1.1.1多边形的内角 课件 2025-2026学年湘教版 八年级数学下册

湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 1.1.1多边形的内角 第1章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月28日 2026年1月28日星期三9时14分58秒 2026年1月28日星期三9时14分59秒 书桌桌面是什么形状？ 作业本的每一张纸是什么形状？ 若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形？ 新课导入 我们可以发现，这些多边形都在一个平面内，且均由几条 (不少于三条) 线段首尾顺次相接而成. 问题1：从这些由线段围成的图形里有什么特点？ 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形. 多边形的定义及相关概念 1 本书所介绍的多边形都是指凸多边形， 即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁. A 返回 1． 下列图形中属于多边形的有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3个 B．4个 C．5个 D．2个 中考考法 4 思考：为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内. 多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序. (4) 相邻两边组成的角叫作多边形的_______，简称多边形的_____. (3) 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的_______. (2) 相邻两条边的公共端点叫作多边形的_____. 问题2：根据图形，各组成部分的名称有哪些？ A B C D E (1) 组成多边形的各条线段叫作多边形的____. 边 边 顶点 顶点 对角线 对角线 内角 角 内角 如: 线段AB 如: 点E 如: 线段BD 如: ∠A 返回 D 2． 下列说法不正确的是(　　) A.正多边形的各边都相等 B.正多边形的各内角都相等 C.从n(n>3)边形的一个顶点引出的对角线可以将该多边形分割成(n－2)个三角形 D.正多边形的各对角线相等 中考考法 7 (5) 多边形根据边数可以分为_______，_______， ______······ 三角形 四边形 五边形 A B C D E A B C D A B C 表示: 三角形ABC 四边形ABCD 五边形ABCDE (6) 定义：像正方形这样，各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？ (四条边都相等) (四个角都相等) 答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等； 第二个图形不符合各边都相等. 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备. 注意 D 返回 3． 如图，三个正方形的一些顶点处标出了角的度数，则x的值为(　　) A．30 B．39 C．40 D．41 中考考法 11 例1 六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明． 解：∵六边形截去一个角的边数有增加 1、减少 1、不变三种情况，∴新多边形的边数有 7，5，6 三种情况， 如图所示. 总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条. 典例精析 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 问题1 三角形的内角和是多少度？ 三角形内角和是 180°. 都是 360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 多边形的内角和 2 猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°. 问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？ 方法1：如图，连接 AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×2 = 360°. A B C D 猜想与证明 方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 A B C D E 结论： 四边形的内角和为360°. 总结：这方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解 180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED) = 180°×3 - 180° = 360°. 4． 返回 A 如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝(　　) A．280° B．260° C．240° D．220° 中考考法 16 问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法 求五边形和六边形内角和吗? A C D E B A B C D E F 内角和为 180°×3 = 540°. 内角和为 180°×4 = 720°. n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出的三角形个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 边数 ··· 0 n - 3 1 2 3 1 2 3 4 n - 2 ( n -2 )·180° 1×180°=180° 2×180°=360° 3×180°=540° 4×180°=720° ··· ··· ··· ··· 由特殊到一般 证一证 如图，n 边形 A1A2···An 有 n 个顶点 A1，A2，A3，···，An. 由于与任一顶点 (如点 A1 ) 不相邻的顶点均有 (n－3) 个， 于是 n 边形 A1A2···An 被分成了 (n－2) 个三角形， A1 A2 A3 A4 A5 An 因而从某一顶点出发有 (n－3) 条对角线， 因此， n 边形的内角和等于这 (n－2) 个三角形的内角和，即 (n－2)·180°. 从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线. 将多边形分成 (n - 2) 个三角形. n (n≥3) 边形共有对角线 条. 归纳总结 n 边形的内角和等于 (n - 2) ×180°. 多边形的内角和公式： www.czsx.com.cn 5． 返回 7 从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m＋n＝________. 中考考法 21 想一想：还可以用其他方法求 n 边形的内角和吗？ 如图，在 n 边 A1A2···An 内任取一点 O，连接 OA1，OA2，···，OAn，则 n 边形 A1A2···An 被分成了 n 个三角形. 因此，n 边形的内角和为 n×180°－360°＝(n－2)×180°. O 360° A1 A2 A3 A4 A5 An A6 A7 由于 n 个三角形的内角和为n·180°，且这 n 个三角形有一个共同顶点 O，以 O 为顶点的内角构成了一个周角. 正多边 形边数 内角 3 4 5 6 8 n 60° 90° 120° 完成下面的表格： 108° 135° 练一练 例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. 解： 如图，在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°. ∠A +∠B +∠C +∠D = 360°， 因为 ∠B +∠D = 360° - (∠A +∠C ) = 360° - 180° = 180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 例3 (1) 十边形的内角和是多少度？ (2) 一个多边形的内角和等于 1 980°，它是几边形？ 解：(1) 十边形的内角和是 (10－2)×180°＝1440°. (2) 设这个多边形的边数为 n，则 (n－2)×180°＝1980°， 解得 n＝13. 所以这是一个十三边形. 例4 如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数． 分析：根据五边形的内角和等 于 540°，由∠C，∠D，∠E 的度数可求出∠EAB +∠ABC 的度数，再根据角平分线的定 义可得∠PAB 与∠PBA 的角度和，进而求得∠P 的度数． 可运用整体思想求解 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E = 540°， ∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°， ∴∠EAB+∠ABC = 540°-100°-75°-135° = 230°. ∵AP 平分∠EAB， ∴∠PAB ＝ ∠EAB. 同理可得∠ABP ＝ ∠ABC. ∵∠P+∠PAB+∠PBA = 180°， ∴∠P = 180°-∠PAB-∠PBA = 180°− (∠EAB+∠ABC) = 180°− ×230° = 65°． 6． 返回 9 [扬州中考]若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________. 中考考法 28 7． 返回 2 [成都中考]正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为________. 中考考法 29 8． 110° (1)一个n边形，除了一个内角外，其余(n－1)个内角的和为2 770°，则这个内角的度数为________. 【点拨】 设这个内角的度数为x， 则(n－2)×180°－x＝2 770°， 即180°·n＝3 130°＋x. 又因为n为正整数，0°＜x＜180°，所以n＝18. 所以这个内角的度数为180°×(18－2)－2 770°＝110°.　 中考考法 30 (2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角的度数是多少？ 【解】设多加的这个内角的度数为α， 则(n－2)·180°＝1 380°－α. 因为1 380°＝7×180°＋120°，多边形的内角和应是180°的正整数倍，所以n＝9，α＝120°. 答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角的度数是120°. 返回 中考考法 9． D 一多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为(　　) A．7　 　 B．7或8　 　 C．8或9　 　 D．7或8或9 中考考法 32 10． 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，∠A与∠1，∠2之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(　　) A．∠A＝∠1－2∠2 B．∠A＝2∠1－∠2 C．2∠A＝2∠1－∠2 D．2∠A＝∠1－∠2 中考考法 33 【点拨】 【答案】D 如图，设AE，CD交于点F，因为四边形BCFE中，∠CFE＝360°－∠B－∠C－∠1，∠AFD＝180°－∠2－∠A，∠CFE＝∠AFD，所以360°－∠B－∠C－∠1＝180°－∠2－∠A，即360°－(∠B＋∠C)－∠1＝180°－∠2－∠A.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠B＋∠C＝180°－∠A. 所以360°－(180°－∠A)－∠1＝ 180°－∠2－∠A，整理，得180°＋∠A－∠1＝180°－∠2－∠A，即∠1－∠2＝2∠A. 返回 中考考法 11． 如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2的度数是(　　) A．108°　　　 B．36°　　　 C．72°　　　 D．144° 中考考法 【点拨】 【答案】C 如图，延长AB交l2于点M. 易得∠ABC＝108°，所以∠MBC＝72°. 因为l1∥l2，所以∠2＝∠BMD.因为∠1＝∠BMD＋∠MBC，所以∠1－∠BMD＝∠MBC.所以∠1－∠2＝72°. 返回 中考考法 多边形的内角 定义 前提条件是在一个平面内 正多 边形 定义既是判定也是性质 内角和计算公式 (n-2)×180°(n≥3) $