8.3多项式乘多项式（题型专练）数学新教材苏科版七年级下册

8.3多项式乘多项式 题型一 多项式乘多项式 1．【答案】B 2．【答案】28x2+65x+28 3． 【答案】（1）﹣6a3b2+10a3b3﹣2a2；（2）﹣3x2+xy﹣6y2；（3）12x3y+8x2y2﹣4xy；（4）7x2+29x﹣6 【详解】解：（1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1） ＝﹣6a3b2+10a3b3﹣2a2； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y） ＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy ＝﹣3x2+xy﹣6y2； （3）4xy（3x2+2xy﹣1） ＝4xy×3x2+4xy×2xy﹣4xy×1 ＝12x3y+8x2y2﹣4xy； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6） ＝（2x+4）（2x+3）﹣（3﹣3x）（x+6） ＝4x2+6x+8x+12﹣（3x+18﹣3x2﹣18x） ＝4x2+14x+12﹣（18﹣3x2﹣15x） ＝4x2+14x+12﹣18+3x2+15x ＝7x2+29x﹣6． 4． 【答案】（1）2x+y，2x﹣y，y2+4x2；（2）4x2﹣y2 【详解】解：（1）由题意可得：y（A）＝2xy+y2，两边同除以y得：A＝2x+y， 同理可得：2x（B）＝4x2﹣2xy，两边同除以2x得：B＝2x﹣y， 例题的化简结果为：2xy+y2+4x2﹣2xy＝4x2+y2， 故答案为：2x+y，2x﹣y，y2+4x2； （2）多项式A与B的积为：（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2． 5． 【答案】（1）x2+2x；（2）﹣5x3﹣4x2+12x 【详解】解：（1）A＝x2﹣3x+6﹣（6﹣5x） ＝x2﹣3x+6﹣6+5x ＝x2+2x； （2）（x2+2x）•（6﹣5x） ＝6x2﹣5x3+12x﹣10x2 ＝﹣5x3﹣4x2+12x， 故本题答案为：﹣5x3﹣4x2+12x． 题型二 根据多项式乘多项式求值 1．【答案】A 2．【答案】4 3．【答案】﹣1 4．【答案】1 5．【答案】 题型三 根据多项式乘多项式求参 1．【答案】C 2．【答案】7 3．【答案】8 题型四 根据多项式乘多项式比较大小 1．【答案】A 2．【答案】M＜N 题型五 多项式乘多项式的应用 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5． 【答案】（1）（a2+4ab）平方米，（3ab+12b2）平方米；（2）216平方米 【详解】解：（1）S1＝a（a+4b） ＝（a2+4ab）平方米， S2＝（a+3b﹣a）（a+4b） ＝3b（a+4b） ＝（3ab+12b2）平方米； （2）当a＝2，b＝4时， S2＝3×2×4+12×42 ＝3×2×4+12×16 ＝24+192 ＝216（平方米）， 答：此时种植区的总面积S2为216平方米． 6． 【答案】（1）回字形福建土楼占地面积为5a2+4ab，山西大院占地面积为6a2+3ab；（2）① 【详解】解：（1）回字形福建土楼占地面积为：（3a+2b）（2a+b）﹣（2b+a）（b+a）＝5a2+4ab； 山西大院占地面积为：（a+a+b）（2a+b+a+a）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）（4a+b）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）•3a ＝6a2+3ab； （2）这两个建筑物的占地面积之差为：5a2+4ab﹣6a2﹣3ab ＝﹣a2+ab ＝a（b﹣a）， ∵0＜a＜b， ∴a（b﹣a）＞0， ∴回字形福建土楼的占地面积更大，即①组同学的想法正确， 故本题答案为：①． 题型一 根据多项式乘多项式求值或求参（升级版） 1．【答案】 2． 【答案】（1）①x2+5x+6；②x2﹣x﹣6；③x2+x﹣6；（2）（a+b）；（3）8或﹣8． 【详解】解：（1）①（x+2）（x+3） ＝x2+2x+3x+6 ＝x2+5x+6， ②（x+2）（x﹣3） ＝x2﹣3x+2x﹣6 ＝x2﹣x﹣6， ③（x﹣2）（x+3） ＝x2+3x﹣2x﹣6 ＝x2+x﹣6， 故本题答案为：①x2+5x+6，②x2﹣x﹣6，③x2+x﹣6； （2）原式＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab， 故本题答案为：（a+b）； （3）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+7， ∴m＝a+b，ab＝7， ∵a、b都是整数，7＝1×7＝（﹣1）×（﹣7）， ∴或或或， ∴m＝a+b＝1+7＝8或m＝a+b＝﹣1﹣7＝﹣8． 3． 【答案】（1）x4﹣4x2+4x﹣1；（2）﹣2 【详解】解：（1）（x2+2x﹣1）（x2﹣2x+1） ＝x4﹣2x3+x2+2x3﹣4x2+2x﹣x2+2x﹣1 ＝x4﹣4x2+4x﹣1； （2）设被遮住的一次项系数为a， 则（x2+ax﹣1）（x2﹣2x+1） ＝x4﹣2x3+x2+ax3﹣2ax2+ax﹣x2+2x﹣1 ＝x4+（a﹣2）x3+（﹣2a）x2+（a+2）x﹣1， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴a+2＝0，解得：a＝﹣2， ∴被遮住的一次项系数为﹣2． 题型二 多项式乘多项式的求参与求值综合 1．【答案】 2． 【答案】（1）a＝2，m＝3；（2）﹣4n2+3m＝5 【详解】解：（1）（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m ＝2ax2+ax﹣6x﹣3﹣4x2+m ＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3， ∵化简后不含x2项和常数项， ∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0，解得：a＝2，m＝3； （2）把a＝2，m＝3代入an+mn＝﹣5， ∴2n+3n＝﹣5，解得：n＝﹣1， ∴﹣4n2+3m＝﹣4×（﹣1）2+3×3＝﹣4+9＝5． 3． 【答案】（1）a＝﹣4，b＝5；（2）（2x+a）（x+b）＝2x2+6x﹣20 【详解】解：（1）∵甲错把b看成了6， ∴（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a， 又（2x+a）（x+6）＝2x2+8x﹣24， ∴6a＝﹣24，解得：a＝﹣4， ∵乙错把a看成了﹣a， ∴（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（2b﹣a）x﹣ab， 又（2x﹣a）（x+b）＝2x2+14x+20， ∴2b﹣a＝14， ∴2b+4＝14，解得：b＝5， ∴a＝﹣4，b＝5； （2）由（1）可得：（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+6x﹣20． 题型三 多项式乘多项式的新定义问题 1．【答案】B 2． 【答案】（1）或﹣2；（2）a＝2，b＝﹣2，c＝1 【详解】解：（1）由多项式零点的概念可得：3x﹣1＝0或x+2＝0，解得：x或x＝﹣2， ∴此多项式的零点为或﹣2； （2）∵M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝0，解得：x或x＝7， ∴M的两个零点分别是或7， 由3﹣系多项式的定义可得：7＝6，解得：b＝﹣2， 把b＝﹣2代入M得：（2x+2）（cx﹣7c）＝2cx2﹣12cx﹣14c， ∵M＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4， ∴a＝2c，5b﹣4＝﹣14c， ∴c＝1，a＝2， ∴a，b，c的值分别是2，﹣2，1． 题型一 多项式乘多项式的综合 1． 【答案】（1）4；（2）；（3）a＝2b 【详解】解：（1）mx﹣4x+3 ＝（m﹣4）x+3， ∵关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关， ∴m﹣4＝0，解得：m＝4， 故本题答案为：4； （2）∵A＝（2x+1）（x﹣2） ＝2x2﹣4x+x﹣2 ＝2x2﹣3x﹣2， 2B＝2x（m﹣x） ＝2mx﹣2x2， ∴A+2B＝2x2﹣3x﹣2+2mx﹣2x2 ＝2x2﹣2x2+2mx﹣3x﹣2 ＝2mx﹣3x﹣2 ＝（2m﹣3）x﹣2， ∵A+2B的值与x无关， ∴2m﹣3＝0，解得：； （3）设AB＝x，由图可知：S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴S1﹣S2 ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a） ＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab ＝（a﹣2b）x+ab， ∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， ∴S1﹣S2取值与x无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 2． 【答案】（1）①19；②4050；（2）2.4；（3）w＝（m﹣3）a+2700﹣100m，m＝3 【详解】解：（1）①由题意可得：x＝2×（﹣1）+7×3＝﹣2+21＝19， 故本题答案为：19； ②∵（2x+1）2025是由2025个（2x+1）相乘，又由已知条件和①中计算可知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中的一次项系数与其他几个多项式的常数项的积之和， ∴（2x+1）2025的展开式的一次项系数为2025个2×12024的和， ∴a2025＝2025×2＝4050， 故本题答案为：4050； （2）由题意可得：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中的一次项系数与其他几个多项式的常数项的积之和， ∴（x﹣1）（2x﹣3）（4x+p）的积中x项的系数为：1×（﹣3）p+2×（﹣1）p+4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣3p﹣2p+12＝﹣5p+12， ∵（x﹣1）（2x﹣3）（4x+p）的积中不含x项， ∴﹣5p+12＝0，解得：p＝2.4； （3）∵购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有（100﹣a）箱， 由题意可得：w＝（48﹣24）a+（57﹣30﹣m）（100﹣a） ＝24a+（27﹣m）（100﹣a） ＝24a+2700﹣27a﹣100m+ma ＝24a+ma﹣27a﹣100m+2700 ＝（m﹣3）a+2700﹣100m， ∵不同的购进方案，超市获得的利润都相同， ∴无论a为何值，w不变， ∴w＝（m﹣3）a+2700﹣100m中，a的系数为0， ∴m﹣3＝0，解得：m＝3， ∴w＝（m﹣3）a+2700﹣100m，m＝3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3多项式乘多项式 题型一 多项式乘多项式 1．（2025·金坛区·期中）下列多项式相乘的结果是x2﹣x﹣6的为（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（x+2）（x﹣3） C．（x﹣6）（x+1） D．（x+6）（x﹣1） 【答案】B 【详解】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，则A不合题意； （x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，则B符合题意； （x﹣6）（x+1）＝x2﹣5x﹣6，则C不合题意； （x+6）（x﹣1）＝x2+5x﹣6，则D不合题意． 故本题选：B． 2．（2025·沭阳县·期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（4，7）的化简结果是　　． 【答案】28x2+65x+28 【详解】解：由新定义可知：（4，7）＝（4x+7）（7x+4）＝28x2+65x+28． 故本题答案为：28x2+65x+28． 3．计算： （1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1）； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）； （3）4xy（3x2+2xy﹣1）； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）． 【答案】（1）﹣6a3b2+10a3b3﹣2a2；（2）﹣3x2+xy﹣6y2；（3）12x3y+8x2y2﹣4xy；（4）7x2+29x﹣6 【详解】解：（1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1） ＝﹣6a3b2+10a3b3﹣2a2； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y） ＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy ＝﹣3x2+xy﹣6y2； （3）4xy（3x2+2xy﹣1） ＝4xy×3x2+4xy×2xy﹣4xy×1 ＝12x3y+8x2y2﹣4xy； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6） ＝（2x+4）（2x+3）﹣（3﹣3x）（x+6） ＝4x2+6x+8x+12﹣（3x+18﹣3x2﹣18x） ＝4x2+14x+12﹣（18﹣3x2﹣15x） ＝4x2+14x+12﹣18+3x2+15x ＝7x2+29x﹣6． 4．（2023·淮安·期中）如下，这是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式． 例题：化简：y（A）+2x（B）， 解：原式＝2xy+y2+4x2﹣2xy＝　　．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式A为　　，多项式B为　　，例题的化简结果为　　； （2）求多项式A与B的积． 【答案】（1）2x+y，2x﹣y，y2+4x2；（2）4x2﹣y2 【详解】解：（1）由题意可得：y（A）＝2xy+y2，两边同除以y得：A＝2x+y， 同理可得：2x（B）＝4x2﹣2xy，两边同除以2x得：B＝2x﹣y， 例题的化简结果为：2xy+y2+4x2﹣2xy＝4x2+y2， 故答案为：2x+y，2x﹣y，y2+4x2； （2）多项式A与B的积为：（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2． 5．（2025·涟水县·期中）某同学在计算一个多项式A乘以（6﹣5x）时，因抄错运算符号，算成了加上（6﹣5x），得到的结果是x2﹣3x+6． （1）求这个多项式A； （2）该同学若按原题正确计算了，则结果为　　． 【答案】（1）x2+2x；（2）﹣5x3﹣4x2+12x 【详解】解：（1）A＝x2﹣3x+6﹣（6﹣5x） ＝x2﹣3x+6﹣6+5x ＝x2+2x； （2）（x2+2x）•（6﹣5x） ＝6x2﹣5x3+12x﹣10x2 ＝﹣5x3﹣4x2+12x， 故本题答案为：﹣5x3﹣4x2+12x． 题型二 根据多项式乘多项式求值 1．（2025·丹阳市·期中）已知：x+y＝2，且（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．则xy值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【答案】A 【详解】解：（x﹣2）（y﹣2）＝xy﹣2（x+y）+4＝﹣3， ∵x+y＝2， ∴xy﹣2×2+4＝﹣3，解得：xy＝﹣3． 故本题选：A． 2．（2025·宿豫区·期中）已知mn＝2m+2n，则（m﹣2）（n﹣2）＝　　． 【答案】4 【详解】解：∵mn＝2m+2n， ∴（m﹣2）（n﹣2） ＝mn﹣2m﹣2n+4 ＝mn﹣（2m+2n）+4 ＝mn﹣mn+4 ＝4． 故本题答案为：4． 3．（2025·邗江区·期末）当m2+2m﹣1＝0时，代数式（m+3）（2m﹣1）﹣m的值为　　． 【答案】﹣1 【详解】解：∵m2+2m﹣1＝0， ∴m2+2m＝1， ∴（m+3）（2m﹣1）﹣m ＝2m2﹣m+6m﹣3﹣m ＝2m2+4m﹣3 ＝2（m2+2m）﹣3 ＝2×1﹣3 ＝2﹣3 ＝﹣1． 故本题答案为：﹣1． 4．（2024·秦淮区·期末）若m2+m﹣1＝0，则代数式m2（m+2）的值是　　． 【答案】1 【详解】解：∵m2+m﹣1＝0， ∴m2＝﹣m+1，m2+m＝1， ∴m2（m+2） ＝（﹣m+1）（m+2） ＝﹣m2﹣m+2 ＝﹣（m2+m）+2 ＝﹣1+2 ＝1． 故答案为：1． 5．（2025·亭湖区·月考）先化简，再求值：（x+3）（x+1）+x（x﹣4）﹣x2，其中． 【答案】 【详解】解：原式＝x2+4x+3+x2﹣4x﹣x2 ＝x2+3， 当时，原式． 题型三 根据多项式乘多项式求参 1．（2025·亭湖区·期中）若（x+3）（x+n）＝x2﹣mx﹣15，则nm的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D． 【答案】C 【详解】解：∵（x+3）（x+n） ＝x2+nx+3x+3n ＝x2+（n+3）x+3n ＝x2﹣mx﹣15， ∴﹣m＝n+3，3n＝﹣15，解得：m＝2，n＝﹣5， ∴nm＝（﹣5）2＝25． 故本题选：C． 2．（2025·高新区·期末）小明在计算（x﹣2）（x+n）时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则n的值为　　． 【答案】7 【详解】解：（x﹣2）（x+n） ＝x2+nx﹣2x﹣2n ＝x2+（n﹣2）x﹣2n， ∵结果中的一次项系数为5， ∴n﹣2＝5，解得：n＝7． 故本题答案为：7． 3．（2025·鼓楼区·校级月考）若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为　　． 【答案】8 【详解】解：（x2+mx）（x2+2x﹣n） ＝x4+2x3﹣nx2+mx3+2mx2﹣mnx ＝x4+（2+m）x3+（2m﹣n）x2﹣mnx， ∵（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项， ∴， 由①得：m＝﹣2， 把m＝﹣2代入②得：n＝﹣4， ∴mn＝（﹣2）×（﹣4）＝8． 故本题答案为：8． 题型四 根据多项式乘多项式比较大小 1．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定 【答案】A 【详解】解：M﹣N＝（x﹣3）（x﹣4）﹣[（x﹣1）（x﹣6）+4] ＝x2﹣7x+12﹣（x2﹣7x+10） ＝x2﹣7x+12﹣x2+7x﹣10， ＝2＞0， ∴M＞N． 故本题选：A． 2．（2025·扬州·期末）设M＝（x+3）（x﹣7），N＝（x+1）（x﹣5），则M与N的大小关系为　　． 【答案】M＜N 【详解】解：由题意可知：M﹣N＝（x+3）（x﹣7）﹣（x+1）（x﹣5） ＝x2+3x﹣7x﹣21﹣（x2+x﹣5x﹣5） ＝x2+3x﹣7x﹣21﹣x2﹣x+5x+5 ＝﹣16＜0， ∴M＜N． 故本题答案为：M＜N． 题型五 多项式乘多项式的应用 1．（2025·盐城·月考）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：①（2a+b）（m+n），正确； ②a（m+n）+b（m+n），错误； ③m（2a+b）+n（2a+b），正确； ④2am+2an+bm+bn，正确； 综上，正确的有①③④． 故本题答案为：C． 2．（2025·扬州·期中）如图，用A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，拼一个长为（a+4b）、宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（　　） A．12 B．10 C．7 D．6 【答案】C 【详解】解：拼成长方形的面积（a+4b）（a+3b）＝a2+7ab+12b2， ∴需要A类1个，B类12个，C类7个． 故本题选：C． 3．（2025·丹阳市·期中）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：（a+5）（b+6） ＝ab+6a+5b+30， （a+5+5）（b+6﹣5） ＝（a+10）（b+1） ＝ab+a+10b+10， ∴（a+5）（b+6）﹣（a+10）（b+1） ＝ab+6a+5b+30﹣ab﹣a﹣10b﹣10 ＝5a﹣5b+20 ＝5（a﹣b）+20＞0， ∴（a+5）（b+6）＞（a+5+5）（b+6﹣5）， ∴张老汉的租地面积会变小． 故本题选：A． 4．（2025·邗江区·校级月考）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．在图2中672的“竖式”，可计算出（m+n）（x﹣y）是（　　） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【详解】解：由图1可知：这个两位数的十位数字的平方＝第一行左边的两位数，个位数字的平方＝第一行右边的两位数，2×十位数字×个位数字＝中间一行的数， ∴10m+n＝62＝36，10x+y＝10x+y＝2×7×6＝84， ∴m＝3，n＝6，x＝8，y＝4， ∴（m+n）（x﹣y） ＝（3+6）×（8﹣4） ＝9×4 ＝36． 故本题选：A． 5．（2024·邗江区·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2；（请将结果化为最简） （2）若a＝2，b＝4，求出此时种植区的总面积S2． 【答案】（1）（a2+4ab）平方米，（3ab+12b2）平方米；（2）216平方米 【详解】解：（1）S1＝a（a+4b） ＝（a2+4ab）平方米， S2＝（a+3b﹣a）（a+4b） ＝3b（a+4b） ＝（3ab+12b2）平方米； （2）当a＝2，b＝4时， S2＝3×2×4+12×42 ＝3×2×4+12×16 ＝24+192 ＝216（平方米）， 答：此时种植区的总面积S2为216平方米． 6．（2025·南京·月考）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大； ②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若0＜a＜b，则　　组同学的想法正确．（填“①”或“②”） 【答案】（1）回字形福建土楼占地面积为5a2+4ab，山西大院占地面积为6a2+3ab；（2）① 【详解】解：（1）回字形福建土楼占地面积为：（3a+2b）（2a+b）﹣（2b+a）（b+a）＝5a2+4ab； 山西大院占地面积为：（a+a+b）（2a+b+a+a）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）（4a+b）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）•3a ＝6a2+3ab； （2）这两个建筑物的占地面积之差为：5a2+4ab﹣6a2﹣3ab ＝﹣a2+ab ＝a（b﹣a）， ∵0＜a＜b， ∴a（b﹣a）＞0， ∴回字形福建土楼的占地面积更大，即①组同学的想法正确， 故本题答案为：①． 题型一 根据多项式乘多项式求值或求参（升级版） 1．（2025·兴化市·期中）小明同学在计算（a1x+b1）（a2x+b2）时发现一次项（a1b2+a2b1）x可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算（2x+1）（x+2）时一次项为2x•2+x•1＝5x．仿照小明的方法，计算（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n﹣1）（x+n）展开式中xn﹣1项的系数为　　（用含n的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，展开式中xn﹣1项的系数为1+2＝3， （x+1）（x+2）（x+3）＝x3+6x2+11x+6，展开式中xn﹣1项的系数为1+2+3＝6， （x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝x4+10x3+35x2+50x+24，展开式中xn﹣1项的系数为1+2+3+4＝10， ∴（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n﹣1）（x+n）展开式中xn﹣1项的系数为： 1+2+3+4+…+n﹣1+n•n． 故本题答案为：． 2．（2025·丹阳市·期中）回答下列问题： （1）计算： ①（x+2）（x+3）＝　　， ②（x+2）（x﹣3）＝　　， ③（x﹣2）（x+3）＝　　； （2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+　　x+ab； （3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+7．求m的所有可能值． 【答案】（1）①x2+5x+6；②x2﹣x﹣6；③x2+x﹣6；（2）（a+b）；（3）8或﹣8． 【详解】解：（1）①（x+2）（x+3） ＝x2+2x+3x+6 ＝x2+5x+6， ②（x+2）（x﹣3） ＝x2﹣3x+2x﹣6 ＝x2﹣x﹣6， ③（x﹣2）（x+3） ＝x2+3x﹣2x﹣6 ＝x2+x﹣6， 故本题答案为：①x2+5x+6，②x2﹣x﹣6，③x2+x﹣6； （2）原式＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab， 故本题答案为：（a+b）； （3）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+7， ∴m＝a+b，ab＝7， ∵a、b都是整数，7＝1×7＝（﹣1）×（﹣7）， ∴或或或， ∴m＝a+b＝1+7＝8或m＝a+b＝﹣1﹣7＝﹣8． 3．（2025·相城区·校级月考）小红准备完成题目：计算（x2x﹣1）（x2﹣2x+1）时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：（x2+2x﹣1）（x2﹣2x+1）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】（1）x4﹣4x2+4x﹣1；（2）﹣2 【详解】解：（1）（x2+2x﹣1）（x2﹣2x+1） ＝x4﹣2x3+x2+2x3﹣4x2+2x﹣x2+2x﹣1 ＝x4﹣4x2+4x﹣1； （2）设被遮住的一次项系数为a， 则（x2+ax﹣1）（x2﹣2x+1） ＝x4﹣2x3+x2+ax3﹣2ax2+ax﹣x2+2x﹣1 ＝x4+（a﹣2）x3+（﹣2a）x2+（a+2）x﹣1， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴a+2＝0，解得：a＝﹣2， ∴被遮住的一次项系数为﹣2． 题型二 多项式乘多项式的求参与求值综合 1．（2025·工业园区·校级期中）若等式（x﹣s）（3x+t）＝3x2+mx﹣n恒成立，无论t为何值，3m+5n的值始终为定值，则这个定值为　　． 【答案】 【详解】解：∵（x﹣s）（3x+t）＝3x2﹣3sx+tx﹣ts＝3x2+（t﹣3s）x﹣ts，（x﹣s）（3x+t）＝3x2+mx﹣n， ∴3x2+（t﹣3s）x﹣ts＝3x2+mx﹣n， ∴m＝t﹣3s，n＝ts， ∴3m+5n ＝3（t﹣3s）+5ts ＝3t﹣9s+5ts ＝（3+5s）t﹣9s， ∵无论t为何值，3m+5n的值始终为定值， ∴3+5s＝0， ∴， ∴． 故本题答案为：． 2．（2025·靖江市·校级期中）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项． （1）求a和m的值； （2）若an+mn＝﹣5，求代数式﹣4n2+3m的值． 【答案】（1）a＝2，m＝3；（2）﹣4n2+3m＝5 【详解】解：（1）（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m ＝2ax2+ax﹣6x﹣3﹣4x2+m ＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3， ∵化简后不含x2项和常数项， ∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0，解得：a＝2，m＝3； （2）把a＝2，m＝3代入an+mn＝﹣5， ∴2n+3n＝﹣5，解得：n＝﹣1， ∴﹣4n2+3m＝﹣4×（﹣1）2+3×3＝﹣4+9＝5． 3．（2025·徐州·期末）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20． （1）求a、b的值； （2）求（2x+a）（x+b）的正确结果． 【答案】（1）a＝﹣4，b＝5；（2）（2x+a）（x+b）＝2x2+6x﹣20 【详解】解：（1）∵甲错把b看成了6， ∴（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a， 又（2x+a）（x+6）＝2x2+8x﹣24， ∴6a＝﹣24，解得：a＝﹣4， ∵乙错把a看成了﹣a， ∴（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（2b﹣a）x﹣ab， 又（2x﹣a）（x+b）＝2x2+14x+20， ∴2b﹣a＝14， ∴2b+4＝14，解得：b＝5， ∴a＝﹣4，b＝5； （2）由（1）可得：（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+6x﹣20． 题型三 多项式乘多项式的新定义问题 1．（2025·姑苏区·校级月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就首先使用了求和符号“∑”．如记k＝1+2+3+⋯+（n﹣1）+n；（x+k）＝（x+3）+（x+4）+⋯+（x+n）．已知[（x+k）（x﹣k+1）]＝5x2+mx﹣70，则m的值是（　　） A．4 B．5 C．﹣5 D．﹣4 【答案】B 【详解】解：∵x2系数为5， ∴n＝6， ∴ ＝（x+2）（x﹣1）+（x+3）（x﹣2）+（x+4）（x﹣3）+（x+5）（x﹣4）+（x+6）（x﹣5） ＝x2+x﹣2+（x2+x﹣6）+（x2+x﹣12）+（x2+x﹣20）+（x2+x﹣30） ＝5x2+5x﹣70， ∵， ∴m＝5． 故本题选：B． 2．（2025·工业园区·校级期中）小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x﹣1）（x+2），则此多项式的零点为　　； （2）小亮继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在数轴上表示这些多项式零点的两个点关于表示3的点对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3﹣系多项式”，求a，b，c的值． 【答案】（1）或﹣2；（2）a＝2，b＝﹣2，c＝1 【详解】解：（1）由多项式零点的概念可得：3x﹣1＝0或x+2＝0，解得：x或x＝﹣2， ∴此多项式的零点为或﹣2； （2）∵M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝0，解得：x或x＝7， ∴M的两个零点分别是或7， 由3﹣系多项式的定义可得：7＝6，解得：b＝﹣2， 把b＝﹣2代入M得：（2x+2）（cx﹣7c）＝2cx2﹣12cx﹣14c， ∵M＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4， ∴a＝2c，5b﹣4＝﹣14c， ∴c＝1，a＝2， ∴a，b，c的值分别是2，﹣2，1． 题型一 多项式乘多项式的综合 1．（2025·高新区·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴a+3＝0，解a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为　　． （2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3）a＝2b 【详解】解：（1）mx﹣4x+3 ＝（m﹣4）x+3， ∵关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关， ∴m﹣4＝0，解得：m＝4， 故本题答案为：4； （2）∵A＝（2x+1）（x﹣2） ＝2x2﹣4x+x﹣2 ＝2x2﹣3x﹣2， 2B＝2x（m﹣x） ＝2mx﹣2x2， ∴A+2B＝2x2﹣3x﹣2+2mx﹣2x2 ＝2x2﹣2x2+2mx﹣3x﹣2 ＝2mx﹣3x﹣2 ＝（2m﹣3）x﹣2， ∵A+2B的值与x无关， ∴2m﹣3＝0，解得：； （3）设AB＝x，由图可知：S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴S1﹣S2 ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a） ＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab ＝（a﹣2b）x+ab， ∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， ∴S1﹣S2取值与x无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 2．（2025·海陵区·期中）小华同学在计算（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣4x+3x﹣6＝2x2﹣x﹣6后，爱思考的他发现：2×（﹣2）+1×3＝﹣1是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，（x+2）（x﹣2）（3x+4）＝（x2﹣4）（3x+4）＝3x3+4x2﹣12x﹣16，x项的系数为﹣12；用他发现的方法计算：1×（﹣2）×4+1×2×4+3×2×（﹣2）＝﹣12，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． （1）①（2x+3）（7x﹣1）中x项的系数是　　； ②若，其中a2025＝　　． （2）若（x﹣1）（2x﹣3）（4x+p）的积中不含x项，求p的值． （3）拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】（1）①19；②4050；（2）2.4；（3）w＝（m﹣3）a+2700﹣100m，m＝3 【详解】解：（1）①由题意可得：x＝2×（﹣1）+7×3＝﹣2+21＝19， 故本题答案为：19； ②∵（2x+1）2025是由2025个（2x+1）相乘，又由已知条件和①中计算可知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中的一次项系数与其他几个多项式的常数项的积之和， ∴（2x+1）2025的展开式的一次项系数为2025个2×12024的和， ∴a2025＝2025×2＝4050， 故本题答案为：4050； （2）由题意可得：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中的一次项系数与其他几个多项式的常数项的积之和， ∴（x﹣1）（2x﹣3）（4x+p）的积中x项的系数为：1×（﹣3）p+2×（﹣1）p+4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣3p﹣2p+12＝﹣5p+12， ∵（x﹣1）（2x﹣3）（4x+p）的积中不含x项， ∴﹣5p+12＝0，解得：p＝2.4； （3）∵购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有（100﹣a）箱， 由题意可得：w＝（48﹣24）a+（57﹣30﹣m）（100﹣a） ＝24a+（27﹣m）（100﹣a） ＝24a+2700﹣27a﹣100m+ma ＝24a+ma﹣27a﹣100m+2700 ＝（m﹣3）a+2700﹣100m， ∵不同的购进方案，超市获得的利润都相同， ∴无论a为何值，w不变， ∴w＝（m﹣3）a+2700﹣100m中，a的系数为0， ∴m﹣3＝0，解得：m＝3， ∴w＝（m﹣3）a+2700﹣100m，m＝3． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3多项式乘多项式 题型一 多项式乘多项式 1．（2025·金坛区·期中）下列多项式相乘的结果是x2﹣x﹣6的为（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（x+2）（x﹣3） C．（x﹣6）（x+1） D．（x+6）（x﹣1） 2．（2025·沭阳县·期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（4，7）的化简结果是　　． 3．计算： （1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1）； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）； （3）4xy（3x2+2xy﹣1）； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）． 4．（2023·淮安·期中）如下，这是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式． 例题：化简：y（A）+2x（B）， 解：原式＝2xy+y2+4x2﹣2xy＝　　．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式A为　　，多项式B为　　，例题的化简结果为　　； （2）求多项式A与B的积． 5．（2025·涟水县·期中）某同学在计算一个多项式A乘以（6﹣5x）时，因抄错运算符号，算成了加上（6﹣5x），得到的结果是x2﹣3x+6． （1）求这个多项式A； （2）该同学若按原题正确计算了，则结果为　　． 题型二 根据多项式乘多项式求值 1．（2025·丹阳市·期中）已知：x+y＝2，且（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．则xy值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 2．（2025·宿豫区·期中）已知mn＝2m+2n，则（m﹣2）（n﹣2）＝　　． 3．（2025·邗江区·期末）当m2+2m﹣1＝0时，代数式（m+3）（2m﹣1）﹣m的值为　　． 4．（2024·秦淮区·期末）若m2+m﹣1＝0，则代数式m2（m+2）的值是　　． 5．（2025·亭湖区·月考）先化简，再求值：（x+3）（x+1）+x（x﹣4）﹣x2，其中． 题型三 根据多项式乘多项式求参 1．（2025·亭湖区·期中）若（x+3）（x+n）＝x2﹣mx﹣15，则nm的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D． 2．（2025·高新区·期末）小明在计算（x﹣2）（x+n）时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则n的值为　　． 3．（2025·鼓楼区·校级月考）若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为　　． 题型四 根据多项式乘多项式比较大小 1．（2025春•宜兴市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．由x的取值而定 2．（2025·扬州·期末）设M＝（x+3）（x﹣7），N＝（x+1）（x﹣5），则M与N的大小关系为　　． 题型五 多项式乘多项式的应用 1．（2025·盐城·月考）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（2025·扬州·期中）如图，用A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，拼一个长为（a+4b）、宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（　　） A．12 B．10 C．7 D．6 3．（2025·丹阳市·期中）从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 4．（2025·邗江区·校级月考）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．在图2中672的“竖式”，可计算出（m+n）（x﹣y）是（　　） A．36 B．37 C．38 D．39 5．（2024·邗江区·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2；（请将结果化为最简） （2）若a＝2，b＝4，求出此时种植区的总面积S2． 6．（2025·南京·月考）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大； ②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： （1）请分别计算这两个建筑物的占地面积； （2）若0＜a＜b，则　　组同学的想法正确．（填“①”或“②”） 题型一 根据多项式乘多项式求值或求参（升级版） 1．（2025·兴化市·期中）小明同学在计算（a1x+b1）（a2x+b2）时发现一次项（a1b2+a2b1）x可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算（2x+1）（x+2）时一次项为2x•2+x•1＝5x．仿照小明的方法，计算（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n﹣1）（x+n）展开式中xn﹣1项的系数为　　（用含n的代数式表示）． 2．（2025·丹阳市·期中）回答下列问题： （1）计算： ①（x+2）（x+3）＝　　， ②（x+2）（x﹣3）＝　　， ③（x﹣2）（x+3）＝　　； （2）总结公式（x+a）（x+b）＝x2+　　x+ab； （3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）＝x2+mx+7．求m的所有可能值． 3．（2025·相城区·校级月考）小红准备完成题目：计算（x2x﹣1）（x2﹣2x+1）时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：（x2+2x﹣1）（x2﹣2x+1）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 题型二 多项式乘多项式的求参与求值综合 1．（2025·工业园区·校级期中）若等式（x﹣s）（3x+t）＝3x2+mx﹣n恒成立，无论t为何值，3m+5n的值始终为定值，则这个定值为　　． 2．（2025·靖江市·校级期中）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项． （1）求a和m的值； （2）若an+mn＝﹣5，求代数式﹣4n2+3m的值． 3．（2025·徐州·期末）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20． （1）求a、b的值； （2）求（2x+a）（x+b）的正确结果． 题型三 多项式乘多项式的新定义问题 1．（2025·姑苏区·校级月考）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就首先使用了求和符号“∑”．如记k＝1+2+3+⋯+（n﹣1）+n；（x+k）＝（x+3）+（x+4）+⋯+（x+n）．已知[（x+k）（x﹣k+1）]＝5x2+mx﹣70，则m的值是（　　） A．4 B．5 C．﹣5 D．﹣4 2．（2025·工业园区·校级期中）小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x﹣1）（x+2），则此多项式的零点为　　； （2）小亮继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在数轴上表示这些多项式零点的两个点关于表示3的点对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3﹣系多项式”，求a，b，c的值． 题型一 多项式乘多项式的综合 1．（2025·高新区·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴a+3＝0，解a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为　　． （2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 2．（2025·海陵区·期中）小华同学在计算（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣4x+3x﹣6＝2x2﹣x﹣6后，爱思考的他发现：2×（﹣2）+1×3＝﹣1是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，（x+2）（x﹣2）（3x+4）＝（x2﹣4）（3x+4）＝3x3+4x2﹣12x﹣16，x项的系数为﹣12；用他发现的方法计算：1×（﹣2）×4+1×2×4+3×2×（﹣2）＝﹣12，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． （1）①（2x+3）（7x﹣1）中x项的系数是　　； ②若，其中a2025＝　　． （2）若（x﹣1）（2x﹣3）（4x+p）的积中不含x项，求p的值． （3）拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $