高二上·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 二、多选题 9．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选题）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系如图所示.假设其关系为指数函数，并给出下列说法，其中正确的说法是（    ）. A．野生水葫芦每月的面积增长率为1 B．野生水葫芦的面积从蔓延到只需1.5个月 C．设野生水葫芦面积蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦的面积从第1个月到第3个月蔓延的平均速度等于其从第2个月到第4个月蔓延的平均速度 10．（24-25高二下·江西抚州·期中）电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（    ） A．该车速度在前分钟内的平均变化率为 B．该车速度的瞬时变化率逐渐减小 C．该车速度在第分钟的瞬时变化率为 D．可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度 11．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2008·北京·高考真题）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ； ．（用数字作答） 13．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知的图象如图所示，则与的大小关系是 ．    14．（25-26高二上·云南昆明·月考）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课后作业）子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 16．（25-26高二·全国·假期作业）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)． 17．（22-23高二·全国·课后作业）求双曲线在点处的切线方程． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 导数的概念及其几何意义 教学目标 1.理解平均变化率到瞬时变化率的过渡逻辑，掌握导数的定义及符号表示； 2.明晰导数的几何意义为曲线在某点处切线的斜率，能利用导数定义求简单函数在某点的导数，会根据导数求曲线在指定点的切线斜率。. 教学重难点 1.重点： （1）导数的定义，能准确表述瞬时变化率与导数的等价关系，掌握导数的核心符号与书写规范。 （2）导数的几何意义，明确函数在x=x0处的导数与曲线y=f(x)在点(x0 ,f(x0 ))处切线斜率的一一对应关系。 3.利用导数定义求简单函数（如幂函数）在某点的导数，以及根据导数几何意义求曲线的切线斜率的基本步骤 2.难点： （1）从极限的角度理解导数的定义，突破 “自变量增量无限趋近于 0” 的抽象认知，理解平均变化率向瞬时变化率的转化本质。 （2）区分 “曲线的切线” 与初中平面几何中 “圆的切线” 概念，理解割线通过 “无限逼近” 成为切线的过程，掌握 “以直代曲” 的数学思想。 （3）准确运用导数定义进行计算，克服极限符号、增量符号的理解与运算障碍；理解函数在某点的导数、导函数的区别与联系。 （4）体会导数概念中蕴含的极限思想，能将极限思想迁移到导数几何意义的理解与应用中. 知识点01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数y=f(x)的自变量有可能不是时刻，因变量有可能不表示位置，因而就不一定表示平均速度，但它仍然反映了因变量y随自变量x变化的快慢和变化方向（增减）。因此，我们把称为函数f(x)在区间[a,b]内的平均变化率. 【即学即练】（25-26高二上·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C. 知识点02 瞬时变化率与导数 1.问题探索 —— 求运动物体的瞬时速度 若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)，就是平均速度在d 趋近于 0 时的极限。 【即学即练】（24-25高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数的运算公式，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 2.函数的瞬时变化率----导数 （1）瞬时变化率 一般地，若函数y=f(x)的平均变化率在d趋近于0时有确定的极限值，则称这个值为该函数在x处的瞬时变化率.数学上叫作函数的导数或微商。 （2）函数在某点的导数：设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果当d趋近于0时，比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y=f(x)在 x=x0处的导数或微商，记作f′(x0)此时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微。 （3）导函数（一阶导数）：若y=f(x)任一点的导数都存在，则f′(x)（或y′）也是x的函数。 我们把f′(x)（或y′）叫作y=f(x)的导函数或一阶导数。 （4）二阶导数： 既然导函数f′(x)也是函数，若f′(x)在区间中任一点都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作 f′′(x)（或y′′）。 （5） 高阶导数： 类似地，可以定义三阶导数f′′′(x)等更高阶的导数。二阶及以上的导数统称为高阶导数。 【即学即练】（24-25高二下·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【知识点】导数（导函数）概念辨析 【分析】根据导数的定义可直接得解. 【详解】根据导数的定义，. 故选：D. 知识点03 导数的几何意义 1.导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)，其几何意义就是曲线y=f(x)在点 (x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率。 2.切线方程： 已知导数的几何意义，曲线y=f(x)在点(x0 ,f(x0)) 处的切线方程为： 【即学即练】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数（导函数）概念辨析、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以. 故选：B. 题型01 平均速度问题 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某公交车在起步后8秒内路程（单位：m）与时间（单位：s）满足，若公交车的瞬时速度未发生突变，则 ，公交车在这8秒内的平均速度为 ． 【答案】 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】求得3秒前与3秒后的瞬时速度可求，利用路程关于时间的函数图象为一条连续不断的曲线，可求，进而求得8秒内的总路程，可求平均速度. 【详解】第3秒前公交车的瞬时速度为； 第3秒后公交车的瞬时速度为， 已知公交车第3秒前后的瞬时速度保持一致，所以， 而路程关于时间的函数图象为一条连续不断的曲线，所以，解得． 公交车在8秒内的总路程为，所以平均速度为． 故答案为：；. 【变式1-1】（24-25高二下·福建厦门·月考）如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 【变式1-2】（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 故选：A 【变式1-3】（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 题型02 平均变化率问题 【典例2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义进行运算判断即可. 【详解】A：函数在区间上的平均变化率为； B：函数在区间上的平均变化率为； C：函数在区间上的平均变化率为； D：函数在区间上的平均变化率为； 因为， 所以选项的函数在区间上的平均变化率最大， 故选： 【变式2-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】由函数的平均变化率定义进行求解． 【详解】由题意， ， ， 故． 故选：B 【变式2-2】（24-25高二下·天津静海·月考）已知,函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变换率的公式先计算，利用作差法比较大小即可. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义及计算公式可得解. 【详解】函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 故选：A. 题型03 瞬时速度问题 【典例3】（24-25高二下·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数的意义求解. 【详解】由，得， 则， 令， 得. 故选：B. 【变式3-1】（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【详解】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 【变式3-2】（24-25高二下·山东临沂·期中）如果物体的运动函数为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（    ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】D 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用导数的概念可求出物体在秒末的瞬时速度. 【详解】由导数的概念可得， 因此，物体在秒末的瞬时速度是米／秒. 故选：D. 【变式3-3】（多选）（24-25高二下·广东东莞·月考）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】BC 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误． 故选：BC. 题型04 导数的概念与辨析 【典例4】（25-26高二上·河北衡水·期末）已知是的导函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义及简单极限运算法则求解即可. 【详解】由导数的定义得， 所以． 故选：D． 【变式4-1】（25-26高三上·河南·月考）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故选：C 【变式4-2】（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义进行求解． 【详解】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B项正确； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项错误． 故选：B 【变式4-3】（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则 ． 【答案】4 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】变形得到，从而得到，解得． 【详解】因为 ， 所以，解得． 故答案为：4 题型05 计算函数在某点处的导数 【典例5】（2024高二下·全国·专题练习）如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为． (1)当，时，求和； (2)求函数在处的导数． 【答案】(1)， (2)48 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、平均变化率 【分析】（1）由平均变化率公式计算即可; （2）由导数的定义计算即可. 【详解】（1）， 故当，时，，． （2）由（1）得， 故函数在处的导数是48． 【变式5-1】（24-25高二上·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义化简已知，即可求解. 【详解】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 【变式5-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可得： ． 故选：D. 题型06 求已知函数的导数 【典例6】（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中. (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)6. 【知识点】平均变化率、导数（导函数）概念辨析、求某点处的导数值 【分析】（1）求出函数的平均变化率，再利用导数的定义求出导数. （2）由（1）的结论，求出导数值即得. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）由（1）得． 【变式6-1】（24-25高二下·安徽阜阳·月考）已知函数 (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求出，的值 【答案】(1) (2)； 【知识点】求某点处的导数值、导数定义中极限的简单计算 【分析】（1）计算，再计算，取极限即可； （2）计算在和的函数值. 【详解】（1）， 则， 则当时，，故； （2）， 【变式6-2】（22-23高二·全国·随堂练习）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数定义直接运算即可. 【详解】（1）由题意. （2）由题意. （3）由题意. （4）由题意. （5）由题意. （6）由题意. 【变式6-3】（23-24高二上·上海·课后作业）求下列幂函数的导数，其中： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】导数（导函数）概念辨析 【分析】（1）（2）（3）利用导数的定义求解作答. 【详解】（1）当时，， 因此，当h趋近于0时，． （2）当时，， 因此，当h趋近于0时，． （3）当时，， 因此，当h趋近于0时，． 题型07 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【典例7】（25-26高三上·上海·开学考试）若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】/ 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故答案为： 【变式7-1】（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【知识点】导数（导函数）概念辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由导数的概念即可求，最后由导数的几何意义即可求解. 【详解】由有， 所以. 故选：A． 【变式7-2】（23-24高二下·广东中山·月考）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意，， 即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6. 故选：A 【变式7-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 题型08 求曲线在某点处的切线方程 【典例8】（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)； (2). 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的定义，结合解析式，求解即可； （2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可. 【详解】（1）； 故； 则． 故． （2）切线的斜率为函数在处的导数，又， 所以曲线在点的切线方程为，即. 【变式8-1】（21-22高二下·广东深圳·期中）已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数（导函数）概念辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的定义可知，再根据导数公式可求出，即可求出切点，从而得出切线方程． 【详解】由可知，，而，所以，解得，即，所以，因此曲线在点处的切线方程为，即． 故选：A． 【变式8-2】（23-24高二下·四川成都·月考）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据切线方程可知，再由导数的定义可得解. 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以斜率， 所以. 故选：C 【变式8-3】（23-24高二下·重庆·月考）若函数， (1)用定义求； (2)求其图象在与轴交点处的切线方程． 【答案】(1) (2)和 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数定义中极限的简单计算 【分析】（1）根据函数的导数的定义求出； （2）由导数的几何意义可求出切线的斜率，从而可得切线方程. 【详解】（1）由导数定义可得， （2）函数的图象与轴有两个交点， 交点坐标分别为，， ∴， ∴在处的切线方程为； 同理，在处的切线方程为． 题型09 比较大小 【典例9】（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数，是的导函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】过点A作切线，过点B作切线，连接，得到直线，根据导数的几何意义以及斜率的定义结合图象即可得出答案. 【详解】 如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，. 又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知， ，， 所以. 故选：A． 【变式9-1】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义结合图象直接判断即可． 【详解】根据导数的几何意义由图可知：， 所以A，C，D均错误，B正确． 故选：B． 【变式9-2】（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义以及两点斜率公式即可求解. 【详解】和分别表示函数的图象在和处的切线斜率，结合图象可得， 而，表示过和两点的直线斜率，则， 故选：D. 【变式9-3】（24-25高二下·北京·期中）人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化 乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 【答案】 大于 等于 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢，即可得解. 【详解】在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大， 所以甲的心率变化大于乙的心率变化； 在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同， 所以甲的心率变化等于乙的心率变化. 故答案为：大于；等于 一、单选题 1．（24-25高二下·福建·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．14 C．28 D．56 【答案】C 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的概念，可得结果. 【详解】由平均变化率定义得. 故选：C. 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数，则当自变量由2变到时，函数的平均变化率为（   ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的概念求解. 【详解】函数的平均变化率为. 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏·月考）函数在区间内可导，且若，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数定义计算可得结果. 【详解】根据导数定义可得： . 故选：B 5．（24-25高二下·江苏扬州·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以． 故选：C 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 7．（25-26高二上·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 8．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选题）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系如图所示.假设其关系为指数函数，并给出下列说法，其中正确的说法是（    ）. A．野生水葫芦每月的面积增长率为1 B．野生水葫芦的面积从蔓延到只需1.5个月 C．设野生水葫芦面积蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦的面积从第1个月到第3个月蔓延的平均速度等于其从第2个月到第4个月蔓延的平均速度 【答案】AC 【知识点】指数式与对数式的互化、平均变化率 【分析】根据函数图象过的点求得，然后求解增长率判断A；计算面积判断B；利用指对互化求出判断C；分别求出从第1个月到第3个月蔓延的平均速度和从第2个月到第4个月蔓延的平均速度，即可判断D. 【详解】设指数函数的解析式为， 由题图可知图象过点，代入可得，解得，即， 则，即野生水葫芦每月的面积增长率为1，故A正确. 当时，，当时，由，解得，故B不正确. 令，可得，解得， 同理可得，， 则， ，，故C正确. 由平均变化率的定义，可得从第1个月到第3个月的平均变化率为， 从第2个月到第4个月的平均变化率为，故D不正确. 故选：AC. 10．（24-25高二下·江西抚州·期中）电动汽车产业是我国的优势新型产业之一．某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米每小时）关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数表示，则（    ） A．该车速度在前分钟内的平均变化率为 B．该车速度的瞬时变化率逐渐减小 C．该车速度在第分钟的瞬时变化率为 D．可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度 【答案】AD 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】利用平均变化率的定义可判断A选项；求出瞬时变化率的表达式，结合一次函数的单调性可判断B选项；求出的值，可判断C选项；利用瞬时速度的概念可判断D选项. 【详解】函数在上的平均变化率为，故A正确； 该车速度的瞬时变化率即， 所以该车速度的瞬时变化率逐渐增大，故B错误； 由，故当时，，故C错误； 函数在时的瞬时速度为， 在现实生活中，可以用很小的近似替代，而D中，符合条件， 可以用该车运行分钟到分钟之间的平均速度估算该车在时的瞬时速度，故D正确． 故选：AD． 11．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据题意，结合极限的运算法则和导数的定义，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（2008·北京·高考真题）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ； ．（用数字作答） 【答案】 2 -2 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、函数图象的应用 【详解】f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2. 13．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知的图象如图所示，则与的大小关系是 ．    【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数的几何意义,根据图形中函数图象在点处的切线下降和陡峭程度判断即可. 【详解】和分别表示函数图象在点处的切线斜率，    由图知: 函数图象在点处的切线斜率均为负，且处切线更陡， 所以， 所以． 故答案为：. 14．（25-26高二上·云南昆明·月考）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知直线垂直求参数 【分析】根据垂直得出斜率关系结合导数的几何意义得出导数值. 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课后作业）子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用瞬时变化率的定义求解瞬时速度即可. 【详解】由已知得运动方程为． 因为， 所以，当时，． 由题意知，， 所以，即子弹射出枪口时的瞬时速度为． 16．（25-26高二·全国·假期作业）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】（1）由导数定义直接运算即可. （2）由导数定义直接运算即可. （3）由导数定义直接运算即可. 【详解】（1）由题意. （2）由题意. （3）由题意. 17．（22-23高二·全国·课后作业）求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】设，根据导数的定义，求出.然后根据导数的几何意义可得切线的斜率，代入点斜式，整理即可得到切线方程. 【详解】设双曲线在点处的切线斜率为. 函数的定义域为. 设，因为， 根据导数的定义知，. 根据导数的几何意义，，又切点为， 代入点斜式方程可得，整理可得.17. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $