专题4.2 导数的综合应用14大常考类型全归纳（重难专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题4.2 导数的综合应用 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：聚焦含参函数核心，题型以分式、指数对数复合型为主，强调定义域优先原则，重点检验导数求导准确性与符号判断能力，易错点集中在复合函数求导、临界点遗漏。分类讨论为高频考点，多按参数对临界点位置的影响分层设问，覆盖函数求导后一次、二次及类二次型场景。应对需规范“求导整理-找临界点-分类讨论”流程，专题突破区间单调性、不单调等题型，复盘真题错题以固化解题思路，适配命题核心要求。 预测2026年：命题弱化复杂运算，强化逻辑推理与数形结合，注重导函数与原函数图像关联分析。跨知识点融合加深，常与不等式、极值、数列等结合命题，考查模型构建能力。 考向01 不等式恒（能）成立问题1：参变量分离型 1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 【经典例题】 1．(2025·甘肃·模拟)已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 2．(2025·北京·模拟)已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【变式训练】 1．(2026·重庆·模拟)已知关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是 . 2．(2026·四川成都·模拟)若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．(2025·浙江杭州·模拟)已知函数（）. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)当时，设的极大值为，求证：. 4．(2026·四川内江·模拟)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)记曲线的对称中心为，若存在，使得，求的取值范围. 5．(2026·江苏镇江·模拟)已知函数为自然常数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值； (3)在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 考向02 不等式恒（能）成立问题2：分类讨论型 恒成立问题中，我们常常会见到类似的命题：“对于任意的或都有恒成立”（中包含参数），这里的端点往往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值解决问题的方法，称之为端点效应． 1．适用类型：①不便于参变分离；②参变分离后的函数形式较为复杂； 2．解题步骤： ①移项，将所有变量移到一边，使不等式右边为0； ②计算端点处的函数值，验证端点处的函数值是否为0，若为0，则可继续处理，否则此题不适用于端点分析法. ③若端点处函数值为0，则此时应有f′(a)求出参数取值范围；若端点处函数值为0，且f′(a)，则此时应有求出参数取值范围； ④需证明必要性：求出参数取值范围后，应满足任意的或或 注：区间端点处的函数值恰好是不等式成立的临界值是这类问题的显著特征！ 【经典例题】 1．(2026·广西梧州·模拟)若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．(2026·陕西榆林·模拟)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求的值． 【变式训练】 1．(2026·吉林长春·模拟)若对恒成立，则实数的取值范围是 . 2．(2026·四川绵阳·模拟)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求实数的值. 考向03 导数与不等式证明1：最值型（核心基础） 1.利用导数证明不等式，最简单的方法就是直接构造函数法：证明不等式，转化为证明，进而求构造函数的最值。 2.在构造函数时，要想想构造的函数是否复杂，计算量如何；求最值时，要确定构造的函数是否有最值。 【经典例题】 1．(2026·广西南宁·模拟)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 2．(2026·广西柳州·模拟)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 【变式训练】 1．(2026·广东·模拟)已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：； 2．(2026·广东·模拟)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 3．(2026·河北邢台·一模)已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 考向04 导数与不等式证明2：隐零点型 虚设零点法： 涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决. （1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; （2）以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; （3）将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 【经典例题】 1．(2026·湖南·模拟)函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 2．(2026·陕西西安·模拟)已知函数，． (1)若，证明：； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【变式训练】 1．(2026·广东·模拟)已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； (3)若，为自然对数的底数，证明：. 2．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 考向05 导数与不等式证明3：凹凸翻转型 1.函数的凹凸性 (1)下凸函数(凹函数)：如图1，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的上方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的下方，我们称f(x)为下凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≥0的函数f(x)为下凸函数. (2)上凸函数(凸函数)：如图2，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的下方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的上方，我们称f(x)为上凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≤0的函数f(x)为上凸函数. 2. 凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明. 【经典例题】 1．(2026·广东·模拟)已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：. 【变式训练】 1．(2026·湖北·模拟)已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 (2)当，求证： 2. (2026·山东青岛·模拟)已知函数． (1)若是单调递减函数，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 考向06 导数与不等式证明4：放缩型 在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处曲线可以近似的用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，所以有时采用曲线来代替直线. 切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质. 【经典例题】 1.已知函数，，证明：。 2．(2026·广西南宁·模拟)已知函数f(x)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点． （1）求实数k的取值范围； （2）证明：f(x)的极大值不小于1． 【变式训练】 1.已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：当时，. 2.已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2． (1)当a＝0时，求f(x)的单调区间； (2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； (3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2． 3．(2026·江苏南通·模拟)已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数为偶函数． ①求的值； ②证明：不等式恒成立． 考向07 导数与不等式证明5：极值点偏移型 1、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 2.在极值偏移问题中，证明类似和型的不等式是最常见和简单的，其中方法很多，对称化构造函数或利用对数不等式等。 3.常见的有 (1)极值点偏移() (2)拐点偏移 。 4.在极值偏移问题中，证明类似积型和类似平方型的不等式也是常见的，它与和型的证明方法差不多，可以通过证明和型后再用基本不等式证明。 5.在证明不等式时，有时候还会遇到类似的不等式证明，我们会利用比值换元的方法证明，令，则可把问题转化为证明. 【经典例题】 1．(2026·云南·模拟)已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 2．(2026·江西·模拟)已知函数. (1)证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)若存在使得，记的导函数为. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【变式训练】 1．(2026·河北·模拟)已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 2．(2026·陕西咸阳·模拟)已知函数. (1)若，求的单调区间. (2)若是函数的两个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 3．(2026·河北保定·模拟)已知函数. (1)求的极值； (2)已知函数； ①若没有零点，求实数a的取值范围； ②若有两个不同的零点，证明：. 考向08 导数与不等式证明6：同构型 1.同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2.同构式的应用： （1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根 （2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路> ①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键； ③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程 （4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解 【经典例题】 1.设x＞0，y＞0，若ex+lny＞x+y，则下列选项正确的是(　　) A．x＞y B．x＞lny C．x＜y D．x＜lny 2．(2026·吉林·模拟)已知函数 (1)当时，求的单调区间和最大值 (2)当时，设且，求证 【变式训练】 1.（2022·陕西宝鸡·一模）已知，，则下列关系式不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 3．(2023·四川·模拟)已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数（）. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：. 考向09 由函数零点个数求参1：数形结合型 若题目中出现唯一零点，求参数，要想到偶函数的性质，结合零点的唯一性求解 若题目给出零点的个数，求参数，一般通过画出函数的图象，转化为交点个数问题解决 【经典例题】 1．(2026·云南昭通·模拟)已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(2026·陕西咸阳·模拟)已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(2026·云南·模拟)已知函数． (1)当时，证明：； (2)若函数恰有三个极值点，求的取值范围． 考向10 由函数零点个数求参2：分离参数型 解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种： (1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解. (2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题. (3)将f(x)＝0进行参变分离，转化为a＝g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”. 【经典例题】 1．(2026·云南昆明·模拟)已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 2．(2025·湖南郴州·一模)已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(2026·云南昆明·模拟)已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若与的图象有公共点，求的取值范围． 2．(25-26高三上·内蒙·月考)已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考向11 由函数零点个数求参3：分类讨论型 分类讨论法求解零点个数问题，核心在于“以形助数”。首先对参数进行合理分类，通常依据导数的判别式、极值点位置或函数图像特征划分。其次，利用导数研究函数单调性与极值，结合零点存在性定理，分析每类情形下函数图像与x轴的交点个数。最后，通过数形结合，确保每种情况不重不漏，从而确定参数的取值范围。 【经典例题】 1．(24-25高三上·江苏苏州·期末)已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(2026·四川绵阳·模拟)已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知函数 ，若 有三个不等零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数． (1)若，，求在处的切线方程； (2)若，且在定义域内有三个零点，，（），求的取值范围； 考向12 其他双变量问题 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【经典例题】 1．(2025·广西·模拟)已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 2．(2026·北京顺义区·模拟)已知函数. (1)求证：时，； (2)设，其中； ①求证：在区间上有唯一的极值点； ②设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，并说明理由. 【变式训练】 1．(2026·广西南宁·一模)已知函数的导函数有两个零点,且． （1）求的取值范围； （2）当时，证明：． 2．(2026·云南·一模)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上存在唯一零点，求a的取值范围； (3)函数有两个极值点为，若，求的最大值． 3．(2026·安徽合肥·一模)已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 考向13导数与数列结合： 核心方向为“导数证明函数不等式 → 代换为数列不等式”, 数列递推与导数（迭代函数）的深入结合；或者数列递推与导数（迭代函数）的深入结合，如，其中是一个需用导数深入分析的函数（含参、有拐点等）；或者结构不良问题引入；或者与数学归纳法的深度融合。 【经典例题】 1．(2025·广西·模拟)（多选）已知首项为1的正项数列满足，若数列前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A．是等差数列 B． C． D． 2．(2025·广西·模拟)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【变式训练】 1．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)，求的值； (3)对于任意的，求证：． 2．(2025·广西桂林·模拟)对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 3．(2025·广西南宁·模拟)已知首项为1的正项数列满足，函数． (1)求函数的单调区间； (2)探究数列的单调性并说明理由； (3)证明；． 考向14 导数与三角函数结合： 1.利用导数研究三角函数的性质 (1)三角函数在各个象限符号的变化及周期性,研究三角函数的零点问题,常用逐个区间分析法. 分段讨论类型有：①以为端点分区间讨论； ②以三角函数的最值点为端点分段讨论. (2)根据三角函数的有界性,常利用 及 这两个结论或者利用当 时, 进行放缩变形, 实现 “超越式”到 “非超越式” 的转化. 注意使用以下几种常用结论： ①正弦函数:当时,. ②余弦函数:. ③正切函数:当时,. ④数值域:. (3)分离函数:将含有三角函数的式子放到一起. (4)分离参数:转化为函数值域问题. (5)半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率. (6)对一个较复杂的三角函数式,先观察式中几部分之间的联系, 利用换元可使得式子简化, 同时实现了“超越式”到“非超越式”的转化, 换元时须注意新变量的取值范围. 【经典例题】 1．(2025·四川泸州·模拟)在中，若，则的最大值为 . 2．(2026·河北石家庄·模拟)若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(2025· 广西桂林·模拟)已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为 ． 2．(2025· 广西柳州·模拟)已知函数. (1)求在处的切线； (2)若与的图象有交点. ①当时，求的取值范围； ②证明：. （建议用时：120分钟） 一、单选题 1．(2025·河北·模拟)若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(2025·江苏丹阳·模拟)函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(2026·云南玉溪·模拟)函数有两个零点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(2025·新疆乌鲁木齐·模拟)设函数的定义域为，的导函数满足，且，则下列结论一定成立的是（    ） A．的最大值为1 B．在点处的切线为 C．若方程有两个不同的解，，则 D．若，，，则 三、填空题 6．(2026·云南·模拟)已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 7．(2026· 福建漳州·模拟)已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是减函数，求的取值范围； (3)当时，，求的最大值. 8．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 9．已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 10．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 11．(2025·湖南·模拟)已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的值； (3)若，证明：． 12．(2025·云南大理·模拟)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)令，若存在，且，使得且，求实数a的取值范围. 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 导数的综合应用 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：聚焦含参函数核心，题型以分式、指数对数复合型为主，强调定义域优先原则，重点检验导数求导准确性与符号判断能力，易错点集中在复合函数求导、临界点遗漏。分类讨论为高频考点，多按参数对临界点位置的影响分层设问，覆盖函数求导后一次、二次及类二次型场景。应对需规范“求导整理-找临界点-分类讨论”流程，专题突破区间单调性、不单调等题型，复盘真题错题以固化解题思路，适配命题核心要求。 预测2026年：命题弱化复杂运算，强化逻辑推理与数形结合，注重导函数与原函数图像关联分析。跨知识点融合加深，常与不等式、极值、数列等结合命题，考查模型构建能力。 考向01 不等式恒（能）成立问题1：参变量分离型 1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 【经典例题】 1．(2025·甘肃·模拟)已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由得，由得， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增． 综上所述， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）恒成立等价于，即． 令，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 所以的取值范围为． 2．(2025·北京·模拟)已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. （3）由题意可知，使得成立， 即使得成立， 又，则，即， 故a的取值范围为. 【变式训练】 1．(2026·重庆·模拟)已知关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围是 . 【答案】. 【详解】，，，，，构造函数，，，转化为，，，，，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，，，，时，；时，.则的大致图象如图所示： （1）当时，当时，，，显然不等式不恒成立，不可能； （2）当时，，，，从图象可以得到不等式恒成立，只需，两边取对数得，即，解得，设，，，，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，在处，取最大值，且取最大值为，则，即的取值范围为.故答案为：. 2．(2026·四川成都·模拟)若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由，问题转化为存在，使得成立， 设，，则， 由；由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以.故选：C 3．(2025·浙江杭州·模拟)已知函数（）. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)当时，设的极大值为，求证：. 【详解】（1）由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. （2）因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 4．(2026·四川内江·模拟)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)记曲线的对称中心为，若存在，使得，求的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，解得，由，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，解得，由，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）因为曲线的对称中心为，所以， 化简整理得， 因为上式对任意都成立，所以，即， 所以，即存在，使得成立， 令，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，又，所以， 所以时，有最大值， 所以，即的取值范围为. 5．(2026·江苏镇江·模拟)已知函数为自然常数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值； (3)在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题设，则，故，， 所以函数在处的切线方程为，整理得； （2）由题设且， 当时，，即在上单调递减， 此时，在区间上有最小值，可得； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，不符合； 综上，； （3）由题设且， 对于，有，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立，则在上恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 故，易知在上单调递增，且， 所以时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 综上，. 考向02 不等式恒（能）成立问题2：分类讨论型 恒成立问题中，我们常常会见到类似的命题：“对于任意的或都有恒成立”（中包含参数），这里的端点往往是使结论成立的临界条件，这种观察区间端点值解决问题的方法，称之为端点效应． 1．适用类型：①不便于参变分离；②参变分离后的函数形式较为复杂； 2．解题步骤： ①移项，将所有变量移到一边，使不等式右边为0； ②计算端点处的函数值，验证端点处的函数值是否为0，若为0，则可继续处理，否则此题不适用于端点分析法. ③若端点处函数值为0，则此时应有f′(a)求出参数取值范围；若端点处函数值为0，且f′(a)，则此时应有求出参数取值范围； ④需证明必要性：求出参数取值范围后，应满足任意的或或 注：区间端点处的函数值恰好是不等式成立的临界值是这类问题的显著特征！ 【经典例题】 1．(2026·广西梧州·模拟)若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即，故， 令，则， ，由于在上均单调递增，故在上单调递增， 则时，；时，；故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1，故选：C 2．(2026·陕西榆林·模拟)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求的值． 【详解】（1）函数的定义域为． 若，则在单调递增． 若，则由得．当时，；当时，． 因此在单调递减，在单调递增． （2）解法1：由（1）知当在单调递增，时，，不满足题意． 当时，由（1）知． 因为，所以． 设，则． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以，当且仅当时取等号． 故，结合可知，故． 解法2：因为，所以为的极小值点．因此，解得． 当时，，由（1）知在单调递减，在单调递增． 因此，满足题意． 综上，． 解法3：因为，所以恒成立． 当时，显然成立，此时． 当时，恒成立．设，则． 设，则． 当时，在单调递增，，即， 在单调递增，因此． 当时，恒成立．当时，在单调递减， ，即在单调递增，． 综上，． 【变式训练】 1．(2026·吉林长春·模拟)若对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，，，要使对恒成立， 则与需异号. 当时：对于，因为，，所以恒成立. 对于，其导数，因为，， 所以，在上单调递增.则，此时与同号， 不满足恒成立，所以舍去. 当时：令，解得. 对求导得.令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值. 因为对恒成立，分以下两种情况讨论： 情况一：当时（的零点在的左侧或与重合）， 则需且，由，可得.由，可得. 综合可得. 情况二：当时（的零点在的右侧），由，可得， 当时，；当时，；当时，. 在单调递增，在单调递减，， ①当，即时， 则，即，，则，解得， 此时，，则；，则；，则， 均使得在上成立. ②当，即时， ，所以， 而时，，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 2．(2026·四川绵阳·模拟)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求实数的值. 【详解】（1）当时，，, ,,在点处的切线方程为， 即； （2），令， 则，，， ①当时，时，，单调递减， 由于，则，时，，单调递增， 由于，则时，，时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以符合题意； ②当时，，存在使得， 当时，，单调递减，不符合题意； ③当时，，则存在，使得当时，，单调递增， 则不符合题意；综上. 考向03 导数与不等式证明1：最值型（核心基础） 1.利用导数证明不等式，最简单的方法就是直接构造函数法：证明不等式，转化为证明，进而求构造函数的最值。 2.在构造函数时，要想想构造的函数是否复杂，计算量如何；求最值时，要确定构造的函数是否有最值。 【经典例题】 1．(2026·广西南宁·模拟)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【详解】（1）因为，所以， 当时，可得，此时在上单调递增， 当时，令，， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， （2）由题意得，令，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，而， 可得，即得证. 2．(2026·广西柳州·模拟)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 【详解】（1）当时，， 所以的定义域为，，， 所以，即在点处的切线斜率为. 由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，即. （2）由知的定义域为，且. ①当时，恒成立，是增函数，没有极小值，不符合题意. ②当时，若，则，所以在上单调递减； 若，则，所以在上单调递增， 所以有极小值，且极小值为，所以. 要证，即，只需证. 令，则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在时取得极小值，也是最小值， 所以，即， 即. 【变式训练】 1．(2026·广东·模拟)已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：； 【详解】（1）依题意，，则，而， 故，故所求切线方程为. （2）证明：要证，即证， 设，则， 令，则， 因为，所以，因此单调递减， 又，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故， 即，即得证. 2．(2026·广东·模拟)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【详解】（1）由题意得， 又，则，                         故曲线在点处的切线方程为， 整理得． （2）由（1）得，， 令，解得， 当时，，，故，故单调递增；                 当时，，，故，单调递减．             故． （3）由（2）得，对任意恒成立， 所以，    故． 3．(2026·河北邢台·一模)已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【详解】（1）由题知，则， 又因为，所以. 检验：若， 则， 当 时，单调递减，当时，单调递增， 为的极小值点，符合题意. 所以. （2）由（1）知， 证，即证， 即证，即证. 设，则， 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以. 所以当时，. 考向04 导数与不等式证明2：隐零点型 虚设零点法： 涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决. （1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; （2）以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; （3）将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 【经典例题】 1．(2026·湖南·模拟)函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 2．(2026·陕西西安·模拟)已知函数，． (1)若，证明：； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以的定义域为，且. 当时，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，由函数的单调性结论知在上单调递增. 综上，在上单调递增， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是的极小值，也是最小值， 所以，即. （2）当时，由（1）知，满足题意； 当时，令，则， 由函数的单调性结论知在上单调递减. ①当时，，即在上，，单调递增， 即在上单调递增，所以， 所以在上单调递减，所以，满足题意. ②当时，，当时，， 由函数零点存在定理可知存在，使得. 当时，，所以，即在上单调递增; 当时，，所以，即在上单调递减. 而当时，，， 由函数零点存在定理可知存在，使得， 且当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增，此时，不满足题意. 综上，的取值范围是. 【变式训练】 1．(2026·广东·模拟)已知函数. (1)若，求的零点； (2)若，讨论的单调性； (3)若，为自然对数的底数，证明：. 【详解】（1）若，则，得或（舍）， 所以，所以的零点为. （2）若，，函数的定义为， 所以，令，得或，即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）因，要证， 只需证，即， 令，，因此只需证即可. ，再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以对，都有成立. 所以，成立. 2．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴，即. 考向05 导数与不等式证明3：凹凸翻转型 1.函数的凹凸性 (1)下凸函数(凹函数)：如图1，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的上方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的下方，我们称f(x)为下凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≥0的函数f(x)为下凸函数. (2)上凸函数(凸函数)：如图2，对于连续函数f(x)，若在其图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，除端点外，线段AB始终在函数f(x)图象的下方，或在f(x)的图象上任取点C(x0，f(x0))，函数f(x)在点C处的切线y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)除切点外，始终在f(x)图象的上方，我们称f(x)为上凸函数.若f(x)存在二阶导数f″(x)，则满足f″(x)≤0的函数f(x)为上凸函数. 2. 凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明. 【经典例题】 1．(2026·广东·模拟)已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：. 【详解】（1）依题意，，则， 而，故， 故所求切线方程为. （2）证明：依题意，,即， 即，即. 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故， 令，则， 令，则， 令，解得，， 所以当和时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 且，， 因此当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即； 故当时，，即得证. 【变式训练】 1．(2026·湖北·模拟)已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 (2)当，求证： 【详解】（1）因为， 所以，则. 令，得或，由，得或； 故当在上变化时，，的变化情况如下表： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据上表知的极大值为， 又因为， ， 所以由零点存在性定理可知，函数g在上零点的个数为1个； （2）要证明，即证明. 令，则.令可得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 设函数，则. 令，则， 易知在上单调递增. 因为，所以存在，使得， 从而函数在上单调递减，在上单调递增. 所以，， 故存在，使得， 即当时，；当时，， 从而函数在上单调递减；在上单调递增. 因为，，故当时，. 因为，所以 ， 所以. 2. (2026·山东青岛·模拟)已知函数． (1)若是单调递减函数，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 【详解】(1)解法一：因为是单调递减函数， 所以恒成立， 所以恒成立，即， 令，则， 所以在上单调递减， 所以，所以． 解法二：由题意得，， 令，所以， 所以在上单调递减，当， 即时，，即，所以在上单调递减． 当，即时，， 使得在时，，即， 所以在定义域上单调递减不成立．所以． (2)证法一：令， 所以，因为， 所以， 令，则， 因为，所以，所以在单调递增， 所以，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以，所以． 证法二：因为，所以， 欲证，所以只需证， 所以只需证， 令，则， 令，则， 因为，所以，所以在单调递增， 所以，即，所以， 所以， 因为在上单调递减， 所以的最大值为，令，则的最小值为， 所以，即． 考向06 导数与不等式证明4：放缩型 在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处曲线可以近似的用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，所以有时采用曲线来代替直线. 切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质. 【经典例题】 1.已知函数，， 证明：。 【详解】令， 函数的定义域为， 设，则， 在上递增，则, , 又，所以, 。 2．(2026·广西南宁·模拟)已知函数f(x)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点． （1）求实数k的取值范围； （2）证明：f(x)的极大值不小于1． 【详解】（1），由， 记，，由， 时，，单调递减，， 时，，单调递增，， 由题意，方程有两个不同解，所以； （2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且， 所以的极大值为， 记，则， 因为，所以， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，即函数的极大值不小于1. 解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且， 所以的极大值为， 因为，，所以. 即函数的极大值不小于1. 【变式训练】 1.已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：当时，. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，依题意，恒成立，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 于是，所以实数的取值范围是. （2）当时，令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，因此，， 令，，求导得，即函数在上单调递增， ，即，于是， 所以. 2.已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2． (1)当a＝0时，求f(x)的单调区间； (2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； (3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2． 【详解】(1)当a＝0时，f(x)＝ex﹣1﹣x，函数定义域为R，可得f′(x)＝ex﹣1， 当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增； (2)已知f′(x)＝ex﹣1﹣2ax， 令h(x)＝ex﹣1﹣2ax，函数定义域为R，可得h′(x)＝ex﹣2a， 当2a≤1，即时，此时h′(x)≥0，h(x)单调递增， 所以h(x)≥h(0)，即f′(x)≥f′(0)＝0，所以f(x)在[0，+∞)上为增函数， 此时f(x)≥f(0)＝0，满足条件； 当2a＞1时， 当0≤x＜ln2a时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜f′(0)＝0， 所以f(x)在(0，ln2a)上单调递减，此时f(x)＜f(0)＝0，不满足题意， 综上，实数a的取值范围为； (3)证明：由(2)得，当且x＞0时，，即， 要证(ex﹣1)ln(x+1)＞x2，需证，即证，要证， 设，可得， 当x＞0时，F′(x)＞0恒成立，所以F(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为F(0)＝0．所以F(x)＞0恒成立，原不等式成立． 3．(2026·江苏南通·模拟)已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数为偶函数． ①求的值； ②证明：不等式恒成立． 【详解】（1），定义域为，， 当时，，在上单调递增，无极值. 当时，令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2）①， 因为为偶函数，则，即， 化简得，此式对均成立，则，即, 所以的值为. ②可化为，即证， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则， 只需证对恒成立， 令，， 令，， 因为，，当且仅当时，等号成立， 故，所以，即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则对恒成立， 故不等式恒成立. 考向07 导数与不等式证明5：极值点偏移型 1、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 2.在极值偏移问题中，证明类似和型的不等式是最常见和简单的，其中方法很多，对称化构造函数或利用对数不等式等。 3.常见的有 (1)极值点偏移() (2)拐点偏移 。 4.在极值偏移问题中，证明类似积型和类似平方型的不等式也是常见的，它与和型的证明方法差不多，可以通过证明和型后再用基本不等式证明。 5.在证明不等式时，有时候还会遇到类似的不等式证明，我们会利用比值换元的方法证明，令，则可把问题转化为证明. 【经典例题】 1．(2026·云南·模拟)已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【详解】（1）依题意，，，则， 而，故所求切线方程为. （2）依题意，的定义域为，令，得， 若，则当时，单调递减；当时，单调递增； 若，则当时，单调递增；当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）（3）证明：令，则， 令，故，令，解得． 故当时，单调递增，当时，单调递减， 故，即在区间上单调递减，且． 又，所以，令，， 则，， 令，，则， 所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即 所以函数在区间上单调递减，且时，，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，即． 2．(2026·江西·模拟)已知函数. (1)证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)若存在使得，记的导函数为. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所求切线方程为，即， 令，解得，所以切线恒过定点. （2）构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 所以. （i）构建，则， ①若，则，可知在内单调递增， 且，当趋近于时，趋近于， 可知在定义域内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则至多存在两个实数，使得，不合题意； ②若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 若，则，即，可知在定义域内单调递增，不合题意； 若，则， 当时，则；当时，则； 可知在和内分别存在一个零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，符合题意； 综上所述：实数的取值范围； （ii）设，构建，则， 记的导函数为，的导函数为， 且的导函数为，的导函数为， 则，且， 因为，且， 又因为，且在内恒成立， 若，则，可得， 可知在内单调递增，则， 可知在内单调递增，则， 若，则，可知在内单调递增，不合题意； 所以； 若，由（i）可知：直线与在内存在唯一交点横坐标为， 则，由单调性可得，可得， 因为在内单调递减，在内单调递增，可得， ， 所以； 综上所述：. 【变式训练】 1．(2026·河北·模拟)已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，， 当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点； 当时，即或时， 有两个不等的实数根， 当时，，，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有一个极小值点，无极大值点； 当时，，得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点， 综上，时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以函数的值域为， 令，其中，则，由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证； （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以，则，即， 要证，即证，即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 2．(2026·陕西咸阳·模拟)已知函数. (1)若，求的单调区间. (2)若是函数的两个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【详解】（1）由题意可知，的定义域为， 当时，，所以， 令，得. 当时，，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为. （2）（i），的定义域为. 当时，，所以在上单调递减，不合题意. 当时，令，解得， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是，即，又， 所以在上存在一个零点. 当时，，所以在上存在一个零点. 综上，实数的取值范围是. （ii）不妨设，由，得， 所以，所以. 要证，只需证，只需证. 由， 故只需证，只需证，只需证. 令，只需证. 令，则，所以在上单调递增， 所以，即成立，所以成立. 3．(2026·河北保定·模拟)已知函数. (1)求的极值； (2)已知函数； ①若没有零点，求实数a的取值范围； ②若有两个不同的零点，证明：. 【详解】（1）函数的定义域为. .令，即， 因为，所以，解得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，且，无极小值； （2）①因为，所以， 所以，其定义域为. 所以. 令，则. 当时，，所以． 当时，， 所以. 当时，，所以． 综上，当时，，即，所以在上单调递减． 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，. 因为没有零点，所以，解得，所以的取值范围为． ②若有两个不同的零点，则． 不妨设，则． 因为，所以． 因为在上单调递减，，所以， 所以． 考向08 导数与不等式证明6：同构型 1.同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2.同构式的应用： （1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根 （2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路> ①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键； ③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程 （4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解 【经典例题】 1.设x＞0，y＞0，若ex+lny＞x+y，则下列选项正确的是(　　) A．x＞y B．x＞lny C．x＜y D．x＜lny 【答案】B 【详解】不等式+lny＞x+y等价于﹣x＞y﹣lny， 令f(x)＝﹣x，则f(lny)＝﹣lny＝y﹣lny， ∴不等式﹣x＞y﹣lny等价于f(x)＞f(lny)， ∵f'(x)＝﹣1， ∴当x∈(0，+∞)时，f'(x)＝﹣1＞0，f(x)在区间(0，+∞)上单调递增， ∴若y∈(1，+∞)，则lny∈(0，+∞)，由f(x)＞f(lny)有x＞lny； 若y∈(0，1]，则lny≤0，由x＞0，有x＞lny． 综上所述，设x＞0，y＞0，若+lny＞x+y，则有x＞lny． 故选：B． 2．(2026·吉林·模拟)已知函数 (1)当时，求的单调区间和最大值 (2)当时，设且，求证 【详解】（1），，， 当，即，解得，则在内是增函数； 当，即，解得，则在内是减函数. 则，综上，的增区间为，减区间为，最大值为1. （2），，， 当，即，解得，则在内是增函数； 当，即，解得，则在内是减函数. 且，将取对数，得到，，， ，，， 设，， ，，，， ，，，，， ，， ，， ，是减函数，，， ，，， ，，在内是减函数，，. 【变式训练】 1.（2022·陕西宝鸡·一模）已知，，则下列关系式不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，两边取对数得，即， 构造函数，， 当时，，是单调递增函数， 当时，，是单调递减函数， 若，则，即，故A正确； 若，则，，故B正确； 构造函数，， ， 当时，，单调递增，所以， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 所以时 ，即， 所以成立，不可能成立，故C正确D错误. 故选：D. 2（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，则，令，则. 因为，求导得，易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 3．(2023·四川·模拟)已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 则，即， 令，则，， 当时，，则单调递减；当时，，则单调递增, 所以，对于，总有， 即在上单调递增，故，即在上恒成立， 所以对于，对于任意，在上取，则， 所以当且趋向于0时，趋向于无穷大，当趋向于无穷大时，趋向于无穷大， 趋向于0，故趋向于无穷大，所以的大致图像如图所示：. 对于AD，因为，，不妨设，由图象可知，，故，故AD错误； 对于B，假设成立，取，则， 显然不满足，故B错误； 对于C，令，又，则， 所以在上单调递增，又，则，即， 又，则， 因为，所以，又，在上单调递增， 所以，即，故C正确.故选：C. 4．已知函数（）. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：. 【解析】（1）， ①当时，当时，时，， 所以的递增区间是，递减区间为； ②当时，当时，时，， 所以的递增区间是，递减区间为； ③当时，的递增区间是，无减区间； ④当时，当时，时，， 所以的递增区间是，递减区间为. 综上，当时，的递增区间是（），递减区间为； 当时，的递增区间是，递减区间为； 当时，的递增区间是，无减区间； 当时，的递增区间是，递减区间为. （2）当时，，由题意可得，只需证明， 方法一：令，则， 令，易知在上单调递增，， 故存在，使得，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故时，取得唯一的极小值，也是最小值. ， 所以，即当时，. 方法二：不等式等价于，只需证， 令，所以， 当时，单调递减，时，单调递增， 所以，即，当且仅当时取得等号， 令代替得到， 函数在上单调递增，且， 故存在，使得， 所以，当且仅当时取得等号， 所以，即当时，. 考向09 由函数零点个数求参1：数形结合型 若题目中出现唯一零点，求参数，要想到偶函数的性质，结合零点的唯一性求解 若题目给出零点的个数，求参数，一般通过画出函数的图象，转化为交点个数问题解决 【经典例题】 1．(2026·云南昭通·模拟)已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，令，将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题，因为，过定点，作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点，所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为，所以切线的斜率为，即有，解得，所以切线的斜率为， 所以.故选：B. 2．(2026·陕西咸阳·模拟)已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数定义域为，求导得.与均在上单调递增，故在上单调递增.当时，；当时，，故存在唯一零点，即，两边取对数得，即.在上单调递减，在上单调递增，其最小值为.令（），求导得，故在上单调递减，且. 因为当时，；当时，，所以恰有两个零点的充要条件是，即，结合的单调性，得.由，且在上单调递增，得.故选：D 【变式训练】 1．(2026·云南·模拟)已知函数． (1)当时，证明：； (2)若函数恰有三个极值点，求的取值范围． 【详解】（1）证明：的定义域为，由于，令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故为的极小值点， 所以当； 要证原不等式，只需证，即证 ，即证在上恒成立； 令，则． 由于在上单调递增，且， 所以存在唯一，使得，即； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 所以当时，， 所以当时，． （2）由题意，， 则． 因为恰有三个极值点，故恰有三个变号零点， 当时，，因此是的一个极值点． 因此在上有两个不同的根，且，不妨设． 令，则， 因此当时，单调递减；当时，单调递增． 所以，且时，时，． ①当时，方程在上无根，不符合题意； ②当时，方程在上有且仅有一根，不符合题意； ③当时，方程在上有两个不同的根． 又，所以． 综上，实数 的取值范围为． 考向10 由函数零点个数求参2：分离参数型 解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种： (1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解. (2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题. (3)将f(x)＝0进行参变分离，转化为a＝g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”. 【经典例题】 1．(2026·云南昆明·模拟)已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，，定义域为R，，令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为，无极大值． （2）方程，当时，显然方程不成立， 所以，则，方程有两个不等实根， 即与的图象有2个交点， ，当或时，， 在区间和上单调递减，且时，， 当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得极小值也即最小值，， 所以与有2个交点时，，故a的取值范围为． 2．(2025·湖南郴州·一模)已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若有两个零点，则有两个解，等价于有两个解，因为，，所以，令，原式等价于有两个解，因为，则当时，所以在上单调递增，所以有两个大于零的解.解，可得，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图,所以当时，有两个交点，即有两个零点.故选：A 【变式训练】 1．(2026·云南昆明·模拟)已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若与的图象有公共点，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，则，即切点为， 因为，所以切线斜率， 所以所求切线方程为，即， 所以的图象在处的切线方程为； （2）由题意，知有解，即有解，整理得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 当时，；当时，，所以的值域为， 即，即， 所以的取值范围是． 2．(25-26高三上·内蒙·月考)已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可得，因此关于轴对称是偶函数，又， 且恰有4个零点，因此当时，恰有2个零点， 当时，恰有2个零点，当时，，，因为时，当且时， 即有2个解，令且，则， 解得或因此或时，单调递减，当时，单调递增，因此函数图象如下，因此时，有2个交点，即若恰有4个零点，则.故选：B. 考向11 由函数零点个数求参3：分类讨论型 分类讨论法求解零点个数问题，核心在于“以形助数”。首先对参数进行合理分类，通常依据导数的判别式、极值点位置或函数图像特征划分。其次，利用导数研究函数单调性与极值，结合零点存在性定理，分析每类情形下函数图像与x轴的交点个数。最后，通过数形结合，确保每种情况不重不漏，从而确定参数的取值范围。 【经典例题】 1．(24-25高三上·江苏苏州·期末)已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以至多一个零点，不符合题意， 当时，，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 又函数有两个零点，所以，即，解得， 当时，， 当时，，当时，， 设，则，所以单调递增，则， 所以， 所以在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是.故选：D. 2．(2026·四川绵阳·模拟)已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为.故选：C. 【变式训练】 1．已知函数 ，若 有三个不等零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若 有三个不等零点，等价于有三个不等的实数根， 当时，，由得， 即，令， 由复合函数的单调性可得，当时，单调递增，故， 故当时，方程无实根； 当时，方程在上有一个实根； 当时，，由得， 当时，显然方程无实根； 当时，，令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 即当时，取得极大值，， 当时，；当时，，作出图像如下：   要使有三个不等的实数根， 需满足：在上有一个实数根，在上有两个实数根， 由图可知与有两个交点时，， 综上，，即实数的取值范围是，故选：C. 2．已知函数． (1)若，，求在处的切线方程； (2)若，且在定义域内有三个零点，，（），求的取值范围； 【详解】（1）由，可得，则， 又，则， 所以在处的切线方程为，即. （2）由可知，， 又， 当时，，，恒成立， 则在定义域内单调递增，仅有一个零点，与题意不符，舍去； 当时，恒成立， 则在定义域内单调递减，仅有一个零点，与题意不符，舍去； 当时，由于的， 可设的两个根为． 下证：，事实上，这表明， 又，这表明，结合的定义域，则有 时，，递增；时，，递减； 时，，递增；注意到，则有，， 且趋于正无穷时，趋于正无穷大，趋于-1时，趋于负无穷大． 由零点存在定理，可知存在，使得，又，这表明． 综上，． 考向12 其他双变量问题 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【经典例题】 1．(2025·广西·模拟)已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)对任意的，当时，都有，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：函数定义域为，. 当时，由得，由得. 此时函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为. （2）由， 化简为，即. 令， 因为，则，所以函数在上单调递增， 故在上恒成立，即在上恒成立， 设，， 在单调递增，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 2．(2026·北京顺义区·模拟)已知函数. (1)求证：时，； (2)设，其中； ①求证：在区间上有唯一的极值点； ②设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，并说明理由. 【详解】（1）令，则， 当，，即在上单调递增. ∴当时，，即. （2），则， ①令，则， 当，，即函数在上单调递增. ∵，.即在之间存在唯一的，使得. 即当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 即是函数在区间上有唯一的极值点. ②由题设可得是函数在区间上的极值点. 由①可知，即为，故，即 单调递减区间，单调递增区间，∵，， ∴函数在没有零点，在上存在唯一零点，，即. ，， 令， ，即函数在上单调递增， ∵，∴，即. ∴，而,∴. 【变式训练】 1．(2026·广西南宁·一模)已知函数的导函数有两个零点,且． （1）求的取值范围； （2）当时，证明：． 【详解】（1）由题意，，求导得， 由可得，显然，可得， 设， 可知该函数在上单调递增，在上单调递减，且， 如图，要使的导函数有两个零点，且， 则需使函数与在上有2个交点，即需使，解得， 即的取值范围是.   （2）由，可得，化简得：， 因，则得，即，且，则， 要证，需证，即证， 因，不妨取，（若此时不等式成立，因，则易得时更成立）， 即需证，因，代入整理得， 设，则，由可得，于是可得， 即需证（*）. 设，则， 因，故，即在上单调递增，又，则， 即（*）成立，故当时，得证. 2．(2026·云南·一模)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在上存在唯一零点，求a的取值范围； (3)函数有两个极值点为，若，求的最大值． 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令得， 当时，单调递减；当时，单调递增． 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意知，在上存在唯一零点,等价于方程在上有唯一实数根, 等价于函数与的图象在上有唯一交点， 因为直线过定点为直线的斜率， 根据题意，直线所在区间为下图中阴影部分， 由图，下临界线为函数在处的切线，， 上临界线过点，则，所以a的取值范围为． （3）由题意得，定义域为，则． 因为是函数的两个极值点，所以是方程的两个实数根， 则． ． 令，由，可得， 令，则， 所以在上单调递减，可得， 故的最大值为. 3．(2026·安徽合肥·一模)已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 考向13导数与数列结合： 核心方向为“导数证明函数不等式 → 代换为数列不等式”, 数列递推与导数（迭代函数）的深入结合；或者数列递推与导数（迭代函数）的深入结合，如，其中是一个需用导数深入分析的函数（含参、有拐点等）；或者结构不良问题引入；或者与数学归纳法的深度融合。 【经典例题】 1．(2025·广西·模拟)（多选）已知首项为1的正项数列满足，若数列前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A．是等差数列 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，即是等差数列，A正确； 对于B，设的公差为，则，即， ，所以，因为，所以，解得，所以，，B不正确；对于C，由B可知，C正确；对于D，令，则， 即为增函数，所以，即，所以， 又，所以，D正确.故选：ACD 2．(2025·广西·模拟)已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意，所以实数的取值范围是. （3）由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ，所以. 【变式训练】 1．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)，求的值； (3)对于任意的，求证：． 【详解】（1）由题设且， 当时，，即在上单调递增； 当时，令，则， 若，则，即在上单调递减， 若，则，即在上单调递增； （2）由且的定义域为， 由（1）知，在上单调递增，即上有，不符合； 所以，结合此时的性质，只需， 令，故， 当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减，所以，即， 所以，只需，满足. （3）由（2）知，在上，则， 令，则， 所以，得证. 2．(2025·广西桂林·模拟)对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 【详解】（1）由题，，即， 所以为的凸函数． （2）设函数，则，，所以在为“凹函数”，当时，， 即，当且仅当时，等号成立， 最小值为． （3）即证，两边取对数，即证， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以，所以， 累加可得：，证得不等式成立． 3．(2025·广西南宁·模拟)已知首项为1的正项数列满足，函数． (1)求函数的单调区间； (2)探究数列的单调性并说明理由； (3)证明；． 【详解】（1）因为，所以， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增． （2）数列为递减数列，理由如下： 由题意可得，则， 令函数，则， 得到在上单调递减，则， 令，则， 故，即数列为递减数列； （3）由题意得，令函数， 令函数，则， 当时，，当时，， 得到在上单调递减，在上单调递增，故， 则，即， 则，故在定义域上单调递增，且， 令，则，得到， 且，故，又因为，所以， 得到，故， 当时，得到．即， 当时，．故． 综上，原命题得证. 考向14 导数与三角函数结合： 1.利用导数研究三角函数的性质 (1)三角函数在各个象限符号的变化及周期性,研究三角函数的零点问题,常用逐个区间分析法. 分段讨论类型有：①以为端点分区间讨论； ②以三角函数的最值点为端点分段讨论. (2)根据三角函数的有界性,常利用 及 这两个结论或者利用当 时, 进行放缩变形, 实现 “超越式”到 “非超越式” 的转化. 注意使用以下几种常用结论： ①正弦函数:当时,. ②余弦函数:. ③正切函数:当时,. ④数值域:. (3)分离函数:将含有三角函数的式子放到一起. (4)分离参数:转化为函数值域问题. (5)半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率. (6)对一个较复杂的三角函数式,先观察式中几部分之间的联系, 利用换元可使得式子简化, 同时实现了“超越式”到“非超越式”的转化, 换元时须注意新变量的取值范围. 【经典例题】 1．(2025·四川泸州·模拟)在中，若，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，即，即， 即，即，两边同时除以，得，即，令，，则，则，令，则，令，则或，当时，，所以在上单调递增， 当或时，，所以在上单调递减，所以当时，，当时，，所以的最大值为,故答案为：. 2．(2026·河北石家庄·模拟)若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为时曲线与恰有一个交点，所以当时恰有一个解，即当时恰有一个解，显然满足， 所以当时无解，即时无解，令，，则，所以为偶函数，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又当时，所以，综上可得在上恒成立，所以当时，又为偶函数，所以当时，由上述分析可得与在无交点，所以或，解得或，即的取值范围为.故选：D 【变式训练】 1．(2025· 广西桂林·模拟)已知函数，其中，记函数的最小值为，若，都有，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 设，则， 令，， 当，则，所以，得，则在单调递减， 当，则，所以，得，则在单调递增， 所以，即，所以恒成立， 只需大于的最大值，令， 则， 可得，则的最大值为，所以， 因为，则， 因为，当且仅当，即时等号成立，所以， 故答案为：． 2．(2025· 广西柳州·模拟)已知函数. (1)求在处的切线； (2)若与的图象有交点. ①当时，求的取值范围； ②证明：. 【详解】（1），故，又， 故在处的切线方程为，即. （2）①当时，，由故，由， 设，则， 函数在上单调递减，在单调递增， 时，的最小值为，所以的取值范围. ②由题意，存在使得， 设，则， 设，则，所以在单调递减， 所以， 由，故，所以， 由①知，故，，即证. （建议用时：120分钟） 一、单选题 1．(2025·河北·模拟)若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，所以.故选：C. 2．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为，所以在上单调递增. 又恒成立，所以，则，因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因此．故选：C． 3．(2025·江苏丹阳·模拟)函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可知的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 又因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则在内单调递减，且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，可得在内单调递减， 可知在内单调递减， 若， 即，可得，且，即， 原题意等价于不等式在上有解， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以实数的取值范围为.故选：B. 二、多选题 4．(2026·云南玉溪·模拟)函数有两个零点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为函数有两个零点，所以有两个根，即有两个根，即与的图象有两个交点，设，所以，当时，解得，所以函数在单调递增；当时，解得，所以函数在单调递减，所以，当时，，当时，，函数的图象如图所示，结合图象可得当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点，故A正确；对于D，又，结合图象可知，因为，要证明， 即证明，整理得，令，即证明， 即证明，设，所以恒成立， 所以在（0,1）单调递增，所以，即，故D正确；对于C，，又，，则，即，故C不正确；对于B，因为，，可得，可得，故B正确.故选：ABD. 5．(2025·新疆乌鲁木齐·模拟)设函数的定义域为，的导函数满足，且，则下列结论一定成立的是（    ） A．的最大值为1 B．在点处的切线为 C．若方程有两个不同的解，，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【详解】已知，可知.可得（为常数）. 因为，将，代入，可得，即，解得. 所以，则，. 对求导，可得： . 对于选项A，令，即，解得. 当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，，但当时，，所以没有最小值，A选项正确. 对于选项B，当时，.. 根据点斜式方程可得，即，所以在点处的切线为，B选项正确. 对于选项C，由前面分析可知在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，若，则，因为，且在上单调递减，所以只需证明，又因为，所以只需证明. 令，，则. 当时，，，，，所以，在上单调递增，则，即，所以，与矛盾，C选项错误. 对于选项D，因为，所以. . 令，则，所以. 对于二次函数，其对称轴为，开口向下， 所以当时，取得最大值，.则，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 6．(2026·云南·模拟)已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，显然成立，符合题意； 当时，由，，可得，即，，令，，在上单增，又，故，即，即，，即使成立，令，则，当时，单增，当时，单减，故，故.综上：.故答案为：. 四、解答题 7．(2026· 福建漳州·模拟)已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是减函数，求的取值范围； (3)当时，，求的最大值； 【详解】（1）当时，的定义域为，且． 令，得；令，得； 因此，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为在单调递减， 所以，即在恒成立． 令，则．令，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以的最大值为，所以的取值范围． （3）的定义域为，． 因为在上单调递增，所以． ①当时，对，有，所以在上单调递增， 则对，，所以符合题意． ②当时，令，得，所以在上单调递减， 所以当时，，所以不合题意，舍去． 综上，，所以的最大值为． 8．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【详解】（1）由得，，，， 所以在点处的切线方程为； （2），，， 令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； （3）由题可知，，所以，， 设，，则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即，所以. 9．已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减，当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数a得，， 记，， 令，则，， 故单调递增，，故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立． 只需证当时，恒成立． 当时，． 只需证明⑤式成立． ⑤式，令， 则， 所以当时，单调递减；当单调递增； 当单调递减．从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立． 综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，所以时，满足题意. 综上，. 10．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且.设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且 当时，当时，，， 因此>1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增；当时，单调递减． 所以，则，即．所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］：特值切入，切线放缩 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 11．(2025·湖南·模拟)已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的值； (3)若，证明：． 【详解】（1）（ⅰ）当时，恒成立，所以在上单调递增； （ⅱ）当时，由解得，所以在上单调递增； 由解得，所以在上单调递减． 综上所述， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知：（ⅰ）当时，在上单调递增且， 所以时，不符合题意． （ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增． 故．令，依题意．① 又由得，由得． 所以在上单调递增，在单调递减， 因此在处取得最大值，即，故．② 由①②得，． 又因为在上单调递增，在单调递减，且． 所以有且仅有一个解，即． （3）要证，即证， 令．． 令． 又， 所以，使得，即，所以， 所以当单调递减；当单调递增． 所以 又（2）知当时，恒成立，， 又，所以 故．即： 12．(2025·云南大理·模拟)已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)令，若存在，且，使得且，求实数a的取值范围. 【详解】（1）由，则切点为，因为，所以切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由题意知，函数的定义域为， 因为， 所以曲线的对称中心为，则曲线是中心对称图形； （3）由题意知，， 由，得，即， 将代入，得，即， 不妨设，则，，， 转化为函数在区间上有零点，，其中， 函数的对称轴方程为， 当时，恒成立，在区间上单调递减， 又，所以，故在区间上无零点； 当时，在上有一个实数根，又因为， 所以在上，，单调递增，在上，，单调递减， 又因为，得， 下面证明：函数在减区间上存在零点，考虑中含参数a， 取（），则， ，则， 令，则， 令，，所以函数在上为减函数， 因为，所以恒成立，所以为上的减函数， 所以，又，所以， 所以函数在减区间上存在零点， 综上，，故实数a的取值范围为. 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $