8.2　特殊的平行四边形第4课时（课件）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第4课时　菱形的判定 第8章　四边形 8.2　特殊的平行四边形 初中数学苏科版（2024）八年级下册 学习目标 1.探索并证明菱形的判定定理.(重点) 2.能应用菱形的判定定理解决问题，进一步体会推理的基本方法.(重点、难点) 课堂引入 菱形的四条边相等，对角线互相垂直.反过来， (1)四边相等的四边形是菱形吗？ (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 本节我们来学习. 菱形的判定 知识梳理 菱形的判定定理：_________的四边形是菱形._______________的平行四边形是菱形. 符号语言： ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. ∵在▱ABCD中，AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形. 四边相等 对角线互相垂直 例1　(课本P80例4)如图，直线a∥b，点A，C分别在a，b上，AC的垂直平分线分别与a，b相交于点D，B，垂足为O.连接AB，CD.求证：四边形ABCD是菱形. 证明　∵AD∥BC，∴∠1=∠2. ∵BD垂直平分AC，∴OA=OC. 在△AOD和△COB中， ∴△AOD≌△COB.∴OD=OB. ∴四边形ABCD是平行四边形.∵BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形(菱形的判定定理). 跟踪训练1　如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是AB，AC的中点.当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为菱形？为什么？ 解　当△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形，理由如下： ∵AD⊥BC，E，F分别为AB，AC的中点， ∴DE=AE=AB，DF=AF=AC， 当AB=AC时，DE=AE=DF=AF，∴四边形AEDF是菱形， 则当△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形. 例2　如果一个四边形的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗？ 解　不一定是菱形.如图所示的四边形就不是菱形. 跟踪训练2　如果一个平行四边形是轴对称图形，那么它一定是菱形吗？ 解　不一定是菱形，如图的矩形是轴对称图形，它不是菱形. 课堂小结 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 四边相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 1.下列命题中，错误的是 A.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.四条边相等的四边形是菱形 课堂练习 √ 解析　A项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项不正确，符合题意； B项，对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； C项,有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D项，四条边相等的四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意. 课堂练习 2.如图，在∠A的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接DC，BC.可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是 A.四条边相等的四边形是菱形 B.一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 √ 解析　由作法可知AB=AD=BC=CD， 则判定四边形ABCD是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形. 课堂练习 3.如图，在矩形ABCD中，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AD，BC于点F，E，连接AE，CF，若∠DAE=48°，则∠EFC的大小为 A.60° B.62° C.64° D.66° √ 课堂练习 解析　如图，设EF与AC交于点O， 由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线， ∴∠COF=90°，OA=OC，AE=CE，AF=CF. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC， ∴∠FAO=∠ECO，∠AFO=∠CEO， ∴△AOF≌△COE(AAS)，∴AF=CE， ∴AE=CE=AF=CF，∴四边形AECF为菱形， ∴∠AFE=∠CFE，∠AFC+∠FAE=180°， ∵∠DAE=48°,∴∠AFE=∠AEF=×(180°-48°)=66°,∴∠CFE=66°. 课堂练习 4.如图，在▱ABCD中，AB=9 cm，BC=4 cm.将CB沿BA方向平移得到EF，则当BF=___ cm时，四边形DAFE是菱形，依据是______________________ _____________. 解析　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=9 cm，AD=BC=4 cm， 当四边形DAFE是菱形时，AF=AD=4 cm，∴BF=AB-AF=9-4=5(cm)， 上述证明的依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 5 有一组邻边相等的平行 四边形是菱形 课堂练习 5.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，要使四边形ABCD为菱形，可添加的一个条件是____________________.  BO=DO(答案不唯一) 解析　添加的一个条件是BO=DO，理由如下： ∵BO=DO，AO=CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 课堂练习 6.如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD. (1)求证：四边形DEBF为平行四边形； 证明　∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵E，F分别为边AB，CD的中点， ∴EB=DF，EB∥DF， ∴四边形DEBF为平行四边形. 课堂练习 6.如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD. (2)当∠ADB=90°时，求证：四边形DEBF是菱形. 证明　∵∠ADB=90°，E为边AB的中点， ∴DE=AB=EB， ∵四边形DEBF为平行四边形， ∴四边形DEBF为菱形. 课堂练习 7.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN. (1)求证：四边形BMDN是菱形； 证明　∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°， ∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO， 在△DMO和△BNO中，∴△DMO≌△BNO(ASA)， ∴OM=ON，∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形， ∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形. 课堂练习 7.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN. (2)若AB=4，AD=8，求BM的长. 解　∵四边形BMDN是菱形，∴BM=MD， 设BM=MD=x，则AM=AD-MD=8-x， 在Rt△AMB中，由勾股定理可得BM2=AM2+AB2， 则x2=(8-x)2+42， 解得x=5，即BM的长为5. 课堂练习 谢谢观看 $