1.1 三角形内角和定理第2课时（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦三角形外角定义及推论，通过回顾三角形内角和定理、AAS全等判定等旧知，以“延长一边形成的新角”自然引入外角，搭建从内角到外角的学习支架，梳理知识脉络。 特色在于动手画图辨析外角特征，结合几何直观突破外角与补角的混淆点，两种证明方法（内角和定理、平行线辅助线）培养推理意识，例题分层且提示多思路，作业分层兼顾巩固拓展，助力学生理解概念、提升推理能力，方便教师实施差异化教学。

1.1 三角形内角和定理 第2课时 教学设计 1.教学内容 本节选自北师大版八年级下册第1章《三角形的证明及其应用》1.1《三角形内角和定理》第2课时，核心知识点是“三角形的外角定义及其推论”。主要内容包括：外角的形成、外角与不相邻内角的关系，以及利用外角性质进行简单证明与计算。 2.内容解析 在掌握 的基础上，引入外角概念，强调外角顶点与边延长关系，进一步研究外角与不相邻内角和的性质，即 。通过推论可知外角还大于任一不相邻的内角，形成对三角形内外角关系的系统认识。 1.教学目标 •了解并掌握三角形的外角的定义。 •掌握三角形的外角的性质，能进行简单的推理论证与数值计算。 2.目标解析 • 侧重正确辨识外角的特征及其与内角的区别。 • 着眼于利用外角与不相邻内角和的定理及推论，熟练完成求角与证明类习题，强化几何推理思维。 3.重点难点 • 教学重点：三角形外角等于不相邻两内角之和的证明与应用。 • 教学难点：将外角定理与平行线、全等等知识结合，灵活进行几何推理和计算。 学生已掌握三角形内角和定理，对角度平分、对顶角、平行线等概念较为熟悉。面对外角定义时易与补角混淆，须明确边延长方向；在应用推论时，平行作辅助线或延长边构造外角是难点，需要逐步演示以促进理解。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于_180°_. 符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C =_180°_. ②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形_全等_(AAS). ③全等三角形的_对应边_相等，_对应角_相等. 2.情景引入 在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． 【设计意图】通过回顾“三角形内角和定理”及全等三角形的基本事实，引导学生关注“三角形边的延长”所形成的新角，从而自然过渡到对“三角形外角”定义的探究，激发学生的学习兴趣并明确学习方向。 探究点1：三角形的外角 1.尝试思考 外角的定义： △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫作△ABC 的外角。 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 问题1：画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？ 解：如图，△ABC所有的外角有6个，分别是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6. 问题2：△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系） 解：∠1和∠4是对顶角，相等； ∠2和 ∠5是对顶角，相等； ∠3和∠6是对顶角，相等. 2.知识归纳 三角形的外角的特征： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 每一个三角形都有6个外角． 3.练一练 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ 解：∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC和△BEF的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 【设计意图】通过让学生动手画图与观察，主动获取三角形外角的定义与特征，增强几何概念的直观理解和应用意识。 探究点2：三角形外角的性质 1.思考交流 （1）如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ 解：∠ACD与∠ACB互补. （2）如图,△ABC 的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？ 解：∠A+∠B=∠ACD. （3）请证明你的结论，并与同伴进行交流. 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 解：方法一： 证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， （三角形内角和定理） ∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质） ∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义） ∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质） ∴∠A+∠B=∠ACD（等量代换） 方法二： 证明：过C作CE∥AB， ∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. 推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. (4)△ABC的外角∠ACD与它不相邻的两个内角（∠A、∠B）的大小关系如何呢？ 解：∵∠ACD=∠A+∠B, ∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B. 推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论. 2.方法归纳 三角形内角和定理的推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 三角形内角和定理的推论2： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B. 3.练一练 点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是（ ） A.∠A＞∠1＞∠2 B.∠A＞∠2＞∠1 C.∠2＞∠1＞∠A D.∠1＞∠2＞∠A 解：D 4.典例分析 例1 如图，在△ABC中，∠B= ∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 解：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C=∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 提示：还可以利用“同位角相等”或“同旁内角互补”来证明. 例2 已知: 如图,P 是△ABC内一点,链接PB，PC . 求证: ∠ BPC ＞ ∠A. 证明：如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠ BPC是△PDC的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵ ∠ PDC是△ABD的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ PDC ＞ ∠ A （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ A. 提示：还可以连接AP并延长交BC于点E，利用推论2证明. 【设计意图】借助已有的“内角和定理”与平行线角度关系，让学生操作并推理三角形外角在几何推断中的价值，进一步培养严谨的几何证明思维。 1.如图所示，AB∥CD，∠A = 45°，∠C=28°,则∠AEC的大小为( ) A.17° B.62° C63° D.73° 解：D． 2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) A.120° B.115° C.110° D.105° 解：B． 3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ） A.26° B.63° C.37° D.60° 解：A. 4.将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示,若∠1=40°，则∠2=_____. 解：85° 5. 如图所示，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与△ACB 的外角∠ACE的平分线交于点D，则∠D的度数为_____. 解：25° 6．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是_____. 解：∠A < ∠1 < ∠2 7. （1）如图，∠BDC是________的外角,也是______的外角； (2)若∠B=45 °，∠BAE=36 °,∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. 解：(1)△ADC,△ADE (2) 8. 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE． 求证：∠1>∠2． 解：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）， ∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）. ∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）， ∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， ∴∠1>∠2（不等式的性质）. 9.如图所示，∠B=20°，∠C=30°，∠A =95°，求∠BDC的度数. 解：如图，延长BD交AC于E. ∵∠A =95°，∠B=20°， ∴∠1=∠A +∠B=115°， 又∵∠C=30°， ∴∠BDC=∠C +∠1=145°.（方法不唯一） 【设计意图】为进一步巩固对三角形外角性质的理解，可以通过典型例题分析，帮助学生构建严谨的几何推理过程，并在多种证明方法的对比中不断提升思维的灵活性与严谨性。 主板书 1.1 三角形内角和定理 第二课时 探究点1 三角形的外角 探究点 2 三角形外角的性质 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题1.1第3，4，17题。 2.探究性作业：习题1.1第18题。 学科网（北京）股份有限公司 $