第09讲 平面直角坐标系与函数初步（复习讲义，5考点9题型2重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦“平面直角坐标系与函数初步”中考核心模块，涵盖点坐标表示、象限判断、平移对称变换、几何综合应用、规律探究及函数图象分析等考点，通过“知识导航·网络构建”梳理知识联系，“考点解析·题型突破”分模块精讲，配合真题训练，构建系统复习体系。 亮点在于“重难突破”环节设计，如动点问题函数图象通过菱形运动实例培养几何直观，点坐标规律探究结合正方形渐开线训练推理能力，分层练习从基础到新趋势适配不同学生。教师可借助考情分析精准把控复习节奏，助力学生高效提升应考能力。

第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数初步 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 平面直角坐标系 题型01 用坐标表示位置 题型02 点所在的象限 题型03 点的坐标的平移变换 题型04 点的坐标的对称变换 题型05 几何图形中的点的坐标 题型06 坐标与几何综合 命题点二 函数 题型01 求自变量的取值范围 题型02 函数图象的识别 题型03 从函数图象获取信息求解 05·重难突破·思维进阶 25 突破一 动点问题的函数图象 突破二 点坐标的规律探究 06·优题精选·练能提分 29 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 平面直角坐标系中的点坐标的平移 辽宁省卷 T8 辽宁省卷 T12 营口卷T12 正确认识平面直角坐标系，掌握点的坐标特征，熟练掌握运用点的平移与对称的坐标变化规律。 坐标与图形综合 / / 鞍山卷T13 掌握几何图形与坐标的结合应用，如矩形性质、尺规作图、图形翻折问题等。 点坐标的规律探究 / / 阜新卷T10 锦州卷T16 综合掌握几何图形变化规律，所产生的点坐标规律或相关的长度与面积规律。 从函数图象获取信息求解 阜新卷T16 能从函数图象中获取关键信息，如交点、最值、增减性等，并结合实际问题与函数性质分析问题，能利用图象解决实际应用问题中的变化趋势与取值范围等问题。 动点问题的函数图象 / / 盘锦卷T10 鞍山卷T8 锦州卷T8 抚顺、葫芦岛卷T10 本溪、铁岭、辽阳卷T10 能将函数图象与几何图形中的信息联系起来，结合题意进行动点轨迹、不同情况下的动点所形成的图形形状、对应长度或面积或角度进行分析，结合数据进行计算，确定函数图象或确定特殊点坐标或线段长度等。 命题预测 平面直角坐标系考点主要集中在点的坐标表示，确定点所在象限或根据象限求参数，点的平移变换或对称变换，以及结合几何图形的性质对特殊点坐标进行求解，整体难度不大，注意计算准确性，与多解情况分析。函数初步部分主要考察自变量的取值范围，根据函数图象获取信息求解，动点问题的函数图象等，也是后续一次函数、反比例函数、二次函数的基础，要注意题目中对实际应用问题含义的分析与理解，验证解的合理性。 考点一 平面直角坐标系中的点坐标的平移 1. 平面直角坐标系 水平数轴叫x轴（横轴），向右为正方向；垂直数轴叫y轴（纵轴），向上为正方向。 两轴交点为原点O，坐标为(0,0)；x轴和y轴将平面分成四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b). 特殊点的坐标：原点(0,0)；x轴上的点纵坐标为0，记为(a,0)；y轴上的点横坐标为0，记为(0,b)。 3. 点的坐标特征 点P(x，y) 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的纵坐标相等 平行y轴 所有点的横坐标相等 4. 点的平移的坐标规律 左减右加，上加下减 5. 点的对称的坐标规律 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即P(a,b)→P1(a,-b)； 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即P(a,b)→P2(-a,b)； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即P(a,b)→P3(-a,-b)； 关于直线y=x对称：横、纵坐标互换，即P(a,b)→P4(b,a)。 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 3．（2023·辽宁营口·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是 ． 考点二 坐标与图形综合 1. 点到坐标轴与点到原点的距离 点P(a,b)到x轴的距离：纵坐标的绝对值，即； 点P(a,b)到y轴的距离：横坐标的绝对值，即； 点P(a,b)到原点O的距离：. 2. 两点间距离公式 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：. 3. 中点坐标公式 坐标系中有两点M与点N，则MN的中点坐标为. 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 2．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    3．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为 ． 4．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 考点三 点坐标的规律探究 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．    考点四 从函数图象获取信息求解 一、函数的相关概念 1.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 3.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 4.函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 5.函数表达式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数表达式或函数关系式. 6.函数图像上点的坐标与表达式之间的关系： 1）将点的坐标代入到表达式中，如表达式两边成立，则点在表达式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个表达式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 关系式法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 关系式法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用关系式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 三、函数的自变量的取值范围 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 2.确定自变量取值范围的方法： 1）函数关系式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数关系式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数关系式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 1．（2025·辽宁锦州·三模）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A．未挂物体时，弹簧的长度为 B．所挂物体为时，弹簧的长度为 C．当所挂的物体超过时，弹簧的长度不会发生变化 D．弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加 2．（2025·辽宁盘锦·一模）现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（  ） A．甲的平均速度大于乙的平均速度 B．乙出发后用了8分钟追上甲 C．当乙追上甲时，乙距离小区米 D．当乙到达小区时，甲距离小区米 3．（2023·辽宁阜新·中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．    考点五 动点问题的函数图象 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·二模）如图，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为 ． 4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（    ）      A．  B．       C．   D．   命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 用坐标表示位置 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别是和，则教学楼的坐标是 ． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若，两点的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．      ►题型02 点所在的象限 点P(x，y) 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的纵坐标相等 平行y轴 所有点的横坐标相等 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·三模）已知在第三象限，则a的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】2．（2025·辽宁锦州·三模）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·二模）已知点P（1－a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是 ． ►题型03 点的坐标的平移变换 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知平面直角坐标系中存在一点，现将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点的坐标为 ． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 【变式】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．．将矩形沿射线方向平移3个单位长度，则点平移后的对应点的坐标为 ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，数学兴趣小组把一个边长为5的正方形纸片放在平面直角坐标系中，使点与点重合，与轴正半轴交于点，调整正方形纸片的位置，使恰好是的中点，接下来把正方形纸片沿轴向左平移，当点落在轴上时，点的坐标为 ． ►题型04 点的坐标的对称变换 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即P(a,b)→P1(a,-b)； 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即P(a,b)→P2(-a,b)； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即P(a,b)→P3(-a,-b)； 关于直线y=x对称：横、纵坐标互换，即P(a,b)→P4(b,a)。 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）点关于轴的对称点的坐标为 ． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 ►题型05 几何图形中的点的坐标 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为 ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点且在点的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． ►题型06 坐标与几何综合 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将绕着点B逆时针旋转，得到，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（   ） A．9 B．12 C．14 D．15 【变式】1．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A．5 B．6 C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，原点为的中点．将折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为 ． 命题点二 函数 ►题型01 求自变量的取值范围 1）函数关系式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数关系式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数关系式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·一模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A．x≠0 B．x≥且x≠0 C．x＞ D．x≥ 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【变式】3．（2025·辽宁营口·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围 ． ►题型02 函数图象的识别 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·一模）在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）我们知道，通过列表，描点，连线可以画出一个函数的图象．在画完函数的图象后，何老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数的图象经过第一、三象限吗？”．聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当时，，此时描出的点都在第一象限；当时，，此时描出的点都在第三象限．所以函数的图象一定经过第一、三象限”．大家不禁为善于思考的小亮鼓掌．最后何老师又给大家留了一道思考题：下面四个图象中哪个是函数的图象（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐，则溶液的浓度y与加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁阜新·模拟预测）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． ►题型03 从函数图象获取信息求解 【典例】1．（2025·辽宁锦州·三模）张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是 ． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为 ． 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往地，运动过程中甲、乙两人离地的距离（）与出发时间（）的关系如图所示，则甲到达地时两人相距（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2026·辽宁阜新·一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是 ． 【变式】3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（   ）． A．在一定范围内，越大，越小 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 突破一 动点问题的函数图象 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·二模）如图1，在矩形中，点P从点A出发，沿折线向点C匀速运动，过点P作对角线的垂线，交矩形的边于点Q．设点P运动的路程为x，的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（    ）    A．4 B． C．8 D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，其中点E为曲线的最低点，下列结论①，②，③的面积为，④中边上的高为4，其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 突破二 点坐标的规律探究 【典例】1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点M的同行点，已知点的同行点为点，点的同行点为点，点的同行点为点，…，这样依次得到点，，，…，，…若点的坐标为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段，又将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段如此下去，得到线段，则点的坐标为 ． 【变式】2．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【变式】3．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”，将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点．其平移过程如下：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，向右平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，向上平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，向左平移1个单位长度得到点．若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后， 到达点 ，则Q的坐标为 ． 1．如图，将某动物园中的猴山，狮虎山，熊猫馆分别记为M，N，P，若建立平面直角坐标系，将猴山M，狮虎山N用坐标分别表示为(2，1)和(8，2)，则熊猫馆P用坐标表示为 ． 2．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为 ． 4．在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 5．如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．5 7．物体的动能（单位：J）与物体的质量（单位：）和运动速度（单位：）有关，三者的关系为．当时，该物体的运动速度的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 8．如图，在矩形中，点B 的坐标是，则的长是 ． 9．如图，平行四边形中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，的中点E的坐标是，若将平行四边形沿x轴向右平移，使点E的对应点，恰好落在y轴上，则点D的对应点的坐标是 ． 10．函数的自变量x的取值范围是 11．在中，的取值范围为 ． 12．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A． B． C． D． 13．为避开周五放学时学校门口的交通拥堵，乐乐和爸爸商定了一个学校附近的集合地点，爸爸开车从家出发提前到集合地等待，乐乐放学后从学校出发步行到达集合地，爸爸接到乐乐后再返回家中．假设汽车行进过程中始终保持匀速行驶，二人离家的距离S(单位：)与出发时间t(单位：)之间的函数关系如图所示，下列说法：①学校到家的距离为；②爸爸比乐乐早出发；③乐乐到达集合地用了；④爸爸返程时的速度为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．2 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A坐标是，P为边上一点，沿折叠正方形，点B的对应点为，若，则点的坐标是 ． 16．已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   17．如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，甲和乙由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．甲按逆时针方向以2个单位长度匀速运动，乙按顺时针方向以4个单位长度匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇点的坐标是（　　） A． B． C． D． 18．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 19．如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．图2是的面积随时间变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为 ． 20．如图，在 中，cm，，，过点 向作垂线，垂足为．直线垂直于，直线分别与相交于点，直线分别与相交于点P、Q．直线m从点A出发，沿方向以1cm/s的速度向点D运动，到达点D时停止运动；同时，直线n从点B出发，沿方向以相同的速度向点D运动，到达点D时停止运动．若运动过程中直线m、n及围成的多边形的面积是 ，直线m的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 4．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 6．（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 9．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 10．（2025·新疆·中考真题）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 11．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 12．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 13．（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 14．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 15．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 18 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数初步 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 27 命题点一 平面直角坐标系 题型01 用坐标表示位置 题型02 点所在的象限 题型03 点的坐标的平移变换 题型04 点的坐标的对称变换 题型05 几何图形中的点的坐标 题型06 坐标与几何综合 命题点二 函数 题型01 求自变量的取值范围 题型02 函数图象的识别 题型03 从函数图象获取信息求解 05·重难突破·思维进阶 59 突破一 动点问题的函数图象 突破二 点坐标的规律探究 06·优题精选·练能提分 71 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 平面直角坐标系中的点坐标的平移 辽宁省卷 T8 辽宁省卷 T12 营口卷T12 正确认识平面直角坐标系，掌握点的坐标特征，熟练掌握运用点的平移与对称的坐标变化规律。 坐标与图形综合 / / 鞍山卷T13 掌握几何图形与坐标的结合应用，如矩形性质、尺规作图、图形翻折问题等。 点坐标的规律探究 / / 阜新卷T10 锦州卷T16 综合掌握几何图形变化规律，所产生的点坐标规律或相关的长度与面积规律。 从函数图象获取信息求解 阜新卷T16 能从函数图象中获取关键信息，如交点、最值、增减性等，并结合实际问题与函数性质分析问题，能利用图象解决实际应用问题中的变化趋势与取值范围等问题。 动点问题的函数图象 / / 盘锦卷T10 鞍山卷T8 锦州卷T8 抚顺、葫芦岛卷T10 本溪、铁岭、辽阳卷T10 能将函数图象与几何图形中的信息联系起来，结合题意进行动点轨迹、不同情况下的动点所形成的图形形状、对应长度或面积或角度进行分析，结合数据进行计算，确定函数图象或确定特殊点坐标或线段长度等。 命题预测 平面直角坐标系考点主要集中在点的坐标表示，确定点所在象限或根据象限求参数，点的平移变换或对称变换，以及结合几何图形的性质对特殊点坐标进行求解，整体难度不大，注意计算准确性，与多解情况分析。函数初步部分主要考察自变量的取值范围，根据函数图象获取信息求解，动点问题的函数图象等，也是后续一次函数、反比例函数、二次函数的基础，要注意题目中对实际应用问题含义的分析与理解，验证解的合理性。 考点一 平面直角坐标系中的点坐标的平移 1. 平面直角坐标系 水平数轴叫x轴（横轴），向右为正方向；垂直数轴叫y轴（纵轴），向上为正方向。 两轴交点为原点O，坐标为(0,0)；x轴和y轴将平面分成四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b). 特殊点的坐标：原点(0,0)；x轴上的点纵坐标为0，记为(a,0)；y轴上的点横坐标为0，记为(0,b)。 3. 点的坐标特征 点P(x，y) 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的纵坐标相等 平行y轴 所有点的横坐标相等 4. 点的平移的坐标规律 左减右加，上加下减 5. 点的对称的坐标规律 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即P(a,b)→P1(a,-b)； 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即P(a,b)→P2(-a,b)； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即P(a,b)→P3(-a,-b)； 关于直线y=x对称：横、纵坐标互换，即P(a,b)→P4(b,a)。 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 2．（2024·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标． 【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点， ∴向上平移2个单位后得到点， 故答案为：． 3．（2023·辽宁营口·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】向左平移5个单位长度，即点的横坐标减5，纵坐标不变，从而即可得到的坐标． 【详解】解：点向左平移5个单位长度后， 坐标为， 即的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移规律变化是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 考点二 坐标与图形综合 1. 点到坐标轴与点到原点的距离 点P(a,b)到x轴的距离：纵坐标的绝对值，即； 点P(a,b)到y轴的距离：横坐标的绝对值，即； 点P(a,b)到原点O的距离：. 2. 两点间距离公式 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：. 3. 中点坐标公式 坐标系中有两点M与点N，则MN的中点坐标为. 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接，设交于，由作图方法可得垂直平分，则，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B．    2．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中， ∴， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，则：， ∴， ∴， 画图如下： 当正方形绕点A顺时针旋转， ①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，如图，作轴， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的对应点的坐标为； ②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，如图， ， 点C的对应点的坐标为； ③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，如图， 同①可知： ， ，，， ∴点横坐标为， 点C的对应点的坐标为； 综上所述：点C的对应点的坐标为或或 故答案为：或或 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 4．（2025·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，根据点在以为圆心，为半径的上运动，可知当经过圆心时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理求出，进而可求出，即，设点的横坐标为，根据中位线的性质可知点的纵坐标为，再根据勾股定理即可求出的值，随即可知点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点， 则点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， 当最大时，最大， 点为坐标平面内的一点，且， 点在以为圆心，为半径的上运动， 当经过圆心时，最大，即点在图中位置， ， ， ， 设点的横坐标为， ∵，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（负值去除），即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 考点三 点坐标的规律探究 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、图形的旋转，探索图形的规律，根据点的坐标可知是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线，根据点的坐标和菱形的性质可知点的坐标是，根据每秒旋转可知每秒旋转一圈，秒时菱形旋转了圈又秒，根据秒菱形旋转的角度，判断点所在的象限，根据象限求出坐标． 【详解】解：设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线， 四边形是菱形， 点是的中点， 点的坐标是， ， 旋转秒时点回到初始位置， ， 第秒时，点旋转了圈又秒， ， 点旋转到第四象限， 点的坐标是． 故选：A． 2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可． 【详解】解：由图得，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第三象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意和图形可先求得，，，，，，，，，从而得，，，，利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴点与点的横坐标相同，，，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形，，，，…都是平行四边形， ∴，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，，，，， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键． 考点四 从函数图象获取信息求解 一、函数的相关概念 1.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 3.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 4.函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 5.函数表达式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数表达式或函数关系式. 6.函数图像上点的坐标与表达式之间的关系： 1）将点的坐标代入到表达式中，如表达式两边成立，则点在表达式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个表达式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 关系式法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 关系式法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用关系式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 三、函数的自变量的取值范围 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 2.确定自变量取值范围的方法： 1）函数关系式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数关系式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数关系式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 1．（2025·辽宁锦州·三模）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A．未挂物体时，弹簧的长度为 B．所挂物体为时，弹簧的长度为 C．当所挂的物体超过时，弹簧的长度不会发生变化 D．弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加 【答案】D 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数与图像，读懂图像是解题的关键． 函数的基本概念，函数与图像，逐项分析，即可解答． 【详解】A．观察图象可得，当质量为0时，弹簧长度为，A正确； B．当质量为时，弹簧长度为，B正确； C．当质量超过时，弹簧长度均为，C正确； D．当质量超过时，弹簧的长度不变，D错误． 故选D． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（  ） A．甲的平均速度大于乙的平均速度 B．乙出发后用了8分钟追上甲 C．当乙追上甲时，乙距离小区米 D．当乙到达小区时，甲距离小区米 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以逐一判断，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想． 【详解】解：由题图可知，甲先出发2分钟，骑行了600米，8分钟时乙追上甲， ∴乙的平均速度大于甲的平均速度，故A选项不符合题意； 乙出发后用了（分钟）追上甲，故B选项不符合题意； （米/分钟）， ， 解得：（米/分钟）， 当乙追上甲时，骑行了（米）， ∴此时乙距离小区（米），故C选项不符合题意； 乙骑行米所用时间为（分钟）， 则当乙到达小区时，甲骑行了（米）， ∴当乙到小区时，甲与小区的距离为（米），故D选项符合题意； 故选：D． 3．（2023·辽宁阜新·中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．    【答案】4 【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4，再根据相遇时用了小时，列方程求解． 【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为千米/小时， 则：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键． 考点五 动点问题的函数图象 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质以及解直角三角形．利用的正弦值得到的长，的正切值得到菱形对角线的一半的长是解决本题的难点．当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，即可得到的长，易得，则，当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，进而可得的长，则可得的长，根据的正切值可得和的长，则可菱形对角线的长，那么可得菱形的面积． 【详解】解：当时，，，如图： 作于点，则， ， ， ， 解得：， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 当时，点在上，运动的路程长，，如图： 作于点，则， ， ， 解得：， ， 解得：， ， 设为 ，则， ， 解得：， ， ，， ，， 菱形的面积为， 故选：B． 2．（2025·辽宁锦州·二模）如图，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解题的关键． 由题图可知，当时，即与重合，，则，当时，即与重合，，则有，，连接，根据勾股定理求出，再由题图可知，点到的距离为，通过等面积法得出，然后求出的值即可． 【详解】解：由图可知，当时，即与重合，， ∴， ∵是等腰三角形，是底边的中点， ∴， ∴当时，即与重合，， ∴， ∴， 如题图，连接， 有， ∴， ∴， 由题图可知，点到的距离为， ∴， ∴，解得：， 故选：． 3．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为 ． 【答案】 【分析】先根据函数图象经过点，，求得，当动点E运动到达点C时，求得，当AE=4时，求得，再证明，然后证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵函数图象经过点，， ∴， 当动点E运动到达点C时，， 当时，，图象如图所示， 作于点，连结， 当点E与点B重合时，y的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴y的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等边对等角，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是能读懂题意，结合图象进行分析． 4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（    ）      A．  B．       C．   D．   【答案】A 【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上， ，， ， ， ，，， 设直线的解析式为，将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为． 轴， N的横坐标为x， （1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， ， ， ， 该段图象为开口向上的抛物线； （2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为， ， 该段图象为直线； （3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， 由，可得直线的解析式为， ，， ， ， 该段图象为开口向下的抛物线； 观察四个选项可知，只有选项A满足条件， 故选A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式． 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 用坐标表示位置 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别是和，则教学楼的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中根据点的坐标求点的位置，和根据点的位置求点的坐标，确定原点的位置是解决本题的关键． 先根据已知点的坐标确定原点的位置，再得出教学楼的位置． 【详解】解：∵综合楼和食堂的坐标分别是和， ∴确定原点为点的位置． ∴教学楼的坐标是， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案． 【详解】解：∵A，B的位置分别表示为． ∴目标C的位置表示为． 故答案为： 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若，两点的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．      【答案】 【分析】根据题意，一个方格代表一个单位，在方格中数出洞堡机场与喷水池的水平距离和垂直距离，再根据洞堡机场在平面直角坐标系的第三象限即可求解． 【详解】解：如图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 若贵阳北站的坐标是， 方格中一个小格代表一个单位，         洞堡机场与喷水池的水平距离有9个单位长度，与喷水池的垂直距离有4个单位长度，且在平面直角坐标系的第三象限， 龙洞堡机场的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握在平面直角坐标系中确定一个坐标需要找出距离坐标原点的水平距离和垂直距离是解题的关键． ►题型02 点所在的象限 点P(x，y) 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的纵坐标相等 平行y轴 所有点的横坐标相等 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵3＞0，﹣4＜0， ∴点P（3，﹣4）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·三模）已知在第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；根据直角坐标系的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案． 【详解】∵点在第三象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据实数的意义可知 0，可知其在第四象限． 【详解】解：∵ ∴点（2，）在第一象限， 故选A． 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的点的特点，解题关键是明确各象限的点的特点，然后可判断．第一象限的点的特点为（+，+），第二象限的点的特点为（-，+），第三象限的点的特点为（-，-），第四象限的点的特点为（+，-）． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·三模）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．先根据x轴上的点的纵坐标为零求得m值，得到点B坐标，进而根据点所在象限的坐标特征可得结论． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 又， ∴， ∴点B在第二象限， 故选：B． 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·二模）已知点P（1－a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是 ． 【答案】a＜﹣3 【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可． 【详解】∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限， ∴， 解得a＜﹣3． 故答案为：a＜﹣3． 【点睛】本题考查了点的坐标与一元一次不等式组的解法，解题的关键是根据点在第四象限列出一元一次不等式组求解即可． ►题型03 点的坐标的平移变换 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知平面直角坐标系中存在一点，现将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的平移规律，根据直角坐标系中点的平移规律求解即可． 【详解】解：将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，相当于将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 点的坐标为， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，点平移的变化规律是：横坐标左减右加；纵坐标上加下减，熟练掌握点平移的变化规律是解题的关键． 直接利用点平移的变化规律求解即可． 【详解】解：∵的顶点A，B的坐标分别为，，， ∴， ∴点A平移至点C的坐标为， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得C的坐标． 【详解】解：∵把线段沿轴向右平移得到， ∴四边形是平行四边形， ∴，A和C的纵坐标相同， ∵四边形的面积为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．．将矩形沿射线方向平移3个单位长度，则点平移后的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化—轴对称，根据矩形的性质得到，则由勾股定理可得，则可求出，故可得到将矩形沿射线方向平移3个单位长度相当于将矩形向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴将矩形沿射线方向平移3个单位长度相当于将矩形向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点平移后的对应点的坐标为， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，数学兴趣小组把一个边长为5的正方形纸片放在平面直角坐标系中，使点与点重合，与轴正半轴交于点，调整正方形纸片的位置，使恰好是的中点，接下来把正方形纸片沿轴向左平移，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形在坐标系中位置变化以及解直角三角形的应用．通过计算正方形各点的坐标变化，利用解直角三角形求解点的坐标． 【详解】解：由题意可知，，， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示， ， ，， ， ，， ， ， 即 ， 故点的坐标为，向左平移的距离为 平移后点的坐标为， 故答案为：． ►题型04 点的坐标的对称变换 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即P(a,b)→P1(a,-b)； 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即P(a,b)→P2(-a,b)； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即P(a,b)→P3(-a,-b)； 关于直线y=x对称：横、纵坐标互换，即P(a,b)→P4(b,a)。 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解． 根据坐标和轴对称的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点， ∴点的横坐标不变，为．纵坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．利用中心对称图形的性质即可求出D的坐标． 【详解】解：∵正六边形是中心对称图形，且对称中心为坐标原点O， ∴点A与点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标规律． 关于y轴对称的点坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：∵点与点Q关于y轴对称， ∴点Q的坐标为． 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴， 故选：B． ►题型05 几何图形中的点的坐标 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，且，点在轴正半轴上，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，证明四边形是矩形，故有，，通过勾股定理得，则有，从而求出顶点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：． 【典例】2．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何作图、垂直平分线的性质、正切、坐标与图形，熟练掌握几何作图的一般步骤是解题的关键． 由作图可知，，为的垂直平分线，设，结合正切值可求出点C的坐标，再根据垂直平分线的性质可求出点B的坐标，直线所在直线为，设直线解析式为，利用待定系数法可求出解析式，联立两直线求解即可得出答案． 【详解】解：由作图可知，，为的垂直平分线， ， ， 设， ， ，， ，， ， ，直线所在直线为， 设直线解析式为， ， 解得：， ， 联立， ， 点的坐标为． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查菱形的性质，勾股定理，理解题意，作出相应图形是解题关键． 根据题意，作出图形，延长交y轴于点E，确定，结合图形即可求解． 【详解】解：∵以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限， ∴如图所示，只有一种情况， 延长交y轴于点E， ∴轴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B在第二象限， ∴， 故答案为： ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点且在点的右侧，连接，以线段为边在第一象限内作等边，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可得，证明，，可得，，从而可得答案． 【详解】解：连接，， ∴， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． ►题型06 坐标与几何综合 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将绕着点B逆时针旋转，得到，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．过点作轴的垂线，根据旋转的性质及特殊角的三角函数值，求出垂线段长及垂足到原点的距离即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 点坐标为， ． 由旋转可知， ，． 在中， ， 则， ． ， 则， 点的坐标为． 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（   ） A．9 B．12 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据矩形到现在得到，，，由折叠的性质可得出，，，由，得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可得出，，， ， ，， ， ， ， ， ， 点D的纵坐标为15． 故选：D． 【变式】1．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，直角坐标系，勾股定理．连接，根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标是， ， 四边形是矩形， ， 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，原点为的中点．将折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，坐标与图形，掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质和点的坐标，可得，，设，由折叠的性质得，，建立方程组，即可得到点的横坐标． 【详解】解：在矩形中，若点的坐标为， ，， 设且，， 由折叠性质得，，， ， ， ， ，代入得，， ，即， 解得或（舍去）， 点的横坐标为， 故选：D． 【变式】3．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，则：， ∴， ∴， 画图如下： 当正方形绕点A顺时针旋转， ①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，如图，作轴， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的对应点的坐标为； ②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，如图， ， 点C的对应点的坐标为； ③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，如图， 同①可知： ， ，，， ∴点横坐标为， 点C的对应点的坐标为； 综上所述：点C的对应点的坐标为或或 故答案为：或或 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 命题点二 函数 ►题型01 求自变量的取值范围 1）函数关系式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数关系式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数关系式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】由题意得，， 解得， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解题的关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·一模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A．x≠0 B．x≥且x≠0 C．x＞ D．x≥ 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，列不等式求解． 【详解】解∶根据分式有意义可得：， 根据二次根式有意义可得：，解得： ， 综合可得：且． 故选B． 【点睛】本题主要考查求函数自变量的取值范围，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义和二次根式有意义的条件． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，求不等式的解集，掌握分式的分母不能为0是解题的关键． 根据题意可得，由不等式的性质即可求解． 【详解】解：函数中，， ∴， 故答案为： ． 【变式】3．（2025·辽宁营口·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】根据题意得： ，解得 ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． ►题型02 函数图象的识别 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·一模）在化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将盐酸溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映盐酸溶液的值与所加水的体积V之间对应关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．根据题意，盐酸溶液呈酸性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解． 【详解】解：∵盐酸溶液呈酸性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7， 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）我们知道，通过列表，描点，连线可以画出一个函数的图象．在画完函数的图象后，何老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数的图象经过第一、三象限吗？”．聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当时，，此时描出的点都在第一象限；当时，，此时描出的点都在第三象限．所以函数的图象一定经过第一、三象限”．大家不禁为善于思考的小亮鼓掌．最后何老师又给大家留了一道思考题：下面四个图象中哪个是函数的图象（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的图形，根据的非负性，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵为二次根式， ∴，， ∴函数图象中自变量的取值范围为：函数值的范围为， 观察图象可知，只有选项C符合题意； 故选：C． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象以及函数的概念，掌握函数的定义是解题关键．根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，所以y是x的函数； B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，所以y是x的函数； C、对于自变量x的每一个值，y不是有唯一的值与其对应，所以y不是x的函数； D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，所以y是x的函数； 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）在化学课上，老师教同学们配制食盐溶液，若有食盐，则溶液的浓度y与加水后溶液质量x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据题意求出y与x的函数解析式，即可判断其图象． 【详解】解∶根据题意，得，即． ∴函数图象为双曲线在第一象限的部分． 故答案：C． 【变式】3．（2025·辽宁阜新·模拟预测）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A ►题型03 从函数图象获取信息求解 【典例】1．（2025·辽宁锦州·三模）张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是 ． 【答案】或 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，分王亮提速前，王亮提速追上甲之前和王亮提速追上甲之后，三种情况列出方程进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：张华的速度为：； 王亮提速前的速度为：，提速后的速度为：； 王亮追上张华所用时间为：，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 综上：或； 故答案为：或． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，由图可求出乙的速度，即可求出甲的速度，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，乙车的速度是， ∴甲车的速度是， ∴， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往地，运动过程中甲、乙两人离地的距离（）与出发时间（）的关系如图所示，则甲到达地时两人相距（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息． 由图象可知，甲距离地，乙距离地，用时，进而求得甲的速度为，甲到达地共用时；从而即可得解． 【详解】解：由图象可知，甲距离地，乙距离地，用时， ∴乙的速度为， ∴小时时，甲、乙离地的距离为， ∴甲的速度为， ∴甲到达地共用时； ∴甲到达地时，乙的路程为，此时两人相距 故选． 【变式】2．（2026·辽宁阜新·一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息，是解题的关键，由图象可知，乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，根据乙车0.5小时行驶了30千米，求出乙车的速度，进而求出乙车到达A地所用的时间，进而求出甲车到达B地所用时间，求出甲车的速度，根据小时，两车相遇，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇， ∴乙车的速度为（千米/小时）； ∴乙车到达A地所用时间为（小时）， ∴乙车先到达地， ∴甲车从A地到B地所用时间为（小时）， ∴甲车的速度为（千米/小时）， ∴，解得； 故答案为：1． 【变式】3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量，已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（   ）． A．在一定范围内，越大，越小 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】C 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越大，越小，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为， 由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值， ，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 突破一 动点问题的函数图象 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·二模）如图1，在矩形中，点P从点A出发，沿折线向点C匀速运动，过点P作对角线的垂线，交矩形的边于点Q．设点P运动的路程为x，的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（    ）    A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由点可得：当时，则，结合图象可得：，当时，重合，当时，重合，可得，如图，当时，重合，记的交点为，则，证明，此时，可得，，从而可得答案． 【详解】解：由点可得：当时，则， 结合图象可得：， 当时，重合，当时，重合， ∴，而， ∴， 如图，当时，重合，记的交点为，则， ∴， ∴，，    此时， ∴，， ∴，即， 故选B 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质，理解函数图象的含义是解本题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，其中点E为曲线的最低点，下列结论①，②，③的面积为，④中边上的高为4，其中正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图象得到，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，，勾股定理求出，即可得到的面积及边上的高，再根据勾股定理求出，由此判断各选项 【详解】解：由图2可知，当时点P在上运动，线段的长度为8，即； 如图，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，    ∴， 在中， ∴ ∵， ∴，故③正确，④错误； ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 故选：C 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角函数，从函数图象获取信息是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．由，，且为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，再判断出函数图象即可． 【详解】解：如图，连接． ∵在矩形中，，， ∴，， ∵，，则，， ∴，，， 又∵为直角三角形， ∴，即， 整理得， 该函数图象是开口向下、顶点坐标是的抛物线， ∵点在边上移动（不与点B，C重合）， ∴该函数图象不包含原点和x轴的交点， 故选：B． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，当点运动到点处时，，即，当点运动到点处时，，即，即，作，由三线合一得，根据勾股定理解出，即可解答． 【详解】解：当点运动到点处时，， ， 当点运动到点处时，， ， ， 作，如图， ， 则为的最小值，此时，即， ， ． 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质. 分别求出，，求出直线的解析式，将代入即可. 【详解】如图， ∵，， ∴ ∵， ∴动点到达点时，动点到达点， 此时， ∴ ∵， ∴的面积降为0时，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ∴当面积时，对应的运动时间的值是4 故答案为：4 突破二 点坐标的规律探究 【典例】1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的结果即可求出第2025次相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ， 长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 五次相遇循环一次， ， 点的坐标为． 故选：C． 【典例】2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点M的同行点，已知点的同行点为点，点的同行点为点，点的同行点为点，…，这样依次得到点，，，…，，…若点的坐标为，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的变化规律，理解题意并找出规律是解题的关键． 通过计算前几个点的坐标，发现每4个点为一个循环周期，利用周期性规律求解． 【详解】解：∵，根据同行点定义，的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 观察发现，每4个点为一个循环周期，坐标依次为、、、， 对于，计算，余数为，对应周期中的第3个点． 故选：B． 【变式】1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段，又将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段如此下去，得到线段，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，勾股定理，二次根式的乘法运算，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键． 根据题意得出，，，如此下去，得到线段，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵， ∴点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上， 可设，， ， ∴， ∴（舍负）， ∴ 故答案为：． 【变式】2．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设直线为， ∵点坐标为， ∴，即， ∴直线为， 中，令，则， 解得或， ∴， 由，设直线为， ∴，解得， ∴直线为， ∴ 得得或， ∴， 中，令，则， 解得或， ∴， 同理可得，， 即的坐标中，横坐标为，纵坐标为， 的坐标中，横坐标为，纵坐标为， 的坐标中，横坐标为，纵坐标为， …， ∴的坐标中，当为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为：． 【变式】3．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”，将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点．其平移过程如下：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，向右平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，向上平移1个单位长度得到点，点横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，向左平移1个单位长度得到点．若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后， 到达点 ，则Q的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后，到达点，则按照“和点”反向运动2026次即可，即向右，向下或者向下，向右，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，可以分为两种情况： ①先向右个单位得到， 此时横、纵坐标之和除以所得的余数为， 应向右平移得到点，与到达点矛盾，不成立； ②先向下个单位得到， 即横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个单位得到，故符合题意， 点先向下平移，再向右平移，当平移到第2025次时，共计向下平移了1013次，向右平移了1012次， ∴，， 此时坐标为， 设 当第一次向右平移个单位得， ∴，， ∴， 故； 则 即向右平移得，符合题意； 当第一次向左平移个单位得， ∴，， ∴， 故； 则 即向左平移个单位得，符合题意； 当第一次向上平移个单位得， ∴，， ∴， 故； 则 即向右平移个单位得，不符合题意； 故答案为：或． 1．如图，将某动物园中的猴山，狮虎山，熊猫馆分别记为M，N，P，若建立平面直角坐标系，将猴山M，狮虎山N用坐标分别表示为(2，1)和(8，2)，则熊猫馆P用坐标表示为 ． 【答案】(6，6) 【分析】根据猴山M，狮虎山N的坐标建立平面直角坐标系，进而可得出熊猫馆P的坐标． 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， ∴熊猫馆P用坐标表示为(6，6)， 故答案为：(6，6)． 【点睛】本题考查坐标确定位置，由点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键． 2．若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标特征、解一元一次不等式组、在数轴上表示解集，根据点P在第三象限可得，再解不等式组，并在数轴上表示即可． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内， ∴， 解①得：； 解②得：， ∴x的取值范围在数轴上可表示如图： 故选：C． 3．平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征， 根据关于y轴对称的两个点“横坐标互为相反数，纵坐标相同”即可解答． 【详解】解：点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的点的坐标特征，涉及知识点：平行于轴的直线上的点纵坐标相等．解题方法是利用“平行于轴的直线上点的纵坐标相同”列方程求解；解题关键是识别直线平行轴的坐标规律，易错点是混淆轴、轴平行时的坐标特征． 【详解】∵直线轴， ∴点和点的纵坐标相等，即， 解得，， 故答案为． 5．如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可． 【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示：    故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，每个象限内点的坐标特点，解分式方程以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点横坐标的绝对值纵坐标的绝对值．根据基本作图可判断平分，则利用第一象限的角平分线上点的坐标特征得到，然后解关于的分式方程即可． 【详解】解：由作法得平分， 即点P在第一象限的角平分线上， 所以， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：D． 7．物体的动能（单位：J）与物体的质量（单位：）和运动速度（单位：）有关，三者的关系为．当时，该物体的运动速度的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，熟练掌握无理数估算大小的方法是解题关键． 首先根据题意代入数值得，然后利用无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：当时， 代入得 （负值舍去）， ∵， ∴， ∴该物体的运动速度的值在4和5之间． 故选：B． 8．如图，在矩形中，点B 的坐标是，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，过点B作轴交x轴与点K，连接，根据点B的坐标得出，，利用勾股定理得出，再根据矩形的性质得出即可． 【详解】解：过点B作轴交x轴与点K，连接， ∵点B 的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 故答案为： 9．如图，平行四边形中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，的中点E的坐标是，若将平行四边形沿x轴向右平移，使点E的对应点，恰好落在y轴上，则点D的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，根据中点坐标公式可求出点A的纵坐标为6，点B的横坐标为，然后根据平行四边形的性质求出，然后求出平移距离，进而求解即可． 【详解】解：的中点E的坐标是， ∴点A的纵坐标为6，点B的横坐标为 ∴ ∵点C的坐标是 ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵将平行四边形沿x轴向右平移，使点E的对应点，恰好落在y轴上，E的坐标是 ∴平移距离为2 ∴点D的对应点的坐标是． 故答案为：． 10．函数的自变量x的取值范围是 【答案】且 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂底数不为0，列式计算即可得解． 【详解】解：依题意有且且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 11．在中，的取值范围为 ． 【答案】x>-3 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：2x+6>0， 解得：x>-3， 故答案为：x>-3． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 12．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以A、B不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 13．为避开周五放学时学校门口的交通拥堵，乐乐和爸爸商定了一个学校附近的集合地点，爸爸开车从家出发提前到集合地等待，乐乐放学后从学校出发步行到达集合地，爸爸接到乐乐后再返回家中．假设汽车行进过程中始终保持匀速行驶，二人离家的距离S(单位：)与出发时间t(单位：)之间的函数关系如图所示，下列说法：①学校到家的距离为；②爸爸比乐乐早出发；③乐乐到达集合地用了；④爸爸返程时的速度为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，从函数图象中获得有用的信息．根据函数图象信息一一验证即可． 【详解】解：由图可知，乐乐出发时， 学校到家的距离为，故①正确； 乐乐从时开始运动，爸爸从时开始运动， 爸爸比乐乐早出发，故②正确； 乐乐在时，离家的距离S与爸爸一样， 时乐乐到达集合地，所用时间为：，故③错误； 返程时间为，离家的距离， 返程时的速度，故④正确； 综上，正确的有①②④，共个， 故选：C． 14．如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图像、菱形的性质、勾股定理等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．首先根据函数图像可知，当时，，当点运动到点时，，再由菱形的性质可得，然后由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， 当点运动到点时，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A坐标是，P为边上一点，沿折叠正方形，点B的对应点为，若，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查坐标与图形变化－对称、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．连接、，过点作轴于点F，交于点E，因为四边形是正方形，，所以，轴，则，，由，得，则，，由折叠得，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、，过点作轴于点F，交于点E， 四边形是正方形，， ，轴， ，， ， ， ，， ，， 沿折叠正方形，点B的对应点为， ， ， ， ， 故答案为：． 16．已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴得N、P关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项D错误，选项B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 17．如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，甲和乙由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动．甲按逆时针方向以2个单位长度匀速运动，乙按顺时针方向以4个单位长度匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，由题意可得长方形的长为，宽为，求出第一次相遇的点的坐标为，同理可得第二次相遇的点的坐标为，第三次相遇的点的坐标为，第四次相遇的点的坐标为，…，得出规律每相遇三次一个循环，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：长方形的长为，宽为， ∵甲按逆时针方向以2个单位长度匀速运动，乙按顺时针方向以4个单位长度匀速运动， ∴第一次相遇花费的时间为（秒）， 此时甲行驶的路程为个单位长度， ∴第一次相遇的点的坐标为， 同理可得第二次相遇的点的坐标为， 第三次相遇的点的坐标为， 第四次相遇的点的坐标为， …， 故每相遇三次一个循环， ∵， ∴两个物体运动后的第2026次相遇点的坐标是， 故选：B． 18．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 19．如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．图2是的面积随时间变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，动点问题的函数图象，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得或（舍去）； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得； 综上，或； 故答案为：或． 20．如图，在 中，cm，，，过点 向作垂线，垂足为．直线垂直于，直线分别与相交于点，直线分别与相交于点P、Q．直线m从点A出发，沿方向以1cm/s的速度向点D运动，到达点D时停止运动；同时，直线n从点B出发，沿方向以相同的速度向点D运动，到达点D时停止运动．若运动过程中直线m、n及围成的多边形的面积是 ，直线m的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．分别求出当和时的y与x之间函数关系式即可判断． 【详解】解：中，，过点 向作垂线， ∴， ∴， ∴， 同理 ∵cm，， ∴， 在中，运用勾股定理得， ∵，∴， 由得：， 当时，， 由，得：，， ∴， ∴ ； 当时， ． ∴ ，根据函数解析式判断A选项符合题意， 故选：A． 1．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 2．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 3．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 4．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 6．（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故选：A． 7．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 8．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 9．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 10．（2025·新疆·中考真题）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据时，，时，可判断A、B；根据函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，据此根据速度等于路程除以时间求出两车的速度，即可判断C、D． 【详解】解：∵时，， ∴A，B两地相距，故B结论正确，不符合题意； ∵时，， ∴两车出发后相遇，故A结论正确，不符合题意； 由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地， ∴快车比慢车早到达目的地，故C结论错误，符合题意； ，， ∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论正确，不符合题意； 故选：C． 11．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 12．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 13．（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 【答案】 8 12 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 14．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 15．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 2 / 99 学科网（北京）股份有限公司 $