17.5　一元二次方程的应用(2）（教学课件）-2025-2026学年沪科版数学八年级下册

第17章　一元二次方程及其应用 17.5　一元二次方程的应用(2) 初中数学沪科版（2024）八年级下册 学习目标 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.(重点、难点) 2.能运用一元二次方程解决与几何图形有关的实际问题.(重点) 课堂引入 1.常见的几何图形的面积公式： (1)长方形的面积＝长×宽； (2)正方形的面积＝边长×边长； (3)三角形的面积＝×底×高； (4)梯形的面积＝×(上底＋下底)×高. 2.一个正方形的面积为36 m2，若设正方形的边长为x m，则列出方程为x2＝36. 3.要使一块长方形场地的面积为16 m2，并且长比宽多6 m， 若设长方形场地的宽为x m，则长为(x＋6)m，根据题意，列出方程为x(x＋6)＝16. 4.一个直角三角形两条直角边相差3 cm，面积为9 cm2，若设较短的直角边长为x cm，则较长的直角边长为(x＋3)cm，根据题 意，列出方程为x(x＋3)＝9. 一、 运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题 例1　(1)如图，在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上， 修筑宽相等的三条小路(两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直)，把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570 m2 ，问小路的宽应是多少？ 解　设小路宽x m.根据题意，得 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2＝570， 整理得x2－36x＋35＝0， 即(x－1)(x－35)＝0， 解得x1＝1，x2＝35(不符合题意，舍去)， 所以所求小路的宽应为1 m. (2)对于(1)题，你还有其他列方程的方法吗？ 解　利用平移(拼接)的方法，列方程为(20－x)(32－2x)＝570. 例2　(课本P41例4)如图，将一块正方形金属片的四个角 各截去一个相同大小的小正方形，围成高为20 cm、容积 为2 880 cm3的开口方盒.原金属片的边长是多少？ 解　设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x－40)cm. 根据题意，得20(x－40)2＝2 880. 整理，得(x－40)2＝144. 解方程，得x1＝52，x2＝28. x2＝28不合题意，所以x＝52. 故原金属片的边长是52 cm. 跟踪训练1　如图，有一块长为a米，宽为b米的矩形场地， 计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路(阴 影部分)，余下的四块矩形场地建成草坪. (1)已知a＝26，b＝15，且四块草坪的面积和为312平方米，则每条道路的宽为多少米？ 解　四块矩形场地可拼合成一个长为(26－x)米，宽为(15－x)米的矩形. 依题意得(26－x)(15－x)＝312， 整理得x2－41x＋78＝0， 解得x1＝2，x2＝39(舍去). ∴每条道路的宽为2米. 跟踪训练1　如图，有一块长为a米，宽为b米的矩形场地， 计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路(阴 影部分)，余下的四块矩形场地建成草坪. (2)若a∶b＝2∶1，x＝2，且四块草坪的面积和为312平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？ 解　四块矩形场地可拼合成一个长为(2b－2)米，宽为(b－2)米的矩形. 依题意得(2b－2)(b－2)＝312， 整理得b2－3b－154＝0， 解得b1＝14，b2＝－11(舍去)，则a＝2b＝28， ∴原来矩形场地的长为28米，宽为14米. 跟踪训练1　如图，有一块长为a米，宽为b米的矩形场地， 计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路(阴 影部分)，余下的四块矩形场地建成草坪. (3)已知a＝28，b＝14，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路(其中m>2，m，n为常数)，使草坪地的总面积为132平方米，则m2＋n2＝　　(直接写出答案).  解　草坪可拼合成相邻两边分别为(28－2n)米，(14－2m)米的矩形. 依题意得(28－2n)(14－2m)＝132，即(14－n)(7－m)＝33. ∵33＝3×11，m>2，可得7－m＝3，解得m＝4， ∴14－n＝11，∴n＝3，∴m2＋n2＝25. 二、 几何图形问题 例3　如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成 一个长方形花圃ABCD，设花圃的宽AB为x米(其中AB<BC).  (1)请你用含x的代数式表示BC的长； 解　∵篱笆的全长为20米，花圃的宽AB为x米， ∴BC的长为(20－2x)米. 例3　如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成 一个长方形花圃ABCD，设花圃的宽AB为x米(其中AB<BC).  (2)若此时花圃的面积刚好为42平方米，求此时花圃的宽AB的长度. 解　根据题意得x(20－2x)＝42， 整理得x2－10x＋21＝0， 解得x1＝3，x2＝7， 当x＝3时，20－2x＝20－2×3＝14>3，符合题意； 当x＝7时，20－2x＝20－2×7＝6<7，不符合题意，舍去. ∴此时花圃的宽AB的长度是3米. 跟踪训练2　(1)如图，一农户准备围建一个矩形猪舍，其中一边靠墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，已知墙长为12 m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2？ 解　设垂直于墙的一边长为x m， 则平行于墙的一边长为(25＋1－2x)m，依题意得x(25＋1－2x)＝80， 整理得x2－13x＋40＝0，解得x1＝5，x2＝8， 当x＝5时，25＋1－2x＝25＋1－2×5＝16>12，不符合题意，舍去； 当x＝8时，25＋1－2x＝25＋1－2×8＝10<12，符合题意. 故所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m时，猪舍面积为80 m2. (2)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动. ①经过t s后(t>0)，△PBQ的面积等于4 cm2，求t的值； 解　∵5÷1＝5(s)，7÷2＝(s)，5>，∴0<t≤. 当运动时间为t s时，BP＝(5－t)cm，BQ＝2t cm. 根据题意得BP·BQ＝4，即(5－t)×2t＝4， 整理得t2－5t＋4＝0，解得t1＝1，t2＝4(不符合题意，舍去). ∴t的值为1. (2)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动. ②经过t s后(t>0)，PQ的长度为5 cm，求t的值； 解　根据题意得(5－t)2＋(2t)2＝52， 整理得t2－2t＝0， 解得t1＝0(不符合题意，舍去)，t2＝2. ∴t的值为2. (2)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动. ③△PBQ的面积能否等于8 cm2？ 解　△PBQ的面积不能等于8 cm2.理由如下： 假设△PBQ的面积能等于8 cm2， 根据题意得BP·BQ＝8，即(5－t)×2t＝8，整理得t2－5t＋8＝0， ∵Δ＝(－5)2－4×1×8＝－7<0， ∴该方程没有实数根，∴假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8 cm2. 课堂小结 用一元二次方程解有关几何图形问题的关键是结合已知条件所给的数据和几何图形的性质(数形结合)寻找相等关系、列相关代数式. 1.用长8米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为5平方米.若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为 A.x(8－x)＝5 B.x(4＋x)＝5 C.x(4－x)＝5 D.x(8－2x)＝5 课堂练习 √ 2.如图，在长为80 cm、宽为60 cm的长方形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为6 300 cm2.求镶嵌的装饰部分的宽度.若设镶嵌的装饰部分的宽度为x cm，则可列的一元二次方程是 A.(80－2x)(60－2x)＝6 300 B.(80＋2x)(60＋2x)＝6 300 C.(80－x)(60－x)＝6 300 D.(80＋2x)(60＋x)＝6 300 √ 课堂练习 3.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中点E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·AB.已知AB为2米，则线段BE的长为　　 　米.  (－1) 解析　设BE＝x米，则AE＝(2－x)米， ∵BE2＝AE·AB，∴x2＝2(2－x)，即x2＋2x－4＝0， 解得x1＝－1＋，x2＝－1－ (舍去). ∴线段BE的长为(－1)米. 课堂练习 4.为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域(阴影部分)改造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地(如图).设步行跑道的宽度为x米. (1)新场地的长为　　　　米，宽为　　　　米；(用含x的代数式表示) 解　由题意得新场地的长为(16＋2x)米， 宽为(12＋2x)米. 课堂练习 4.为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域(阴影部分)改造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地(如图).设步行跑道的宽度为x米. (2)若新场地的总面积为320平方米，求步行跑道的宽度. 解　依题意，新场地的长为(16＋2x)米，宽为(12＋2x)米. ∵新场地的总面积为320平方米， ∴(16＋2x)(12＋2x)＝320，整理得x2＋14x－32＝0， 解得x1＝2，x2＝－16<0(舍去)，∴步行跑道的宽度为2米. 课堂练习 谢谢观看 $