专题3.3 正态分布（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题3.3 正态分布 教学目标 1.理解正态曲线、正态分布的概念，识记正态概率密度函数解析式，掌握符号X∼N(μ,σ2 ) 的含义。 2.熟练掌握正态曲线的 6 条几何性质，理解参数、对曲线位置、形状的影响。 3.明确正态分布的均值、方差；掌握标准正态分布定义。 4.牢记正态分布3σ原则的三个区间概率，能利用对称性、面积性质计算任意区间概率，解决实际应用问题（身高、成绩、质量检测等）。 教学重难点 1.重点： （1）正态曲线、正态分布的概念，正态密度函数，分布符号X∼N(μ,σ2)。 （2）正态曲线的几何性质，参数、的几何意义。 （3）正态分布的均值、方差，3σ 原则及区间概率计算。 （4）正态分布在实际生活中的简单应用。 2.难点： （1） 理解正态密度函数的意义，区分连续型分布与离散型随机变量分布列的差异。 （2） 深刻理解参数 、 分别控制曲线位置、胖瘦的本质。 （3） 利用正态曲线对称性、面积为 1，进行非特殊区间的概率转化与计算。 （4）标准正态分布的理解，以及正态分布模型的实际建模应用。 知识点01 正态曲线与正态分布 1.X的概率密度曲线：随机变量X在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的概率，因此，我们把这条曲线称为X的概率密度曲线。 2.正态概率密度函数, x∈(−∞,+∞)参数：μ∈R（均值），σ>0（标准差）。 3.正态曲线：上述函数的图象，中间高、两头低、左右对称的钟形光滑曲线。 4.正态分布：若随机变量X的概率密度为上述函数，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布，记作：X∼N(μ,σ2) 5.几何意义：曲线与x轴围成的总面积 = 1；随机变量落在区间(a,b)的概率 = 曲线在(a,b)上与x轴围成的曲边梯形面积。 【即学即练】 （多选）（2026·浙江·二模）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【知识点】指定区间的概率、特殊区间的概率、正态曲线的性质、判断或证明函数的对称性 【分析】利用正态分布的性质进行判断即可. 【详解】因为，所以连续型随机变量服从正态分布，且均值，标准差， A选项， ，而， 代入、，得，由正态分布的性质得：， 所以，所以A选项正确； B选项，，由解析A可知：， 由正态分布的对称性可知：， 又， 所以，解得：，因此，所以B选项错误； 对于C，，则， ， 而Y服从正态分布，区间和关于直线对称， 故，即的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D，，若的图象关于点对称，则， 即， 而Y服从正态分布，则，， 故， 当时，， 即的图象不关于点对称，D错误. 知识点02 正态曲线的特点 1.曲线全部位于x轴上方，与x轴永不相交；∣x∣→∞时，曲线无限贴近x轴。 2.单峰曲线，关于直线x=μ轴对称。 3.在x=μ处取得最大值：φ(μ)=。 4.σ 固定时，μ改变 → 曲线整体沿 x 轴左右平移（μ决定曲线位置）。 5.μ固定时，σ越大 → 曲线越扁平、分散；σ越小 → 曲线越尖陡、集中（口诀：大胖小瘦）。 6.曲线与x轴围成封闭区域面积恒为1（总概率为 1）。 【即学即练】 （25-26高二下·全国·课堂例题）参数和对正态曲线的形状有什么影响？ 【答案】答案见解析 【知识点】正态曲线的性质 【分析】由正态密度曲线的解析式即可判断. 【详解】由正态密度曲线的解析式：可知， 为位置参数 当参数取固定值时，正态曲线的位置由决定，且随着的变化而沿轴平移， 为形状参数 参数的大小决定了曲线的高低和胖瘦，因此的变化影响曲线的形状． 越小，曲线越“瘦高”，表示随机变量的分布趋于集中；越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量的分布越分散. 知识点03 正态分布的均值与方差 若X∼N(μ,σ2)，则：E(X)=μ,D(X)=σ2即参数μ为数学期望（均值），σ2为方差，σ为标准差。 【即学即练】 （25-26高二下·湖南长沙·月考）已知随机变量，且，，则________. 【答案】/ 【知识点】二项分布的均值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布的对称性，求得，由二项分布的性质，结合题意得,从而求得. 【详解】随机变量，且， 所以，即. 因为， 所以. 所以. 知识点04 标准正态分布 当μ=0, σ=1时的正态分布，称为标准正态分布，记作：X∼N(0,1).其密度函数为，对称轴为x=0（y 轴）。 【即学即练】 （多选）（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 【答案】ACD 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及可判断B，根据正态曲线的性质可判断C，根据正态曲线的对称性可判断D. 【详解】随机变量，则A正确； ，则B错误； 随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确； 正态分布的曲线关于对称，，则D正确， 故选：ACD． 知识点05 3σ原则 1.若X∼N(μ,σ2)，随机变量在三个对称区间内的取值概率： 2.正态总体几乎所有（99.73%）的数值都落在区间(μ−3σ, μ+3σ)内，超出这个范围的异常值出现的概率仅有1−0.9973=0.27%，概率极小。在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取(μ−3σ, μ+3σ)之间的值，并简称为3σ原则。 【即学即练】 （25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则） 【答案】1 【知识点】3δ原则 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解． 【详解】依题意可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故至多为1． 故答案为：1． 题型01 正态密度函数 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）设，且总体密度曲线的函数表达式为，. (1)求； (2)求及的值. 【答案】(1)， (2)， 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布函数的结构特征，对照已知函数求出和，利用一般正态总体与标准正态总体的概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决. 【详解】（1）由于， 根据一般正态分布的函数表达形式，可知，，故. （2） . 又 . 【变式1-1】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【答案】ACD 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质 【分析】首先根据正态密度函数解析式确定和，判断AD，再根据对称性判断BC. 【详解】由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确． 因为函数图象关于直线对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同； 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确． 故选：ACD 【变式1-2】（多选）（25-26高三下·河南新乡·月考）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X（单位：cm）服从正态分布，其正态密度函数为，，则下列说法正确的是（　　） A．该地水稻的平均株高为100cm B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 【答案】AC 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用、正态曲线的性质 【详解】由正态分布密度曲线函数，，可得， 所以该地水稻的平均株高为100cm，故A正确； 该地水稻株高的方差为100，B错误； 由， 所以随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大，故C正确； 由正态分布的对称性可知：，故D错误. 【变式1-3】（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数、正态密度函数 【分析】可根据正态密度函数的性质，结合偶函数的特点以及函数最大值来确定正态密度函数解析式中的参数. 【详解】由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于轴对称，即，又该函数的最大值是， 所以，解得． 故所求正态密度函数的解析式为. 题型02 概率分布曲线的认识 【典例2】（多选）（24-25高二下·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【答案】AB 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、概率分布曲线的认识 【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误. 【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故， 由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可得，故，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知： 表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 【变式2-1】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、概率分布曲线的认识 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 【变式2-2】（多选）（23-24高三上·全国·一轮复习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 【变式2-3】（24-25高三上·云南·月考）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中_________班获胜的可能性更大． 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、概率分布曲线的认识 【分析】根据均值和方差的大小可得正确的选项. 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 题型03 正态曲线的性质 【典例3】（25-26高三·全国·三轮复习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的性质逐项判断即可. 【详解】由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以对任意正数，. 【变式3-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【详解】A：因为甲零件的平均长度与乙零件相同，所以，所以A错误. B：正态分布关于均值对称，所以，所以B错误. C：因为甲零件的离散程度越大，所以方差更大，即，所以C正确. D：因为，在坐标轴上在的右侧，，所以D错误. 【变式3-2】（2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、正态曲线的性质、指定区间的概率 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 【变式3-3】（多选）（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则（   ）（参考数据：，） A．该校学生成绩的均值为70 B．该校学生成绩的标准差为2 C．该校学生成绩的标准差为16 D．该校学生成绩及格率超过95% 【答案】AD 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据题意得，再结合正态分布的性质逐个分析判断即可. 【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布， 所以， 所以该校学生成绩的均值为70，标准差为4， 所以A正确，BC错误， 对于D，因为，及格线，所以及格率， 因为， 所以，所以D正确. 题型04 标准正态分布的应用 【典例4】（2025高三·全国·专题练习）设随机变量服从，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】（1）（2）（3）查询标准正态分布概率密度表求对应概率值. 【详解】（1）. （2）. （3）. 【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题． 【详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 【变式4-2】（多选）（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 【答案】ABC 【知识点】标准正态分布的应用、根据正态曲线的对称性求参数、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的对称性及条件，可判断A、C、D的正误；根据正态分布的性质及函数的性质，可判断B的正误； 【详解】因为随机变量，则正态分布的对称轴， 选项A：，故A正确； 选项B：随着x逐渐增大，逐渐增大且连续，所以是增函数，故B正确； 选项C：根据对称性可得， 又，所以，故C正确； 选项D： ，故D错误； 【变式4-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【知识点】正态分布的实际应用、标准正态分布的应用 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 题型05 特殊区间的概率 【典例5】（25-26高二下·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】（1）利用正态分布三段区间的概率值求概率； （2）利用正态分布三段区间的概率值求概率； （3）利用正态分布三段区间的概率值结合对称性求概率； （4）利用正态分布三段区间的概率值结合对称性求概率. 【详解】（1），． 所以． （2）∵该正态曲线关于直线对称， 所以． （3）∵该正态曲线关于直线对称， ， . （4）因为该正态曲线关于直线对称， ， ． 【变式5-1】（25-26高二下·河南南阳·月考）在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率 【分析】利用正态分布的性质及区间概率值，即可求得指定区间概率. 【详解】由，得， 则 . 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·江西南昌·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率、3δ原则 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于210g的概率，即可得解. 【详解】由可知， ， 故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高三下·青海西宁·月考）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，. 【答案】95.45% 【知识点】3δ原则、特殊区间的概率 【详解】由题意可知，故合格率约为95.45%. 题型06 指定区间的概率 【典例6】（25-26高二下·浙江宁波·月考）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指定区间的概率 【详解】因为，因此对应的正态曲线的对称轴为 由对称性可知 所以 所以 【变式6-1】（2026·重庆九龙坡·二模）设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 【答案】D 【知识点】指定区间的概率 【详解】解：随机变量服从正态分布，， ，． 【变式6-2】（25-26高三下·上海虹口·月考）已知随机变量，若，则_______． 【答案】/0.6 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意，. 【变式6-3】（23-24高二下·四川遂宁·月考）已知随机变量，，则______． 【答案】0.7/ 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的对称性，即可列式求解. 【详解】由题意可知，. 故答案为：0.7 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 【典例7】（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【变式7-1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知随机变量，，则值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】A 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性求的值. 【详解】因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为． 又因为，所以，解得． 【变式7-2】（2026·江西新余·二模）已知随机变量，且，则___________ 【答案】3 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称， 所以，解得. 【变式7-3】（2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 【答案】2 【知识点】求指定项的系数、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定，即可得. 【详解】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. 题型08 正态分布的实际应用 【典例8】（25-26高二下·浙江宁波·月考）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)8186人 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）由，结合对称性即可求解； （2）由正态分布对称性即可求解. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）解：则 ， ， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 【变式8-1】（25-26高二下·辽宁·月考）为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【知识点】正态分布的实际应用 【分析】求出耗电量大于14kW·h/100km的汽车的概率，结合汽车总量1000即可得解. 【详解】由正态曲线的对称性知，， 于是耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有. 【变式8-2】（25-26高二下·全国·课后作业）某种零件的尺寸（单位：cm）服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的________． 【答案】4.6％/ 【知识点】正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】根据正态分布的性质，求属于区间的概率，再根据对立事件，即可求解. 【详解】由条件可知，，，则， 所以属于区间，即区间的取值概率约为， 故不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的． 故答案为 ：4.6％ 【变式8-3】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】（1）结合已知条件，利用平均数和方差的计算公式求解； （2）（i）利用（1）的数据结合正态分布的性质求解；（ii）利用正态分布的对称性计算求解． 【详解】（1） ， ． （2）由（1）可知，，，结合参考数据得， （i），， ，区间长度为， 根据正态分布的对称性，概率近似等于， 已知，， ； （ii）利用正态分布对称性：， ， 其续航里程不低于的概率约为． 题型09 3δ原则 【典例9】（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【知识点】3δ原则 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 【变式9-1】（25-26高二上·江西萍乡·期末）设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【知识点】3δ原则 【分析】根据正态分布的原则结合条件即可求解. 【详解】因为，所以标准差，期望， 根据正态分布的原则，， 要使，则需满足： ，化简可得：， 解得：，即，得出. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）某厂生产的产品，质量要求服从正态分布，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102，92，104，103，98，96，97，99，101，108，则该生产线是否要停产检修？ 【答案】应停产检修 【知识点】正态分布的实际应用、特殊区间的概率 【分析】根据正态分布的性质分析求解即可. 【详解】由题意知产品质量服从正态分布，则， 产品质量在区间，即内的概率为， 而在这个区间外的概率仅为， 在抽测的10件产品中有2件（分别是92，108）不在这个区间内，小概率事件竟然发生了， 说明生产线有问题，故应停产检修． 【变式9-3】（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 一、单选题 1．（2026高三·福建·专题练习）已知随机变量服从正态分布，记函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解． 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以该正态分布密度函数曲线的对称轴为，如图： 因为函数，所以函数是单调递增函数，则，故ABC错误； 又, 所以，所以，故D正确. 2．（25-26高二上·河南南阳·期末）某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（   ）（参考数据：若随机变量，则） A．0.8185 B．0.9544 C．0.9759 D．0.9974 【答案】C 【知识点】指定区间的概率 【分析】求出，，结合参考数据计算即可. 【详解】因为，所以，. 由题意可知，“”表示事件“饼干是合格品”， 所以 故选：C. 3．（25-26高二下·辽宁大连·月考）已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项分布的方差、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【详解】依题可知，，所以， 因为，所以， 而，A，B错误， ，所以， 故，C正确，D错误； 5．（25-26高二下·全国·课前预习）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 6．（2026·江苏南通·一模）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】标准正态分布的应用、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据标准正态分布的对称性可得，运算求解结合选项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 7．（2026·广东梅州·一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 8．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽六安·期末）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态密度曲线易得，，然后可逐项判断. 【详解】，， 两曲线分别关于直线、对称，由图可知，故A正确； 又，所以，故C错误； 又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故B错误； 又，所以，故D正确； 故选：AD. 10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 【答案】ACD 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】直接由正态分布的定义可判断ABC选项，再由正态分布的概率分布计算成绩超过及格线的概率可判断D选项. 【详解】因为学生的成绩服从正态分布，所以，所以AC正确，B错误； 因为， 所以， 又因为，所以 所以，故D正确. 11．（2026·重庆九龙坡·一模）近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（   ） A．该蜜柚是优等品的概率为 B．该蜜柚是合格品的概率为 C．若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D．若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 【答案】ABC 【知识点】指定区间的概率、计算条件概率 【分析】根据正态分布的概念，判断分布曲线的对称轴和方差，根据正态分布的对称性，以及条件概率公式，逐一判断各选项正误. 【详解】由题意，则随机变量服从正态分布，对称轴为，， 因为，即， 所以，A正确； 由，可知， 所以，B正确； 由正态分布曲线的对称轴为，所以，， 设事件为蜜柚重量大于1500克，则，事件为蜜柚为优等品，则， 由条件概率可知蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为，C正确； 蜜柚是合格品的概率为，重量不小于1500克的概率为， 设事件为蜜柚是合格品，则，设事件为蜜柚重量不小于1500克，则， 由条件概率可知蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为，D错误； 故选：ABC 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则______． 【答案】/ 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率 【详解】因为随机变量X服从标准正态分布，即， 所以. 故答案为：. 13．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 【答案】 【知识点】正态密度函数 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 14．（25-26高二下·湖南长沙·月考）假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 【答案】85 【知识点】正态分布的实际应用 【详解】设A等级的分数线为a，则应该满足． 又由题知， 因此． 四、解答题 15．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【知识点】3δ原则、概率分布曲线的认识、指定区间的概率 【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【详解】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 16．（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、二项分布的均值、指定区间的概率 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果： （2）根据题意，由正态分布的概率公式可得，再由二项分布的期望公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得． （2）由题意得 ， 则，， ，， 即随机变量Y的期望约为. 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 【答案】(1)①6；② (2)厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由见解析 【知识点】求离散型随机变量的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】(1)①根据正态分布的性质，均值即为中位数，因此由条件可直接得出，即等级系数的平均值；②已知，所以由此可得区间对应于,利用正态分布的概率性质，该区间内的概率约为0.6827,设为10000件产品中等级系数位于该区间内的件数，则服从二项分布，期望； (2)根据样本数据计算厂产品的等级系数平均值，公式为各等级系数值乘以对应频数之和除以总件数，然后分别计算厂和厂的值，，比较两者大小，依据“值越大，产品越具可购买性”的标准判断哪个工厂的产品更具可购买性. 【详解】（1）①根据题意，，得，即厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6． ②， ，则， 易知一件搪瓷水杯等级系数位于区间内的概率约为0.6827，依题意知的二项分布， ． （2）厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下： 用样本估计总体，可得厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为． 厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36元/件， ， 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为30元/件，， 又，故厂生产的搪瓷水杯更具可购买性． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 正态分布 教学目标 1.理解正态曲线、正态分布的概念，识记正态概率密度函数解析式，掌握符号X∼N(μ,σ2 ) 的含义。 2.熟练掌握正态曲线的 6 条几何性质，理解参数、对曲线位置、形状的影响。 3.明确正态分布的均值、方差；掌握标准正态分布定义。 4.牢记正态分布3σ原则的三个区间概率，能利用对称性、面积性质计算任意区间概率，解决实际应用问题（身高、成绩、质量检测等）。 教学重难点 1.重点： （1）正态曲线、正态分布的概念，正态密度函数，分布符号X∼N(μ,σ2)。 （2）正态曲线的几何性质，参数、的几何意义。 （3）正态分布的均值、方差，3σ 原则及区间概率计算。 （4）正态分布在实际生活中的简单应用。 2.难点： （1） 理解正态密度函数的意义，区分连续型分布与离散型随机变量分布列的差异。 （2） 深刻理解参数 、 分别控制曲线位置、胖瘦的本质。 （3） 利用正态曲线对称性、面积为 1，进行非特殊区间的概率转化与计算。 （4）标准正态分布的理解，以及正态分布模型的实际建模应用。 知识点01 正态曲线与正态分布 1.X的概率密度曲线：随机变量X在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的概率，因此，我们把这条曲线称为X的概率密度曲线。 2.正态概率密度函数, x∈(−∞,+∞)参数：μ∈R（均值），σ>0（标准差）。 3.正态曲线：上述函数的图象，中间高、两头低、左右对称的钟形光滑曲线。 4.正态分布：若随机变量X的概率密度为上述函数，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布，记作：X∼N(μ,σ2) 5.几何意义：曲线与x轴围成的总面积 = 1；随机变量落在区间(a,b)的概率 = 曲线在(a,b)上与x轴围成的曲边梯形面积。 【即学即练】 （多选）（2026·浙江·二模）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 知识点02 正态曲线的特点 1.曲线全部位于x轴上方，与x轴永不相交；∣x∣→∞时，曲线无限贴近x轴。 2.单峰曲线，关于直线x=μ轴对称。 3.在x=μ处取得最大值：φ(μ)=。 4.σ 固定时，μ改变 → 曲线整体沿 x 轴左右平移（μ决定曲线位置）。 5.μ固定时，σ越大 → 曲线越扁平、分散；σ越小 → 曲线越尖陡、集中（口诀：大胖小瘦）。 6.曲线与x轴围成封闭区域面积恒为1（总概率为 1）。 【即学即练】 （25-26高二下·全国·课堂例题）参数和对正态曲线的形状有什么影响？ 知识点03 正态分布的均值与方差 若X∼N(μ,σ2)，则：E(X)=μ,D(X)=σ2即参数μ为数学期望（均值），σ2为方差，σ为标准差。 【即学即练】 （25-26高二下·湖南长沙·月考）已知随机变量，且，，则________. 知识点04 标准正态分布 当μ=0, σ=1时的正态分布，称为标准正态分布，记作：X∼N(0,1).其密度函数为，对称轴为x=0（y 轴）。 【即学即练】 （多选）（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 知识点05 3σ原则 1.若X∼N(μ,σ2)，随机变量在三个对称区间内的取值概率： 2.正态总体几乎所有（99.73%）的数值都落在区间(μ−3σ, μ+3σ)内，超出这个范围的异常值出现的概率仅有1−0.9973=0.27%，概率极小。在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取(μ−3σ, μ+3σ)之间的值，并简称为3σ原则。 【即学即练】 （25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则） 题型01 正态密度函数 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）设，且总体密度曲线的函数表达式为，. (1)求； (2)求及的值. 【变式1-1】（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【变式1-2】（多选）（25-26高三下·河南新乡·月考）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X（单位：cm）服从正态分布，其正态密度函数为，，则下列说法正确的是（　　） A．该地水稻的平均株高为100cm B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 【变式1-3】（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 题型02 概率分布曲线的认识 【典例2】（多选）（24-25高二下·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【变式2-1】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）（23-24高三上·全国·一轮复习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【变式2-3】（24-25高三上·云南·月考）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中_________班获胜的可能性更大． 题型03 正态曲线的性质 【典例3】（25-26高三·全国·三轮复习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【变式3-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式3-3】（多选）（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则（   ）（参考数据：，） A．该校学生成绩的均值为70 B．该校学生成绩的标准差为2 C．该校学生成绩的标准差为16 D．该校学生成绩及格率超过95% 题型04 标准正态分布的应用 【典例4】（2025高三·全国·专题练习）设随机变量服从，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【变式4-2】（多选）（2026·江苏·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 题型05 特殊区间的概率 【典例5】（25-26高二下·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-1】（25-26高二下·河南南阳·月考）在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 【变式5-2】（25-26高二上·江西南昌·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 【变式5-3】（25-26高三下·青海西宁·月考）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，. 题型06 指定区间的概率 【典例6】（25-26高二下·浙江宁波·月考）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·重庆九龙坡·二模）设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 【变式6-2】（25-26高三下·上海虹口·月考）已知随机变量，若，则_______． 【变式6-3】（23-24高二下·四川遂宁·月考）已知随机变量，，则______． 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 【典例7】（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【变式7-1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知随机变量，，则值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【变式7-2】（2026·江西新余·二模）已知随机变量，且，则___________ 【变式7-3】（2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 题型08 正态分布的实际应用 【典例8】（25-26高二下·浙江宁波·月考）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 【变式8-1】（25-26高二下·辽宁·月考）为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【变式8-2】（25-26高二下·全国·课后作业）某种零件的尺寸（单位：cm）服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的________． 【变式8-3】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 题型09 3δ原则 【典例9】（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【变式9-1】（25-26高二上·江西萍乡·期末）设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 【变式9-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）某厂生产的产品，质量要求服从正态分布，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102，92，104，103，98，96，97，99，101，108，则该生产线是否要停产检修？ 【变式9-3】（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 一、单选题 1．（2026高三·福建·专题练习）已知随机变量服从正态分布，记函数，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南南阳·期末）某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（   ）（参考数据：若随机变量，则） A．0.8185 B．0.9544 C．0.9759 D．0.9974 3．（25-26高二下·辽宁大连·月考）已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26高二下·全国·课前预习）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 6．（2026·江苏南通·一模）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东梅州·一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 8．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽六安·期末）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 11．（2026·重庆九龙坡·一模）近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（   ） A．该蜜柚是优等品的概率为 B．该蜜柚是合格品的概率为 C．若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D．若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则______． 13．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 14．（25-26高二下·湖南长沙·月考）假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 四、解答题 15．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 16．（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $