1.1 三角形内角和定理第4课时（教学设计）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦多边形外角和定理，通过复习多边形内角和公式及基础练习巩固旧知，结合小刚绕五边形小道跑步的情境问题，引导学生发现方向改变角的总和，搭建从内角和到外角和的学习支架。 此设计以“转化”“数形结合”思想为核心，通过代数推导、平移拼接等多种方法探究外角和定理，培养学生几何直观与推理能力。情境问题与例题应用（如正多边形边数计算）发展模型意识，助力学生理解知识本质，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

1.1 三角形内角和定理 第4课时 教学设计 1.教学内容 本节选自北师大版八年级下册第一章“三角形的证明及其应用”1.1三角形内角和定理第4课时，核心知识点是多边形外角和定理。主要学习多边形外角及其和的恒等性质，并结合实例体会其应用价值。 2.内容解析 基于前面三角形内角和定理的学习，学生通过观察、平移、构造等多种方法，理解多边形外角与内角的邻补关系，进而归纳出外角和总为 360°。这一规律突出“转化”与“数形结合”思想，对后续学习正多边形、几何建模等具有重要意义。 1.教学目标 •能通过不同方法探索多边形的外角和公式。 •学会运用多边形的外角和公式解决问题。 •经历多边形的外角和定理的探究过程，进一步体会转化的数学思想。 2.目标解析 • 侧重让学生自主发现外角和恒为 360°，培养几何推理与多角度思考能力； • 强调外角和在解题中的实用性，引导学生灵活运用公式； • 强调探究过程与方法迁移，提升思维的深度与广度。 3.重点难点 • 教学重点：多边形外角和定理的多种证明思路与实际应用。 • 教学难点：将外角和定理灵活运用于正多边形、几何组合与探索性问题中。 学生已具备三角形内角和及简单几何推理基础，能理解“邻补角”概念，但对多边形的整体认识尚浅，易混淆外角种类与取法。通过动手操作与类比分析，能较快掌握外角和定理的要点，需要进一步内化解题策略与思维方法。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①n边形的内角和等于(n-2)×180 °. ②正n边形每个内角的度数是: ③练一练： （1）七边形内角和为900 °. （2）多边形内角和为1 260°，则它是九边形. （3）多边形内角和为1 800°，则它是十二边形. 2.情景引入 如图，小刚住的小区有一个五边形的小道，小刚沿着五边形小道绕各顶点走了一圈，回到起点A，并面对他出发时的方向，他的身体旋转了多少度？今天就让我们一起来探究一下． 【设计意图】借助对多边形内角和的复习，帮助学生快速回忆相关知识，为本节课多边形外角和的探究埋下伏笔。同时，通过基础练习让学生找回数学思维的“手感”，激发学习兴趣，明确本节课的学习方向。 探究点1：多边形的外角和 1.尝试思考 问题1：小刚每次从五边形跑道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角. 解：如图，小刚每次从五边形跑道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5. 问题2：小刚每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？说说你的理由，并与同伴进行交流. 解：小刚每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5. 分析：多边形的一个内角和它相邻的外角互补，和为180°.五边形的内角和为540°.用五个平角的和减去五边形的内角和即为小刚每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和. 解：∵∠1＋∠EAB＝180°， ∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°， ∠5＋∠DEA＝180°， ∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝5×180°． 又∵∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝(5－2)×180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝5×180°－(5－2)×180° ＝360°． ∴如果公园步道的形状是五边形，小刚每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和为360°. 2.想一想 如果公园步道的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？与同伴进行交流. 解：如图，如果公园步道的形状是六边形，小刚每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 =6×180°-（6-2）×180° =360°. 解：如图，如果公园步道的形状是八边形，小刚每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8 =8×180°-（8-2）×180° =360°. 3.知识归纳 多边形的外角： 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.n边形有2n个外角． 多边形的外角和： 在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 例如，如图，五边形ABCDE的外角和是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5. 【设计意图】通过跑步方向的改变引导学生切入“外角”的研究，并利用内角与外角互补的性质进行推导，让学生直观感受“外角和 = 360°”的雏形，为后续更一般的结论埋下伏笔。 探究点2：多边形的外角和定理 1.思考交流 可以发现：五边形、六边形、八边形的外角和都等于360°.如果是n边形，它的外角和是多少度呢？能说说你的理由吗？ 猜想：n边形的外角和都是360°. 理由：∵n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°， ∴n边形内角和加外角和等于n·180°， 又∵n边形的内角和为（n－2）×180° ∴n边形的外角和为：n·180°－（n－2）·180°＝360°． 2.知识归纳 多边形的外角和定理： 多边形的外角和等于360°. 注意：多边形的外角和是一个定值，与边数无关. 3.尝试思考 你还有其他方法证明多边形的外角和是360°吗？小组讨论交流. 提示：以五边形为例，可以通过平行线移角的功能，将五个外角平移到一个顶点，恰好构成一个周角. 解：如图：过D点分别作DF∥AE，DG∥AB，DH∥BC， 则易证∠4=∠FDE，∠5=∠FDG，∠1=∠GDH，∠2=∠MDH, ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 =∠FDG+∠GDH+∠MDH+∠3+∠FDE=360°. 4.例题探究 例：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180゜， 外角和等于360゜． 根据题意，得 （n－2）·180゜＝3×360゜. 解得n＝8． 所以，这个多边形是八边形． 5.做一做 ①如图，∠1 ,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是(　　) A.110° B.108° C.105° D.100° 解：D ②一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数是(　　) A.7 B. 6 C. 4 D. 5 解：B 6.思考交流 教师提问：多边形的外角和都是360°，那么正多边形外角和是多少度呢？每个外角呢？ 学生思考：正多边形外角和也是360°. 正多边形的每个外角的度数= 教师提问：本节研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法？与同伴进行交流. 学生思考： ①内角和：以转化法为核心，通过顶点连线、内部取点、边上取点等路径将多边形分割为三角形，结合三角形内角和定理推导公式； ②外角和：借助代数推导法（利用内角与外角的互补关系）和直观验证法（滚动拼接成周角）得出结论； ③整体过程贯穿特殊到一般的归纳法，辅助度量、拼角等验证手段，渗透转化、数形结合、方程思想。 7.典例分析 例1 正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正几边形？ 解：方法一：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180゜， 根据题意，得 （n－2）·180゜＝135゜n， 解得n＝8． 所以，这个多边形是正八边形． 方法二：每个外角的度数为180°-135°=45°， 外角的个数为：360°÷45°=8 所以，这个多边形是正八边形. 例2 如图所示,小明从A点出发,沿直线前进8米后左转40°,再沿直线前进8米,又左转40°……照这样走下去,他第一次回到出发点A时: (1)整个行走路线是什么图形? (2)一共走了多少米? 解：(1)由题意知行走路线是一个正多边形，设其边数为n, 则n=360°÷40°=9, 所以整个行走路线是正九边形. (2)8×9=72(米)，故一共走了72米. 【设计意图】本环节从多边形的具体实例（五边形、六边形、八边形）过渡到一般化边形的结论，充分体现“由具体到一般”的归纳思想，同时利用数形结合与转化方法讲解，为学生建立更稳固的认识结构。 1.在一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角 (　　) A.1个   B.2个　 C.3个　 D.4个 解：C 2.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是 (　　) A.六边形 　B.五边形　 C.四边形 　D.三角形 解：D 3.各内角都相等的多边形， 它的一个内角与一个外角的比是3∶2， 则它是(　　) A.四边形　 B.五边形 　　C.六边形 　 D.八边形 解：B． 4.一个正多边形,它的一个外角等于与它相邻内角的,则这个多边形是正____边形. 解：十 5. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米． 解：150 6．如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若∠1+∠2+∠3=227°，则∠4+∠5的度数为_____． 解：227° 7. 一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角大36°，求这个正多边形的边数. 解：设外角为x°，则内角为x°+36°， x+36+x＝180， 解得 x＝72, 360°÷72°＝5.即这个正多边形的边数为5. 8. 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 解：（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画图如上： 类比迁移： (2)如图，若小明从O点向西走10米，左转30°，再向前走10米，左转30°，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． 解：(2)根据外角相等，都是30°，由外角和定理，得边数为360°/30°=12， 故多边形的周长为：12×10=120（米）． (3)若小明从O点向西走16米，左转x°，再向前走16米，左转x°，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则x=______． 解：(3)根据外角相等，都是x°，由外角和定理，得边数为=， 根据题意，得×16=320，解得x=18， 经检验，x=18是原方程的根． 【设计意图】通过精选多角度的针对性题目，帮助学生查漏补缺，稳固知识。 主板书 1.1 三角形内角和定理 第四课时 探究点1 多边形的外角和 探究点 2 多边形的外角和定理 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1.必做题：习题1.1第7，8，9题。 2.探究性作业：习题1.1第14题。 学科网（北京）股份有限公司 $